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TEMA: ESFUERZOS COMBINADOS Y MEDICIÓN DE ESUERZOS BARRA CILÍNDRICA BAJO ESFUERZOS DE FLEXIÓN, TORSIÓN Y FUERZA CORTANTE. OBJETIVO: 

Comparar los esfuerzos teóricos con los obtenidos utilizando la ley de Hooke del estado plano de esfuerzos.

MARCO TEÓRICO: Método para determinar la combinación de esfuerzos. 1. Se dibuja el elemento estructural o de máquina a analizar con las fuerzas externas. 2. Se selecciona la sección transversal interna donde se va a realizar el análisis de esfuerzos. 3. Se ubican las fuerzas y momentos internos en la sección con respecto a los ejes principales, indicando el correspondiente valor, dirección y sentido de los mismos. 4. Se selecciona el punto de la sección, donde se desea obtener el estado de esfuerzos. 5. Se calculan los esfuerzos individuales que producen cada una de las fuerzas y momentos internos en el punto seleccionado para lo cual se utilizan las fórmulas estudiadas anteriormente.

σ=

P My Tρ VQ ;σ = ; τ= ; τ = A I J Ib

Ó cualquier otra que permita determinar los esfuerzos normales o cortantes en un elemento estructural. 6. Calculados los esfuerzos individuales se suman o restan los esfuerzos normales σ que tengan la misma dirección, también se pueden sumar o restar entre sí, dependiendo del sentid, los esfuerzos cortantes τ que tengan la misma dirección (los mismos subíndices). 7. Se combina los esfuerzos totales obtenidos a través del estado de esfuerzo.

MEDICIÓN DE ESFUERZOS Con la ayuda de la roseta de deformación.

En el análisis se supone que

ε a , ε b , εc } Son valores conocidos, obtenidos a través de una solución θa , θb ,θ c En cambio los valores

ε x , ε y , ε xy } Se suponen que son valores desconocidos que actuarían como incógnitas del sistema. Se forman 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Sistemas de ecuaciones:

εx1 εx1

ε x + ε y ε x −ε y γ + ∙ cos ( 2 ∙θ a ) + xy ∙ sen ( 2 ∙ θa ) 2 2 2

( ) ε +ε ε −ε γ =ε = +( ∙ cos ( 2 ∙θ ) + ∙ sen ( 2 ∙ θ ) ) 2 2 2 ε +ε ε −ε γ =ε = +( ∙cos ( 2∙ θ ) + ∙ sen ( 2∙ θ ) ) 2 2 2

ε x 1=ε a =

x

y

x

y

b

xy

b

x

y

x

c

y

b

xy

c

Resuelto el sistema se obtienen los valores de

c

ε x , ε y , γ xy

con lo que se puede aplicar la Ley

de Hooke del estado plano de esfuerzos, para determinar los esfuerzos prácticos

σ x=

E +( ε x+ μ ∙ ε y ) 1−μ2

σ y=

E + ( ε y + μ∙ ε x ) 1−μ 2

τ xy =G ∙ ( γ xy ) Donde:

G=

E 2∙(1+ μ)

σ x , σ y , τ xy :

EQUIPO:    

Calibrador pie de rey, flexómetro. Pesos de diferente valor [Pesos de 3 kg]. Barra de acero con una roseta de deformación. Medidor de deformaciones unitarias.

PROCEDIMIENTO:

1. Medir el diámetro de la barra y las dimensiones L, L 1 y L2. 2. Medir los ángulos θa , θb ,θ c que forman los strain gages de la roseta de

deformación. 3. Aplicar una carga P y medir cada una de las deformaciones unitarias roseta de deformación. 4. Hacer firmar las hojas de registro de datos.

TABLA DE DATOS: Medidas de la barra.

Valor

Diámetro.

16,0 [mm].

Longitud L.

196 [mm].

Longitud L1.

241 [mm].

Longitud L2.

106 [mm].

