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“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional”

TEMA: ANALISIS ESTATICO NO LINEAL DIIMAR RAUL GARAVITO PARIONA UNIVERSIDAD PARTICULAR: ALAS PERUANAS – FACULTAD DE INGENERIA CIVIL

INTRODUCCIÓN. El propósito de este documento, es establecer lo más conocido y más aceptado sobre los procedimientos de análisis no-lineal de estructuras, como parte de las asignaciones de la materia Análisis estructural no-lineal. Existen muchos procedimientos de análisis numéricos para simplificar los cálculos para el análisis no-lineal de estructuras, y como tales, son una aproximación, sin embargo, el error es lo suficientemente pequeño, para que los métodos sean aceptables. El tema es parte del estudio de la dinámica de las estructuras, aspecto muy Importante en la investigación de la respuesta de las estructuras a las solicitaciones accidentales que típicamente son el viento y el sismo. Este documento es parte de las asignaciones de la segunda fase del programa de estudios de Doctorado en Ciencias con énfasis en Ingeniería Estructural DESCRIPCION Este documento contiene la investigación realizada sobre los procedimientos de análisis no-lineal

de

estructuras,

estableciendo,

primeramente,

los

aspectos

teóricos

y seguidamente, los análisis con los comentarios correspondientes. Para los efectos antes descritos, se ha consultado muchos textos y artículos técnicos sobre el tema, los que fueron tomados en cuenta para escribir este reporte. El tema es el 5análisis no-lineal de estructuras, el que a su vez es parte del estudio del comportamiento dinámico de estructuras, solo que considerando su respuesta cuando estas hacen incursiones en el rango plástico debido a altas deformaciones provocadas por excitaciones accidentales, tales como sismos o explosiones en la

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“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” vecindad. Para esto, se describe lo que es el comportamiento elásto-plástico y se correlaciona con los procedimientos de análisis. Toda la investigación y el estudio presentado en este reporte, se ha hecho con modelos de un grado de libertad, para facilitar el Desarrollo de los procedimientos de análisis. Finalmente se complementa todo el estudio y la investigación contenida en este documento, con casos de análisis, los cuales son discutidos y comentados. RESPUESTA NO LINEAL: Cuando se estudia el comportamiento dinámico de sistemas de un grado de libertad, asumimos lo siguiente: •

La

fuerza

de

restauración

es

proporcional

al

desplazamiento

• Hay disipación de energía a través de un mecanismo de amortiguamiento viscoso proporcional a la velocidad. •

La

masa

en

el

modelo,

no

cambiará

en

el

tiempo

Y como consecuencia de lo asumido, las ecuaciones de movimiento del sistema, resultan de una ecuación diferencial de segundo orden: t( F ) = ym && + y c & + ky Sin embargo hay situaciones físicas en la realidad, para las cuales este modelo lineal, no representa adecuadamente las características dinámicas de la estructura, y en esos casos se requiere el uso de un modelo en el que la fuerza del resorte o la fuerza de amortiguamiento, podría no mantenerse proporcional a los desplazamientos o a la velocidad respectivamente, resultando ecuaciones no lineales y con soluciones matemáticas mucho más complejas, que frecuentemente requieren de procedimientos numéricos.10 Toda estructura real, cuando está sujeta a cargas o desplazamientos, se comporta dinámicamente. Si las cargas o los desplazamientos se aplican muy suavemente, entonces las fuerzas inerciales se pueden despreciar y un análisis de carga estática se GARAVITO PARIONA DICMAR RAUL

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“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” puede justificar, de aquí, que el análisis dinámico es una simple extensión del análisis estático. 13 OBJETIVOS DEL TRABAJO Los objetivos principales que persigue este Trabajo Fin de Máster (TFM) se pueden resumir en los siguientes apartados: • Exponer los fundamentos del análisis dinámico de estructuras bajo excitación sísmica y presentar los métodos de diseño sísmico incluidos en la mayoría de normas sísmicas mundiales.  El desarrollo, implementación y validación de un modelo numérico basado en el método de análisis estático no lineal, conocido también como pushover. Para ello se usará el programa Autodesk Robot Structural Analysis Professional (Robot); este modelo debe ser capaz de realizar una buena predicción de la respuesta no lineal de estructuras de acero con uniones precalificadas.  La utilización del modelo desarrollado para estudiar la influencia del tipo y distribución de los arrostramientos en la respuesta sísmica del edificio: los arrostramientos juegan un papel importante en la capacidad sismorresistente de una estructura puesto que son los encargados de absorber y resistir gran parte de las cargas generadas por un movimiento sísmico. PROCEDIMIENTOS NO LINEALES Con el usos de estos procedimiento, es posible aproximares a lo que en verdad sucede en el edificio, ya que las representaciones de comportamiento de las estructuras tienen menor incerteza; se puede definir los mecanismo de falla y el potencial de un colapso progresivo. La primera y más intuitiva estrategia, consiste en estimas la sobre- resistencia local y global de un edificio existente. Es conocido que la respuesta inelástica y la demanda de ductilidad de desplazamiento de un edificio depende de una gran medida de su resistencia GARAVITO PARIONA DICMAR RAUL

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“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” actual, la cual comúnmente es mayor que la consideran en el diseño. La relación entre la resistencia actual y la supuesta por el código de diseño define. La relación entre resistencia actual y la supuesta por el código de diseño define la sobre-resistencia estructural. Los procedimientos no lineales se puede desarrollar de forma estática o dinámica. PROCEDIMIENTOS NO LINEALES Cuando un edificio se somete a movimiento del terreno debido a las demandas sísmicas, este experimenta desplazamientos laterales y deformaciones en sus elementos. Para respuesta de pequeñas magnitud, las deformaciones en los elementos permanentes ene rango elástico y prácticamente no ocurre daño, mientras que para respuestas de mayor amplitud, las deformaciones de los elementos exceden su capacidad elástica y la edificación experimenta daño considerables, entonces la mejor estimación de la respuesta global de la estructura ante un movimiento sísmico y de la demanda en sus componentes individuales, se obtiene recurriendo a sofisticados procedimientos de análisis no lineal cuyos resultados tienden a ser altamente sensibles a pequeños cambios del comportamientos de sus componentes y a las características del movimiento utilizado. Existen diversos métodos de análisis estáticos no lineal para evaluar edificios existente que permiten comparara la capacidad de la edificación con la demanda sísmica la cual será expuesta. Entre los principales métodos simplificados de análisis estatice no lineal destacan: ANALSIS DE COLAPSO (PUSHOVER):es una técnica técnica simple para obtener la capacidad, resistencia-deformación de una estructura bajo una distribución de fuerzas inerciales esperada.En este análisis la estructura se somete a un patrón de carga laterales que se incrementan de manera montonico, hasta que la estructura alcance su capacidad máxima. Utilizando este procedimiento es posible identificar la secuencia del agrietamiento, cedencia y fallos de cada uno de los

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“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” componentes, los estados límites del servicios y el historial de deformaciones y cortantes en la estructura, que corresponde a la curva de capacidad.

Curva de capacidad la forma en la que están distribuidas las fuerzas laterales, ya que sean fuerzas constantes, lineales parabólicas, ect., aplicada a la estructuras, tienen gran influencia en la determinación de la curva de capacidad.

Esquema del procedimiento para determinar la curva de capacidad En este tipo de análisis un modelo matemático incorpora directamente las características no lineales fuerza-deformación de los componentes del edificio. Es importante, tener en cuenta que, aunque este método se basa en los desplazamientos, tiene algunas limitaciones fundamentales que deben ser consideradas en la determinación e

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“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” interpretación de los resultados obtenidos. A continuación se comentan algunas de estas limitaciones: - Se sabe de manera general, que el daño estructural es función tanto de la deformación como de la energía sísmica. El procedimiento utilizado en el análisis de Pushover asume implícitamente que el daño estructural depende solo de la deformación lateral de la estructura, despreciando los efectos de duración y disipación de la energía acumulada en la estructura. Entonces, la aplicabilidad de esta medida de daño es algo simplista, particularmente para estructuras no dúctiles, cuyos cíclicos histeréticos inelásticos presentan un fuerte estrechamiento y una forma errática [Bonett Díaz, 2003]. - El análisis de pushover se enfoca solo en la energía de deformación de una estructura, por lo que, este procedimiento puede conducir a despreciar la energía relacionada con las componentes dinámicas de las fuerzas, es decir, la energía cinética y la energía de amortiguamiento viscoso. - Los cambios progresivos en las propiedades modales que ocurren en la estructura cuando experimenta cedencia no lineal cíclica durante un sismo, no son considerados en este tipo de análisis. Por lo que recientemente han propuesto mejorar el método, tales como el análisis de colapso adaptable (Adaptive pushover) usando fuerzas o desplazamientos [Antonio & Pinho, 2004a, 2004b]. EL MÉTODO DEL ESPECTRO CAPACIDAD-demanda; permite estimar gráficamente el desempeño sísmico de un edificio a través de la intersección del espectro de capacidad con el espectro de demanda [SSCS, 1996]. El método se fundamenta en una representación aproximada de las características globales no lineales de la estructura, obtenida mediante el reemplazo del sistema no lineal por un sistema lineal equivalente, usando como base procedimientos del análisis modal. Es necesario mencionar que estos procedimientos solo son válidos para estructuras de comportamiento lineal, pero su uso en estructuras de comportamiento no lineal, puede dar una buena aproximación que permita la representación del sistema a través de sus propiedades lineales efectivas [Safina Melone, 2002].

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“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” ORGANIZACIÓN DE REPORTE. (Report Organization) Primero analizaremos los diversos métodos para estimar la demanda sísmica de edificaciones de varios grados de libertas (varios niveles), en el rango elásticamente lineal y también para el rango No-Lineal o inelástico, esto en el Capítulo 2. En el Capítulo 3, desarrollare la estimación de la demanda sísmica de un edificio de acero, bajo cuatro sismos [El Centro 1940, Loma Prieta 1989, Parkfield 1966 y San Fernando 1971]. Mediante la aplicación de los métodos MPA, UMRHA y “exacto” NL-RHA. Demostrando para el caso MPA, la exactitud en relación a la solución “exacta” NL-RHA, junto con el desarrollo de la curva Cortante Basal vs. Desplazamiento de Azotea. En el Capítulo 4, analizare tres códigos de diseño sísmico: CFE 1993, Reglamento de Construcción de Hermosillo Sonora (RCHS 87) y Reglamento de Construcción del Distrito Federal (RCDF 1994). Después realizare una comparativa en la seguridad que proporcionan a nuestra estructura al momento de la aplicación de alguno de estos métodos en relación a los otros. Por último, mediante la evaluación de un sistema con un grado de libertad SDF’s, bajo los sismos en estudio, obtendré los espectros sísmicos, para hacer la comparativa con los espectros de diseño utilizados en la actualidad en los tres códigos. En el Capítulo 5, se presenta dividido en tres partes principales, en el primer parte se describe el sismo de Laguna Sala, en la segunda parte se presentan los acelerogramas [registros sísmicos] del sismo, para después realizar una evaluación comparativa entre el Espectro de Respuesta del Sismo vs. Espectros de Diseño por los códigos; por último, se estudia el desarrollo de Ductilidad vs. Rigidez lateral, conforme incrementa la demanda sísmica. La última parte, se evalúa la Demanda del Sismo de Laguna Salada (Mexicali 2010) vs. Capacidad Sísmica-Resistente del Edificio, esto mediante un análisis no lineal en historial de respuesta (NL-RHA), Análisis Modal Pushover (MPA primer “modo”) y FEMA-273. GARAVITO PARIONA DICMAR RAUL

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“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” Por último, en el Capítulo 6, realizare la descripción del análisis estático no lineal con distribución de fuerzas FEMA-273, con los procedimientos para la obtención de las fuerzas equivalentes. Después, realizare una comparativa entre los tres métodos contemplados en FEMA-273, MPA primer “modo”, UMRHA y NL-RHA “exacto”; para obtener la exactitud con la cual podemos obtener la demanda sísmica mediante la aplicación de alguno de estos cinco métodos en relación a la respuesta “exacta

