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• Jose Pablo Gallegos Figueroa

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AXIOMAS Y TEOREMAS DEL ALGEBRA DE BOOLE

DEFINICION APLICACIONES Y EJEMPLOS ELECTRONICA DIGITAL JOSE PABLO GALLEGOS FIGUEROA

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AXIOMAS Y TEOREMAS DEL AGEBRA DE BOOLE Álgebra de Boole (también llamada álgebra booleana) en informática y matemática, es una estructura algebraica que esquematizalas operaciones lógicas Y, O , NO y SI (AND, OR, NOT, IF), así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.

Axiomas Así 

es un álgebra de boole al cumple los siguientes axiomas: 1a: La ley asociativa de la disyunción:



1b: La ley asociativa de la conjunción:



2a: Existencia del elemento neutro para la disyunción:



2b: Existencia del elemento neutro para la conjunción:



3a: La ley conmutativa de la disyunción:



3b: La ley conmutativa de la conjunción:



4a: Ley distributiva de la disyunción respecto a la conjunción:



4b: Ley distributiva de la conjunción respecto al disyunción:



5a: Existe elemento complementario para la disyunción:



5b: Existe elemento complementario para la conjunción:

Luego boole.

es álgebra de

Orden en el álgebra de Boole Sabiendo que

es álgebra de Boole, se puede comprobar que:

1. 2. 3. 4. Para las proposiciones: a, b que cumplen alguna de estas condiciones se puede afirmar que a antecede a b. Que en el caso de proposiciones o predicados se dice que a es tanto o más fuerte que b, o que b es más débil que a, y lo representamos:

Así por ejemplo dadas las proposiciones: 

a= Llueve mucho  b= Llueve podemos ver: 

Si: llueve mucho o llueve entonces llueve. Si se da la circunstancia de cualesquiera de dos, que llueve mucho o llueve, claramente llueve en cualquier caso. 

Si: llueve mucho y llueve entonces llueve mucho. Si afirmamos que llueve mucho y que llueve, y se cumplen las dos circunstancias entonces es que llueve mucho.



Si: no llueve mucho o llueve es verdadero. No llueve mucho indica que puede que llueva poco o que no llueva, si no llueve mucho o llueve abarca todas las posibilidades, desde tiempo seco a muy lluvioso, luego la afirmación es verdadera en todo caso. 

Si: llueve mucho y no llueve es falso. Si afirmamos que llueve mucho y simultáneamente que no llueve, la afirmación es claramente falsa. La afirmación más restrictiva es la más fuerte y la menos restrictiva la más débil, en este caso:

La proposición llueve mucho es tanto o más fuerte que llueve, la afirmación llueve mucho es un caso particular o el mismo caso dellueve. Operaciones en álgebra de Boole[editar · editar código] Artículo principal: Conectiva lógica. Artículo principal: Operación matemática. El álgebra de Boole se basa en un conjunto en el que se han definidos tres operaciones internas: una unaria y dos binarias, como ya hemos visto, siendo cómoda esta definición. Estrictamente hablando solo son necesarias dos, la unaria y una de las binarias, así, por ejemplo, en la lógica binaria con la negación y el producto podemos definir la suma. Con la ley de De Morgan:

Esta expresión resulta más compleja, pero partiendo de la negación y el producto binarios define la suma binaria. En la imagen de la derecha podemos ver un circuito en paralelo de dos pulsadores a y b, que corresponde a la suma binaria de a y b, y su equivalente en un circuito en serie de a yb, los dos dan como resultado la misma tabla de verdad, y por tanto son equivalentes, lo artificioso el circuito serie para obtener el mismo resultado que en un circuito paralelo deja

ver lo conveniente de considerar esa función, la posibilidad de obtener la suma de dos variables binarias mediante la negación y el producto señalan que, de forma primaria, el álgebra de Boole se basa solo en dos operaciones, y que cualquier expresión en la que intervenga la suma puede transformarse en otra equivalente en la que solo intervienen la negación y el producto. En el caso de la teoría de conjuntos con el complemento y la intersección podemos definir la unión:

De una forma similar al álgebra binaria, o cualquier otra álgebra de Boole, La definición del álgebra con solo dos operaciones complica las expresiones, pero permite determinar ciertas relaciones muy útiles, así como otras operaciones distintas. En el álgebra de Boole definido en un conjunto las operaciones son internas, dado que parte de elemento de , para obtener un resultado en . Sin perdida de la generalidad, y dado los distintos formas que puede adoptar el álgebra de Boole consideraremos la lógica proposicional con las proposiciones: a, c, b, etc. Que pueden tomar los valores verdadero: V o falso: F. Y las conectivas lógicas sobre esas proposiciones que dan como resultado otras proposiciones lógicas, cada proposición: a, b, c, etc. Define un conjunto A, B, C, etc. Que podemos representar de forma gráfica en un diagrama de Venn. Operaciones nularias[editar · editar código] Una Operación nularia es la que devuelve un valor sin necesidad de argumentos, podemos ver Tautología y Contradicc ión La tautología presenta el valor verdadero sin necesidad de argumentos o independientemente de las variables sobre la que se calcule. En teoría de conjuntos corresponde al conjunto universal. En lógica proposicional corresponde al valor: verdadero:

En un circuito de conmutación corresponde a una conexión fija o puente cerrado.

