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UNIVERSIDAD LAICA ELOY ALFARO DE MANABÍ FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y PROBABILIDADES Nombre: Ximena Elizabeth Cañar Tinitana Fecha: 18 de agosto del 2016 Curso: 3er semestre “A” Catedrático: Ing. David Loor

PROBABILIDADES La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos.

AXIOMAS Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función definida sobre un conjunto de sucesos determine consistentemente sus probabilidades. Fueron formulados por Kolmogórov en 1933. Axioma 1 La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero y uno. 0 > P(A) > 1 Axioma 2 La probabilidad de que ocurra el espacio muestral es 1. P(S) = 1 Axioma 3 Si A y B son eventos mutuamente exclusivos, es decir que no tienen elementos en común, entonces:

P(A U B) = P(A) + P (B) Si se tienen n eventos mutuamente exclusivos A1, A2, A3,...An, entonces: P (A1A2 ... An) = P (A1) + P (A2) + ... + P (An)

TEOREMAS Teorema 1: Regla de Adición La probabilidad de que alguno de dos eventos pertenecientes a un mismo espacio muestral ocurra se determina mediante la siguiente ecuación: P(A U B) = P(A) + P (B) – P(A B) Ejemplo: Si el experimento es lanzar un dado una vez, el espacio muestral es: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Si el evento A es cae un número par A = {2, 4, 6} Si el evento B es cae un número menor de 3 B = {1, 2} ¿Cuál será la probabilidad de que suceda alguno de estos dos eventos? Primero identificamos que es lo que queremos, "la probabilidad de que sea par o menor de tres", es decir, P(A U B) Ya que identificamos lo que queremos, ahora debemos saber lo que conocemos La probabilidad de A y la probabilidad de B son: P(A) =

3 = 0.50

P(B) =

2 = 0.33

6

6

Para aplicar este teorema es necesario conocer la probabilidad de la intersección de estos dos eventos si se quiere conocer la probabilidad de la unión, o de manera inversa, conocer la probabilidad de la unión para calcular la probabilidad de la intersección. En este caso queremos saber la unión, entonces es necesario conocer la intersección, que es " número par y menor de 3".

A ∩ B = { 2 } entonces P(A ∩ B) =

2 6

= 0.33

Si aplicamos la regla de adición: P( A U B ) = P( A ) + P( B ) – P( A ∩ B ) P( A U B ) = 0.50 + 0.33 – 0.16 = 0.67

Teorema 2: Regla de Complementación La probabilidad de que el complemento de un evento ocurra está dada por la siguiente ecuación: P(A) = 1 − P (A) Ejemplo: En el experimento de "lanzar un dado y registrar que cara es la de arriba", si el suceso B = "es menor de tres", entonces la probabilidad de B = "no sea menor de tres" es: P (B) = 2/6 = 0.33 P (B) = 1 − 0.33 = 0.67 En el mismo experimento, ¿cuál es la probabilidad de que no sea ni par ni menor de tres?

En este caso estamos hablando del complemento de la unión de los sucesos A y B, es decir P(A U B) Sabemos por el ejemplo anterior que P(A U B) = 0.67 Entonces P(A U B) = 1 − 0.67 = 0.33 Teorema 3: Regla de Diferenciación La probabilidad de que un evento dado ocurra pero no ocurra otro evento dado pertenecientes al mismo espacio muestral está dada por P(A − B) = P(A) − P(A ∩ B) Ejemplo: Si el evento A = "cae un número par" y si el evento B = "cae un número menor de 3", entonces la probabilidad de que ocurra "par pero no menor de tres es: P(A − B) = P(A) − P(A ∩ B) P(A − B) = 0.50 − 0.16 = 0.33 Y la probabilidad de que ocurra "menor de tres pero no par" es: P(B − A) = P(B) − P(A ∩ B) P(A − B) = 0.33 − 0.16 = 0.17

BIBLIOGRAFÍA 1. Jacobo, L (2010) Probabilidad. Recuperado el 23 de agosto del 2016, disponible en http://probabilidadestadistic.blogspot.com/2010/09/axiomas-y-teoremas-de-laprobabilidad.html 2. Scribe (2011) Axiomas y teoremas de probabilidades. Recuperado el 23 de agosto del 2016, disponible en https://es.scribd.com/doc/74388657/Axiomas-y-Teoremas-de-Probabilidad 3. Wikipedia (2016) Axiomas de probabilidad. Recuperado el 23 de agosto del 2016, disponible en https://es.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_probabilidad 4. Definición axiomas y teoremas. Recuperado el 23 de agosto del 2016, disponible en http://cidecame.uaeh.edu.mx/lcc/mapa/PROYECTO/libro19/21definicin_axioma s_y_teoremas.html