CAPÍTULO II: BASES TEÓRICAS II.1.1 ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN Para llevar a cabo la presente investigación se ha considerado investigaciones nacionales e internacionales relacionadas al tema en estudio que nos han brindado base para realizar la base teórica. II.1.2 INVESTIGACIONES NACIONALES Galvez,A. (2008) En su búsqueda para determinar el valor del factor de reducción sísmica para sistemas de concreto armado de muros de ductilidad limitada desarrolló ampliamente la teoría para poder determinarlo. En este trabajo se concluye que el valor propuesto de R depende del período de la estructura y que para casos de sistemas de muros de ductilidad limitada tomará el valor de 4 mientras que la distorsión permitida según las investigaciones mencionadas en dicho trabajo podría ser hasta de 0.001 sin presentarse el colapso de la estructura. Según él, los resultados obtenidos dependen intrínsecamente a los niveles de peligrosidad sísmica. (P.99) Borda, L. y Pastor,A. (2011) En su tesis de grado se investiga el comportamiento sísmico de una edificación de 6 pisos de concreto armado con sistema aporticado. En sus conclusiones muestran que la ductilidad global es de 19 y la sobre resistencia global es equivalente a 2.5 para el cortante máximo y 1.3 para la primera rótula plástica. (P-164)

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“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” II.1.3 INVESTIGACIONES INTERNACIONALES Kajima Corporation.(1992) Un estudio internacional que ha servido de mucha ayuda a esta investigación es: “Design Guidelines for ductility and drifts Limits” elaborado por las universidades de California para la investigación de la ingeniería sísmica, en las conclusiones de este trabajo se habla de que el valor de R está intrínsecamente relacionada al periodo fundamental de la estructura. Se mencionan además factores que influyen en R: el amortiguamiento, la ductilidad, el tipo y condición de suelo, etc. (P.132) Terán A. (1998) En un estudio parecido al presente presenta algunas figuras que muestran tendencias muy parecidas a la de nuestra investigación en lo que respecta a la ductilidad. (P.12) ASCE (2000), norma que regula la evaluación de los edificios permite tener un mayor alcance de los parámetros para hacer un modelamiento correcto de las edificaciones. (P.259) Aguiar,R (2007) Sus estudios han servido de mucho debido a su experiencia y trayectoria en sus estudios para determinar un coeficiente R en estructuras aporticadas sin muros de corte. En sus investigaciones también presenta algunos valores de sobre resistencia hallados por otros ingenieros.(P.41) II.2 SISMOLOGÍA En un país como el Perú altamente sísmico sería extraño que no ocurrieran sismos, debido a que la placa de Nazca está ingresando constantemente por debajo de la placa Sudamericana. II.2.1 ORIGEN DE LOS SISMOS (Herráiz Sarachaga, 1997) aclara que el origen de los sismos ha sido atribuido a diferentes causas históricamente, sin embargo, no fue hasta Reid en 1911 quien propuso el primer modelo mecánico en el que explica “la teoría del rebote elástico”. Según esta teoría los sismos se deben a un proceso de deformación elástica y acumulación de esfuerzos que GARAVITO PARIONA DICMAR RAUL

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“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” se dan en la corteza hasta que se supera la resistencia del material rocoso. En este momento los esfuerzos se relajan parcial o totalmente produciendo una liberación de energía. Esta liberación se da a través de ondas sísmicas que hacen vibrar el terreno, a lo que denominamos sismo. (P.25) Los estudios geofísicos permitieron conocer la estructura interna de la tierra: corteza, manto y núcleo como se muestra en el figura 1. (Zamudio Díaz , 2003) En su tesis de grado manifiesta que John Milne, Lord Rayleigh y Lord Rutherford identificaron que la corteza se ubica a 35 km bajo el continente aproximadamente y entre 7 y 8 km bajo los océanos. El manto, ubicado debajo de la corteza, llega a los 2900 km de profundidad,y debajo de este se encontrará el núcleo de la Tierra,el cuál fue estudiado por Beno Gutenberg.(P.20-21)

Herráiz Sarachaga, 1997).“La litósfera está divida en 17 placas, que están en una constante interacción reflejado en un desplazamiento de ellas por corrientes de convección de la astenosfera, parte del manto parcialmente fundido, con velocidades que no superan pequeños centímetros por año” (P.35) Se distinguen las siguientes placas, como se muestran en la figura 2:

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Figura 2: Capas tectónicas de la tierra Fuente: Herráiz Sarachaga (1997) (Sauter F., 1989) menciona que en algunos casos la limitación entre placas será visible como es el caso de la placa de Norteamérica con la placa del Caribe mientras que en otros el borde entre placas no será claramente reconocible, ejemplo de esto es la placa del caribe y la sudamericana tanto en Venezuela como en Colombia. En otros casos a través de exploraciones marinas se pueden observar estas zonas de contacto. De lo expuesto podemos decir que la mayor zona de producción sísmica se encuentra en los bordes de las placas, es por esto es que es de vital importancia comprender el tipo de frontera o límite: II.2.1.1 BORDE CONVERGENTE a) Zonas de subducción: de una placa por debajo de otra, puede ser continental u oceánica, por la cual se destruye material de la corteza. b) Zonas de colisión frontal: entre placas continentales c) . Borde Transcurrente: correspondiente a las fallas de transformación donde el desplazamiento es lateral y paralelo. El 75% de los sismos se generan en las zonas de subducción y son los más devastadores debido a que la litósfera suele ser de mayor espesor en estos lugares, por lo que el área de posible ruptura es mayor que en los otros casos. (P.25-35).

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“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” II.3 TIPOS DE ONDAS Sociedad Mexicana de Ingeniería Sísmica, 2015) dice que la energía, como consecuencia de este fenómeno sísmico, generará una serie de ondas que en muchos casos serán más destructivas que otras. Hay algunas que se mueven a grandes distancias través de las rocas llamadas ondas de cuerpo, las ondas S y P, mientras que hay otras que son refracciones y reflexiones de las ondas de cuerpo cuando están en un interface de estrato o en la superficie a las que se les denomina ondas superficiales, ejemplo de estas son las ondas Raylight y Love. A.)

Las ondas P: llamadas principales o de dilatación experimentan un movimiento en la dirección de la propagación generando una compresión y dilatación y pueden viajar a través de cualquier material.

B.) Las ondas S: son ondas de corte o transversales lo que implica un movimiento

perpendicular a la dirección de propagación, solo podrá viajar en sólidos debido a que los líquidos no toleran esfuerzos de corte. C.) Las ondas Love: movimiento similar

al de las ondas S. La onda viaja de manera horizontal perpendicular a la dirección de la propagación. 18 mientras que las ondas de cuerpo S y P hacen vibrar más a edificios bajos y rígidos, las ondas Raylight y Love castigan más a edificios altos y flexibles. (P.45)

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“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” D.) La representación de estas ondas se presenta en la figura 3:

NORMA PERUANA DE DISEÑO SISMORESISTENTE E.030 (Ministerio de Vivienda, Construcción y Saneamiento , 2016) en su norma E.30 actualizada en el año del 2016 es el resultado de varios años de discusión y de la toma de diversas nuevas tecnologías en el campo de la sismología. Tiene como objeto disminuir la vulnerabilidad de las edificaciones, evitar pérdidas humanos y asegurar el funcionamiento de los servicios básicos después de un sismo. Los niveles de desempeño de esta norma son: a) La estructura no debería colapsar ni causar daños graves a las personas, aunque podría presentar daños importantes, debido a movimientos sísmicos calificados como severos para el lugar del proyecto. b) La estructura debería soportar movimientos del suelo calificados como moderados para el lugar del proyecto pudiendo experimentar daños reparables dentro de límites aceptables. 50 c) Para las edificaciones esenciales, definidas en la Tabla Nº 7 de la norma E030, se tendrán consideraciones especiales orientadas a lograr que permanezcan en condiciones operativas luego de un sismo severo. “Se reconoce que dar la protección completa frente a todos los sismos no es técnico ni económicamente factible para la mayoría de estructuras” se menciona en el artículo 1.3 de la norma E.030.Según lo indicado en el artículo 1.4 de la norma, se mencionan algunos aspectos importantes a tener en cuenta, en el diseño sismoresistente: Simetría, correcta distribución de masas y de rigidez. Peso mínimo, particularmente en los pisos altos. Selección de uso y materiales adecuados. Resistencia frente a cargas laterales. GARAVITO PARIONA DICMAR RAUL

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“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” Continuidad estructural, tanto en planta como en elevación. Ductilidad, entendida como la capacidad de deformación más allá del rango elástico. Deformación lateral limitada.  Inclusión de líneas sucesivas de resistencia (redundancia estructural). Consideración de condiciones locales. Buena práctica constructiva y supervisión estructural.

III ANALISI ESTATICO NO LINEAL. 1.PELIGRO SÍSMICO Se reconocen 3 niveles de peligro sísmico: - Sismo de Servicio (SE) - Sismo de Diseño (DE) - Sismo máximo (ME) Sismo de Servicio (SE), es definido probabilísticamente como un evento con 50% de probabilidad de ser excedido en un periodo de 50 años y un periodo de retorno de 75 años, y representa a los sismos frecuentes que experimenta una estructura en su vida útil. En magnitud, típicamente representa 0.5 veces un sismo de diseño. Sismo de Diseño (DE), es definido probabilísticamente como un evento con 10% de probabilidad de ser excedido en un periodo de 50 años y un periodo de retorno de 500 años, y representa a un sismo ocasional que podría experimentar una estructura en su vida útil. Sismo Máximo (ME), es definido deterministicamente como el nivel máximo de sismo que podría experimentar una estructura. También podría ser calculado como un sismo con 5%

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“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” de probabilidad de ser excedido en 50 años y un periodo de retorno de 1000 años. En magnitud es aproximadamente 1.25 a 1.5 veces el sismo e diseño. 2.ANALISIS ESTATICO NO LINEAL El método de análisis inelástico más completo es un análisis no lineal tiempo historia, sin embargo aún es considerado complejo y de uso general impráctico, debido a ello se han planteado métodos simplificados de análisis no lineal, llamados también análisis estáticos no lineales. Los análisis inelásticos ayudan a entender como las estructuras se comportaran cuando estén sujetos a una solicitación que exceda su capacidad elástica. Esto resuelve algunas de las incertidumbres asociadas con los códigos de diseño y los procedimientos elásticos. El desempeño de una estructura depende de su capacidad de resistir una demanda sísmica, y de su compatibilidad con los objetivos de diseño. Por ello los procedimientos de análisis no lineal simplificado, tal como el método de capacidad-espectro, requiere la determinación de 3 elementos primarios: capacidad, demanda y desempeño. CAPACIDAD La capacidad de una estructura depende de la resistencia y capacidad de deformación de sus componentes individuales. Para determinar la capacidad de una estructura más allá de su límite elástico, se requiere de un análisis no lineal tal como el procedimiento Pushover. Este procedimiento usa una serie de análisis elásticos de manera secuencial y luego son superpuestos para aproximar un diagrama de fuerza-desplazamiento de toda la estructura. El modelo matemático de la estructura es modificado en cada paso, para tomar en cuenta la reducción de rigidez de los componentes que alcanzaron su fluencia, posteriormente se aplica un incremento en la fuerza externa de manera que otros componentes también alcancen su fluencia. Este proceso continúa hasta que la estructura se vuelve inestable o hasta que se alcance un límite pre establecido. GARAVITO PARIONA DICMAR RAUL

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DEMANDA A diferencia de los métodos de análisis lineal que emplean fuerzas laterales para representar una condición de diseño, los métodos de análisis no lineal emplean desplazamientos laterales como una condición de diseño, ya que son más directos y fáciles de usar. Para una estructura y una solicitación sísmica, el desplazamiento de demanda es una estimación de la respuesta máxima esperada durante el movimiento sísmico. DESEMPEÑO Una vez que se han determinado la curva de capacidad y se ha definido el desplazamiento de demanda, se puede evaluar el desempeño de la estructura. La verificación del desempeño verifica que los componentes estructurales y no estructurales no estén dañados más allá de los límites aceptables del desempeño objetivo. PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR LA CAPACIDAD DE UNA ESTRUCTURA La capacidad se representa por medio de una curva y la manera más conveniente de graficarla es rastreando el cortante de la base y el desplazamiento del techo. Es importante notar que esta curva se construye asumiendo que el primer modo de la estructura es predominante, esto es generalmente válido para edificios con periodos menores a 1s, para estructuras más flexibles se debe considerar el efecto de los otros modos. 1. Crear un modelo matemático de la estructura. 2. Clasificar cada elemento del modelo como primario o secundario (9) 3. aplicar fuerzas laterales a la estructura. a. (forma básica) Aplicar fuerzas laterales obtenidas del código sísmico empleadas para el análisis estático, sin considerar la fuerza concentrada en el techo (T>0.7s).

