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Preguntas propuestas

1 2015

• Aptitud Académica • Matemática • Cultura General • Ciencias Naturales

Trigonometría Sistemas de medición angular NIVEL BÁSICO

π π C) 10 6

A)

π 12

D)

5π 2π E) 3 3

B)

1. La diferencia de las medidas de dos ángulos suplementarios es de ellos.

π rad . Determine el mayor 3

A) 90º B) 100º C) 120º D) 160º E) 130º

NIVEL INTERMEDIO

7. Si se cumple que

2. Si se cumple que (x+y)º=(2x – y)g, calcule el

π rad = x º y ' z '' 64 calcule el complemento de (x+y – z)º en radianes.

4π 3π 9π B) C) 9 10 20 π π E) D) 36 40 A)

 x + y valor de 11 − 2.  x − y  A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

8. Del gráfico, calcule la medida del ángulo AOB en radianes.

C

3. Calcule



π 25º +50g + rad 3 g π 64º +40 + rad 6 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

4. Simplifique la expresión

aº b '+ bº a ' ( a + b) '

A) 60 B) 61 C) 100 D) 120 E) 121

5. Calcule el valor de 78g

300m

UNI 2007 - II

−

20º 120 '

A) 6 B) 7 C) 16 D) 36 E) 4

6. La medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal están representadas por dos números pares consecutivos. Halle la medida de dicho ángulo en radianes.

B

10 g x 3 2xº



O

D)

A

π π B) C) 10 4

π A) 5

2π 5π E) 5 12 g

πx x rad; β =   y q=(56 – x) º, 2 48 halle la medida del ángulo b en el sistema radial.

9. En el gráfico, α =

π rad 4 π B) rad 6 π C) rad 8 π D) rad 5 π E) rad 3 A)

α θ β

2

Trigonometría 10. Las medidas de los ángulos internos de un

πx rad. ¿Cuál es la 300 medida del menor ángulo interno del triángulo?

NIVEL AVANZADO

triángulo ABC son 3xº, xg y

13. ¿Cuántos radianes se deben aumentar al ángulo

A) 16º B) 24º C) 36º D) 40º E) 72º

 11000    3 

11. Si a representa la medida de la treintava parte g

de 1º y b representa la veinteava parte de 1 , 3α − 2β . calcule 10β − 9α A) 1/10 B) 1/3 C) 1/15 D) 1/7 E) 3

m

para obtener como resultado 35,25º?

A)

π rad 80

D)

π π rad rad E) 40 25

B)

3π 171π rad C) rad 75 41

14. La suma de las medidas de dos ángulos es 4080' y su diferencia es 40g. Halle la medida del mayor ángulo en radianes. 13π rad 45

D)

45π 11π rad E) rad 17 45

12. Con los datos que se muestran en el gráfico, calcule x – y si 2x+3y=35.

17π 45π rad C) rad 45 13

A)

B)

15. Un ángulo mide a' y bm en los sistemas sexa50 – 50 y 3

gesimal y centesimal, respectivamente.

g



ab − 2a2 + b2 = 208, calcule la medida en b− a radianes.

Si

(2 x +10)º

300

g

A) 5 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

3

π π rad C) rad 180 360

A)

π rad 100

D)

π π rad E) rad 200 540

B)

Trigonometría Longitudes de arco de circunferencia

4. El punto O es el centro de los sectores circula= 3π, calcule CD res. Si AC=2 y   . AB

NIVEL BÁSICO

C

A

1. En el gráfico, AOB y COD son sectores circulares. Si L 2 – L 1=10 y de L 2.

OB = 2, calcule el valor OD

30º

O

B

L2 A

B

L1 C

D



A) 3p B) 10p/3 C) 4p D) 5p E) 6p

D

5. El punto O es centro de los sectores circulares. Si CD = 3 cm, calcule el área de la  = 2 cm y   AB

región sombreada.

O

A

A) 15 B) 18 C) 20 D) 25 E) 30

C

2. Si AOB es un sector circular y   = 20π cm, AE . calcule   BE

A

O



O

E

2xº xg



B A) 3p cm B) 5p cm C) 7p cm D) 9p cm E) 10p cm

3. Determine la longitud de arco de un sector

x cuyo ángulo central mide   rad y su radio 3 mide (6x) cm si se sabe que el perímetro de este sector es 110 cm.