La contradicción, por el contrario, presenta siempre el valor falso, sin necesitar argumentos o independientemente de los argumentos presentados. En teoría de conjuntos corresponde al conjunto vacío. En lógica proposicional corresponde al valor: falso:

En un circuito de conmutación, corresponde a la no conexión o puente abierto.

Operaciones unarias[editar · editar código] Una Operación unaria es la que solo necesita un argumento para presentar un resultado, podemos ver dos operaciones unarias: identidad y negación.

La operación identidad de una proposición presenta el valor de la variación.

Esta operación se puede hacer con el dispositivo electrónico Buffer amplificador.

En un circuito de conmutación corresponde a un interruptor normalmente abierto: Interruptor NA.

La operación negación lógica de una variable presenta el valor contrario del argumento, o los casos contrarios de los recogidos en el argumento.

Esta operación se hace con la Puerta NOT.

En un circuito de conmutación corresponde a un interruptor normalmente cerrado: Interruptor NC.

Operaciones binarias La operación binaria es la que necesita dos argumentos, de hecho es la forma más generalizada de operación, normalmente cuando nos referimos a operaciones, nos referimos a operaciones binarias, en el álgebra de Boole podemosver las siguientes operaciones binarias:

La conjuncion lógica presenta resultado cierto solo cuando sus dos argumentos son ciertos.

Normalmente representado:

La conjunción lógica de proposiciones es equivalente a la intersección de conjuntos en teoría de conjuntos, o a la puerta lógica AND:

en circuitos de conmutación seria un circuito en serie de interruptores.

L a N e g a c i ó n alternativa presenta resultado cierto en todos los casos excepto cuando sus dos argumentos son ciertos. Esta operación es la negación de la conjunción.

La conjunción lógica de proposiciones es equivalente a la puerta lógicaNAND.

La disyunción lógica acepta dos argumentos presentando como resultado cierto si uno u otro de los argumentos es cierto. La disyunción puede expresarse:

La operación disyunción lógica de proposiciones, es equivalente a la unión de conjuntos en teoría de conjuntos, a la puerta lógica OR:

y al circuito en paralelo en circuitos de conmutación

La Negación conjunta presenta resultado cierto solo cuando sus dos argumentos son falsos. Esta operación es la negación de la disyunción.

La negación conjunta de proposiciones es equivalente a la puerta lógicaNOR.

La condicional material presenta resultado falso si el primer argumento es cierto y el segundo falso, en el resto de los casos presenta resultado cierto, esta operación no es conmutativa y puede expresarse:

A esta operación también se llama implicación: a implica b: si a es cierto b es cierto. si a es falso y b es cierto, la implicación es falsa. si a es falsa, la implicación es cierta independientemente el valor de b.

A esta operación le corresponde un conjunto

de puertas lógicas complejas:

La negación condicional material presenta resultado verdadero si el primer argumento es verdadero y el segundo falso, en el resto de los casos presenta resultado falso, esta operación no es conmutativa y es la negación de la condicional material, también suele llamarse diferencia de a y b , puede expresarse:

A esta operación le corresponde un conjunto de puertas lógicas complejas:

La Condicional material inversa es la operación que presenta resultado falso si el primer argumento es falso y el segundo cierto, en el resto de los casos presenta resultado cierto, esta operación no es conmutativa y es el resultado de permutar a y b en la condicional material, puede expresarse:

A esta operación le corresponde un conjunto de puertas lógicas complejas:

La Negación condicional material inverso presenta resultado verdadero si el primer argumento es falso y el segundo verdadero, en el resto de los casos presenta resultado falso, esta operación no es conmutativa y es la negación de la condicional inverso, también suele llamarse diferencia: b - a, puede expresarse:

A esta operación le corresponde un conjunto de puertas lógicas complejas:

La bicondicional presenta resultado verdadero si los dos argumentos son iguales, esto es: si a y b son ciertos o si a y b son falsos.

Le corresponde la Puerta XNOR.

La disyunción exclusiva presenta resultado verdadero si los dos argumentos son dispares, esto es si de los dos argumentos uno es verdadero y otro falso, es la negación de la bicondicional:

Esta operación también se llama o exclusivo, uno o el otro pero no los dos, le corresponde la puerta lógica: XOR.

Teorema de Morgan El teorema de MORGAN sirve para transformar funciones que se SUMAN en funciones que se MULTIPLICAN o VICEVERSA

La aplicación de este teorema es fundamental porque permite reemplazar una compuerta OR por una AND o realizar un circuito lógico UTILIZANDO SOLAMENTE compuertas NAND.

veamos...........

Ahora representamos la función original con compuertas combinadas...

Veremos cómo se representa la función obtenida despues de aplicar el teorema de MORGAN...

La ventaja de esta práctica es que sólo tenemos que comprar un solo tipo de integrados (COMPUERTAS NAND)