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“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” 𝐹𝑖 = [

𝑊𝑖 ℎ𝑖 ]𝑉 ∑𝑊𝑖 ℎ𝑖

b. (Edificios con irregularidad vertical) Aplicar fuerzas laterales en proporción al producto de las masas de piso y la forma del primer modo del modelo elástico de la estructura. 𝐹𝑖 = [

𝑀𝑖 ф𝑖 ]𝑉 ∑𝑀𝑖 ф𝑖

c. (Edificios flexibles) Se aplican fuerzas laterales igual que en (b) hasta la primera fluencia, después se ajustan las fuerzas para que sean consistentes con el cambio de la forma deflexión. 4. Calcular las fuerzas internas en los miembros debido a las fuerzas gravitacionales y fuerzas laterales externas. 5. Recopilar los cortantes en la base y los desplazamientos del techo, también podría ser útil recopilar las fuerzas y rotaciones de los miembros para revisar el desempeño local. 6. Revisar el modelo empleando una rigidez muy pequeña o nula para los elementos que han cedido. Luego aplicar un nuevo incremento de carga para que otros elementos también cedan. Las fuerzas y rotaciones para los elementos al inicio de un incremento de la carga lateral es un análisis separado, el cual comienza de la condición inicial (Sin cargas). Por lo tanto, para determinar si un elemento cede, es necesario añadir las fuerzas del análisis actual con las fuerzas del paso previo. De manera similar con las rotaciones. 7. Sumar los incrementos de carga lateral y sus correspondientes desplazamientos de techo para obtener los valores acumulados de cortante basal y desplazamiento de techo. 8. Repetir los pasos 6 y 7 hasta que la estructura sea inestable o las distorsiones sobrepasan considerablemente el nivel de desempeño deseado o cuando algún elemento pierde la capacidad de soportar las cargas de gravedad.

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“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” 9. Si el incremento de cargase detiene, debido a que un número de elementos a alcanzado una degradación en su resistencia, sin embargo, se conoce que hay otros elementos que podrían seguir asumiendo carga lateral y aún no ha ocurrido la inestabilidad o no se han excedido los límites de la respuesta global. En ese caso se recomienda realizar nuevas curvas, considerando que la rigidez de dichos elementos se reduce.

PROCESO PARA DETERMINAR LA DEMANDA SÍSMICA El desarrollo de la curva de capacidad, es útil porque permite conocer las características del desempeño de una edificación. Sin embargo, para determinar si es aceptable respecto a un objetivo de desempeño, es necesario estimar el desplazamiento máximo probable asociado a una solicitación sísmica. Es necesario indicar que el método de espectro de capacidad, cuando se combina con los espectros de demanda reducidos, basados en estimaciones del amortiguamiento histeretico, producen desplazamientos generalmente dentro del 10% del promedio máximo obtenido de varios análisis tiempo historia. Con el fin de poder cumplir con un nivel de desempeño fijado, se debe determinar el desplazamiento máximo probable para que sea consistente con la demanda sísmica. Para esto se tienen 2 metodologías: GARAVITO PARIONA DICMAR RAUL

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“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” - Método del espectro de capacidad (Punto de desempeño) - Método de los coeficientes (Desplazamiento objetivo) 3.MÉTODO DE ESPECTRO CAPACIDAD Para emplear el método de espectro capacidad se requiere convertir la curva de capacidad (V-d), a una curva llamada espectro de capacidad (Sa-Sd). CONVERSIÓN DE LA CURVA DE CAPACIDAD A ESPECTRO DE CAPACIDAD Partiremos por la ecuación planteada para realizar un análisis por superposición modal debido a un movimiento en la base. [𝐌]{ü} + [𝐂]{ü} + [𝐊]{ü} = −[𝐌]{𝟏}ü𝐠 Sea

la

solución

la

siguiente

combinación

lineal

de

vectores:

{𝒖} = ∑ 𝒂𝒊 (𝒕) {ф𝟏 } 𝑎𝑖 (𝑡) :Coeficientes que dependen del tiempo Reemplazando en la ecuación se tiene: 𝑛

𝑛

𝑛

∑[𝑀] {ф𝑖 }ӓ𝑙 (𝑡) + ∑[𝑀]{ф𝑙 }ȧ𝑙 (𝑡) + ∑[𝑀]{ф𝑖 }𝑎𝑖 (𝑡) = −[𝑀]{1}ü𝐠 𝑖

𝑖

𝑖

𝑇

Pre-multiplicando por {ф𝑗 } , y modificando los términos de cada expresión

𝐧

𝐧 𝐓

𝐧 𝐓

𝐓

𝐓

∑{ф𝐣 } [𝐌] {ф𝐢 }ӓ𝐥 (𝐭) + ∑{ф𝐣 } [𝐌]{ф𝐥 }ȧ𝐥 (𝐭) + ∑{ф𝐣 } [𝐌]{ф𝐢 }𝐚𝐢 (𝐭) = −{ф𝐣 } [𝐌]{𝟏} ü 𝐢

𝐢

𝐢

𝑗 = 1,2, … . . , 𝑛

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“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” Aplicando las condiciones de ortogonalidad y asumiendo un amortiguamiento clásico se tiene: 𝐓

𝐓

𝐓

𝐓

{ф𝐣 } [𝐌]{ф𝐢 }ӓ𝐥 (𝐭) + {ф𝐣 } [𝐂]{ф𝐢 }𝐚𝐢 (𝐭) + {ф𝐣 } [𝐊]{ф𝐢 }𝐚𝐢 (𝐭) = −{ф𝐣 } [𝐌]{𝟏}ü𝐠

𝐓

Dividiendo entre{ф𝐣 } [𝐌]{ф𝐢 } Luego se definen: {ф𝐢 }𝐓 [𝐂]{ф𝐢 } {ф𝐢 }𝐓 [𝐊]{ф𝐢 } {ф𝐢 }𝐓 [𝐌]{𝟏} ӓ𝐥 (𝐭) + 𝐒𝐚𝟏 ȧ + 𝐚 =− ü {ф𝐢 }𝐓 [𝐌]{ф𝐢 } 𝑙 (𝑡) {ф𝐢 }𝐓 [𝐌]{ф𝐢 } 𝐢 (𝐭) {ф𝐢 }𝐓 [𝐌]{ф𝐢 } 𝐠

{ф𝐢 }𝐓 [𝐂]{ф𝐢 } = 𝟐𝛃𝒊 𝝎𝒊 {ф𝐢 }𝐓 [𝐌]{ф𝐢 }

{ф𝐢 }𝐓 [𝐊]{ф𝐢 } = 𝝎𝒊 𝟐 {ф𝐢 }𝐓 [𝐌]{ф𝐢 }

{ф𝐢 }𝐓 [𝐌]{ф𝐢 } = 𝚪𝟏 {ф𝐢 }𝐓 [𝐌]{ф𝐢 }

Luego se ha desacoplado un sistema de VGDL en varios sistemas de 1GDL, según el nivel de pisos de la estructura. ӓ𝐥 (𝐭) + 𝟐𝜷𝒊 𝝎𝒊 ȧ𝑙 (𝑡) + 𝝎𝒊 𝟐 𝐚𝐢 (𝐭) = −𝚪𝟏 ü𝐠 𝚪𝟏 Coeficiente de participación estática del modo i Luego el factor de participación estática para el modo i=1, es: {ф𝒊 }𝑻 [M]{𝟏} ∑𝑵 𝒊=𝟏 𝒎𝒊 ф𝒊 𝚪𝟏 = = [ 𝟐] {ф𝒊 }𝑻 [𝐌]{ф𝒊 } ∑𝑵 𝒊=𝟏 𝒎𝒊 ф𝒊 a) Contribución modal a la fuerza sísmica del modo 1 {𝑭𝟏 } = 𝑺𝒂𝟏 {𝑭𝟏 } = 𝑺𝒂𝟏 𝚪𝟏 {𝐌} {ф𝟏 }

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“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” {𝐹1 } ∶ Es el vector de fuerzas modales obtenidas para el modo 1 𝑆𝑎1 Es la aceleración espectral correspondiente al periodo del modo 1 Luego el cortante basal debido a estas fuerzas es: 𝐕𝟏 = {𝟏}𝐓 {𝐅𝟏 } = 𝐒𝐚𝟏 𝚪𝟏 {𝟏}𝐓 {𝐌} {ф𝟏 } Reemplazando 𝚪𝟏 𝐕𝟏 =

{𝟏}𝐓

{ф𝟏 }𝐓 [𝐌]{𝟏} {ф𝟏 }𝐓 [𝐌]{𝟏} 𝐓 = 𝐒𝐚𝟏 ( ) {𝟏} [𝐌]{ф𝟏 } = 𝐒𝐚𝟏 ( ) {ф𝟏 }𝐓 [𝐌]{𝟏} {ф𝟏 }𝐓 [𝐌]{ф𝟏 } {ф𝟏 }𝐓 [𝐌]{ф𝟏 } ({ф𝟏 }𝐓 [𝐌]{𝟏})𝟐 𝐕𝟏 = 𝐒𝐚𝟏 ( ) {ф𝟏 }𝐓 [𝐌]{ф𝟏 }

{1}: Es un vector de unos El término que multiplica a 𝐒𝐚𝟏 se denomina masa efectiva, que es la masa involucrada en la vibración del modo 1 𝐌𝐞𝐟𝐞𝐜𝐭𝐢𝐯𝐚 𝟏 = (

({ф𝟏 }𝐓 [𝐌]{𝟏})𝟐 (∑𝐍𝐢=𝟏 𝐦𝐢 ф𝐢 )𝟐 ) = [ ] {ф𝟏 }𝐓 [𝐌]{ф𝟏 } ∑𝐍𝐢=𝟏 𝐦𝐢 ф𝟐𝐢

Si tuviéramos un sistema de 1GDL y una fuerza externa actuando sobre él, se produciría un cortante en la base de igual magnitud, por tanto para construir un sistema equivalente de 1GDL, se adoptará el cortante basal de la estructura completa, como el cortante basal en el sistema equivalente. 𝐕𝟏 = 𝐒𝐚𝟏 𝐌𝐞𝐟𝐞𝐜𝐭𝐢𝐯𝐚 𝟏 Y como se quiere obtener un formato 𝐒𝐚 − 𝐒𝐝 , definiremos la seudo aceleración que experimentaría el sistema de 1GDL equivalente de la estructura como: 𝐒𝐚 𝟏 =

𝐕𝟏 𝐌𝐞𝐟𝐞𝐜𝐭𝐢𝐯𝐚 𝟏 GARAVITO PARIONA DICMAR RAUL

2 1

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” b) Contribución modal al desplazamiento del modo 1 {𝐝𝟏 } = 𝐒𝐝𝟏 𝚪𝟏 {ф𝟏 } {𝐝𝟏 }: Es el vector de desplazamientos modales obtenidos para el modo 1 Sd1: Es el desplazamiento espectral correspondiente al periodo del modo 1 Debido a que {𝐝𝟏 } es un vector con la contribución modal para el desplazamiento del modo 1, solo nos interesará el desplazamiento del último nivel, de manera que se pueda definir un sistema de 1GDL de libertad equivalente. Debe observarse que para realizar esto, se está asumiendo que solo el modo 1 es el único que contribuye y que representa a la respuesta de toda la estructura. Por tanto se tiene la siguiente ecuación: 𝒅𝒕𝒆𝒄𝒉𝒐𝟏 = 𝐒𝐝𝟏 𝚪𝟏 ф𝒕𝒆𝒄𝒉𝒐𝟏 𝑺𝐝𝟏 =

𝒅𝒕𝒆𝒄𝒉𝒐𝟏 𝚪𝟏 ф𝒕𝒆𝒄𝒉𝒐𝟏

Por último para desarrollar el espectro de capacidad es necesaria una conversión punto por punto a sus coordenadas espectrales de su primer modo. Es decir, todos los puntos de la curva de capacidad deben ser convertidos a coordenadas de espectro de capacidad, a través de las siguientes ecuaciones: 𝑺𝐝𝟏 =

𝒅𝒕𝒆𝒄𝒉𝒐𝟏 𝚪𝟏 ф𝒕𝒆𝒄𝒉𝒐𝟏

𝑺𝐝𝟏 =

𝑽𝟏 𝐌𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒂𝟏

CONVERSIÓN DEL ESPECTRO DE RESPUESTA Para emplear el método de espectro capacidad también se requiere convertir la curva de espectro de aceleraciones (𝑺𝒂 − 𝐓), a una curva de Espectro de Respuesta AceleraciónDesplazamiento (𝐒𝐚 − 𝐒𝐝 ).

