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APLICACIÓN DE ESTATICA/ECUACIONES BÁSICAS: Nº 4. VACIADO DE UN DEPÓSITO.

Integrantes: Daniel Bedoya Luis Castro Luis De León Luis Santis

Informe de laboratorio presentado al Ingeniero Químico Crisóstomo Peralta, en la materia de Mecánica de fluidos I.

PROGRAMA DE INGENIERÍA QUÍMICA FACULTAD DE INGENIERÍA UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO BARRANQUILLA 2009

TABLA DE CONTENIDO 1. RESUMEN……………………………………………………………………………...3 2. OBJETIVOS…………………………………………………………………………....4 3. INTRODUCCION……………………………………………………………………....4 4. MARCO TEÓRICO…………………………………………………………………….5 4.1. PRINCIPIO DE BERNOULLLI……………………………………………………..5 4.2. FORMULACIÓN DE LA ECUACIÓN……………………………………………..5 4.3. APLICABILIDAD…………………………………………………………………….5 4.4. EFECTO BERNOULLI……………………………………………………………...6 4.5. TEOREMA DE TORRICELLI………………………………………………………6 5. PARTE EXPERIMENTAL…………………………………………………………….7 5.1. MATERIALES………………………………………………………………………..7 5.2. Figura 1……………………………………………………………………………….7 5.3. PROCEDIMIENTO…………………………………………………………………...7 6. DATOS Y CÁLCULOS………………………………………………………………...8 6.1. Tabla 1………………………………………………………………………………...8 6.2. CÁLCULOS…………………………………………………………………………..9 6.3. Tabla 2……………………………………………………………………………….12 7. ANÁLISIS Y DISCUSIÓN DE RESULTADOS……………………………………13 7.1. Grafica 1…………………………………………………………………………….13 7.2. Grafica 2…………………………………………………………………………….13 7.3. Figura 2……………………………………………………………………………...15 8. CONCLUSIONES…………………………………………………………………….16 9. BIBLIOGRAFIA……………………………………………………………………….17

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1. RESUMEN En este laboratorio se estudio la aplicación de la ecuación de Bernoulli y el teorema de torricellli para el vaciado de un tanque abierto a la atmósfera. El montaje usado fue relativamente sencillo consistente en un tanque con un tubo de PVC a nivel del fondo el cual tenia una válvula para controlar el flujo de salida, el tanque se lleno de agua con una manguera y se dividió la experiencia en dos partes En la primera parte, se determino el caudal de salida del tanque en estado estacionario usando un cronometro y un volumen recogido de agua de 6 lt durante seis corridas, cada una variando el flujo de salida con la válvula y esperando alcanzar el estado estacionario. y se midió la altura del nivel del líquido dentro del tanque con una regla. En la segunda parte se lleno el tanque y se determino el tiempo que tardaba en vaciarse midiendo desde una altura inicial hasta una altura final, todos los datos se anotaron en respectivas tablas para su posterior análisis. Con los datos, se calculo, mediante la aplicación de la ecuación de Bernoulli y el teorema de torricelli las velocidades de salida de cada una de las corridas así como también el tiempo teórico de vaciado del tanque, se realizaron graficas de caudal vs. altura y velocidad vs. Altura y se hallaron porcentajes de error de los caudales y el tiempo de vaciado con respecto a los datos reales. se observo que los porcentajes de error eran altos, y después de una discusión con argumentos basados en la teoría, se concluyo la importancia de factores de corrección en la ecuación de torricelli relacionados con fricción, turbulencia y estabilidad del flujo. Finalmente, se estableció que se debían corregir los datos para futuras experiencias mediante factores experimentales que se pueden buscar el la literatura para de esta forma obtener resultados mas precisos para la aplicación de esta ecuación.

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2. OBJETIVOS 

Manejar la ecuación de Bernoulli para un sistema de un flujo en estado estacionario y estado no estacionario



Aplicar el teorema de torricelli para calcular la velocidad y el tiempo de vaciado de un tanque



Analizar la aplicación de ecuaciones teóricas en la práctica y establecer las especificaciones necesarias para corregir las posibles desviaciones de los valores reales.

