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Taller de calculo Final (parte 2) 20(cm^{3})/min{/tex}})/min}

Ejercicio 15 El volumen de un globo esfereico esta disminuyendo a razon de

. Con que rapidez disminuye el rado del globo cuando el

volumen es

?

Solucion: Razon de cambio del volumen de la esfera respecto al tiempo: Volumen de una esfera en funcion del radio: Radio de una esfera en funcion de su volumen: Volumen dado

Es decir que el radio esta disminuyendo con una rapidez de

cuando volumen es

Ejercicio 16 Una pista atletica tiene forma circular (centro en un punto de

. Un atleta corre por el borde de la pista y un juez lo va a cronometrar

desde un punto de partida

. Si el atleta esta en un punto

velocidad crece el area del triangulo de

) y su radio es

?

Solucion:

, ¿con que

, cuando el angulo central es

Falta el dato correspondiente a la rapidez que lleva el corredor. Base del triangulo Altura Sea el area del triangulo

Derivando

Dado que

Entonces

Ejercicio 17 Se coloca una bola en un plano inclinado, de grados de inclinacion , y comienza a rodar. La distancia (en ) recorrida por la bola en es

.

a) Determine la velocidad de la bola.

Solucion:

segundos

b) ¿Que valor de produce la maxima velocidad en un instante concreto?

Solucion:

Ejercicio 33 Dos Fabricas

y

que se encuentran a

una de la otra, eimten humo

con particulas que contaminan el aire de la region. Suponga que el numero de particulas provenientes de cada fabrica es directamente proporcional a la cantidad de humo e inversamente proporcional al cubo de la disntacia desde la fabreica.¿Que punto entre fabrica

y

tendra la menor contaminacion si la

emite el doble de humo que la fabrica

?

Solucion:

Sea

la cantidad de particulas y

por la fabrica

, y

la cantidad de particulas y

humo emitida por la fabrica que

y y

la cantidad de humo emitida

, tenemos por lo tanto

la cantidad de

La contaminacion en el punto

,

esta dada por la ecuacion:

Ademas,

entonces

donde

y

son constantes.

Se nos pide calcular el punto con menor contaminacion, por lo tanto procedemos a derivar

e igualar a cero:

Sumando las dos fracciones:

Sabemos que se satisface cuando el numerador se anula

Es decir cuando alguno de los factores es igual a cero, lo cual sucede cuando tercer factor

y cuando

para los dos primeros factores y para el

Por lo tanto podemos decir que

Son los puntos en los cuales la derivada se hace igual a cero. Evaluamos el signo de la derivada a la izquierda y la derecha de cada uno de estos puntos para determinar si son maximos o minimos relativos y luego calculamos el valor de la funcion en los puntos criticos.

Por lo tanto, el punto

dentro del intervalo

contaminacion es minima, es:

donde la

Ejercicio 45 Una escalera de 25 pies de longitud esta apoyada sobre una pared. Su base de desliza por el suelo a razon de

.

a) ¿A que ritmo esta bajando su extremo superior por la pared cuando la base dista de ella 7, 15, 24 pies?

Solucion: Sea

la longitud de la escalera,

extremos superior y

la altura a la que se encuentra el

la distancia de la base a la pared. Usando el

teorema de pitagoras sabemos que y derivando implicitamente tenemos

dado que la longitud de la escalera no cambia por lo tanto, despejando

Para

Para

,

,

Para

,

b) Halle el ritmo al que cambia el area del triangulo formado por la escalera, el suelo y la pared, cuando la base esta a 7 pies del muro.

Solucion: Sea

el area del triangulo formado

c) Calcule el ritmo de cambio del angulo entre la escalera y la pared cuando la base esta a 7 pies del muro.

Solucion: Sea

el angulo formado con la pared,

y derivando tenemos

d) Calcule la aceleracion del extremo superior de la esclaera cuando su base esta a 7 pies del muro.

Solucion: Dado que

Ejercicio 48 Una mujer en un muelle tira de un bote a una rapidez de

usando

una soga amarrada al bote al nivel del agua. Si las manos de la mujer se hallan a

por arriba del nivel de agua. ¿Con que rapidez se aproxima el bote al

muelle cuando la cantidad de cuerda suelta es de

?

