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• Wilfredo Choque Zapana

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1

Trigonometría Sistemas de medición angular 5. Calcule el valor de la siguiente expresión.

NIVEL BÁSICO



1. Del gráfico, calcule

 7 rad+ 14 rad+ 21rad+ ... + 630 rad  33π   140 11g + 22 g + 33 g + ... + 990 g B) 20 A) 10 D) 40

19 x − 818

C) 30 E) 50

6. Se crea un nuevo sistema de medición angu-

(x – 1)g



lar, cuya unidad (1u) es la séptima parte del ángulo de media vuelta. Simplifique la siguiente expresión.

(x+1)º

A) 4 B) 5 D) 8

C) 7 E) 9



2. Calcule la medida de un ángulo en radianes si

A) 1/2 B) 3/2 D) 0

se sabe que la suma del número de minutos sexagesimales y segundos centesimales que contiene dicho ángulo es 402 160. A) p rad

B)

2p rad 3

p D) rad 5

3. Si a=180'' y b =

calcule

2p rad 5 p E) rad 10 C)

50 m , 9

7. De la siguiente igualdad

g  ( n − 3) º  º  (4 n − 18) º  =  5 g   15 g  calcule el valor de n.

A) 10 B) 12 D) 40

(2a − b)2 ( a + b)

mismo ángulo trigonométrico. Halle mS ABC si L 1 // L 2.

C) 2 E) 1

3Sº

B

A 117º

S − 13 C − 2 = = x 2x 2 3 calcule el valor de x. A) 3 B) 2 D) 4

L1

C

males y centesimales de la medida de un ángulo, para los cuales se cumple que



C) 20 E) 42

8. Se sabe que S y C son lo convencional para un

4. Si S y C son los números de grados sexagesi-



C) 2 E) 1

NIVEL INTERMEDIO

a 3 + b3

A) 1/2 B) 9/2 D) 1/8

7u + 30º 3 u 7 π + 25 g + rad 8 4

4cg

C) 1 E) –1

A) 9º B) 18º D) 30º

L2 C) 27º E) 37º

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Trigonometría 9. Si 22 222''=aº 1b' cc'', calcule el valor de la ex

presión. c  a + b  c 

NIVEL AVANZADO

13. Calcule la sumatoria límite de los ángulos

B) 12 A) 16 D) 4

C) 9 E) 25



C) 6 E) 12

p p rad B) rad 2 4 p D) rad 7

A)

2431 3241

D)

81 50

B)

2650 2973

C)

27 13

E)

153 37



12. El número de grados sexagesimales de un ángulo y el número de grados centesimales de otro ángulo son proporcionales a 3 y 5. Calcule el menor ángulo en radianes si se sabe que son suplementarios. p A) rad 5 D)

2p B) rad 5

2p C) rad 7

3p rad 5

E)

p rad 6

2p rad 5

E) p rad

de un ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal, respectivamente, verifican la igualdad x4 − x2 + 1 C− S = x2 Calcule en radianes la mínima medida de dicho ángulo. A)

p rad 20

D)

3p rad 20

B)

p rad 10

C)

3p rad 10

E)

3p rad 40

Cº 2 g R rad, calcule aproximada+ + 12 S 36 mente el menor valor positivo de la medida del ángulo q.

15. Si θ =

A) 0,5º B) 3,3º D) 2,22º

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C)

14. Los números S y C que expresan las medidas

11. Un ángulo trigonométrico se puede expresar como xºy' en el sistema sexagesimal o como ygxm en el sistema centesimal. Calcule x/y.

π rad+ 11º 15 ' + ... 8

A)

a+c 10. Si 91º 91' 91''=a2º b2' c1'', calcule . b A) 2 B) 4 D) 8

90º +50 g +

C) 0,93º E) 1,75º

Trigonometría Longitud de arco de circunferencia 3. En el gráfico se observan tres sectores circula-

NIVEL BÁSICO



2x + L . 2L − x

res. Calcule

3

1. Si CAE es un sector circular y AB=BC,

 . calcule EM  MC

x 2



16

10

L A E

B

A) 2 B) 4 D) 3

20º M

C) 1/2 E) 1/3

4. Si AOB es un sector circular, calcule el área de la región sombreada aproximada.

C



M

A) 2

A

2

6

2

B) 3

O

C) 4 D) 5

N

2

B



E) 6

A) 3,14 B) 6,28 D) 2,14

2. Un péndulo se mueve como indica el gráfico.

C) 2,28 E) 4,28

Calcule la longitud del péndulo si su extremo

5. De acuerdo con el gráfico, se observan cuatro

recorre 3p m.