3. INTRODUCCIÓN Uno de los conceptos básicos de mecánica de fluidos es aquel que tiene que ver con la aplicación de balances de energía dentro de un sistema de flujo, para esto se tienen en cuenta básicamente aspectos que tienen que ver con la energía cinética, potencial gravitacional y energía propia del fluido de transporte, así como algunas propiedades físicas de este a las condiciones presentes. Todos estos parámetros del fluido se reúnen en un ecuación básica fundamental conocida como la ecuación de Bernoulli, dicha ecuación permite establecer un balance energético de un flujo entre dos puntos de su trayectoria, mediante el cual, en diversos tipos de condiciones permite calcular determinado valor del fluido en un punto, ya sea la velocidad, la altura o la caída de presión. En esta practica, se desarrollo en base a la ecuación de Bernoulli aplicada para el vaciado de un tanque de agua abierto a la atmósfera, donde se determino la velocidad de salida por el orificio en el fondo del tanque y luego, mediante los cálculos realizados, se analizo la relación entre la altura alcanzada por el nivel del liquido en el tanque y la velocidad y caudales de salida. Además se compararon resultados y se calcularon los porcentajes de error y se discutieron los resultados en base a fundamentos teóricos.

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4. MARCO TEÓRICO 4.1. PRINCIPIO DE BERNOULLLI El principio de Bernoulli, también denominado ecuación de Bernoulli o Trinomio de Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido moviéndose a lo largo de una línea de corriente Fue expuesto por Daniel Bernoulli en su obra Hidrodinámica (1738) y expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en régimen de circulación por un conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido. La energía de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes: 1.- Cinético: es la energía debida a la velocidad que posea el fluido. 2.- Potencial gravitacional: es la energía debido a la altitud que un fluido posea. 3.- Energía de flujo: es la energía que un fluido contiene debido a la presión que posee. 4.2. FORMULACIÓN DE LA ECUACIÓN La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente: Parámetros En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes:  P: Es la presión estática a la que está sometido el fluido, debida a las moléculas que lo rodean  ρ: Densidad del fluido.  : Velocidad de flujo del fluido.  g: Valor de la aceleración de la gravedad (9.81m/seg 2 en la superficie de la Tierra).  : Altura sobre un nivel de referencia. 4.3. APLICABILIDAD Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos. Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad:  El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo. 5

 

Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna). Se considera que el líquido está bajo la acción del campo gravitatorio únicamente.

4.4. EFECTO BERNOULLI El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluido fluya en horizontal un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá. Un ejemplo práctico es el caso de las alas de un avión, que están diseñadas para que el aire que pasa por encima del ala fluya más velozmente que el aire que pasa por debajo del ala, por lo que la presión estática es mayor en la parte inferior y el avión se levanta. 4.5. TEOREMA DE TORRICELLI El teorema de Torricelli es una aplicación del principio de Bernoulli y estudia el flujo de un líquido contenido en un recipiente, a través de un pequeño orificio, bajo la acción de la gravedad. A partir del teorema de Torricelli se puede calcular el caudal de salida de un líquido por un orificio. "La velocidad de un líquido en una vasija abierta, por un orificio, es la que tendría un cuerpo cualquiera, cayendo libremente en el vacío desde el nivel del líquido hasta el centro de gravedad del orificio":

Donde: es la velocidad teórica del líquido a la salida del orificio es la velocidad de aproximación. es la distancia desde la superficie del líquido al centro del orificio. es la aceleración de la gravedad Para velocidades de aproximación bajas, la mayoría de los casos, la expresión anterior se transforma en:    

Donde: es la velocidad real media del líquido a la salida del orificio es el coeficiente de velocidad. Para cálculos preliminares en aberturas de pared delgada puede admitirse 0.95 en el caso más desfavorable. Tomando =1  

Experimentalmente se ha comprobado que la velocidad media de un chorro de un orificio de pared delgada, es un poco menor que la ideal, debido a la viscosidad del fluido y otros factores tales como la tensión superficial, de ahí el significado de este coeficiente de velocidad. 6