Solucion: Sea

la longitud de la cuerda desde las manos de la mujer al bote,

altura por encima del nivel del agua a la que se encuentran las manos, y

la distancia del bote al muelle:

Por un lado tenemos que

y derivando implicitamente

la

Por otro lado tenemos que

y derivando implicitamente dado que

, entonces

e igualando las dos ecuaciones

Despejando

Usando el teorema de pitagoras calculamos el valor de Ademas sabemos que

,

Lo cual significa que la rapidez con la que se acerca el bote al muelle es en el instante en que

es

.

Procedimiento alternativo (mas sencillo): Segun el teorema de pitagoras tenemos

Dado que

,

,

,

tenemos entonces

Taller de calculo Final (parte 1) y^{\prime}{/tex}: a) {tex}x^{2}y+xy^{2}+x^{2}+y^{2}=0{/tex} E}}

Ejercicio 1 En cada caso halle a)

Solucion:

:

.

Forma alternativa:

b)

Solucion:

c)

Solucion:

d)

Solucion:

e)

Solucion:

Ejercicio 2 En cada caso halle

a)

Solucion:

b)

Solucion:

y

:

c)

Solucion:

d)

Solucion:

e)

Solucion:

Otra forma de proceder es factorizar primero y calcular la derivada del producto de los dos cocientes

Ejercicio 3 Halle

derivando implicitamente

a)

Solución:

b)

Solución:

Si

c)

Solución:

d)

Solución:

Se satisface cuando es decir cuando

e)

Solución:

es decir cuando

es una constante ó cuando

f)

Solución:

Ejercicio 4 Halle

a)

por derivación implicita y calcule la derivada en el punto indicado.

en el punto

Solución:

en el punto

b)

en el punto

Solución:

en el punto

c)

en el punto

Solución:

en el punto

d)

en el punto

Solución:

en el punto

Ejercicio 5 Calcule la pendiente de la recta tangente a la curva

en el

punto

Solucion: Derivamos implicitamente

Calculamos ahora la derivada en el punto dado pues corresponde al valor de la pendiente de la recta tangente

Ejercicio 6 Muestre que las curvas

y

se cortan en angulo recto.

Solucion: Derivamos las dos funciones y calculamos el producto de las derivadas, si tal producto es igual a -1 podemos decir que las curvas se cortan en angulo recto. 1ra curva

2da curva

Producto de las dos derivadas y reemplazando

tenemos

Ejercicio 7 Muestre que las graficas de

y

son ortogonales.

Solucion: Usamos el mismo criterio utilizado en el ejercicio anterior. 1ra grafica

2da grafica

Producto de las dos derivadas

y reemplazando

tenemos

Ejercicio 8 Halle los puntos donde la tangente a la curva

es

horizontal o vertical.

Solucion: Calculamos la derivada de la funcion y analizamos en que puntos es igual a cero o se hace indeterminada. La tangente sera horizontal cuando la derivada sea igual a cero y sera vertical en los puntos donde se haga indeterminada.

La derivada

si

es decir cuando

y

reemplazando en la curva dada, tenemos

La derivada se hace indeterminada cuando el denominador se hace igual a cero curva dada, tenemos

es decir cuando

y reemplazando en la

Ejercicio 9 Determine la ecuacion de la recta tangente a la grafica de

en el

punto

Solución:

En el punto

,

Ahora usamos la formula de la pendiente-punto para determinar la ecuacion de la recta tangente

Ejercicio 10

Sea

. Demuestre que

(Revisar porque da con

signo negativo)

Solución:

Ademas

Por lo tanto

Ejercicio 11 A partir de

deduzca que:

a) En el taller aparece deberia ser

pero hay un error de tipografia pues

Solución: Partimos de la formula inicial

Derivando a ambos lados con respecto a x

Multiplicando a ambos lados por

Y simplificando obtenemos

Que es lo que se queria demostrar.

b)

(Revisar porque da con signo negativo).

Solución: Partimos de la formula obtenida en el ejercicio anterior

Derivamos a ambos lados con respecto a x

Multiplicamos a ambos lados por

Y simplificando obtenemos

Que es lo que se queria demostrar.