sectores circulares. Si S1+S2=15p, calcule q. 4m

15º

50g θ rad

S1

S2

3



3 A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

3



3 p p B) 15 12 p D) 3 A)

p 6 p E) 4 C)

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Trigonometría 6. Calcule el área del sector circular AOB si se

cumple que Rq(Rq – L)+L(2Rq+L)=24q

9. Se tienen tres circunferencias tangentes dos a

dos cuyos radios miden ( 2 − 1) m, 1 m y 1 m. Calcule el área de la región encerrada por dichas circunferencias.

A R O

θ rad

π (2 − 2 ) 2 π B) 1 − (2 2 − 1) 8 π C) 1 − (2 2 − 1) 4 π D) 2 − (2 2 − 1) 8 π E) 2 − (2 2 − 1) 4 A) 1 −

L

R B

A) 8 B) 6 D) 2

C) 4 E) 1

NIVEL INTERMEDIO

7. Calcule la longitud de la correa si los discos tie-

10. En el gráfico mostrado, la longitud de la cuerda AB es igual a 8 m, y la región sombreada es un cuadrado cuyo lado mide 2 m. Si se gira en el sentido indicado hasta envolver toda la cuerda en el cuadrado, calcule la longitud que recorre el extremo A.

nen radio igual a 2 cm.



A) 8(3+p) B) 8(6+p) D) 4(3+p)

C) 4(6+p) E) 12(3+p)

8. Calcule el perímetro de la región sombreada

si A y B son centros de los sectores circulares OAM y OBC, respectivamente.

A

B

A) 4p m B) 6p m D) 10p m

11. El triángulo equilátero ABC de lado 3 m rueda sin resbalar hasta que el punto A toca por primera vez la superficie. Calcule la longitud de la trayectoria descrita por el punto A.

A C



O

B

M

6

B

6

A) p B) 2p D) 4p

C) 3p E) 5p

A



A) 2p m B) 3p m D) 5p m

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C) 8p m E) 20p m

C C) 4p m E) 6p m

Trigonometría 12. Calcule aproximadamente el perímetro de la

14. Según el gráfico, se observan tres sectores circulares. Calcule (q2 – 2)(q –1).

región sombreada si M y O son centros, además, MA=MC=4. B

b

C

a

θ rad

O

c

A A)

97π + 4 60

M B)

113π + 4 30

113π D) + 4 160

C)

113π +4 60

E) p+4

A) 1/2

B) 1

D) 2

C) 3/10 E) 1/4

15. Se tiene un sector circular de radio r y un ángulo central q rad. Calcule r y q si el área es fija e igual a M, y el perímetro es mínimo.

NIVEL AVANZADO

A) M ; 2 rad

13. Si el perímetro de un sector circular es 40 cm, calcule su área máxima. B) 80 A) 50 D) 120

a

c



b

C) 100 E) 140

3 rad 2 C) 2 M; 2 rad B) 2 M ;

D) M ; 1 rad E) M; 2 rad

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Trigonometría Aplicaciones del cálculo de una longitud de arco 4. Si ABC es un triángulo equilátero de lado 20 3,

NIVEL BÁSICO

calcule el número de vueltas que da la rueda en el interior del triángulo por primera vez.

1. En el sistema mostrado, si la polea A gira un

3p rad, calcule el número de vueltas 2 que da la polea C.

B

ángulo

B

6

2

8

3

A A



C

C

10 9 3 B) 3 p p 13 D) 3 p

vueltas, calcule la distancia de separación entre dichas ruedas.

bloque M ascienda 1,8p m?

2

C)

5. Si la rueda A da 10 vueltas y la rueda B da 4

2. ¿Cuánto deberá girar la polea A para que el

A

7 3 p 12 E) 3 p

A)

A) 9/4 B) 5 C) 9/2 D) 2 E) 3/4

B

A 3

4

1

2 M

A) 108º B) 144º D) 216º

C) 243º E) 288º

3. Dos ruedas de radio 15 y 3 recorren espacios iguales. ¿Cuánto debe medir el radio de una tercera rueda para que recorriendo el doble de las anteriores dé como número de vueltas cinco veces la diferencia de las otras dos?

