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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA DIRECCIÓN DE INVESTIGACIONES Y POSTGRADO MAESTRÍA EN ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS CENTRO LOCAL MONAGAS

ASIGNACION II Elaborar cuadro comparativo de los diferentes Modelos de Programación Lineal, estableciendo los métodos de Transporte y Asignación y el control de las operaciones para la toma de decisiones efectivas, mediante ejercicio práctico con su justificación en interpretación.

Participantes: Ing. Zulma Carrera CI:V- N° 19.258.857 Facilitador: Prof. Alejandro Artahona

Maturin, Marzo, 2021 Desarrollo

La PL es un procedimiento que se aplica de forma práctica en casi todas las facetas de los negocios, desde la publicidad hasta la planificación de la producción; son los problemas de transporte, distribución, y planificación global de la producción son los objetos más comunes del análisis de PL. Un modelo de programación lineal proporciona un método eficiente para determinar una decisión óptima, existen diferentes métodos de programación lineal tales como: -

Método Simplex o Primal

-

Método Grafico

-

Método de Transporte

-

Método de Asignación

-

Métodos PERT

-

Método de la Ruta Crítica CPM

-

Método de Pronóstico.

Existen diversas herramientas utilizadas en la toma decisiones tales como los modelos matemáticos que se aplican para resolver diversos problemas dentro de diversas áreas de la gerencia, siempre se debe realizar pronósticos para incrementar anticiparse a los resultados negativos por una decisión errada. El uso de la programación lineal se ha incrementado para interpretar y sustentar las dinámicas, así como también mejorar los controles en la toma de decisiones gerenciales. A continuación se muestra un cuadro comparativo

sobre los diferentes y

relevantes métodos de programación lineal:

Cuadro comparativo de los diferentes Modelos de Programación Lineal Método Simplex o Primal

Método Gráfico

Concepto

Objetivo

Es un método analítico en la solución de problemas de

Es un proceso que se utiliza para solucionar un

programación lineal, en la búsqueda de resolución sin

problema donde intervienen pocas variables y se

restricción de número de variables.

representa con un plano cartesiano.

Se resuelve el problema de manera analítica utilizando

Se usa para resolver problemas de manera gráfica,

algoritmo que no pueden ser resueltos de manera

representando las restricciones y condiciones técnicas.

gráfica.

Características

- Se basa en el método algebraico sistemático. - Describe como aumenta o disminuye Z y la relación con las variables.

- Busca resolver de manera eficiente problemas de grandes dimensiones.

Ventajas

- Aplica en problemas de PL multidimensionales. - Es de gran eficacia incluso para ajustar gran número de parámetros.

- Es fácil de implementar y usar, y sin embargo tiene una alta eficacia.

Desventajas

- Es un proceso complejo porque se requiere para su elaboración diversos pasos para lograr el resultado.

- Se debe ser cuidadoso con las aplicaciones del álgebra.

Metodología

- Se transforman las inecuaciones en ecuaciones - Se determina la base factible inicial - Se construye la tabla - Se determina si hay variable no básica para optimizar nuestra función objetivo

Región Factible Solución óptima

- Grafica la función objetivos y las restricciones. - Se ubica en la región factible solución óptima, no factible múltiple y no acotada.

- Utiliza directamente la forma canoníca. - Se encuentra la solución con la gráfica. - Problemas de PL con dos variables de decisión. - Nos permite observar el comportamiento de las expresiones que estamos utilizando.

- Podemos observar crecimiento y decrecimiento de la misma.

- En ocasiones las gráficas de las funciones no son sencillas de realizar.

- Podemos cometer errores de aproximación al momento de observar o trazarlo.

- Se transforman las inecuaciones en ecuaciones - Se determina la base factible inicial - Se construye la tabla - Se determina si hay variable no básica para optimizar nuestra función objetivo

La solución factible en la aplicación del método simplex

La región factible está formada por la intersección de

satisface las condiciones de no negatividad.

las soluciones de todas las inecuaciones.

Mediante el uso de los coeficientes describe si llega a

Pueden presentar varias opciones respecto a sus

una solución óptima, no factible, no restringida o

soluciones: puede no existir solución, en el caso de que

múltiple.

exista el conjunto solución puede ser acotado o no.

Cuadro Comparativo del Método de Transporte y Método de Asignación Método de Transporte

Método de Asignación

Definición

Busca determinar un plan de transporte de una

Cada recurso de debe asignar en modo único a la

mercancía de varias fuentes a varios destinos. Los datos

actividad particular por asignación

del modelo son: Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino.