π/4 rad D

E

A)

4 cm 2 π

D)

20 cm 2 E) 5p cm2 π

B)

10 8 cm 2 C) cm 2 π π

6. En el gráfico, AOB y COD son sectores circulares. El área de la región sombreada es un tercio del área de la región no sombreada y el arco CD mide 4p. Calcule la longitud del arco AB. C

A) p B) 3p/2 C) 2p D) 3p E) 4p

A O B

A) 20 cm B) 30 cm C) 40 cm D) 50 cm E) 60 cm

D 4

Trigonometría 7. En los sectores circulares AOB y COD si

NIVEL INTERMEDIO

 = a 3, OC=b, calcule m AOB. AB

9. En el gráfico, BOA y OBC son sectores circula-

A

res. Si la longitud del arco AB es 9p cm, calcule

C

el perímetro de la región sombreada. O

S

2S

B

D B

A) a/5 D) b

C

B) a/b C) a E) ab UNI 2009 - II

O



8. En el gráfico, AOC y DOB son sectores circu-

A

A) 9(1+2p) cm

lares y OC=CD. Si el área del sector DOB es

B) 9(1+p) cm

21π cm 2, calcule el área de la región sombrea5 da.

C) 6(1+p) cm D) 6(1+p) cm E) 9(2+p) cm

A

10. Del gráfico mostrado, se cumple que

O

45º

C

3 y CM  − MN  = ND . 2



 −  = 6, AC = AB CD



Halle en radianes la medida de q.

D

A



C

B A)

M

21π cm 2 5

O

N

21π cm 2 B) 4

D B



18π C) cm 2 5

A)

25π D) cm 2 3 E)

θ

3 4

B) 1 C)

4 3

5 D) E) 2 3

25π cm 2 6 5

Trigonometría 11. En el gráfico, AOC es un sector circular, la lon-

A)

29 π u y el área del sector gitud del arco AC es 30 π 2 circular BOC es u . Calcule la medida de a. 3 Considere que OA=4 u. A

O

B

α

π π rad C) rad 5 6

A)

π rad 8

D)

π π rad E) rad 3 4

B)

B)

6 5

C)

6 7

D)

7 6

E)

7 5

E O F D

a 3 = y el área de la región b 2 sombreada es 5 veces el área del sector circular OPQ. Determine

lares. Si el área del trapecio circular ABDC es 3 π cm 2, 2 = 1 y AC=4 cm. Calcule OA. 2 2

a

D

b Q

S

P

R

O

A

2

A C



3 16 C) B) 2 27

A) 43

B D

A) 5 cm B) 6 cm C) 8 cm D) 10 cm E) 12 cm

13. En el gráfico, AOB, COD y EOF son sectores circulares, y 3OE=2EC=6CA. Si las áreas del sector EOF y los trapecios circulares EFDC y CDBA son S1, S2 y S3, respectivamente, calcule

S2 . S1 + S3

 SR  .  BA  B

C

1

B

14. En el gráfico,

12. En el gráfico, AOB y COD son sectores circu-

O

A

C

NIVEL AVANZADO

C



5 6

D)

10 45 E) 3 16 UNI 2009 - I

15. El punto O es el centro de los sectores circula= OE y EC=CA=CD res. Si    , calcule q. AB A A) 2 C B) 2 C) 1 E D) 2 − 1 E) 2 + 1 θ rad

O

F 6

D

B

Trigonometría Aplicaciones del cálculo de una longitud de arco NIVEL BÁSICO

1. El gráfico representa una transmisión dentada de radios r1 y r2 como se indica. Si el punto P sobre la rueda de mayor radio gira un ángulo q, entonces el punto Q correspondiente sobre la otra rueda girará un ángulo igual a

A) 15

P

Q r2

D)

r1

B)

15 15 C) 4 2

15 15 E) 6 8

4. En el sistema del gráfico mostrado, R=6 u y a=60p u. Si el bloque desciende hasta tocar el piso, calcule el número de vueltas que gira la rueda.

r  r  B)  1  θ C)  2  θ  r1   r2 

A) q

R

A) 3 B) 5 C) 6 D) 9 E) 10

D) (r1r2)q E) |QP|q

2. En el sistema de poleas se tiene que, al hacer girar la faja, las ruedas A y C giran longitudes que suman 30p. Determine cuántas vueltas dará la rueda mayor.

bloque

a

piso

B C

2u

3u

NIVEL INTERMEDIO

A

5u

5. En el sistema mostrado, calcule la medida del

A) 1,25

ángulo girado por la rueda C luego de que la rueda A gira 30º.

