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• Yesenia Ramirez

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CALCULO

I

TRABAJO DE INVESTIGACION

DEFLEXIÓN DEL PUENTE COMUNEROS DOCENTE: LUIS FERNANDO RICCIO YAURI

ESTUDIANTES: • • • • •

CALIXTRO ARZAPALO ALESSANDRA CHAVEZ ROSADO KATHERINE GÓMEZ RAMÍREZ YESENIA MARITZA QUISPE ALDANA ANGELA ROJAS LAZO MERILUZ KAREN

2018 I

Para los alumnos de la universidad y las personas que puedan leerlo, también a nuestros padres que se esfuerzan en educarnos y a nosotros por un futuro mejor

CONTENIDO

ÍNDICE.................................................................................................................................... 1 INTRODUCCIÓN ................................................................................................................. 2

CAPITULO I .......................................................................................................................... 3 1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA: ......................................................................... 3 1.2. OBJETIVOS GENERALES: ............................................................................................ 4

CAPÍTULO II ......................................................................................................................... 5 2.1. BASES TEÓRICAS: ......................................................................................................... 5 2.2. RESOLUCION DEL PROBLEMA: ................................................................................. 8

ANEXO 1 .............................................................................................................................. 10 ANEXO 2 .............................................................................................................................. 11 ANEXO 3 .............................................................................................................................. 12 BIBLIOGRAFÍA.................................................................................................................. 13

INTRODUCCIÓN

Aplicando los temas aprendidos en el curso de “Calculo I” a continuación realizaremos un y ejercicio aplicativo real sobre máximos de una función y sobre la optimización. Principalmente usaremos los criterios de la primera y segunda derivada y conceptos previos como la formula general para reducir una expresión binominal cuadrática, nuestro análisis se basará en el la deflexión de una viga aplicado en puentes de la región Junín y específicamente en el puente “comuneros”.

Tenemos como objetivo principal hallar la deflexión máxima que podría soportar el puente “comuneros” e informar a la población las consecuencias que tendría superar esta deflexión máxima, así como también se informara sobre las acciones y fenómenos que ocasionarían una deflexión en el puente.

Este trabajo cuenta con dos partes, primero explicaremos el planteamiento del problema y nuestro objetivo; como segunda parte tendremos el desarrollo del marco teórico que se usó en la resolución del ejercicio, seguido a este pasaremos a la solución del ejercicio.

CAPITULO I

1.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA: La deflexión es el grado en el que un elemento se desplaza bajo la aplicación de una fuerza o carga. En un puente el papel de la deflexión es de suma importancia ya que sin buenos materiales y superando esta deflexión máxima del puente, esto sumado a una mala construcción del puente y no haber anticipado estos problemas originaria el colapso o destrucción del puente ocasionando esto muchas pérdidas humanas, así como también perdidas económicas.

A raíz de este problema en el siguiente proyecto encontraremos la deflexión máxima que el puente puede soportar el puente “Comuneros” para poder condicionar el transporte sobre este puente e informar a la población de la región Junín sobre los peligros que tendría el superar esta deflexión máxima.

1.2. OBJETIVOS GENERALES: Como objetivo tenemos dar a conocer a las personas sobre la deflexión máxima del puente “Comuneros” y a su vez demostrar que el tema de “derivadas” tiene un gran campo de aplicación como en este caso se aplicara en la ingeniería civil. También informar sobre las fuerzas que apoyan a la deflexión de una viga, haciendo el análisis respectivo sobre una sola viga ubicada en el eje de las abscisas.

CAPÍTULO II 2.

MARCO TEÓRICO 2.1. BASES TEÓRICAS: 2.1.1.

VIGAS: Una viga es un miembro que soporta cargas transversales, es decir, perpendiculares a su eje largo (1). En la ingeniería y en la arquitectura se denomina viga a un elemento estructural lineal que trabaja principalmente a flexión y estas suelen ser horizontales.