Utilidad Aplicación

Busca disminuir el costo total de transporte satisfaciendo

Cada recurso de debe asignar en modo único a la

la oferta y la demanda.

actividad particular por asignación

Se designa en Inventarios Programación de empleos,

Se emplea en diversos contextos administrativos.

Asignación de Personal.

Diferencias Restricciones

Ventajas

Están m orígenes y n destinos y se realiza el flujo a cada

Establece la asignación óptima de n agentes u objetos

uno de los destinos.

indivisibles en n tareas

Para lograr emplear se debe conocer los puntos de

Los agentes u objetos no se pueden dividir entre varios

origen, capacidad de producción, punto de destinos y la

agentes, conjuntamente la restricción es importante

demanda de los productos o bien según sea el caso.

porque se puede establecer a una tarea.

- Tiene en cuenta en el análisis la diferencia entre los

-Proporciona con rapidez a mejores soluciones.

menores costos de transporte.

-Asume en su análisis, diferencias entre los costos

-Es un método preciso y totalmente imparcial.

menores de transporte.

- Se escogerá aquel sitio que produzca los menores

-Es un método completamente imparcial y preciso.

costos de transporte, tanto de la materia prima como del producto terminado

Desventajas

-No aporta ningún criterio que permita determinar si la

-No tiene la capacidad de aportar ningún tipo de criterio

solución obtenida por este método es la mejor (óptima) o

que permita la determinación si la solución obtenida

no.

mediante este método es la más óptima o no.

- Las cantidades de oferta y demanda no varían con el tiempo.

Modelos

-No aporta ningún criterio que permita determinar si la

Para resolver problemas de asignación se utiliza el

solución obtenida por este método es la mejor (óptima) o

método húngaro, algoritmo de asignación

no. - Las cantidades de oferta y demanda no varían con el tiempo.

Cuadro Comparativo del Métodos PERT, Método ruta crítica CPM y Método de Pronóstico Métodos PERT Definición

El

método

PERT

Método de Asignación

(Program

Es un

Método de Pronostico

algoritmo utilizado para el

Sirve para desarrollar pronósticos de

Evaluation and Review Technique –

cálculo de tiempos y plazos en la

ventas, almacenaje, existencias y la

Técnica de evaluación y revisión de

planificación de proyectos

planificación.

programas) Es un método que sirve para planificar proyectos en los que hace falta coordinar un gran número de actividades

Utilidad

Pert

se utiliza para programar y

Se utiliza para planear y controlar

Este

controlar programas en proyectos de

proyectos más complejos como de

fundamentalmente para lograr un

método

se

utiliza

investigación y desarrollo.

la rama de la construcción

control óptimo de inventarios en los proyectos.

Objetivo

Determina la variación del costo

El objetivo principal es determinar la

Este

proporcional al tiempo. Por lo cual

duración de un proyecto, donde

fundamentalmente para lograr un

método

se

utiliza

centra toda la atención en minimizar

cada una de las actividades tenga

control óptimo de inventarios en los

el tiempo de modo que se consigan

una duración estimada

proyectos.

Se puede combinar con el método

Trabaja con el Diagrama de Flechas

Trabaja

CPM

y Redes de Precedencia. Además

suavización exponencial y regresión

se puede complementar con el

basados en las hojas de Excel.

resultados de los costos mínimos.

Modelos

con

promedio

móvil,

método PERT

Características

-Simula los efectos de decisiones

-Se

alternativas

monitorear el tiempo.

en la toma de decisiones

imprevistas

-Las actividades son continuas e

-En el control de inventario se basa

-Es útil para monitorear itinerarios y

independientes.

en determinar el horizonte de la

costos

-Considera los tiempos normales y

planeación

-Probabilístico

acelerados de una actividad según

-Se

la cantidad de recursos

financiera y el flujo de efectivo

-Considera

o

tres

situaciones

estimados

de

tiempos. El más probable, optimista, pesimista.

utiliza

para

controlar

y

-Sirve para elaborar planes futuros

utiliza

en

la

planificación

Ejercicio Método Simplex o Primal Una fábrica produce televisores básicos y de lujo. El proceso de fabricación se divide en: acoplamiento y acabado, según el departamento de ingeniería el proceso tiene Los requerimientos de trabajo vienen dados por la siguiente tabla:

Producto

Montaje

Acabado

Básicos

3 horas

3 horas

Lujo

3 horas

6 horas

El máximo número de horas de trabajo disponibles diariamente es de 120 en acoplamiento y 180 en acabado; si el beneficio es de 300 dólares por cada televisor básico y de 400 dólares por cada televisor de lujo, ¿cuántos deben fabricarse diariamente de cada uno para obtener el máximo beneficio?