5. PARTE EXPERIMENTAL 5.1. MATERIALES Tanque Manguera Tubo de PVC con válvula de bola Cubeta Cronometro Regla de metal.

5.2. Figura 1. Montaje del experimento

V= válvula O= orificio de salida T= tubería H= altura 5.3. PROCEDIMIENTO. Los equipos utilizados en esta practica, son fáciles de obtener en el mercado, como lo son un tanque, regla, balde, cronometro, y especialmente nuestro fluido de trabajo, en este caso, el agua que se encontraba a condiciones ambientales aproximadamente de 30ºC y 1 atm de presión. El montaje se realizo como se ilustra en la figura 1 7

En la primera parte se midió el volumen expulsado por el tanque durante un pequeño intervalo de tiempo, esto con el fin de obtener el caudal ya que no se contaba con un medidor de flujo que desempeñar esta función. Esto se llevo a cabo de manera consecutiva durante 6 corridas modificando el caudal de entrada con una válvula de bola, que se iba cerrando lentamente, esto automáticamente modificaba el caudal de salida buscando su estado estacionario o de reposo el cual se observaba en un nivel de fluido constante. En la segunda parte, se analizo otro aspecto importante de la practica que fue el vaciado del tanque durante en periodo de tiempo, en esta ocasión se debe tener presente la geometría del tanque y el diámetro del orificio de salida. Se midió una determinada altura inicial de líquido, se dejo fluir libremente hasta otra altura final y se midió el tiempo en que tardaba en vaciarse en este intervalo de alturas.

6. DATOS Y CÁLCULOS Los datos tomados de la experiencia se encuentran en la tabla1: 6.1. Tabla 1. datos experimentales Corrida Hi Volumen Tiempo # (cm.) (Lt.) (Seg.) 1 23.0 6 14.52 2 22.0 6 15.09 3 20.0 6 15.40 4 18.5 6 17.28 5 16.0 6 18.35 6 8.0 6 25.46 Diámetro del tanque =52.5 cm. Diámetro del tubo= 3cm. Vaciado del tanque: Altura inicial: 40.5 cm. Altura final: 20 cm. Tiempo de vaciado: 1 min. 49. seg.

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6.2. CÁLCULOS Aplicación de la ec de Bernoulli:

Donde P1 y P2 son las presiones manométricas en los puntos 1 y 2 respectivamente donde se evalúa el sistema, z1 y z2 son las alturas de los puntos 1 y 2, v1 y v2 son las velocidades y γ es el peso especifico del fluido a las condiciones presentes. Aplicando esta ecuación a un sistema de vaciado de un tanque abierto a la atmósfera, se desprecia la velocidad en la superficie del liquido en el tanque, debido a que hay un diámetro mucho mayor comparado con el diámetro del orificio por donde sale el agua, además, como ambos puntos el fluido esta en contacto con la atmósfera, PA y PF se hacen cero, por consiguiente, despejando v F nos que da:

Donde ZA-ZF = h Tabla de resultados Calculo de velocidades: Con la última ecuación desarrollada, se calculan las velocidades para cada corrida: VF 

2 gh

1 era corrida: VF1 

2(9.8m / s 2 )(0.23m.)  2.123m / s

VF 2 

2(9.8m / s 2 )(0.22m.)  2.076m / s ,

2da corrida: y así sucesivamente: VF 3 

2(9.8m / s 2 )(0.20m.)  1.975m / s

VF 4 

2(9.8m / s 2 )(0.185m.)  1.904m / s

VF 5 

2(9.8m / s 2 )(0.16m.)  1.770m / s

VF 6 

2(9.8m / s 2 )(0.08m.)  1.251m / s

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Ahora se calculan los caudales: Q= V. A Q

VD 2 4

El diámetro de la boquilla es aproximadamente 3 cm. Q1 

Q2 

Q3 

(2.123m / seg .) (0.03m) 2  1.5  10 3 m 3 / seg 4 (2.076m / seg.) (0.03m) 2  1.46  10 3 m 3 / seg. 4

(1.975m / seg .) (0.03m) 2  1.39  10 3 m 3 / seg . (1.904m / seg.) (0.03m) 2 4 Q4   1.345  10 3 m 3 / seg.