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2 2

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” La mayoría de Ingenieros, está familiarizado con la representación 𝑺𝒂 − 𝐓 del espectro de respuesta. Sin embargo, si solo se transformará la curva de capacidad al mismo formato del espectro de aceleraciones, se tendría una representación parecida a la grafica A

Ahora si cambiamos el eje de las abscisas (periodo) por Seudo desplazamiento se tendría una representación como la del gráfico B. En el cual se puede apreciar mejor la ubicación del punto de desempeño. En este formato “Espectro de Respuesta Aceleración- desplazamiento”, se visualiza el periodo a través de líneas rectas que pasan por el origen de coordenadas. Debido a que se está trabajando con un sistema de 𝟏𝐆𝐃𝐋, La transformación del espectro de aceleraciones (𝑺𝒂 − 𝐓), al formato mencionado se puede realizar mediante la ecuación: 𝑺𝐝𝟏 =

𝑺𝒂 𝑻𝟐 𝟒𝝅𝟐

Construcción de la representación Bilineal del Espectro de Capacidad

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2 3

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” Para poder estimar el amortiguamiento efectivo y reducir el espectro de demanda, se requiere una representación bilineal de la curva de espectro capacidad. Para construir la representación bilineal se definen el punto ( 𝐝𝐩𝐢, 𝐚𝐩𝐢 ), el cual es un punto inicial de prueba, a partir del cual se reducirá el espectro de demanda, luego si las coordenadas del punto en la intersección del espectro de demanda reducido con el espectro de capacidad coinciden en este punto, este será el punto de desempeño. Por lo tanto, la ubicación del punto de desempeño debe satisfacer lo siguiente: - El punto debe descansar en la curva de espectro capacidad para representar a la estructura en un desplazamiento dado. - El punto también debe descansar en el espectro de demanda reducido, ya que este, representa la degradación de la estructura para el mismo desplazamiento. Para este método, la reducción del espectro se efectúa a través del empleo de factores que están en función al amortiguamiento efectivo. Para un caso general, la determinación del punto de desempeño requiere un proceso de iteración de modo que se satisfagan los 2 criterios mencionados Para poder construir la representación bilineal se traza una recta a partir del origen con una pendiente similar a la ( 𝐝𝐩𝐢, 𝐚𝐩𝐢 ) rigidez inicial d la estructura, luego se dibuja una segunda línea a partir del punto hasta que cruce la primera línea, de manera que el

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2 4

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” área,(𝐝𝐲, 𝐚𝐲 ) sea igual al área A2, el punto de intersección de ambas rectas definirá el punto

En caso de tratarse de un espectro de capacidad tipo sierra, la representación bilineal deberá basarse en la curva que describe el comportamiento en el desplazamiento 𝐝𝐩𝐢 . Estimación del Amortiguamiento Efectivo y Reducción del Espectro de Demanda (𝛃 = 𝟓%). El amortiguamiento ocurre cuando el sismo hace incursionar a la estructura en su intervalo inelástico, este amortiguamiento puede ser visto como una combinación de amortiguamiento viscoso, que es inherente de la estructura, y amortiguamiento histerético. El amortiguamiento histeretico se puede ser representado por un amortiguamiento viscoso equivalente, de modo que el amortiguamiento (𝐛𝐞𝐪 ). asociado al desplazamiento dpi puede ser estimado de la siguiente 𝛃𝐞𝐪 = 𝛃𝐨 + 𝟎. 𝟎𝟓 El término b0, es el amortiguamiento histeretico representado como amortiguamiento viscoso y puede ser calculado como: GARAVITO PARIONA DICMAR RAUL

2 5

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” donde:

𝛃𝐨 =

𝟏 𝑬𝑫 𝟒𝝅 𝑬𝑺 𝑶

𝐄𝐃 = 𝐄𝐒 la energía disipada por amortiguamiento 𝑬𝑺 𝑶 = 𝐄𝐒 la máxima energía por deformación

ED, se puede determinar calculando el área encerrada por el lazo histeretico, o como se muestra en la figura, como el área del paralelogramo. Este lazo histeretico idealizado es una aproximación para un edificio detallado dúctilmente y sujeto a una corta duración sísmica o sujeto suficientes ciclos que no produzcan degradación significante en sus elementos. Para realizar el cálculo del área del paralelogramo se tiene la siguiente simplificación.

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2 6

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional”

De esta gráfica y la anterior se puede deducir que: 𝛃𝐎 =

𝟏 𝐄𝐃 𝟏 𝟒 (𝐚𝐲 𝐝𝐩𝐢 − 𝐝𝐲 𝐚𝐩𝐢 ) 𝟐 (𝐚𝐲 𝐝𝐩𝐢 − 𝐝𝐲 𝐚𝐩𝐢 ) = = 𝐚𝐩𝐢 𝐝𝐩𝐢 𝟒𝛑 𝐄𝐒 𝐎 𝟒𝛑 𝛑 𝐚𝐩𝐢 𝐝𝐩𝐢 𝟐 𝛃𝐞𝐪 (%) =

luego:

𝟐𝟎𝟎 𝟒 (𝐚𝐲 𝐝𝐩𝐢 − 𝐝𝐲 𝐚𝐩𝐢 ) +𝟓 𝛑 𝐚𝐩𝐢 𝐝𝐩𝐢

Este valor de amortiguamiento equivalente puede ser empleado para estimar los factores de reducción del espectro de demanda con un amortiguamiento mayor a 5% del amortiguamiento crítico. Los

factores

empleados

para

reducir

el

espectro

𝐒𝐑 𝐀 =

𝟑. 𝟐𝟏 − 𝟎. 𝟔𝟖 𝐥𝐧 (𝜷𝒆𝒒 (%)) 𝟏 𝟐. 𝟏𝟐 𝛃𝐒

𝐒𝐑 𝐕 =

𝟐. 𝟑𝟏 − 𝟎. 𝟒𝟏 𝐥𝐧 (𝜷𝒆𝒒 (%)) 𝟏 𝟏. 𝟔𝟓 𝛃𝐋

de

demanda

son:

Para amortiguamientos menores a 25%, los factores de reducción calculados con 𝐛𝐞𝐪(%) son consistentes con los factores contenidos en códigos de aisladores de base y en las especificaciones del FEMA. El comité que desarrolló estos coeficientes concluyó que el espectro no debía ser reducido, para valores de amortiguamiento altos, a tal grado. Para compensar este hecho se incrementaron los coeficientes (𝛽𝑆 , 𝛽𝐿 )1 para valores de amortiguamiento mayor a 25% o lo que es lo mismo se disminuyeron los factores 𝑆𝑅𝐴 y 𝑆𝑅𝐵 , de manera que el espectro se reduzca menos. También se definió un límite en las reducciones para 𝐛𝐞𝐪(%) . a un valor de 50%. En caso de evaluar el reforzamiento de edificaciones de concreto que no son típicamente dúctiles, el cálculo de 𝐛𝐞𝐪(%) tiende a sobre estimar los valores de amortiguamiento. Por ello para simular lazos histeréticos “imperfectos”, el concepto de amortiguamiento viscoso GARAVITO PARIONA DICMAR RAUL

2 7

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” equivalente emplea un factor de modificación κ, para definir el amortiguamiento viscoso efectivo. 𝐁𝐞𝐟𝐟 = 𝐤 𝛃𝐨 + 𝟎. 𝟎𝟓 = 𝐤 [

𝟐 (𝐚𝐲 𝐝𝐩𝐢 − 𝐝𝐲 𝐚𝐩𝐢 ) ] + 𝟎. 𝟎𝟓 𝝅 𝐚𝐩𝐢 𝐝𝐩𝐢

El factor K , depende del comportamiento estructural del edificio, el cual a su vez depende de su sistema sismo resistente y la duración del sismo. Por simplicidad en esta norma se plantean 3 categorías de comportamiento estructural. Tipo A: representa un comportamiento que desarrolla ciclos de histéresis estables, luego K=1 . (Excepto para valores de amortiguamiento alto) Tipo B: representa una moderada reducción del área encerrada por los lazos, luego K=2/3. Tipo C: representa un comportamiento histerético pobre con una gran reducción del área encerrada por los lazos, luego K=1/3. Sin embargo, también se tienen los siguientes valores para , según el porcentaje de amortiguamiento histerético

b0(%).

Tipo de Comportamiento

b0(%).

K

Tipo A

Tipo B

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2 8

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” Tipo C

Cualquier

1/3 valor Como se mencionó líneas arriba, para valores altos de amortiguamiento, se debe ser juicioso para determinar hasta cuanto reducir el espectro de demanda, en la norma se limitan los valores de SRA y SRB valores correspondientes a un beff = 40%.

La selección del tipo de comportamiento de la estructura depende de la capacidad de resistencia de La selección del tipo de comportamiento de la estructura depende de la capacidad de resistencia de los elementos primarios y de la duración de la solicitación sísmica. La duración de un sismo se debe considerar cuando se desea determinar un nivel apropiado de amortiguamiento efectivo ya que los sistemas estructurales reducirán su capacidad de absorber energía al ser sometidos a ciclos repetidos de demandas sísmicas altas.

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2 9

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” Se pueden dar 2 escenarios cuando se evalúa los efectos de la duración en la degradación potencial de la estructura y la reducción de la capacidad de amortiguamiento. - El primero, está relacionado con sismos cercanos a la fuente, en este caso se espera tener grandes demandas de aceleración en periodos cortos. - El segundo, está relacionado con sismos lejanos a la fuente, en este caso se espera tener una duración mayor y aunque las demandas son moderadas una mayor duración incrementa el potencial de degradación del sistema estructural. Se puede asumir que los suelos blandos presentarán una larga duración del movimiento sísmico, a menos que un estudio geotécnico recomiende otra cosa. De acuerdo a lo mencionado, ATC-40 propone el siguiente criterio para selecciona el tipo de comportamiento. Duración del

Estructura

Edificio

Edificio Nueva

Sismo

Existente

Diseñadas

Edificios

con norma

Se planean

Antiguo

Promedio

que

Edificios con

Incertidumbre sismo resistente

reforzar

De resistencia Periodo corto

Tipo A

Tipo B

Tipo C

GARAVITO PARIONA DICMAR RAUL

3 0

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” Periodo Largo

Tipo B

Tipo C

Tipo C

DETERMINACIÓN DEL PUNTO DE DESEMPEÑO El punto de desempeño representa el máximo desplazamiento de la estructura esperado para una determinada demanda sísmica. Su localización es aproximada y puede estar dentro de un intervalo de aceptabilidad del 5% del dpi a cada lado.Para simplificar el procedimiento de encontrar este punto de intersección ATC-40 propone 3 procedimientos simplificados, de los cuales solo se describirá el primero. 3.3.1 PROCEDIMIENTO A Se emplea este procedimiento analítico porque permite aplicar el concepto del método de espectro capacidad, por su sencillez y posibilidad para ser programado. Los pasos para el procedimiento son: Desarrollar el espectro de demanda elástico (β=5%) apropiado. Transformar la curva de capacidad en una curva de espectro capacidad. Graficar ambas curvas en el formato ERAD2 y seleccionar un punto de prueba (dpi,api) (se podría emplear el criterio de áreas iguales para el último punto (coherente con el comportamiento de la estructura) de la curva de capacidad). Desarrollar la representación bilineal y encontrar(dy,ay). En caso de tener una curva del tipo “diente de sierra” se debe emplear la curva correspondiente al desplazamiento elegido. Calcular los factores de reducción del espectro, y luego graficar el espectro reducido.