ε a , ε b , ε c de la

Posición 1 Ángulo θ

Deformación

εa εb εc

-6

-6

-42 x 10

42 x 10

–58 x 10-6

– 60 x 10-6

60 x 10-6

60 x 10-6

θa θb θc

0° 240° 120°

Posición 2 Ángulo θ

Deformación

εa εb εc

0

0

57 x 10-6

57 x 10-6

-58 x 10-6

-58 x 10-6

θa θb θc

180° 60° 300°

PREGUNTAS PARA EL INFORME: 1. Dibujar teóricamente el estado de esfuerzos en el centro de gravedad de la roseta de Y deformaciones.

Mz

T V Z

X

∑ F y =0 V −4=0 V =4 [ kg ]

∑ Mx=0 T −4∗(241)=0 T =964 [ kg . mm ]

∑ Mz=0

Mz−4∗(10 6)=0 Mz=424 [ kg . mm ]

A=π r 2=π ( 82 ) =201,06 mm2 4

4

π (16) πd 4 I= = =3216,99 mm 64 64 4

J=

π d 4 π (16) = =6433,98 mm4 32 32

En H1: Fuerza Axial:

σ x(P )=

P kg =0 2 A mm

Esfuerzo Flector:

σ x(Mz )=

M z∗y −( 424 ) ( 8 ) kg kg = =−1,0544 =−105.44 2 2 Iz 3216,99 mm cm

Esfuerzo Cortante por torsión:

τ xy(T )=

T∗ρ (964 ) ( 8 ) kg kg = =1.1986 =119.86 2 J 6433,98 mm c m2

Esfuerzo cortante producido por V

4 ∗0 V∗Q 3 kg τ xy(V )= = =0 2 I ∗b 201,06 cm

Y

τ xy =119. 86

kg 2 mm

σ x =−105.44 X

Z En H2: Fuerza Axial:

σ x(P )=

P kg =0 A mm2

Esfuerzo Flector:

σ x(Mz )=

M z∗y kg =0 Iz mm 2

Esfuerzo Cortante por torsión:

τ xy(T )=

T∗ρ (964 ) ( 8 ) kg kg = =1.1986 =119.86 2 J 6433,98 mm c m2

Esfuerzo cortante producido por V:

τ xy(V )=

4(−4) V .Q 4V kg = = =−2.652 I . b 3 A 3(201,06) c m2

τ xy =τ xy ( T ) +τ xy (V ) τ xy =11.7327

kg kg =117.2109 2 mm c m2 Y

τ xy =1 173.27

kg mm 2

X

Z

2. Medir en forma práctica el estado de esfuerzos en el centro de gravedad de la roseta de deformaciones. Para la posición 1

−42∗10−6

ε x + ε y ε x −ε y γ + ∙ cos ( 2∙ 0 ° ) + xy ∙ sen (2 ∙ 0 ° ) 2 2 2

( ) ε +ε ε −ε = +( 2 2 )

−42∗10−6 =

x

y

x

y

−84∗10−6=ε x +ε y + ε x −ε y −84∗10−6=2∗ε x ε x =−42∗10−6

−59∗10−6=

(

)

−42∗10−6 +ε y −42∗10−6−ε y γ + ∙cos (2∗240 ) + xy ∗sin ⁡( 2∗240) 2 2 2

−11 8∗10−6 =−42∗10−6 + ε y + (−42∗10−6−ε y ) ∙ (−0.5 )+ γ xy ∙(0.866025) −11 8∗10−6 =−21∗10−6 +1.5∗ε y + γ xy ∙(0.866025) −97∗10−6=1.5 ∙ ε y +γ xy ∙(0.866025)

(

)

42∗10−6 +ε y 42∗10−6−ε y γ 60∗10 = + ∙ cos ( 2∗120 ) + xy ∙ sin ⁡(2∗120) 2 2 2 −6

120∗10−6=42∗10−6 +ε y + ( 42∗10−6−ε y ) ∙ (−0.5 ) −γ xy ∙(0.866025) −6

−6

−120∗10 =−21∗10 +1.5∗ε y −γ xy ∙( 0.866025) −6

−99∗10 =1.5 ε y −γ xy ∙(0.866025) ε y =1 4.666∗10−6 −6

γ xy =−137 . 4093∗10

210∗10 9 ( N kg σ x= −42∗10−6 + 0.3∗14.66∗10−6 ) =−8676969.23 2 =88.45 2 2 1−0.30 m cm