4

(1.770m / seg .) (0.03m)  1.252  10 3 m 3 / seg . 4 (1.251m / seg.) (0.03m) 2 Q6   8.899  10 4 m 3 / seg . 4 2

Q5 

Calculo de Q real: El volumen medido en cada corrida fue de 6 lt.= 0.006m 3 Q1 

V 0.006m 3   4.13  10  4 m 3 / seg. t1 14.52 seg

Q2 

V 0.006m 3   3.97  10  4 m 3 / seg . t 2 15.09 seg

Q3 

V 0.006m 3   3.896  10  4 m 3 / seg . t3 15.4 seg

Q4 

V 0.006m 3   3.41  10  4 m 3 / seg . t 4 17.28seg

Q5 

V 0.006m 3   3.27  10  4 m 3 / seg . t 5 18.35seg

Q6 

V 0.006m 3   2.35  10  4 m 3 / seg. t6 25.46 seg

% de errores de Q: %error 

valor real  valor teorico  100 valor real

10

%error1 

4.13  10 4  1.5  10 3  100  263.19% 4.13  10  4

%error2 

3.97  10 4  1.46  10 3  100  267.7% 3.97  10  4

%error3 

3.896  10 4  1.39  10 3  100  256.8% 3.896  10  4

%error4 

3.47  10 4  1.345  10 3  100  287.6% 3.47  10  4

%error5 

3.26  10 4  1.256  10 3  100  285.2% 3.26  10  4

%error6 

2.35  10 4  8.849  10 3  100  276.55% 2.35  10  4

Para calcular el tiempo de vaciado del tanque procedemos de la siguiente manera Altura inicial h1=40.5 cm. Altura final h2=20 cm.  e m s  m

dm dt

Como al sistema no le entra masa, además m=ρ. V: dm dt

s  m

d (  .V )   .V  dt

Dado que el fluido es incompresible, la densidad ρ es constante: d (.V )   .V  dt d (. V )  V  , dt Tenemos que V = área*velocidad, donde el área es el área de la boquilla, mientras que la velocidad se obtiene por la ec de bernoulli: v

2 gh

También se tiene: V  A. 2 gh

dV  AT dh

Reemplazando las expresiones anteriores en la ecuación: dh dt dh .h 1 / 2 2g

 AB 2 gh  AT t vaciado

 AT AB h2

 dt    0



h1

11





t vaciado 

2.DT DB

2

2

2g

(h2

1/ 2

1/ 2

 h1 )

Donde DT y DB corresponden a los diámetros de la boquilla y el tanque respectivamente. Reemplazando los valores correspondientes: t vaciado 

2.(0.525m.) 2 (0.03m)

2

2

2(9.8m / seg )

[(0.405m)1 / 2  (0.2m)1 / 2 )]

= 26.15 seg. %error6 

109 seg  26.15seg  100  76% 109 seg

Los resultados de todos estos cálculos se muestran en la tabla 2: Corrida #

Hi (m.)

1 2 3 4 5 6

0.23 0.22 0.20 0.185 0.16 0.08

6.3. Tabla 2. resultados de los cálculos Volumen Tiempo Caudal 3 (m ) (Seg.) velocidad teórico (m/seg.) (m3/seg.) 0.006 14.52 2,123 1,50x10-3 0.006 15.09 2,076 1,46 x10-3 0.006 15.40 1,975 1,39 x10-3 0.006 17.28 1,904 1,35 x10-3 0.006 18.35 1,77 1,25 x10-3 0.006 25.46 1,252 8,85 x10-4

Caudal experimental (m3/seg.) 4.13x10-4 3.97 x10-4 3.896 x10-4 3.47 x10-4 3.26 x10-4 2.35 x10-4

7. ANÁLISIS Y DISCUSIÓN DE RESULTADOS: Para el caudal y la velocidad se construyeron la respectivas graficas vs. altura: 7.1. Grafica 1. caudal vs. altura

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Como se puede observar el caudal varia casi proporcionalmente con la altura, esto queda demostrado en la expresión derivada de la ecuación de bernoulli que expresa la velocidad en función de la raíz cuadrada de la altura, por lo tanto, el caudal, al están en función directa a la velocidad, varia de la misma forma. 7.2. Grafica 2. Velocidad vs. altura