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3 1

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” Determinar si la intersección del espectro reducido con el espectro de capacidad es cercano al punto (dpi,api), inicialmente supuesto, y si tal diferencia es tolerable, este punto es el punto de desempeño. De no cumplirse el paso 6, se debe volver al punto 4 con un nuevo (d pi+1,api+1),que podría ser el último punto de intersección.

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3 2

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional”

TITULO: ANALISIS DINAMICO NO LINEAL DIIMAR RAUL GARAVITO PARIONA UNIVERSIDAD PARTICULAR: ALAS PERUANAS – FACULTAD DE INGENERIA CIVIL

INTRODUCCIÓN. Debido a que las solicitaciones que un sismo de gran intensidad impone a las estructuras con comportamiento elástico son muy elevadas, en general no resulta económicamente factible diseñar a los edificios con el objeto que resistan sin ningún daño un sismo severo y de baja frecuencia de ocurrencia. El costo necesario para que la resistencia de la estructura sea tal que su comportamiento se mantenga esencialmente dentro del límite elástico durante un sismo de esas características es muy alto. Es por ello que es de práctica común proceder a diseñar la estructura para que tenga una resistencia mucho menor, pero que al mismo tiempo cuente con propiedades suficientes de ductilidad que le permitan disipar la energía introducida por el sismo mediante ciclos de histéresis que incursionen en el campo inelástico. Actualmente es posible determinar la respuesta no lineal de un modelo matemático de un sistema estructural sujeto a acciones dinámicas, debido al desarrollo de diferentes procedimientos de análisis estructural. La concordancia de la respuesta calculada de esta manera con el verdadero comportamiento de la estructura durante un sismo dependerá básicamente de la calidad de la idealización estructural o modelo matemático elegido y del procedimiento de análisis utilizado. Se presentan tres ejemplos de validación. El primero consiste en un análisis comparativo entre las predicciones de los dos modelos presentados. En el siguiente ejemplo se analizan los efectos que la torsión induce en estructuras asimétricas. Un tercer ejemplo ilustra la capacidad del modelo para evaluar la respuesta de sistemas estructurales complejos, mostrando el análisis dinámico de una estructura de cinco pisos compuesta por ocho elementos sismorresistentes planos ante la acción del sismo de Kobe, Japón (1995) GARAVITO PARIONA DICMAR RAUL

3 3

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” OBJETIVOS II.1

RELACIONES

CONSTITUTIVAS

INELÁSTICAS

DE

LOS

PLANOS

SISMORRESISTENTES El método desarrollado tiene como característica principal la de realizar un análisis previo de los elementos resistentes utilizando el modelo propuesto por O. Möller, G. Etse y M. Rubinstein2 que utiliza un elemento de barra para el análisis no lineal estático y dinámico de pórticos de hormigón armado sismorresistentes, compuesto por subelementos conectados en serie, y que fue implementado en el programa de computación DINLI. Por aplicación del mencionado software, y mediante la implementación de un análisis estático no lineal monótono creciente (push-over) es posible obtener los parámetros necesarios para definir las relaciones constitutivas de cada elemento bidimensional. El programa DINLI necesita incorporar como datos a los parámetros obtenidos de un análisis de las secciones de vigas y columnas en las que se espera la formación de rótulas plásticas para cada uno de los elementos planos, y obtener a través del mismo los valores que permiten caracterizar la relación momento-curvatura de cada sección considerada. Esto se logra por un pre procesamiento de las mencionadas secciones con el método desarrollado por O. Möller6 , e implementado en el software MPHI1. II.2 MODELO BASADO EN LA RELACIÓN CORTE EN LA BASE-DESPLAZAMIENTO EN LA CIMA En este caso, realizando un análisis previo de cada plano sismorresistente, aplicando el programa DINLI, es posible extraer los parámetros necesarios para obtener la relación no lineal “corte en la base-desplazamiento en la cima”. Se supone un comportamiento elástico hasta la formación de un mecanismo plástico y posteriormente, la relación corte desplazamiento es gobernada por la rigidez inelástica. De este modo la relación constitutiva es bilineal. De esta curva rectificada es posible extraer los valores de fluencia o de formación del mecanismo plástico: corte de fluencia en la base (Qy), y desplazamiento de fluencia en la cima (Dy). También se obtienen las matrices de rigidez GARAVITO PARIONA DICMAR RAUL

3 4

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” correspondientes a pasos del cálculo representativos de las zonas elástica e inelástica, que son luego ingresadas como datos de entrada para el programa desarrollado en el presente trabajo II.3 MODELO BASADO EN LA RELACIÓN DESPLAZAMIENTO RELATIVO DE PISOCORTE EN LAS COLUMNAS DEL PISO Para esta alternativa, realizando un análisis previo de cada plano sismorresistente, aplicando el programa DINLI, es posible construir, para cada piso, las curvas que relacionan a la suma de los esfuerzos de corte en la columnas del piso con los desplazamientos relativos de piso. Estas curvas son posteriormente linealizadas para obtener los parámetros característicos y los coeficientes de rigidez correspondientes que permiten construir la matriz de rigidez condensada del plano, de dimensión N x N, donde N es el número de pisos. Durante el cálculo del sistema espacial, esta matriz se actualiza en función dela relación constitutiva mencionada. Esta relación se completa utilizando la regla de histéresis que sigue el modelo de Clough7 , lo que permite que el procedimiento pueda ser utilizado para realizar un análisis dinámico no lineal. ANÁLISIS ESTÁTICO LINEAL FRENTE A ANÁLISIS DINÁMICO LINEAL En los análisis estáticos lineales, las cargas se aplican lenta y gradualmente hasta que alcanzan sus magnitudes completas. A continuación, las cargas permanecen constantes (sin variación en el tiempo). Las aceleraciones y velocidades del sistema excitado son insignificantes y, por tanto, no se tienen en cuenta fuerzas de inercia o amortiguamiento en la fórmula: , donde K]: matriz de rigidez {u}: vector de desplazamiento {f}: vector de carga. GARAVITO PARIONA DICMAR RAUL

3 5

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” La solución produce desplazamientos y tensiones que son constantes. En los estudios dinámicos lineales, las cargas aplicadas varían en el tiempo. Las cargas pueden ser deterministas (periódicas y no periódicas) o no deterministas (no pueden predecirse con precisión pero sí pueden describirse desde un punto de vista estadístico). Las aceleraciones y velocidades del sistema excitado son considerables y, por tanto, se deben tener en cuenta fuerzas de inercia o amortiguamiento en la fórmula [𝐌]{ü(𝐭)} + [𝐂]{ü(𝐭)} + [𝐊]{ü(𝐭)} = {𝐟(𝒕)} , donde [K]: matriz de rigidez [C]: matriz de amortiguamiento [M]: matriz de masa {u(t)}: vector de desplazamiento dependiente del tiempo vector de aceleración dependiente del tiempo : vector de velocidad dependiente del tiempo {f(t)}: vector de carga dependiente del tiempo La respuesta del sistema se proporciona en términos de historiales de tiempo (amplitudes frente a tiempo) o en términos de espectros de frecuencia (valores pico frente a frecuencia). Para análisis dinámicos lineales, las matrices de masa, rigidez y amortiguamiento no varían con el tiempo.

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3 6

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” DEFICIENCIAS,

LIMITACIONES,

VENTAJAS

Y

DESVENTAJAS

DE

LAS

METODOLOGÍAS DE ANÁLISIS SÍSMICO NO LINEAL RESUMEN El presente trabajo está dirigido a la comparación de las metodologías de análisis sísmico: dinámico cronológico no lineal, pushover tradicional, y dos procedimientos modales. La comparación se realizó a partir del estudio de un edificio de mediana altura, aporticado, de concreto reforzado, representativo de las edificaciones típicamente construidas en Bucaramanga. La estructura fue sometida a uno de los sismos definidos por el estudio de microzonificación de la ciudad, escalado a diferentes valores de aceleración pico efectiva. Los resultados obtenidos fueron comparados en términos de desplazamientos y derivas, con lo cual se pudieron detectar algunas deficiencias, limitaciones, ventajas y desventajas de las metodologías utilizadas, concluyendo que las metodologías modales son una buena aproximación para la determinación del comportamiento sísmico de estructuras de concreto reforzado Palabras clave Análisis sísmico inelástico; análisis dinámico cronológico no lineal; análisis estático no lineal; pushover tradicional; pushover modal; construcciones sismo resistentes; análisis dinámico no lineal RECOMENDACIONES Y FUTUROS TRABAJOS:  Obtener funciones de distribución de probabilidad que presente la variación de las principales variables que controlan tanto la acción sísmica como la puesta de los edificios, a partir de datos experimentales disponibles.  Realizar ensayos de laboratorios para determinar experimentalmente los umbrales de daño de los edificios típicos de las ciudades, es decir que permita correlacionar los intervalos de variación de un parámetro o inicio de daño, con los estados discretos de daño.

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3 7

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional”  Aplicar en las ciudades los procedimientos que, como lo que se han utilizados para en la ciudades producidos en demandas en una capacidad sísmica. Es ampliamente reconocido, que el análisis dinámico no lineal es la mejor forma de cuantificar la respuesta de los edificios antes de un sismo intenso. PROCESO DE PLASTIFICACION: Es a ese punto a lugar que se denomina rotula plástica o articulada plástica. La rotula es un mecanismo de disipación e energía en cada elemento de la estructura.También puede ser originada por contante pero creando

efecto de rotura frágil por lo que debería

chequearse la estructura a fin de evitar ese patrón. CASO PRÁCTICO: Cuando las cargas son gravitatorias (verticales) por ejemplo, cuando tenemos una viga simplemente apoyada con una carga distribuida el momento máximo ocurrirá en el centro de vano y de valor WI.I/8. (Parecido a la gráfica, que ocurre en el centro). Generando la rótula en ese punto pero cuando la estructura está sometida a carga laterales los momentos máximos ocurrirán cercanos a los nudos entre viga y columnas. En esta caso las rotula se originaran en los puntos cercano a los nudos, nunca dentro del nudo porque el momento y el cortante máximo siempre se generaran de la cara hacia afuera de las columnas. En el lugar interno del nudo se considera.