9

σ y=

210∗10 ( 14 .66∗10−6+(0.3) 42∗10−6 )=6290869.23 N2 =6 4.125 kg 2 2 1−0.30 m cm

τ xy =

210∗109 ( N kg −137.4093∗10−6 ) =−11098443.5 2 =−113.1335 2 (1+ 0.3 ) m c m2

Para la posición 2:

ε x +ε y ε x −ε y γ + ∙cos ( 2∙ 180 ° )+ xy ∙ sen ( 2 ∙180 ° ) 2 2 2

( ) ε +ε ε −ε 0= +( 2 2 ) 0=

x

y

x

y

0=ε x + ε y +ε x −ε y 0=2∗ε x ε x =0

57∗10−6=

0+ ε y 0−ε y γ + ∙ cos ( 2 ∙ 60 ) + xy ∙ sen ( 2 ∙ 60° ) 2 2 2

(

)

−114∗10−6=ε y + (−ε y ) ∙ (−0.5 )+ γ xy ∙(0.866025) −114∗10−6=1.5∗ε y + γ xy ∙(0.866025) −114∗10−6=1.5∗ε y + γ xy∗(0.866025)

−58∗10−6 =

0+ ε y 0−ε y γ + ∙ cos ( 2∙ 300 ) + xy ∙ sen ( 2∙ 300 ° ) 2 2 2

(

)

−116∗10−6=ε y + (−ε y ) ∙ (−0.5 ) −γ xy ∙(0.866025) −116∗10−6=1.5 ε y −γ xy ∙(0.866025) −6

ε y =−0.6667∗10

γ xy =132.7905∗10−6

σ x=

210∗10 9 ( N kg −0+0.3∗−0 .66 67∗10−6 ) =−46156.1538 2 =−0.4704 2 1−0.30 m c m2

9

σ y=

210∗10 ( −0 .66 67∗10−6 +(0.3)0 )=−153853.846 N2 =−1.559 kg 2 2 1−0.30 m cm

τ xy =

210∗109 ( N kg 132.7905∗10−6 )=10725386 .5 2 =109.330 2 (1+ 0.3 ) m c m2

3. Determinar el error porcentual entre los esfuerzos teóricos y prácticos. Punto

Esfuerzo

σx τ xy σx τ xy

H1 H2

Valor Experimental [Kg /cm2] 88.45 -113.13

Valor Teórico [Kg/cm2] -105.44 119.86

-0.4704

0

-------

109.33

117.2109

6.723

%Error 16.113 5.614

4. Conclusiones.  La apreciación obtenida por los string gages es muy pequeña, de 10 -6 por lo que se puede concluir que son dispositivos en los cuales podremos obtener un margen de error aceptable.  Teóricamente en los puntos H2 y H4 presentaron esfuerzos flectores y esfuerzos cortantes mientras que en los puntos H1 y H3 solo se presenciaron esfuerzos cortantes por torsión y por la reacción V.  Los ángulos θa, θb, y θc medidos en los string gages cambian numéricamente de a acuerdo a la posición en la cual se coloque la barra debido a que se los mide con respecto al eje axial en sentido anti – horario, sin embargo su comprobó que se pueden usar los mismos ángulos medidos en una posición para el resto de posiciones.  Se observa que los tomados en los string gages del laboratorio, no son del todo exactos, debido a que en los cálculos no se presentaron esfuerzos axiales y flectores en el eje Y, mientras que en las mediciones se registraron valores muy bajos existentes en dicho eje.  Los mayores errores porcentuales se obtuvieron en el cálculo de los esfuerzos flectores en las posiciones H2 y H4.

ANEXOS:

Gráfica 1 – Dispositivo electrónico para medición de deformaciones en los strain gages.

Gráfica 2 – Barra de Acero Estructural con la implementación de la roseta de deformaciones.

OBSERVACIONES: Trabajar en unidades Kg, cm, Kg/cm2.