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• roxana chambi calcina

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO FACULTAD DE INGENIERIA ECONOMICA Asignatura

: Economía Matemática IV EJERCICIOS DE CALCULO DE VARIACIONES

Ejercicio N° 1 Una empresa recibe un pedido por N unidades para ser producidas en un intervalo de tiempo T. Debe diseñar un plan de producción para cumplir con el pedido que por un lado minimice los costos y por el otro lado tome en cuenta los costos unitarios de producción que crecen linealmente con la tasa de producción. A su vez los costos unitarios de mantener inventarios por unidad de tiempo son constantes. Sean 𝑥(𝑡) los inventarios acumulados hasta el momento t. El nivel de inventarios es toda la producción hasta el momento 𝑡. La tasa de producción es la tasa de cambio del nivel de inventarios 𝑥′(𝑡). Los costos totales se obtienen entonces de dos componentes: Costos de producción: [𝑐1 𝑥(𝑡)]𝑥(𝑡) Costos de mantener inventarios: 𝑐2 𝑥(𝑡) Donde 𝑐1 𝑦 𝑐2 son los costos constantes por unidad de producir y mantener inventarios respectivamente. a) Formule el problema como un problema de optimización dinámica. 𝑁

b) Muestre que si se produce a una tasa uniforme x′(t) = 𝑇 , los costos totales son: 𝑐1𝑁 2 𝑐2𝑁𝑇 + 𝑇 2 c) Muestre que existe una mejor manera de minimizar costos. ¿Cuál? Se supone que inicialmente no hay inventario y que al final del periodo debe cumplirse el pedido. Solución: 𝑇

a) 𝑀𝑖𝑛 . ∫0 (𝑐1𝑥 .2 + 𝑐2 𝑥)𝑑𝑡 𝑠. 𝑎. 𝑥 (0) = 0 , 𝑥 (𝑇) = 𝑁 11

b) Reemplace en la anterior integral. c) Utilice optimización dinámica y mostrando que para 𝑥 ∗ (𝑡 ) =

𝑐2 2 𝑁 𝑐2𝑇 ]𝑡 𝑡 +[ − 4𝑐1 𝑇 4𝑐1

Los costos totales son 𝑐1 𝑁 2 𝑐2 𝑁𝑇 1 𝑐22 3 𝑐1𝑁 2 𝑐2𝑁𝑇 + − 𝑇 < + 𝑇 2 48 𝑐1 𝑇 2

Ejercicio N° 2 Encuentre una trayectoria óptima para: 5

𝑀𝑎𝑥. (𝑀𝑖𝑛. ) ∫ (3𝑡 + 𝑥(𝑡))1/2 𝑑𝑡 1

𝑠. 𝑎.

𝑥 (1) = 3 , 𝑥 (5) = 7.

Tenemos un Max. o un Min. Solución: 3 11 𝑥 ∗ (𝑡) = − 𝑡 2 + 10𝑡 − 2 2

Por Legendre es un Max.

Ejercicio N° 3 Encuentre el valor extremo de 𝐽 y diga si es máximo o mínimo. 2

𝐽 = ∫ (𝑡𝑦 + 𝑦 .2 )𝑑𝑡 𝑠. 𝑎. 𝑦 (0) = 0 𝑦 (2) = 8 0

Solución: ∗(

𝑦 𝑡) =

𝑡 3 11 + 𝑡. 12 3

Ejercicio N° 4 Suponga una empresa que utiliza como único insumo el capital 𝐾 cuyas funciones de ganancias brutas y costos de inversión son respectivamente: 𝐺 (𝐾 ) = 𝐴𝐾 − 𝐵𝐾 2 12

𝐶(𝐾̇ ) = 𝛼𝐾̇ 2 + 𝛽𝐾̇ Se tiene también que 𝐴 − 𝛽𝜌 > 0 y no hay depreciación de capital. El problema de la empresa es el siguiente: 𝑇

𝑀𝑎𝑥 ∫ [𝐺 (𝐾 ) − 𝐶(𝐾̇ )]𝑒 −𝜌𝑡 𝑑𝑡 0

𝐷𝑎𝑑𝑜 𝐾 (0) = 𝐾0 Encontrar la solución general de este modelo de inversión.

Ejercicio N° 5 Considere la siguiente variante del modelo de Ramsey: 𝑇

𝑀𝑎𝑥 ∫ 𝑒 −𝜌𝑡 (𝐿𝑛 𝑐) 𝑑𝑡 0

𝑠. 𝑎. 𝐴𝑘 = 𝑐 + 𝑘̇ + 𝛿𝑘 𝑘 (0) = 𝑘0 , 𝐴−𝛿 >0 , 𝑎−𝛿−𝜌 𝑟. Encontrar la trayectoria optima de consumo y comprobar que es un máximo usando las condiciones de segundo orden.

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