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Problema Un grupo de ingenieros ambientalistas dedicados al estudio de los efectos de la capa de ozono sobre el planeta, realizó un proyecto que consistió en colocar en altamar, un grupo de barcos que convierten el agua en nubes, con las cuales se pretenden cubrir los agujeros que existen en la capa de ozono. Al paso de algunos meses, los ingenieros han descubierto que la cantidad de kilómetros que cubren los barcos sigue la ecuación: y=-x2+16x-57 Donde x representa el tiempo en horas que las embarcaciones permanecen activadas. También han establecido que después de un determinado tiempo, los navíos se calientan y por ello, empiezan a deteriorarse. Mediante la ecuación y=-x2+16x-57, se pretende encontrar el momento en el cual sucede esto.

Con base en la información proporcionada: Ingresa a la wiki y contribuye a responder las siguientes preguntas: ¿La ecuación es una función?Si, porque “y” corresponde a una variable dependiente y “x” a una variable independiente ¿Es creciente o decreciente? ¿Cuáles son los intervalos de crecimiento o decrecimiento? De acuerdo a la grafica es creciente en el punto (-∞,8) y decreciente en el punto (8. ∞) ¿Es continua o discontinua? De acuerdo a la grafica es continua ya que no se interrumpe en ningún punto de la grafica.

¿Cuál es la primera derivada de la función? y=-x2+16x-57= d/dx= 2x+16 y’=-2x+16 ¿Cuál es la segunda derivada de la función? y=-x2+16x-57= d/dx’= -2x+16

=d/dx’’=-2x Y’’=-2 ¿En qué tiempo (horas) los barcos cubren la mayor cantidad de kilómetros? En 8 horas Dado la función tenemos que y=-x2+16x-57 Y= f(x)=x^2+16-57 f(x)=-2x+16=0 -2x=-16 X=-16/-2=8 ¿En qué momento los barcos incrementan la producción de nubes? y=-x2+16x-57 y=-2x+16-57 ¿En qué momento las embarcaciones empiezan a disminuir su producción? Pasadas las 8 horas hay un decremento ¿Cuál es el tiempo recomendable para que los barcos estén en funcionamiento? ¿Por qué? No más de 8 horas ya que pasado ese tiempo es cuando empiezan a calentarse y a deteriorarse

Dicho de otra forma tenemos que y = f(x) = -x^2 + 16x - 57

Para calcular los máximos y mínimos hacemos la derivada y la igualamos a cero f'(x) = -2x + 16 = 0 -2x = -16 x = -16/(-2) = 8 Luego en z=8 hay un máximo o mínimo relativo. Para saber cuál de las dos cosas es tenemos dos formas. La que creo más sencilla es calcular la derivada segunda en ese punto, y si es positiva es un mínimo y si es negativa es un máximo. f''(x) = -2 es negativa para todos los valores, también para x=8, luego es un máximo. La otra forma es por el signo de la derivada primera. Antes de 8, por ejemplo en 0 vale f'(0) = -2·0 +16 = 16 Después, por ejemplo en 10 vale f'(10) =-2·10 +16 = -4 Eso significa que f crece antes del 8 y decrece después, luego 8 es un máximo. Y todo cobra sentido. Hasta las 8 horas crecen los kilómetros cubiertos y después van decreciendo. Luego a las 8 horas es cuando empiezan a deteriorarse.

Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto.

La pendiente de la curva en el punto P es la pendiente de la recta tangente en P. Definición: La pendiente de una curva. En (x, f(x)) la pendiente m de la grafica de y=f(x) es igual a la pendiente de su recta tangente en (x,f(x)) y queda determinada por la formula.

Suponiendo que el límite exista. Para calcular la pendiente de la recta tangente de una curva mediante la definición de limite seguimos los siguientes pasos:

1.- calcular

2.- Hacer para obtener Ejemplo: Encontrar la pendiente de la grafica de la siguiente función en el punto (2,1) f(x)= 2x-3 Sustituyendo tenemos que

Actividad 1.- Foro ejemplo de funciones Para participar, es necesario que realices lo siguiente: 1.- Elabora una gráfica para representar cada una de estas situaciones. a).- Una tortilleria permanece abierta de 9:00 a.m. a 5:00 p.m., cada hora se venden 30 kilogramos de tortillas b).- El 2 de agosto de 2010 el dolar a la compra estaba en $ 12.587. El cajero de un banco desea elaborar una tabla por cada 5 dolares que compra 2.- Una vez que hayas realizado las graficas describe con una cadena de secuencias, los pasos que seguiste para elaborar cada una. 3.- Organízate con dos de tus compañeros (as) e investiguen una situación de la vida cotidiana que pueda ser representada con una función . Traten de conseguir ejemplos en los que las empresas u organizaciones se puedan apoyar con del modelo de una función. Por ejemplo si la dueña de una papelería le aumenta el 50% del precio al que le costo cada producto, con una función como Y= p+0.5 p, puede obtener los precios de cualquier producto. Además fácilmente la cantidad que gana al final del día.

si vendió $ 3000, los puede obtener como $3000 = p+0.5 (p), donde P= $1000 y es la ganancia que obtuvo al final de cada día.

Ejemplo 3.- El dueño de una papelería desea saber cuantas copias se realizan semanalmente si cada día se sacan alrededor de 14,895 copias.

Z = x*y Sustitución: Donde: X = Días de la semana. Y = Cantidad de copias.

EJEMPLO Sí se desea aforar con divisiones de 500 litros el nivel de un tanque vertical redondo, con un área interior de 2m 2 y una altura total de 5 m, es necesario trazar cada una delas divisiones. Quedaría representado por: Fórmula: V=aL VVolumen total en centímetros cúbicos a = área de la sección (constante) L= longitud del tanque Se define que los volúmenes serán de 500 litros cada uno, siendo L la altura o longitudes desde la base del tanque para indicar el trazo de cada una de las divisiones. De tal forma que V = aL, en donde a es una constante cuyo valor es de 2m2 y los litros se convierten a metros cúbicos por lo tanto, 500 Lt= 0.5m 3. La función queda así: L=V/a En la cual V es un valor conocido que inicia en 0 y se incrementa 0.5 hasta 10 que equivalen a los 10 m3 del volumen total. Por otro lado “a” es la constante de valor 2m2, mientras que “L” es la longitud a determinar para cada uno de los valores conocidos de V, es decir 0