La viga es un elemento estructural, fundamental en la construcción, sea esta de la índole que fuera. Será el tipo, calidad y fin de la construcción lo que determinará medidas, materiales de la viga, y, sobre todo, su capacidad de sostener y contener pesos y tensiones. (2)

Son las piezas extensas que, unidas a las columnas, soportan las estructuras y las cargas en las obras, permitiendo flexibilidad. Es más, estos elementos se utilizan para soportar los techos y las aberturas, y también como elemento estructural de puentes. Por esta razón al momento de diseñarlos y armarlos se debe comprobar que soporten a la perfección los esfuerzos

de tracción y de compresión de forma simultánea. Estas dependiendo de su uso, clima, peso y muchos otros factores determinan el material que se usará en la viga; estas pueden ser de madera, acero o hierro, concreto u hormigón armado.

x 2.1.2.

DEFLEXIÓN DE UNA VIGA: Se entiende por deflexión aquella deformación que sufre un elemento por el efecto de las flexiones internas. Es la capacidad que tiene un cuerpo para no ser flexionado.

2.1.3.

APLICACIÓN DE LA DERIVADA: 2.1.3.1. Formula general de ecuaciones de segundo grado:

Usaremos esta fórmula para reducir y factor izar nuestra expresión para que los cálculos sean más simples. Esta ecuación nos ayudara a poder encontrar los valores para “x” tanto negativos como positivos. 2.1.3.2. Criterios de la segunda derivada para máximos y mínimos relativos: Sea f una función con su primera derivada definida, al menos, en un intervalo abierto conteniendo al número a. Si f´´ está definida entonces podemos considerar los siguientes aspectos:

a). - Si f´(a)=0 y f´´(a)0 entonces se dice que f tiene un mínimo local en a. 2.1.4.

OPTIMIZACIÓN DE UNA FUNCIÓN: Para la resolución de un ejercicio de optimización primero se plantea la función que hay que hay que maximizar o minimizar la función, en el caso de que hayan más de una variable, se despeja una variable de la ecuación y se sustituye en la función para que así nos quede solo una variable. Los pasos que se siguen son los siguientes:

1. Encontrar la función optimizar. 2. Si tiene 2 variables, despejar. 3. Reemplazar en la función. 4. Hallar los máximos y mínimos.

Existe una amplia variedad de problemas y aplicaciones que tienen las siguientes finalidades: encuentra el área mínima, el menor coste, la forma óptima, la menor resistencia, el máximo beneficio, el mayor alcance...Todos estos problemas, se engloban dentro de la categoría de Optimización de funciones y pueden ser resueltos aplicando el cálculo diferencial. (3)

Usaremos estos pasos y saberes previos para la resolución de nuestro problema, consideramos que es un ejercicio de optimización ya que nuestro fin es encontrar un máximo de deflexión en una viga de nuestro puente, además en la resolución aplicaremos los pasos para la optimización. 2.2. RESOLUCION DEL PROBLEMA: La deflexión “D” de una viga de longitud “L” está dada por:

Donde “x” es la distancia a un extremo de la viga. Determinar el valor de x que produce la máxima deflexión. •

Primero derivamos la función:

Seguidamente calculamos los valores críticos para “x” usando la formula general de segundo grado.

De donde obtenemos: 𝑥=0.57𝐿

y

𝑥=1.29𝐿

•

Como segundo paso calcularemos la segunda derivada:

•

Como tercer paso reemplazaremos los valores de “x”: Usando los valores obtenidos anteriormente de “x” reemplazamos en la segunda derivada:

Finalmente, como D” (0.57) < 0, entonces el máximo relativo ocurre en x=0.57L, por lo tanto, la máxima deflexión se produce cuando x = 0.57L. La longitud de las vigas de nuestro puente es de 300 metros, pero este cuenta con 2 pilares quedando así el puente dividido en 3 partes y siendo la parte central de 160 metros y las otras 2 de 70 metros (ver el anexo 1). Para este caso usaremos la parte central de 160 metros. Entonces reemplazando estos valores quedaría: 0.57∗160=91.2 De donde nos queda un valor de 91.2 cm como deflexión máxima. Pero nuestro puente cuenta con 4 vigas (ver anexo 2) porque dividimos el valor entre 4 obteniendo 22.8 cm.

ANEXO 1

ANEXO 2

ANEXO 3

BIBLIOGRAFÍA 1. Montt R. Resistencia de los materiales.Quinta ed. 2. Arquitectura, construcción & diseño. [Online].; 2014 [cited 2016. Available from: https://joelrequejo.wordpress.com/2014/07/14/vigas/. 3.

EcuRed[Online].Availablefrom: https://www.ecured.cu/Optimizaci%C3%B3n_de_funciones.