B) 1,5 C) 2

3u

3. El gráfico muestra un montacarga con un tambor de 60 cm de diámetro. Si el montacarga gira 7p/4 radianes, entonces la carga se eleva aproximadamente a una altura de (tomar p=3,1416).

7

C

A

D) 2,5 E) 15/7

B 1u

A) 5º B) 10º C) 15º D) 18º E) 20º

5u

Trigonometría 6. En el gráfico se muestra un sistema de poleas

A

que permite descender el bloque M. ¿Qué ángulo debe girar la rueda A para que el bloque descienda 1,8 m? (R=40 cm y r=20 cm).

RA

B R B

RC



R r

A) 90 B) 900 C) 9000 D) 90 000 E) 900 000

30 cm

9. Halle la longitud de la correa de transmisión

10 cm

M

C

de tres ruedas tangentes exteriormente, cuyos diámetros son de 42 cm y 14/3 cm respectivamente.

A 5 cm



A) A) 1 rad B) 2 rad C) 3 rad D) 4 rad E) 6 rad

256 π 111 + 3 3 3 266 π 112 + 3 C) 3 9

B)

7. ¿Qué ángulo debe girar la manivela M del sistema mostrado para que el bloque B descienda 8 u?

2u M

2u

266 π 112 + 3 9 3

D)

266 π 112 + 3 4 5

E)

266 π 112 + 3 8 3

10. En el gráfico mostrado, si la manivela gira un ángulo de 30º, ¿qué distancia recorre (en m) el bloque?

2u

manivela

2m



B

1m 3m

A) 1 rad B) 2 rad C) 4 rad D) 6 rad E) 8 rad

8. Se tienen tres puntos (A, B y C) que están unidos mediante una correa de transmisión. Si la polea A gira 25 rpm, ¿cuál será el número de vueltas que da la polea C en una hora? Considere que RA=3RB=6RC.

bloque



π B) p C) 2p 2 π π D) E) 3 6

A)

8

Trigonometría 11. Si las ruedas A y B dan 6 y 3 vueltas, respecti-

O

vamente, desde su posición inicial hasta el instante en que llegan a tocarse; además, RA=1 u y RB=4 u, calcule d.

α R

R

B A d



B

A



A) 366p B) 388p C) 468p D) 486p E) 488p

A) 2(9p+1) B) 4(9p+1) C) 4(8p+1) D) 36p+5 E) 36p

14. Las ruedas de una locomotora son de 3 radios

12. Una rueda de radio a da 10 vueltas para recorrer un tramo de longitud L metros. Otra rueda de radio (a2+62a – 3) metros gira 60º para recorrer el mismo tramo. Calcule a2+2a en metros. A) 3 B) 1 C) 2 D) 5 E) 4 NIVEL AVANZADO

13. En el gráfico mostrado, se tiene a=p/3. Se sabe que una rueda de 0,2 cm de radio da 45 vueltas para ir de A hacia B. Calcule el área (en cm2) del sector circular AOB.

9

diferentes, el radio intermedio es media aritmética de los otros dos, y al recorrer cierto espacio las ruedas mayor y menor dieron 36 y 54 vueltas, respectivamente. ¿Cuántas vueltas dio la rueda intermedia? A) 12,5 B) 43,2 C) 13,5 D) 21,7 E) 16,8

15. Se tienen 2 poleas de igual diámetro, conectadas por una faja de longitud igual a m veces (m ∈ N) la longitud de la circunferencia de una de las poleas. Halle el diámetro de las poleas si se sabe que la longitud de la faja que no hace contacto con las poleas es 2. A) D)

+2 π ( m − 1) 

2π ( m − 1)

B)

+2 πm

C)

E)

2 π ( m − 1) 2 πm

Trigonometría Razones trigonométricas de un ángulo agudo

5. Calcule la altura en km de la superficie terrestre a la que gira un satélite, cuya visión cubre un arco de 120º en la superficie de la tierra. Considere 6400 km como radio de la tierra.