A) 4+52p B) 6+52p D) 8+52p

6. En el sistema adjunto, ¿cuánto medirá el ángu-

lo en radianes que se debe girar para que los centros de las esferas A y B se encuentren a la misma altura si inicialmente dicha diferencia de alturas es de 14 m? 5µ

A) 0,5 rad B) 2 rad C) 1 rad

A) 1 B) 1,5 C) 2 D) 2,5 E) 3

C) 4+26p E) 2+26p

D) 1,5 rad

2µ

E) 2,5 rad A B

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Trigonometría 10. Si AB=16p, ¿cuántas vueltas da la rueda desde

NIVEL INTERMEDIO

A hasta C?

2

7. Calcule la altura del punto P luego de que la rueda dé 2/3 de una vuelta. 4

P



O

B

A

120º

C



A) 8 B) 7 D) 5

A) 5 B) 3 D) 4

C) 6 E) 4

8. En el gráfico se muestran dos engranajes en

C) 6 E) 2

11. La rueda de 1 m de radio se desplaza desde A hacia B dando 12 vueltas. Calcule OB.

contacto de radio 1 y 5. Si el engranaje menor gira un ángulo de 450º, calcule la nueva distancia que separa a los puntos A y B.

A

R

R A

A) 4

O

B

1

5

B) 6

D) 2 13

8

B

R

A) 46 B) 47 D) 49

C) 2 11 E) 2 15

C) 48 E) 50

12. Calcule el número de vueltas que gira la rue-

da sin resbalar, al recorrer desde A hacia M, si AB=BC=CM=14 y su radio es igual a 3 3.

9. En el gráfico se observa un hexágono regular de lado 9p m. Calcule el número de vueltas que da la rueda de radio 3 m desde A hacia B.

B

A B

60º

A A) 6

B) 7

D) 5

C) 8 E) 6,5

C A)

11 3 + π 5π

D)

10 3 + π 6π

B)

M

12 3 + 5π 12 3 + 7π C) 4π 6π E)

12 3 + π 6π

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Trigonometría 14. ¿Cuánto avanzará la rueda del gráfico mostra-

NIVEL AVANZADO

do si el punto A vuelve a tener contacto con el piso otras 7 veces y, al detenerse, B está en contacto con el piso?

13. En el gráfico, calcule el número de vueltas que da la rueda de 1 m de radio al recorrer el perí-

B

metro de la figura sombreada. Además se sabe que PA = PB = 4 3 y mS APB=60º.

120º



A

A) 180p B) 182p D) 186p

O A

12

B

C) 184p E) 176p

15. Calcule el número de vueltas que da la rueda al ir de A hasta tocar la pared.

P 2

13 2 3 A) + 8 π

13 3 3 B) + 7 π

13 4 3 C) + 8 π

7 4 3 D) + 3 π

E)

13 4 3 + 6 π

2

A A) 1/4 B) 2/3 D) 3/2

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2

C) 1 E) 2

Trigonometría Razones trigonométricas de un ángulo agudo 4. Determine el perímetro del

NIVEL BÁSICO



1. En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, se

D

cumple que tan(A)=2sec(B) Calcule csc2(B) – 2sec(A).

α

A) 2 B) 0 C) 3 D) 4 E) 1

2. Si AM=MB, calcule

A) sen (α − β ) cos α sen β

3. Si AB=BC, calcule

B)

392 5

A

C) 45 E)

15 19

5. De las siguientes condiciones sec (sec (30º +2 y )) cos (csc (2 x + 10º )) = 1



cos3x=seny calcule cos(2x – 5º). A)

β

A) 2 B) 1 D) 1/2

192 5

α

M

D) 50,5

M α

A

B

C



B



 ABC si CM=9 y

3 sen α = . 5

C

C) 3 E) 1/4

B)

3 2

1 D) 2

C)

3 5

E)

4 5

6. De la siguiente condición



sen α sen β sen θ

2 2

(I) (II)

sen(2x+5º)csc(3x – 5º)=tan1ºtan2ºtan3º...tan89º calcule tan3x tan4x tan5x tan6x.

A) 2 B) 1/2 D) 4

M θ α

C) 3/4 E) 1

NIVEL INTERMEDIO A



β

B

C

7. Si AM=MB, calcule 5tanq. N

1 A) 2

A

2 B) 2 C) 1 D) 2 E) 2

θ M

C

A) 3

30º B) 3 3

D) 2 3

B C) 4 3 E) 5 3

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Trigonometría π y sen 2 x = 4 calcule sen (45º + x ) +

12. Si BEFG es un cuadrado y 2(AB)=3(BC), cal-

8. Si 0 < x