De la misma forma que el grafico anterior, la velocidad varía con la altura de forma casi proporcional. Como se pudo observar, tanto la velocidad y por consiguiente el caudal, aumentan con la altura el nivel del liquido en el tanque. Sin embargo, también se observaron apreciables porcentajes de errores en cuanto a los caudales calculados teóricamente y los caudales medidos en la práctica. Esto se debe a diversos factores que se deberían tener en cuenta a la hora de hacer la medición: 13

Primeramente el flujo debe ser estable, es decir la velocidad de entrada de líquido debe ser igual a la de salida, en nuestro caso, pudo presentarse una desviación considerable del estado estacionario, lo que pudo contribuir al error. También se deben tener en cuenta la tubería y accesorios, los cuales generan perdidas por fricción y perdidas de salida del tanque, además se debe considerar que la válvula posiblemente no estaba completamente abierta. También pudieron cometerse errores técnicos de medición ya sea por medidas imprecisas o por no esperar el tiempo de estabilización adecuado en cada corrida. Cabe anotar que estos errores motivaron a realizar unas posteriores experiencias, una con las mismas condiciones en el mismo tanque y otra en un tanque más pequeño, pero para el cual los rangos de error seguían siendo considerables. También podemos decir que la ecuación de bernoulli, no tiene un exactitud experimental por si sola, y que en la practica se deben considerar otros factores de perdidas de energía. Para este caso, se ha desarrollado la ecuación de bernoulli incluyendo un parámetro experimental c dentro de la ecuación de la velocidad de salida: V F  c 2 gh

Este parámetro incluye consideraciones como la fricción del fluido, la turbulencia y los efectos de orificio en el agujero de salida del tanque. Este factor de corrección empírico se ha hallado con un valor de 0.62 el cual se puede encontrar en textos de dinámica de fluidos; por consiguiente: V F  0.62 2(9.80) h  2.74 h ( m / seg .)

Probando con esta ecuación los porcentajes de error calculados se redujeron casi en un 100% por lo que podemos sacar que para este tipo de cálculos, se deben tener en cuenta diversos factores como los mencionados anteriormente. Aparte de lo anterior, supongamos ahora que la pérdida de fluido por el agujero en el fondo del tanque, se vierte continuamente fluido en el tanque por la parte superior a velocidad variable. La integración numérica de las ecuaciones diferenciales produce la altura variable del fluido que se ilustra a continuación:

7.3. Figura 2. altura vs. Tiempo, flujo no estacionario

14

Tiempo

8. CONCLUSIONES

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De esta experiencia pudimos aprender la aplicación básica de la ecuación de bernoulli y el principio de torricelli para el vaciado de u tanque en condiciones sencillas. También pudimos deducir la relación entre la altura de un nivel de líquido y la velocidad de vaciado en el fondo de un tanque. Se observo mediante las graficas que tanto la velocidad como el caudal, varían casi linealmente, pero en la realidad, de acuerdo a la ecuación planteada, debería ser una curva. Otro aspecto a resaltar son los errores de los cálculos con respecto a los datos experimentales, se concluyo que se deben tener en cuenta factores como o la fricción, la turbulencia, los accesorios que acompañen al flujo en un tubería así como la longitud de la misma, y otra cosa importante, el estado estacionario alcanzado por el sistema ya que si este estado no se alcanza, los valores calculados se desvían considerablemente de los valores reales. Por estas razones se recomienda para experiencias posteriores el tener en cuanta los factores analizados y discutidos con anterioridad y tratar de alcanzar las condiciones adecuadas para el buen desarrollo de la experiencia.

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9. BIBLIOGRAFÍA 

Himmelblau, David M. Principios básicos y cálculos en ingeniería química. 6tª Edición. Prentice Hall Hispanoamérica S.A. 1997.



Mott, Robert L. Mecánica de fluidos aplicada. 4ª Edición. Prentice Hall Hispanoamérica S.A. 1996.



http://www.lawebdefisica.com



http://es.wikipedia.org

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