NIVEL BÁSICO

1. Del gráfico, calcule cota – tanq si BC=3 y EB=2. E

A) 12 800 B) 6400 C) 320 D) 1600 E) 800

D

θ

NIVEL INTERMEDIO

6. En un triángulo ABC (recto en B) se cumple que tanAcosC=3. Calcule

α



A

B

C

1 A) 2

A) 2/3 B) 1 C) 3/2 D) 2 E) 3

2

A

D) 2b E) a +b

B

45º θ

B) 2a2 C) b2 2

2 C) 1 2

7. Del gráfico, calcule cotq –1, si MN=2 y CD = 5 2.

miden a y b (a > b), donde a es la medida del ángulo opuesto al lado de longitud b. Calcule a2sen2a+b2cot2a. A) a2

sec2 A − 3 csc C .

D) 2 E) 2

2. En un triángulo rectángulo, los lados mayores



B)

4

N

M

2

D



3. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B)

A)

se tiene que 4tanC – tanA=0. Si la longitud del mayor lado es 8 5 m, ¿cuál es el área de la región triangular? B) 36 m2 C) 54 m2 A) 32 m2 2 D) 64 m E) 72 m2

D)

2 5

C B)

2 2 3 2 C) 5 5

4 2 E) 2 5

8. En el gráfico, BC=1 y AC = 3 + 1. Calcule el valor de la medida del ángulo ABC.

B

4. En un triángulo ABC se cumple que la medida del ángulo BAC es 53º y el coseno del ángulo BCA es 5/13. Calcule AC si el perímetro de la región ABC es 84. A) 26 B) 28 C) 30 D) 32 E) 34



A

15º

C

A) 30º B) 36º C) 37º D) 45º E) 53º

10

Trigonometría 9. Determine tana si AB=BC y M es punto medio

NIVEL AVANZADO

de AB, donde MD / BC. A

13. El diámetro aparente (ángulo de observación)

α

M

del Sol es aproximadamente 32'. ¿A qué distancia del ojo debe colocarse una moneda de 30 mm de diámetro para poder tapar exactamente al Sol si se considera que tan16' es 0,00465?

D

E 60º

B

A) 3,844 m B) 3,223 m C) 3,448 m D) 4,483 m E) 6,243 m

C

A)

3 2 3 +1

B)

2 3 2 3 C) 3 +2 2 3 +1

14. Si ABCD es un cuadrado, además EB=2AE y AE=BF, calcule cosq.

3 3 D) E) 3 +2 2 +1

A

E

B

10. En el gráfico, BAN es un sector circular, si

F

MN=ND, calcule x. A) 15º B) 30º C) 37º D) 45º E) 60

B 37º

A

11. Si se cumple que

sec 4θ × cos (θ + 45º ) =

H

C

x M

θ D

A)

N

D D)

tan 40º tan 50º sen 10º cos 80º

7 130 130

C B)

130 9 130 C) 20 130

130 130 E) 40 50

15. Si AOB es un sector circular, y D y E son puntos de tangencia, calcule tanq.

calcule cotq – tan4q.

A

A) 1 B) 3 C) 3 − 3 D) 2 E) 3 + 3

D

12. Si cot(2x+10º)cot(x+5º)=1; cos3y×csc(2y)=1,

O

θ

calcule el valor de 3sec(x+y+10º). E

A) 5 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12



B A) 3 − 2 2 B) 2 + 3 C) 3 − 1 D) 3 + 1 E) 2 3 − 2

11

Trigonometría Resolución de triángulos rectángulos

4. Del gráfico, calcule el perímetro del cuadrado ABCD si EF=4.

NIVEL BÁSICO

A

1. Del gráfico, AB=BC y MC = 2. Calcule AB. A) (1+sen20º) B) (1+tan20º)

40º



M

C) (1+cot20º) D) (1+csc20º)

A

F

C

E

A) 16(sec40º+csc40º)–1 B) 16(cos40º+sec40º)–1 C) 4(sec40º+csc40º)–1 D) 4(sen40º+csc40º)–1 E) 16(tan40º+cot40º)

20º

E) (1+sec20º)

B

D

C

B

2. Si ABCD es un rombo y BH=2, halle el equivalente de csca – cota. B

C

5. En el gráfico mostrado se conoce que AB=n y AM=MC. Calcule NC.

θ

B N

α

A

H

D

A) tanq B) cotq C) senq D) cosq E) secq

3. Si AOB es un sector circular y AC=, calcule BD. O

α

A

M

C

n n tan α C) sec α 2 2

A)

n cot α 2

D)

n n cos α E) sen α 2 2

B)