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3 8

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” ROTULAS PLÁSTICA EN COLUMNAS

ROTULAS PLÁSTICA EN

VIGAS

COLAPSO EN COLUMNAS

LA ESTRUCTURA TRABAJA EN

CONJUNTO

GARAVITO PARIONA DICMAR RAUL

3 9

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional”

CAPITULO I:

ANALISIS DIMANICO NO LINEAL DE PORTICOS

RESUMEN: el análisis elástico lineal es ampliamente utilizado para determinar la respuesta estructural ante carga de servicio, no obstante, para situaciones extremas como por ejemplo sismo moderados o destructivos, un análisis no lineal ofrece una respuesta mas realista. En este trabajo se estudia el comportamiento no lineal material de la estructuras aporticadas en el plano que sometida, a carga dinámicas determinísticas, pueden experimentar deformaciones plásticas según la distribución instantánea de esfuerzos, asumiendo el comportamiento no lineal esta restringido a deformaciones por flexión, se propone un elemento de viga compuesta por dos tramos externo de longitud variable cuya rigidez flexional esta asociada a una curva constructiva propuesta no lineal (momento curvatura). y un tramo central de comportamiento elástico. La discretización espacial se ha realizado mediante elementos finitos, la resolución numérica sigue un esquema Newton Raphson utilizando un algoritmo implícito para integrar de las ecuaciones de equilibrio. INTRODUCION: Para obtener la respuesta dinámica de una estructura sometida a excitaciones sísmicas severas es necesario formular modelos matemáticos que contemplen una serie de aspectos físicos en los esquemas de integración temporal, asociados a las características histeréticas del material, al comportamiento elasto plástico y a la degradación de las propiedades mecánicas en determinadas secciones críticas; en algunos casos puede ser conveniente tener en cuenta también no linealidad geométrica. Todos estos factores tienen una importante influencia en la respuesta y a los efectos de estudiar el comportamiento global deben estar presentes en el modelo numérico. Dependiendo del nivel de discretizacion adoptado, pueden formularse desde modelos muy simples, con escasa información en tensiones y deformaciones internas, a modelos complejos con gran refinamiento en los cuales puede incorporarse todo tipo de efecto físico. Los primeros destinados a evaluar el comportamiento global de la estructura, y los GARAVITO PARIONA DICMAR RAUL

4 0

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” últimos restringidos generalmente al estudio en detalle de secciones críticas. Para el caso de estructuras aporticadas los elementos de viga representan una solución económica, desde el punto de vista computacional, y de aceptable precisión. Un modelo de estas características, que incluye no linealidad fisica y geométrica puede econtrarse en las referencias 1,2. El presente trabajo describe brevemente la implementación de tres elementos de viga muy simples. La longitud deformable L de cada uno de ellos está compuesta por dos tramos extremos con rigidez flexional degradada y un tramo central de rigidez flexional elástica (fig1)

Los códigos actuales de diseño de estructuras sismorresistentes aceptan, para exitaciones severas, tanto el desarrollo controlado de deformaciones inelásticas irreversibles como la degradación de las propiedades mecánicas, en zonas especialmente diseñadas de la estructura dotadas de suficiente ductilidad. Si nos restringimos exclusivamente al caso de movimientos sísmicos, los máximos esfuerzos se presentarán indefectiblemente en los extremos de los elementos, por esta razón el daño o degradación de rigidez se origina allí inicialmente para propagarse hacia el interior hasta una cierta longitud (aquí denominada longitud de plastificación λL), a medida que se alcanza la tensión de fluencia del material. Los elementos implementados postulan una distribución de rigidez flexional constante, lineal y cuadrática en la zona de plastificación extrema, como se indica en la figura 1. Cada elemento está formado por tres subelementos de viga que tienen en cuenta deformaciones axiales, flexionales, cortantes e inercia rotacional (elemento de viga de GARAVITO PARIONA DICMAR RAUL

4 1

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” Timoshenko en el plano). La matriz de rigidez del elemento se obtiene por condensación de los grados de libertad internos de los subelementos. A la longitud flexible o deformable L es posible agregarle zonas extremas rígidas mediante simples correciones geométricas, posibilitando el modelado no sólo de elementos de pórticos, sino también de tabiques con la simplicidad de los modelos de viga-columna. La función que proporciona la variación de rigidez en los tramos extremos depende de dos parámetros que se actualizan en cada instante del análisis. Uno de ellos es la longitud de plastificación que se calcula en función de la distribución actual de momentos flectores, el otro es la rigidez w de la sección de control (secciones extremas, en este caso) la cual satisface una ecuación constitutiva no lineal predefinda en términos de momentos y curvaturas DISCRETIZACION ESPACIAL VIA MEF: Para la solución numérica vía elementos finitos, es necesario formular el problema en términos de un número finito de grados de libertad. El concepto básico del MEF consiste en reemplazar la función solución en desplazamientos 𝒖(𝒙, 𝒕) del problema dinámico continuo por una solución aproximada obtenida como combinación lineal de funciones de forma conocidas y parámetros incógnitos que varían en el tiempo, tal función puede expresarse: 𝑻

𝒖(𝒙, 𝒕) = ∫ 𝖆(𝒕)

(𝟏)

(𝒙)

Las ecuaciones diferenciales de equilibrio dinámico para el elemento de viga bajo la hipótesis de pequeñas deformaciones adoptan la siguiente forma: para desplazamientos transversal. 𝛛𝟐 𝛛𝟐 𝐯 𝛛𝟐 𝐯 (𝐄 𝐈 ) + 𝛒𝐀 =𝐪 𝛛𝐱 𝟐 𝛛𝐱 𝟐 𝛛𝐭 𝟐

(𝟐)

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4 2

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” para desplazamientos longitudinales. 𝑨𝑬

𝝏𝟐 𝒖 𝝏𝟐 𝒖 − 𝝆𝑨 =𝒑 𝝏𝒙𝟐 𝝏𝒕𝟐

(𝟑)

Sustituyendo la función aproximada propuesta en las ecuaciones diferenciales, aplicando Galerkin e integración por partes, es posible obtener fácilmente la ecuación semidiscreta de movimiento del elemento: 𝐊 𝐄 = 𝐋

+ ͟Ü

𝐋

𝐄

+𝐌 =

𝐋

𝐄

+ ͟Ü

𝐋

𝐄

=

͟𝐏

𝑬𝑸 𝐋

𝐄

(𝟒)

Cada término a nivel elemental está expresado en coordenadas locales y tiene el siguiente significado: vector de desplazamientos del elemento: ͟𝐔

= [𝒖𝟏 , 𝒖𝟐 , 𝒖𝟑 , 𝒖𝟒 , 𝒖𝟓 , 𝒖𝟔 ]

𝑻

(𝟓)

matriz de rigidez del elemento (desplazamientos transversales): 𝝏𝟐 ͟𝒇 𝐅 𝝏𝟐 ͟𝒇 𝐅 𝑻 = 𝑬𝑰 ∫ ( 𝐠 (𝒙) ) 𝒅𝒙 𝝏𝒙𝟐 𝝏𝒙𝟐 𝟎 𝑳

𝐊 𝐄 = 𝐋

(𝟔)

matriz de rigidez del elemento (desplazamientos longitudinales): 𝐊 𝐄 = 𝐋

𝑳 𝝏𝟐 ͟𝒇 𝐀 𝝏𝟐 ͟𝒇 𝐀 𝑻 = 𝑨𝑰 ∫ ( 𝐠 ) 𝒅𝒙 (𝒙) 𝝏𝒙𝟐 𝝏𝒙 𝟎

(𝟕)

matriz de masa consistente elemental: 𝐋 𝐊 𝐄 = 𝐋

= 𝛒𝐀 ∫ ( ͟𝐟 ͟𝐟 𝑻 ) 𝐝𝐱

(𝟖)

𝟎

vector

de

cargas

nodales

equivalentes

del

elemento:

L ͟P

EQ L

E

= ∫ ( ͟f

ρ

) dx

(9)

0

GARAVITO PARIONA DICMAR RAUL

4 3

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” Como se ha mencionado anteriormente se asume que existe una distribución continua de la degradación de las propiedades mecánicas en la longitud de plastificación (en este caso sólo el módulo de elasticidad longitudinal) que se tiene en cuenta mediante la función 𝐠 (𝒙) (constante, lineal y cuadrática para los extremos de 𝑬𝟏 , 𝑬𝟐 𝒚 𝑬𝟑 respectivamente). Para las subelementos centrales la función 𝐠 (𝒙) es unitaria. ͟𝒇

El vector

, en las expresiones anteriores, está compuesto por

͟𝐟

𝐅

𝐲

͟𝐟

𝐀

(vectores de

funciones de forma para desplazamientos por flexión y por solicitación axial respectivamente). FUNCIONES DE FORMA: Las funciones de forma utilizadas, para tener en cuenta el efecto de las deformaciones por esfuerzo conrtante y la inercia de rotación de la sección transversal, son las siguientes [𝟑]: ͟𝐟

Aquí

͟𝐟

𝐑

𝐅

𝐲

= | ͟𝐟 𝐑 ͟𝐟

𝐓

͟𝐟

𝐓

|

(10)

son vectores que contienen las funciones de forma para incluir la rotación de

la sección y los desplazamientos normales de la misma con respecto al eje neutro respectivamente. Sus expresiones analíticas se indican a continuación: Sus expresiones analíticas se indican a continuación:

͟f

R

x x2 6 ( − 2) n L L x x2 x [−1 + 4 − 3 2 − (1 − ) φ] ln 1 L L L = 2 1+φ x x 6 (− − 2 ) n L L x x2 x (− 2 − 3 2 − φ) ln L L L [ ]

(11)

GARAVITO PARIONA DICMAR RAUL

4 4

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional”

͟f

T

𝑥 x2 1 −6 2 + 6 3 + 𝜑 L L 𝐿 1 x x2 1 1 x [ − 4 2 − 3 3 − ( − 2 2 ) φ] L 1 𝐿 L L 2 𝐿 L = 1+φ 𝑥 x2 1 −6 2 + 6 3 + 𝜑 L L 𝐿 x x2 1 1 x [−2 2 + 3 3 − ( − 2 2 ) φ] L L L 2 𝐿 L [ ]

(12)

definiéndose, además: 𝝋=

𝟏𝟐𝑬𝑰 𝑿 𝑮𝑨𝑳𝟐

;

𝒏=

𝒚 𝑳

(𝟏𝟑)

𝒙: factor de forma de la sección. 𝒚: distancia al eje neutro de la sección Con respecto a los desplazamientos en la dirección del eje del elemento son suficientes, en la mayoría de los casos, funciones de variación lineal: 𝒙

͟𝐟

𝐀

=⌈

𝟏−𝑳 𝒙

⌉

(𝟏𝟒)

𝑳

Definidas las expresiones analíticas de las funciones de interpolación es posible evaluar las ecuaciones (𝟔), (𝟕), (𝟖) 𝒚 (𝟗) ) para cada subelemento. CARACTERISTICA GENERALES DEL ELEMENTO FINITO: Elemento lineal: Es un elemento de interpolación cúbica en desplazamientos que incluye los efectos de la inercia de rotación y las deformaciones por corte. Los segmentos AC y DB (figura 2) son infinitamente rígidos con el objeto de representar conexiones de dimensión finita. El tramo central CD es rectilíneo, con propiedades mecánicas y físicas constantes, admite un comportamiento elástico capaz de deformarse debido a flexión, corte y esfuerzo normal. Con respecto a las propiedades inerciales, la masa del elemento se tiene en cuenta mediante la formulación de una matriz de masa consistente. GARAVITO PARIONA DICMAR RAUL

4 5

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” Es posible agregar masa no estructural concentrándola en cualquier grado de libertad. El elemento admite cargas estáticas y dinámicas de variación lineal en sentido normal y/o tangencial a su eje, en toda o una fracción del tramo flexible.

Elemento no lineal: Nuestro mayor interés en estudiar elementos con comportamiento no lineal material radica en el análisis dinámico ante excitaciones severas, que originan deformaciones plásticas en los componentes estructurales. El elemento esta formulado para cargas dinámicas nodales exclusivamente, originadas, por ejemplo, por movimientos laterales del terreno de fundación. En este caso los esfuerzos de flexión más importantes se presentarán en los extremos de los elementos. Este motivo justifica la característica principal del modelo elasto-plástico que se describe. El elemento no lineal está formulado utilizando como base al elemento lineal. La diferencia está asociada a la posibilidad de desarrollo de zonas extremas de menor rigidez simulando la formación de rotulas plásticas de longitud variable conforme varía la distribución de momentos flectores durante la respuesta transitoria. Al decir zonas extremas nos referimos siempre al tramo deformable (figura 3).