Producto

Acoplamiento (Horas)

Acabado (Horas)

Precio $

Básico (x)

3

3

300

Lujo (y)

3

6

400

120

180

Variables de decisión: Básico

X

Lujo

Y

Función Principal:

Max

Z=300X +400Y

Restricciones: 3X+3Y ≤120 3X+6Y≤180 Donde: x,y≥0 Convertir a igualdad las restricciones: 3x+3y+h1+0h2=120 3x+6y+0h1+h2=180 Igualar la función objetivo a 0 Z-300X-400Y=0 Formular la tabla inicial simplex Iteración 1 Base

X

Y

h1

h2

Vs

h1 h2 Z

3 3 -300

3 6 -400

1 0 0

0 1 0

120 180 0

Vfh1

Nfh1

Vfz

Nfz

3- (3*1/2)=

3/2

-300-(-400*1/2)=

-100

3- (3*1)=

0

-400-(-400*1)=

0

1- (3*0)=

1

0-(-400*0)=

0

0- (3*1/6)=

-1/2

0-(-400*1/6)=

200/3

120- (3*30)=

30

12000

0-(-400*30)=

  Iteración 2 Base h1 Y Z

X 3/2 1/2 -100

Y 0 1 0

h1 1 0 0

h2 -1/2 1/6 200/3

Vs 30 30 12000

Vfy

Nfy

Vfz

Nfz

1/2- (1/2*1)=

0

-100-(-100*1)=

0

1- (1/2*0)=

1

0-(-100*0)=

0

0- (1/2*2/3)=

-1/3

0-(-100*2/3)=

200/3

1/6- (1/2*-1/3)=

1/3

200/3-(-100*-1/3)=

100/3

30- (1/2*20)=

20

12000-(-100*20)=

14000

Iteración 3 Base X Y Z

X 1 0 0

Y 0 1 0

h1 2/3 -1/3 200/3

h2 -1/3 1/3 100/3

Vs 20 20 14000

Por último, al resolver la ecuación se llega a la conclusión que X= 20, Y=20 y Z=14000 es la cantidad necesaria de producción de los productos para obtener las máxima utilidad en el presente problema. Ejercicio del Método Grafico

La empresa Bodegonbirras24x7 se dedica a la producción de licores tales como vinos y cervezas. Las cervezas producen una utilidad incremental de 2$, cada botella de vino una utilidad de 4$, Para la elaboración de la cerveza artesanal se necesita de 4 horas de trabajo en el departamento de máquinas II y 2 horas en el departamento de máquinas II. La elaboración del vino conlleva 6 horas en el departamento de máquinas I y 6 horas en el departamento de máquinas II. Donde el departamento de máquinas I tiene capacidad para laboral un máximo de 120 horas por día y el departamento de maquina II dispone de 72 horas por día y el departamento de máquinas

III tiene 10 horas al día. La empresa desea

maximizar la utilidad, ¿Cuántas cervezas y vinos debe producir por día?. Variables C= Numero de cervezas. V= Numero de botellas de vino La función objetivo es:

Max (2C+4V)

Las restricciones son: Departamento de maquina I: 4C + 6V ≤ 120 Departamento de maquina II: 2C + 6V ≤ 72 Departamento de maquina III: V ≤ 10 No negatividad

C, V ≥ 0

Es conveniente agregar que a continuación se van a representar gráficamente cada una de las restricciones, por lo cual, se le da a la variable el valor de 0 y al mismo tiempo se calcula la intersección del eje, con la otra variable para considerar la igualdad de la ecuación, esta operación se realiza para los tres

departamentos anteriormente mencionados como son departamento de máquinas I, II y III. A continuación se anexan los cálculos respectivos.

Departamento de máquinas I Se le otorga el valor cero a la variable C y la ecuación queda: 4 x 0 + 6V = 120 6V = 120 V = 120 6 V = 20 Se le otorga valor de cero a la variable V y la ecuación es la siguiente: 4 C + 6 x 0 = 120 4C = 120 C = 120 4 C = 30 Los Valores obtenidos se representan en la intersección de los ejes

V     40  

4C+6V≤120

30   20   10           10 20 30 40

C

Departamento de máquinas II: Se le otorga el valor cero a la variable C y la ecuación queda de la siguiente manera: 2 x 0 + 6V ≤ 72

6V = 2 V = 72 6 V = 12 Se le otorga valor de cero a la variable V y la ecuación es la siguiente: 2C + 6 x 0 = 72 2C = 72 C = 72 2 C= 36 Los Valores obtenidos se representan en la intersección de los ejes V     40   30  