6. Del gráfico, calcule DE, si BC=2 y BD=1

D

B θ



A A) senq D) cotq

C

A) (2tan70º+1)cos70º B) (2cot70º –1)sen70º C) (2tan70º –1)sec70º D) (2cot70º –1)cos70º E) (2tan70º –1)cos70º

A

E D

B) cosq C) tanq E) cscq

B 12

70º

C

Trigonometría 7. Desde la parte superior e inferior del segundo piso de un edificio de 4 pisos iguales, se observa una piedra en el suelo (a 9 m del pie del edificio) con ángulos de depresión a y q, respectivamente. Desde la parte superior del edificio, la depresión angular para la piedra es b, calcule la altura en metros de dicho edificio si tanb – tana – tanq=7/4.

A)

hcos θ 1+ sen θ

D)

hcos θ hsen θ E) sen θ + cos θ sen θ + cos θ

B)

h h C) sen θ cos θ

UNI 2009 - II

10. Del gráfico mostrado, se cumple la relación BC=CD=DE. Calcule tanatanb.

A) 60 B) 63 C) 72 D) 76 E) 84

B C

NIVEL INTERMEDIO

D β

8. Calcule la razón entre las áreas de las regiones triangulares ABC y ADC, respectivamente.

A



B

α

E

A) 1/7 B) 1/4 C) 1/3 D) 1/2 E) 2 A

α

α



α

C

D B) 2sen2a C) 2cosa E) 2tana

A) 2sena D) 2cos2a

11. En el gráfico, AOB es un sector circular con radio 4 u. Si el perímetro del cuadrado es 8 u, calcule cot2q+4cotq. A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13

A

O

M

N

Q

P

2θ

9. En el triángulo rectángulo ABC (recto en B) con BC=h y m CAB=q, se tiene inscrita una semicircunferencia según se muestra en el gráfico. Exprese el radio de la circunferencia en función de h y q. C



A

B

13

B

12. Desde un punto en tierra se observa la parte más alta de un muro con ángulo de elevación cuya medida es q. Si nos acercamos al muro una distancia igual a su altura, el ángulo de elevación es complemento de q. Calcule tanq+cotq. B) 5 C) 5 − 1 A) 5 + 1 D) 15 E) 2 5

Trigonometría A) 2sena B) 2cosa C) 2tana D) 2cota E) 2seca

NIVEL AVANZADO

13. Del gráfico mostrado se conoce que AE=ED=DC.

15. Dado el cuadrado ABCD, se tiene que las áreas

de las regiones triangulares FAE, EDC y CBF son iguales. Calcule el valor de senq.

Calcule tanqcsca. C

A

F

B

D E A



α

θ

E

B

θ

A) 1/2 B) 1 C) 2 D) 1/4 E) 4

14. Del gráfico, calcule ED si BC=2. B α E



A

D

α

D

C

A)

3− 5 6

B)

3+ 5 6

C)

3− 5 3

D)

3+ 5 6

E)

3− 5 6

14

C

Trigonometría Anual UNI Sistemas de medición angular 01 - C

04 - B

07 - d

10 - B

13 - a

02 - E

05 - E

08 - A

11 - C

14 - A

03 - A

06 - B

09 - D

12 - A

15 - D

Longitud de arco de circunferencia 01 - c

04 - b

07 - b

10 - c

13 - e

02 - d

05 - c

08 - b

11 - c

14 - b

03 - d

06 - c

09 - a

12 - c

15 - e

Aplicaciones del cálculo de una longitud de arco 01 - b

04 - b

07 - c

10 - d

13 - c

02 - e

05 - d

08 - c

11 - b

14 - b

03 - d

06 - e

09 - a

12 - A

15 - c

Razones trigonométricas de un ángulo agudo 01 - c

04 - b

07 - b

10 - b

13 - b

02 - a

05 - b

08 - d

11 - d

14 - b

03 - d

06 - c

09 - a

12 - A

15 - a

Resolución de triángulos rectángulos 01 - c

04 - a

07 - b

10 - b

13 - c

02 - a

05 - b

08 - d

11 - d

14 - c

03 - a

06 - e

09 - a

12 - b

15 - e

15