Ejercicio 12 Para el siguiente ejercicio utilizaremos algunas de las derivadas de las funciones trigonometricas inversas mostradas a continuacion: , ,

, ,

Las otras derivadas se calculan de forma similar (es decir usando la identidad trigonometrica

Encuentre la derivada de:

).

a)

Solución:

b)

Solución:

c)

Solución:

Ejercicio 13 Demuestre que

(Observe que las funciones

y

tienen la misma

derivada, por lo cual su diferencia es una constante)

Solucion: Siguiendo la indicacion dada, procedemos a calcular la derivada de cada una de las funciones para verificar que son iguales: sea

donde

Usando este resultado en

procedemos a calcular

tenemos

Ahora calculamos la derivada de la segunda funcion:

sea

donde

Usando este resultado en

procedemos a calcular

, tenemos

Por lo tanto las dos funciones tienen la misma derivada. Concluimos asi que difieren en una constante que podemos calcular dandole el mismo valor arbitrario a

en las dos funciones y calculando su diferencia, asi:

sea ,

dond

e

Para revisar: (Sin embargo en el enunciado se pedia demostrar que

cosa que no es cierta,

pues

. Un enunciado correcto

seria

)

Ejercicio 14 Halle

derivando implicitamente

a)

Solución:

b)

supongamos que el enunciado

dice

Solución:

,

Taller de cálculo \lim_{x\to{\small{4}}}\hspace{10}\frac{\frac{1}{4}+\frac{}}}\hspace{10}\frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{x}}{4+x}\hspace {10}}

1. Evalúe el límite, si existe a)

b)

c)

d)

2. Encuentre todas las asintotas y trace la gráfica a)

Asintotas oblicuas

es una asintota oblicua si

el cociente

calculando

tenemos

que

por lo tanto entonces

y calculando

el limite

concluimos

entonces que

es asintota oblicua.

Asintotas verticales

analizamos cuando ,

y

por lo tanto

que que

Grafica

y cuando y

asi que

cuando y

asi , tenemos

En rojo tenemos la grafica de En azul la grafica de En verde la grafica de

b)

Asintotas verticales

Analizamos ,

y

asi que

y

cuando

cuando

,

y

por lo tanto

asi

que

cuando

,

y

asi que

cuando

,

y

,

que

por lo tanto

concluimos entonces que

asi

no es una asintota

vertical.

Asintotas horizontales

calculamos ahora

cuando

el

una asintota horizontal.

Grafica

,

por lo tanto la recta

es

En rojo tenemos la grafica de En azul la grafica de En verde la grafica de

3. Para que valor de y ,

Si

es continua en

es continua podemos hacer las siguientes afirmaciones:

resumiendo

por lo tanto , tomamos ,

,

entonces y

y las igualamos

, por lo tanto, cuando

, la funcion satisface

simultaneamente las condiciones y decimos que es continua.

cuando

y

valores obtenidos despues de resolver el

sistema de ecuaciones.

Grafica

Donde vemos en verde

,

en rojo

.

4. Suponga que en

y en azul

satisface

. Muestre que

es continua

Si

tenemos las siguientes desigualdades

un tal que que

y ,

existe

. Aplicando esta definicion decimos

para

, si decimos que

entonces sin importar sus valores las desigualdades se satisfacen y por lo tanto el limite existe y dado que continua en

5. Sea todo

concluimos que

.

una funcion continua en

tal que

. Muestre que existe

para

tal que

.

Según el teorema del valor intermedio, tenemos que, sea funcion continua en existe

tal que

tal que

tal que

satisface

.

y dado que

y

y que existe

es continua y

, veremo que el ejercico es un caso particular del

teorema del valor intermedio, donde podremos decir que existe Grafica de ayuda

una

entonces

Aplicando dicho teorema tendremos un

es

tal que

y

por lo tanto .

fig.

1

fig. 2

la interpretación geometrica del ejercicio indica, que sin importar el valor de

y

teniendo en cuenta que

la funcion contenida en el intervalo

y

es continua, entonces en algun

punto dentro de ese intervalo la grafica de la funcion corta la recta

si

como se puede ver en la fig.1 y fig.2

6. Use el hecho de que todo intervalo no vacio de numeros reales contiene numeros racionales e irracionales, para mostrar que es discontinua en todo punto

Sin importar el valor de , numero

no tiende cerda de hacia ningun

. En efecto no es posible hacer

cerca que se aproxime

sin importar lo

a , porque en cualquier intervalo alrededor

de existen numeros

con

numeros

, de modo que se deberia satisface al mismo

tiempo

con y

y tambien numeros , lo cual no es cierto para el elegido.