2C + 6V ≤72

20  12 10      36     10 20 30 40

C

Departamento de máquinas III: En este departamento se considera que el valor de la variable V=10 para cualquier valor de la variable C y se graficara de la siguiente manera: V     20   15   10  

V ≤ 10

5   5 No Negatividad

        10 15 20

C

En esta parte, se hace referencia a que los valores de las variables C y V son solo positivos por tanto, las soluciones factibles estarán solo en el primer cuadrante y se grafica de la siguiente manera: V   36   26   16  

 

 

   

 

 

C, V ≥ 10  

 

 

   

 

6         10 20 30 40

 

    50 60

C

Región Factible Es conveniente mencionar que en esta sección se debe colocar todas las gráficas, siendo la intersección de todas ellas la región factible. Tal como se observa, la región factible es la convexidad una característica más importante del método gráfico. A continuación se muestra el grafico correspondiente: V

   

Función En efecto, el

30   25   20  

4C+6V≤120

15     10 5

para realizar

V≤ 10

  Región   Factible   5

planteamiento de la

Objetivo

10

15

 

  20

2C + 6V ≤ 72    

  25

30

35

40

C

función objetivo, se le asigna el valor cualquiera

en el

resultado de la ecuación, en el presente problema, se le asignó el valor de 45, generando los siguientes valores y luego se realiza la gráfica correspondiente: Para C = 0, el valor será 15 Para V = 0, el valor será 30

V     30   25  

2C + 6V =45

20   15   10   5   5

              10 15 20 25 30 35 40

C

Solución Visual En este propósito se procede a unir el grafico de la región factible con la recta de función del objetivo, por lo cual se trazaran diversas rectas en función del objetivo, las cuales representaran diversos resultados que se pueden obtener de dicha función al asignar diversos valores. Mientras más alejada se encuentre la línea del centro del cuadrante, mayor será la utilidad. Por lo tanto de las cuatro rectas trazadas, la que se encuentra más distante del centro del cuadrante es la que pasa por el punto P. lo que representa la máxima utilidad en el problema planteado.

V     30   25   20   15  

4C+6V≤120

P

El punto P, representa la máxima utilidad del problema

V≤ 10

10  

5  

Región Factible

5

2C + 6V ≤ 72    

          10 15 20 25 30 35 40

C

Solución Algebraica En este sentido, para el cálculo de las coordenadas de la solución algebraica se resuelve el sistema de ecuaciones conformado por las rectas que interceptan. 2C + 6V = 72 siendo C =24 4C + 6V = 120 siendo V=4 Entonces, la utilidad máxima del ejercicio, valores de las variables C=24, V=4. Max (Utilidad) = 2C + 4V Max (Utilidad) = 2 x 24 + 4 x 4 Max (Utilidad) = 64 Por lo tanto, una vez realizados los cálculos respectivos se puede afirmar que el bodegónbirras24x7 debe producir 24 cervezas y 4 botellas de vino para poder maximizar la ganancia. Igualmente al reemplazar los valores de C y V en la función objetivo para obtener la máxima utilidad, nos afirma que la utilidad máxima que se obtendrá será de 64$.

Conclusiones Los ejercicios desarrollados anteriormente buscan presentar de forma sencilla los principales fundamentos asociados al Método Simplex; en este contexto, cada problema de PL en su forma estándar cumple con las siguientes propiedades establecidas en el Teorema Fundamental de la Programación Lineal: Si el problema no tiene solución óptima entonces es no-acotado o no-factible, si tiene una solución factible, tiene una solución básica factible; además si el problema tiene solución óptima, tiene una solución básica factible óptima. Cabe destacar que no siempre se dispone de una solución básica factible en las variables originales del modelo (luego de llevar el problema a su forma estándar). Si bien existen diversas estrategias algorítmicas para enfrentar esta dificultad, se propone revisar manuales sobre esta problemática, en particular respecto al Método Simplex de 2 Fases, Método de la M Grande y Método Simplex Dual. En lo que concierne a la toma de decisiones, el método Simplex sí ayuda a fundamentar respuesta a situaciones problemas en un contexto real, no obstante en relación a los problemas de PL, tienen una gran ventaja en la modelización de las situaciones problema, no son tan complejos en general, no obstante es limitado cuando las variables de decisión aumentan su grado, por lo que es necesario estudiar otros tipos de problemas, tales como la Programación No Lineal.

Referencias Bibliográficas Eppen, Gould & otros. (2000). Investigación de Operaciones en la Ciencia administrativa. 6ta. Edición. México: editorial Prentice. Catacora, F. (2008). Contabilidad. La base para las decisiones gerenciales. Venezuela: Editorial McGraw-Hill