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4 6

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional”

La degradación de rigidez en la zona de plastificación viene dada por la función g(x). En 𝐠 (𝒙)=𝒘𝒊 ; 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒙 = 𝟎

particular se tendrá:

𝐠 (𝒙)=𝐥 ; 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒙 = 𝝀𝒊 𝑳

(𝟏𝟓)

𝐠 (𝒙)=𝐥 ; 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒙 = 𝝀𝒅 𝑳 𝐠 (𝒙)=𝒘𝒅 ; 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒙 = 𝐋 se evalúa en cada instante de tiempo. Como primera aproximación proponemos, para tales secciones de control, una ecuación constitutiva elasto-plástica bilineal, con una ley de endurecimiento cinemático (figura

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4 7

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” ANALISIS TRANSIENTE NO LINEAL: El procedimiento de cálculo para obtener la respuesta transiente consiste en someter a la estructura a incrementos de carga que dependen de la discretización temporal adoptada. El equilibrio global para un incremento en particular se logra mediante un esquema iterativo en el cual se modifica la rigidez de cada elemento en función de los parámetros constitutivos y la correspondiente longitud de plastificación variable. Cuando se satisface el criterio de convergencia se aplica el próximo incremento de carga hasta completar el análisis. En líneas generales se sigue el esquema Newton Raphson utilizando un método implícito (Newmark) para la integración numérica de las ecuaciones de movimiento. AMORTIGUAMIENTO: Se asume un mecanismo de disipación de energía homogéneo en toda la estructura y la existencia

de

proporcionalidad

entre

fuerzas

no

conservativas

y

velocidad

(amortiguamiento viscoso equivalente). La matriz de amortiguamiento se formula a nivel global verificando ortogonalidad respecto a la matriz modal (amortiguamiento proporcional) mediante dos procedimientos3 : amortiguamiento generalizado de Rayleigh (series numéricas de Caughey) evaluación modal directa (método de Wilson y Penzien) CASOS DE PRUEBA; Análisis psuedo estático: Como primer ejemplo se verifica si el modelo no lineal propuesto, es capaz de recuperar la carga estática de colapso para la estructura indicada en la figura:

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4 8

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional”

Si los elementos tienen rigidez flexional constante, según la teoría de análisis límite, la carga última será5 : 𝑷𝒖 =

𝟓 𝑴𝒑 𝟐 𝒂

(𝟏𝟔)

En donde "𝑴𝑷" es el momento de plastificación supuesto constante para todos los elementos, y “a” la longitud indicada en la figura anterior. Para realizar el análisis no lineal, se ha utilizado el elemento 𝑬𝟏 con longitudes de plastificación constantes del orden de un décimo de la longitud de cada elemento y una ecuación constitutiva elasto plástica perfecta a fin de simular la formación de rótulas plásticas concentradas en los nodos. Tras realizar dicho análisis se ha recuperado el mecanismo real de colapso (figura 6) y la carga última con un error de 0.4% (figura 7) con respecto a la teórica (Pu = 500).

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4 9

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional”

Análisis dinámico no lineal: Para validar la respuesta dinámica no lineal se han propuesto dos ejemplos. El primero de ellos consiste en una viga perfectamente empotrada en uno de sus extremos y apoyada sobre un resorte elastoplástico en el borde opuesto el cual, a su vez, tiene el giro impedido, (figura 8-a). El tramo AB está compuesto por tres elementos con comportamiento lineal, mientras que el tramo BC, en el modelo numérico, es un único elemento de viga no lineal que reemplaza al resorte elastoplástico con idéntica rigidez ante desplazamientos verticales (figura 8-b). Nuevamente, para evaluar la respuesta dinámica, el elemento con rigidez

extrema

constante

fue

utilizado:

𝑬𝟏

.

En la tabla siguiente se indican las características físicas y mecánicas de la estructura en estudio:

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5 0

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional”

Se adopta como longitud de plastificación del elemento 4 el 10% de su longitud total. El parámetro de reducción de rigidez, para este ejemplo es cero (w= 0) para ambos extremos. Las características mecánicas y físicas del elemento 4 (módulo de Young, área, inercia y momento de plastificación) se calcularon para restablecer el comportamiento elastoplástico del resorte (k = 1000; Fp = 378.9) ante desplazamientos verticales. La solicitación externa está compuesta por una carga impulsiva P(t) de valor constante (1500) durante el periodo de análisis (12 segundos). En la figura siguiente se comparan los resultados obtenidos en desplazamientos verticales del nodo B, con un modelo no lineal, desarrollado en un programa de placas sobre apoyos elastoplásticos. También se puede observar la solución dinámica lineal.

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5 1

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” En el último ejemplo se estudia la performance de los tres elementos implementados. La estructura en cuestión se observa en la figura 10-b y se encuentra sometida al acelerograma indicado en figura 11. El modelo numérico que se utilizó se muestra en la figura 10-a. Se supone en este caso que los elementos verticales, de gran rigidez, permanecen elásticos durante el análisis, mientras que los miembros flexibles que los unen pueden incursionar en el campo inelástico conforme la distribución instantánea de esfuerzos, verificando una ley constitutiva con reducción de rigidez en ambos extremos: 0.1*EI (wi = 0.1; wd = 0.1). La tabla siguiente resume las características y las propiedades mecánicas de cada elemento.

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5 2

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional”

La figura 12 muestra la respuesta en desplazamientos horizontales del nodo número 8 para los tres

elementos en estudio. Como se esperaba, se observa una pequeña elongación del período fundamental para el elemento 𝑬𝟏 ya que éste es el de mayor flexibilidad global.

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5 3

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional”

CONCLUSIONES; Se ha desarrollado un elemento de viga elasto-plástico que posee un tramo central de rigidez elástica y tramos extremos de rigidez flexional degradada en una longitud finita de plastificación. La variación de rigidez extrema se tiene en cuenta mediante una función continua g(x) supuesta constante, lineal y cuadrática. El parámetro fundamental “w” que gobierna el comportamiento global del elemento se obtiene de una ley constitutiva con endurecimiento cinemático que corresponde a la relación momento curvatura de las secciones de control. Si bien el modelo no lineal está aún en etapa de desarrollo, es capaz de recuperar con gran exactitud la carga y el mecanismo de colapso en análisis estáticos no lineales bajo carga monotónica, y en relación a la respuesta dinámica, ha mostrado un comportamiento satisfactorio frente a soluciones de referencia. No se observan diferencias considerables en la respuesta en desplazamientos entre el elemento con rigidez extrema lineal y aquel con rigidez cuadrática.

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5 4

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” Las investigaciones futuras estarán orientadas al estudio e implementación de leyes constitutivas que representen de forma más real el comportamiento histerético del material y a la aplicación práctica de estos modelos para optimizar criterios de diseño en estructuras sismorresistentes. REFERENCIA; [1] O. Möller, J. G. Etse y M. Rubinstein, “Análisis Computacional no lineal para pórticos sismorresistentes”, Mecánica Computacional. AMCA, VOL.XVII, 405-414, (1997). [2] O. Möller, J. G. Etse, A. P. Giuliano y M. Rubinstein, “Computational analysis of non linear dynamic behavior of reinforced concrete frames”, Computacional Mechanies: (E. Oñate, S. Idelsohn and E. Dvorkin Eds.) Part II, Section 5, Title 9, CIMNE, IACM, (1998). [3] J. S. Przemieniecki, Theory of matrix structural analisys, MeGraw Hill,1968. [4] J. M. Canet and A. H. Barbat, Estructura sometido a acciones sísmicas. Calculo por el ordenar., CINME, 1988 [5]

J.

Courbon,

Tratado

de

Resistencia

de

Materiales

II,

Aguiar,

GARAVITO PARIONA DICMAR RAUL

1969

5 5

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional”

CAPITILO II: ANALISIS DIMANICO NO LINEAL INTRODUCCION Todas las estructuras se comportan en la realidad física dinámicamente cuando sufren la acción de cargas externas o desplazamientos impuestos. Tipos de fuerzas: elásticas, de inercia y de amortiguamiento 𝑢(𝑥, 𝑡) → ů (𝑥, 𝑡) → ü (𝑥, 𝑡) Fuerzas elásticas

𝑘 𝑢(𝑥, 𝑡)

Fuerzas de inercia

𝑚(𝑥)ü(𝑥, 𝑡)

Fuerzas de amortiguamiento

𝑐(𝑥)ü (𝑥, 𝑡)

Si las cargas o desplazamientos se aplican de forma lenta, las fuerzas de inercia y de amortiguamiento son despreciables frente a las elásticas y el análisis estático está justificado Si las fuerzas o desplazamientos no son lentos el análisis dinámico es necesario, y se plantea como una extensión del análisis estático mediante la aplicación de equilibrios de fuerzas Acciones dinámicas

𝑢(𝑥, 𝑡) → ů (𝑥, 𝑡) → ü (𝑥, 𝑡)

Fuerzas de inercia Fuerzas

de

amortiguamiento

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5 6

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” Equilibrio dinámico: En cada instante se obtiene la solución por superposición de tres sistemas de fuerzas: rigidez elástica proporcional a los desplazamientos, amortiguamiento proporcional a la velocidad, y fuerzas de inercia proporcionales a las aceleraciones. La carga P(t) instantánea que sufre la estructura se reparte entre los tres sistemas. 𝐮(𝐭) → 𝐟𝐞 = 𝐤 𝐮(𝐭) P(x) { ů(𝐭) → 𝐟𝐚 = 𝐜ů(𝐭) ü(𝐭) → 𝐟𝐈 = 𝐦ü(𝐭)

La ecuación anterior es válida para sistemas lineales y no lineales. Sistemas continuos: Propiedades distribuida → Eciuaciones en derivadas parciales Las EDP resultantes solo tienen solución analítica en los casos básicos de barras y en ciertos casos particulares de láminas y placas. Sistemas discretos: 𝐏𝐫𝐨𝐩𝐢𝐞𝐝𝐚𝐝𝐞𝐬 𝐜𝐨𝐧𝐜𝐞𝐧𝐭𝐫𝐚𝐝𝐚𝐬 → 𝐄𝐜𝐢𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 𝐝𝐞𝐟𝐢𝐫𝐞𝐧𝐜𝐢𝐚𝐥𝐞𝐬 𝐨𝐫𝐝𝐢𝐧𝐚𝐫𝐢𝐚𝐬 Los sistemas de EDO resultantes en el caso de N GDL están acoplados. Sistemas continuos: La aplicación de las ecuaciones de equilibrio dinámico a los sistemas continuos da lugar a sistemas. de ecuaciones en derivadas parciales (aparecen derivadas espaciales y temporales). Las EDP resultantes solo tienen solución analítica en casos básicos de barras y en casos particulares de láminas y placas Barra a flexión: se suponen propiedades constantes de la viga. GARAVITO PARIONA DICMAR RAUL

5 7

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional”

Considerando un elemento diferencial y aplicando el equilibrio vertical

La EDP se resuelve por separación de variables suponiendo que la solución se puede expresar como el producto de una función de posición por otra función temporal. 𝜕 4 𝒖(𝒙. 𝒕) 𝑑4 ∅(𝒙) = 𝑢IV (𝑋, 𝑇) = 𝑓(𝑡) 4 𝜕𝑥 𝑑𝑥 𝑢(𝑥, 𝑡) = ∅(𝑥)𝑓(𝑡)

𝜕 2 𝒖(𝒙. 𝒕) 𝑑2 𝑓(𝑡) = ü (𝑥, 𝑡) = ∅(𝑥) 2 𝜕𝑥 𝑑𝑡 2

𝐸𝐼𝑓(𝑡)∅VI (𝒙) + 𝒎∅(𝒙)𝒇´´(𝒕) = 𝟎

𝑬𝑰 ∅VI 𝒇´´(𝒕) = 𝒎 ∅(𝒙) 𝒇(𝒕)

{

Sistemas continuos Para que se de la igualdad anterior entre funciones que dependen de x y t (variables independientes) es necesario que las dos partes sean iguales a una constante que denominamos ω2. Cada una de las dos ED se puede resolver ahora por separado

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5 8

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional”

La respuesta asociada a cada modo de vibración es de la forma : 𝑠𝑒𝑛

𝑛𝜋𝑥 𝑙

[𝐴𝑛 cos 𝜔𝑛 𝑡 + 𝐵𝑛 sin 𝜔𝑛 𝑡]

𝑢𝑛 (𝑥, 𝑡) =

La ecuación general del movimiento en vibración libre es:

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5 9

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional”

GARAVITO PARIONA DICMAR RAUL

6 0

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” Excitación sísmica uniforme Sistema de N GDL planos Caso básico: todos los GDL en la dirección de la excitación Todos los apoyos sufren la misma excitación temporal ug(t).

En cada instante: 𝑢𝑡𝑗 (𝑡) = 𝑢𝑗 (𝑡) + 𝑢𝑔 (𝑡) = 𝑗 = 1, … . , 𝑁 Considerando todas las masas: Equilibrio dinámico sísmico:

𝒖𝑡𝑗 (𝑡) = 𝒖𝑗 (𝑡) + 𝑢𝑔 (𝑡)1 𝑐𝑜𝑛 1 = {1, … . , 𝑁}

𝒎𝒖´´ + 𝒄𝒖′ + 𝒌𝒖 = 𝟎

Excitación múltiple de la base Si la excitación de la base puede variar en cada apoyo se introducen desplazamientos impuestos cuasiestáticos que se añaden a la vibración sísmica (efecto más desfavorable). GARAVITO PARIONA DICMAR RAUL

6 1

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” Ejemplos: refinerías, puentes colgantes, presas de grandes dimensiones…

Akashi-Kaykyo: movimientos diferenciales tras el sísmo.

La formulación en este caso debe extenderse, incluyendo

los

apoyos

de

la

estructura

Excitación múltiple de la base Conocemos: 𝑢𝐠 , ů𝐠 , ü𝐠 Buscamos: 𝑢𝐭 , P𝐠 , (𝑡) movimientos y reacciones en apoyos

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6 2

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional”

Interacción suelo-estructura y fluido- estructura Acciones dinámicas: -Fuerzas sísmicas horizontales y verticales en presa -Fuerzas hidrodinámicas en el fluido -Posibilidad de excitación múltiple por la base -Efectos sísmicos sobre sedimentos y terreno -Disipación de energía mediante mecanismos diferentes: histéresis del hormigón, radiación de ondas y absorción Salvo en el caso de métodos muy simplificados (pseudo estáticos), las soluciones son numéricas, la más habitual es mediante el método de elementos finitos Sistemas discretos

GDL estático ≠ GDL dinámico

Los GDL dinámicos están asociados a las masas de la estructura y son un subconjunto de los estáticos. Las masas de la estructura se concentran en los nudos, normalmente sólo en algunos Es habitual no considerar las fuerzas de inercia asociadas a las rotaciones El problema dinámico se resuelve al obtener u(t) tras haber condensado el sistema de ecuaciones GARAVITO PARIONA DICMAR RAUL

6 3

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” general a los GDL dinámicos.

𝑓𝑒𝑠𝑡 (𝑡) = 𝑘𝑢(𝑡)

Fuerza estática equivalente.

Condensación estática Reordenando las ecuaciones obtenidas a partir del análisis matricial o por EF:

El subíndice t indica GDL con masa asociada no nula El subíndice o indica GDL con masa asociada nula Desarrollando la ecuación (I):

GDL: Vibración libre No amortiguada 𝑚ü + 𝑘𝑢 = 0 𝑘

𝜔𝑛 √𝑛 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑎𝑡𝑎𝑙 (𝑟𝑎𝑑/𝑠) 𝑢(𝑡) = 𝑢(0) cos 𝜔𝑛 𝑡 +

ů(𝑡) 𝜔𝑛

sin 𝜔𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑛

𝑇𝑛 =

2𝜋 𝜔𝑛

𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙(𝑠)

1

{ 𝑓𝑛 = 𝑇𝑛 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 (𝐻𝑧)

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6 4

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” 𝑇𝑁 , 𝑓𝑛 = 𝑓(𝑚. 𝑘)𝜔𝑛 , Amortiguada 𝑚ü + ců + 𝑘𝑢 = 0 2

𝜔𝐴 = 𝜔𝑛 √1 − ζ 𝑓𝑟𝑒𝑐. 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑎𝑡𝑎𝑙 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑢(𝑡) = 𝑒 −ζ𝜔𝑛 𝑡 [𝑢(0)cos 𝜔𝐴 𝑡 + (

ů(0)ζ𝜔𝑛 𝑢(0) ) sin 𝜔𝐴 𝑡] 𝑐𝑜𝑛 𝜔𝐴

𝑇𝑎 = {

ζ=

2𝜋 𝜔𝑎

𝐶 𝐶 = 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐶𝑐𝑟 2√𝑘𝑚

En las estructuras 0.02 ≤ζ ≤ 0.20

1 GDL: Respuesta con cargas P(t) = p0 sin ωt Sistema no amortiguado 𝑚ü + 𝑘𝑢 = 𝑃0 sin ωt → ü + 𝜔𝑛 2 𝑢 { ů(0)

𝑢(𝑡) = 𝑢(0) cos 𝜔𝑡 + [ 𝜔 − 𝑛

𝜔 𝜔𝑛

𝑃0

𝛽 𝑃0 ] sin 𝜔𝑛 𝑡 + 𝐾 (1−𝛽 2) 𝐾 (1−𝛽 2 )

𝑢(𝑡 = 0) = 𝑢(0) ů(𝑡 = 0) = ů(0)

sin 𝜔𝑡

𝛽=

𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎

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6 5

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” actor de amplificación dinámica |𝑢 |

1

𝐷 = 𝑅𝑑 = |𝑢0| = |1−𝛽2| 𝑒

𝑐𝑜𝑛 (𝑢𝑒 )0 = (𝑢𝑠𝑡 )0 =

𝑝0 𝑘

Resonancia ω = ωn 1 GDL: Respuesta con cargas P(t) = p0 sin ωt Sistema amortiguado ü + 2ζ𝜔𝑛 ů + 𝜔𝑛 2 𝑢 =

𝑃0 𝑚

sin 𝜔𝑡

𝑢(𝑡) = 𝑒−ζ𝜔𝑛𝑡 (𝐴 cos 𝜔𝐴 𝑡 + 𝐵 sin 𝜔𝐴 𝑡) + 𝐶 sin 𝜔𝐴 𝑡 + 𝐷 cos 𝜔𝑡

. factor de amplificación dinamido

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6 6

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional”

𝑐𝑜𝑛 𝐶 =

(1 − 𝛽 2 ) 𝑃0 ; 𝐷 𝐾 ((1 − 𝛽 2 )2 + (2ξ𝛽 2 )2 ) =

(−2ξβ) 𝑃0 𝐾 ((1 − 𝛽 2 )2 + (2ξ𝛽 2 )2 )

=

𝑅𝑑

1 √(1 − 𝛽 2 ) + (2ξ𝛽 2 )

Resonancia ω = ωn

1 GDL: Fuerzas periódicas Generalización mediante desarrollos en serie de Fourier

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6 7

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” Espectro de frecuencias

II.1.1 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DINÁMICO MEDIANTE EL MEF:  Aplicación del PTV, incluyendo las fuerzas de amortiguamiento y de inercia  Deducción directa de las matrices de rigidez, masas y amortiguamiento Elasticidad bidimensional: elemento triangular lineal −𝑚ü𝑥 𝐹𝐼 = 𝑚ü {−𝑚ü 𝑦

−𝑐ü𝑥 𝐹𝐼 = 𝑐ü {−𝑐ü 𝑦 3

Hipótesis

𝑢 = ∑ 𝑁𝑖 а𝑖 = 𝑁а𝑒 𝑖=1

𝑁 𝑐𝑜𝑛 𝑁 = [ 𝑁1 , 𝑁2 , 𝑁3 ]; 𝑁𝐼 = [ 𝐼 0

а1 𝑢𝑖 0 𝑒 ] ; а = { а2 } ; а𝑖 = { 𝑣 } 𝑁𝐼 𝑖 а3

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6 8

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” 3

3

ů = ∑ 𝑁𝑖 а𝑖 = 𝑁а𝑒

ü = ∑ 𝑁𝑖 а𝑖 = 𝑁а𝑒

𝑖=1

𝑖=1

1

𝑁𝑖 = 2𝐴𝑒 [а𝑖 + 𝑏𝑖 𝑥 + 𝑐𝑖 𝑦]; 𝑖 = 1,2,3 N𝑖 = ( x𝐼 y𝑗 ) = {

Funciones de forma

1 𝑠𝑖 𝑗 = 𝑖 0 𝑠𝑖 𝑗 ≠ 𝑖

а𝑖 = x𝑖 y𝑘 − x𝑘 y𝑗 𝑐𝑜𝑛 𝐴𝑒 =

1 1 |𝑥1 2 𝑦

1

1 𝑥2 𝑦2

1 𝑥3 | 𝑦3

b𝑖 = y𝑖 − y𝑘

𝑦

𝑖. 𝑗, 𝑘 = 1,2,3

{ c𝑖 = x𝑘 − x𝑗

Aplicación del PTV ∫Ve δεT σ dV = ∫Ve δ ∙ uT b dV + ∫Ve δuT t dS + δ ∙ uT p − ∫Ve δ ∙ uT ρü dV ε = Bа ⇒

δεT =

δаT BT

u = Nа ⇒

δuT =

δаT NT

Ecuación de equilibrio Mü + C ů + Ku = F(t)

con Ae Ne e

K = ∑ K = ∑ ∫ BeT DBe tdA

∶ Matriz de regidez

e e=1 A Ne

=

K = ∑ M e = ∑ ∫ ρNT N tdA

∶ Matriz masa consistente

e e=1 A Ne

K = ∑ Ce = ∑ ∫ cNT N tdA e { e=1 A

∶

Matriz de amortiguamiento consitente (no se utiliza en la practica)

Matrices de masas consistentes (C) y concentradas (L) Elasticidad 2D: triángulo lineal GARAVITO PARIONA DICMAR RAUL

6 9

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” 2 0 𝜌𝑡𝐴 1 𝑀𝑐𝑒 = 12 0 1 [0

0 2 0 1 0 1

1 0 2 0 1 0

0 1 0 2 0 1

1 0 0 1 1 0 0 1 2 0 0 2 ]

1 0 𝜌𝑡𝐴 0 𝑀𝐿𝑒 = 3 0 0 [0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1]

Barra a axil. 𝑀𝑐𝑒 =

𝜌𝐴𝐿 2 [ 6 1

1 ] 2

𝑀𝐿𝑒 =

𝜌𝐴𝐿 1 [ 2 0

0 ] 1

Viga (cortante y flector) 156 𝜌𝐴𝐿 𝑀𝑐𝑒 = [ 420

22𝐿 4𝐿2

54 13𝐿 156

−13𝐿 −3𝐿2 ] −22𝐿 4𝐿2

𝜌𝐴𝐿 𝑀𝐿𝑒 = [ 2

1

0 1

0 0 1

0 0 ] 0 1

Barra a torsión 𝑀𝑐𝑒 =

𝜌𝐴𝐿 2 [ 6 1

1 ] 2

𝑀𝐿𝑒 =

𝜌𝐴𝐿 1 [ 2 0

0 ] 1

Las matrices consistentes producen una convergencia más rápida con un coste más alto Suele ser más rentable refinar la malla, y utilizar matrices de masas concentradas Ecuación general del análisis dinámico. 𝑴𝒖´´ + 𝒄𝒖′ + 𝒌𝒖 = 𝑭(𝒕)

Sistema de N EDO ACOPLADAS Discretizaciones: espacial y temporal Integración espacial y temporal 𝐹 𝑖 (𝑡) = 𝐹 𝑖 (𝑡𝑖 ) 𝑀𝑖 ü𝑖 + 𝐶 𝑖 ů𝑖 + 𝐾 𝑖 u𝑖 = 𝐹 𝑖 (𝑡) 𝑖 = 0, … . . , 𝑁 GARAVITO PARIONA DICMAR RAUL

7 0

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional” Métodos de solución. Análisis lineal: superposición modal. El sistema se transforma en otro equivalente de N EDO DESACOPLADAS, del que sólo se resuelven las J primeras EDO con J