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• Carmen HLópez

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ANALIS NO LINEAL DE ESTRUCTURAS

M.Sc. Ing. Carlos Córdova Rojas

www.cordovaingenieros.com

INTRODUCCION AL ANALISIS NO LINEAL Durante la última década, el análisis por elementos finitos (FEA) dejó de

considerarse únicamente como una herramienta del analista y pasó al mundo práctico de la ingeniería de diseño. El software de CAD ahora se suministra con funciones de FEA incorporadas y los ingenieros de

diseño utilizan el FEA como herramienta de diseño diaria para dar soporte al proceso de diseño de productos. Sin embargo, hasta hace

poco, la mayoría de las aplicaciones de FEA utilizadas por los ingenieros de diseño se limitaban al análisis lineal. Este análisis lineal proporciona una aproximación aceptable de las características reales de

la mayoría de los problemas que encuentran los ingenieros de diseño.

No obstante, de vez en cuando surgen problemas más desafiantes, problemas que requieren un enfoque no lineal. En el pasado, los ingenieros eran reticentes al uso del análisis no lineal, debido a la

complejidad de la formulación de problemas y al tiempo prolongado de solución. Esto está cambiando, ya que las interfaces de software de FEA no lineal con CAD son mucho más fáciles de utilizar. Además, los

algoritmos de solución mejorados y las potentes computadoras personales han reducido los tiempos de solución. Hace diez años, los ingenieros

reconocieron el FEA como una valiosa herramienta de diseño. Ahora empiezan a ser conscientes de los beneficios y de la mayor comprensión que el FEA no lineal aporta al proceso de diseño.

DIFERENCIA ENTRE ANALISIS LINEAL Y NO LINEAL Diferencias entre análisis lineal y no lineal. El término “rigidez” define la diferencia fundamental entre el análisis lineal y el no lineal. La rigidez es una propiedad de una pieza o ensamblaje que caracteriza la respuesta ante la carga aplicada. Una serie de factores afectan a la rigidez:

1. Forma:

2. Material:

3. Restricción en los apoyos:

DIFERENCIA ENTRE ANALISIS LINEAL Y NO LINEAL Cuando una estructura se deforma bajo una carga, su rigidez cambia, debido a uno o más de los factores que se han mencionado anteriormente. Si se deforma mucho, la forma puede cambiar. Si el material alcanza su límite de fallo, las propiedades del material cambiarán. Si el cambio de rigidez es suficientemente pequeño, es lógico asumir que ni las propiedades de la forma ni las del material cambiarán durante el proceso de deformación. Esta suposición es el principio fundamental del análisis lineal.

Ecuación fundamental del FEA: [F] = [K] * [u] donde: [F] es el vector conocido de cargas nodales [K] es la matriz de rigidez conocida [u] es el vector desconocido de desplazamientos nodales

Esta ecuación de matriz describe el comportamiento de los modelos de FEA. Contiene un gran número de ecuaciones algebraicas lineales, que varían de miles a millones dependiendo del tamaño del modelo. La matriz de rigidez [K] depende de la geometría, las propiedades del material y las restricciones. Con la suposición de análisis lineal que indica que la rigidez del modelo nunca cambia, estas ecuaciones se agrupan y solucionan solo una vez, sin necesidad de actualizar nada mientras el modelo se está deformando. Por lo tanto, el análisis lineal sigue una vía directa desde la formulación del problema hasta su conclusión. Produce resultados en cuestión de segundos o minutos, incluso para modelos muy grandes.

Todo cambia al entrar en el mundo del análisis no lineal, porque el análisis no lineal requiere que los ingenieros abandonen la idea de rigidez constante. En su lugar, la rigidez cambia durante el proceso de deformación y la matriz de rigidez [K] debe actualizarse ya que el solucionador no lineal progresa a través de un proceso de solución iterativa. Estas iteraciones aumentan la cantidad de tiempo que se tarda en obtener resultados precisos.

Para resolver una estructura no lineal se aplican los métodos iterativos, que implica adoptar un valor de la variable que se desconoce y se modifica a medida que se plantea la exigencia que dicha variable debe cumplir, por ejemplo en las ecuaciones de equilibrio. A su vez se admite cual es el error máximo que se admite en el valor de determinadas variables, por ejemplo los desplazamientos.

Suponiendo que en el intervalo de tiempo Δt la rigidez es constante e igual a la rigidez tangente Kt al comienzo del intervalo, se puede definir la siguiente aproximación: Pero de acuerdo con el grafico, esto implica un error en la fuerza del resorte al final del intervalo y por lo tanto, se debería utilizar la rigidez secante y no la tangente. Desafortunadamente, la rigidez secante se ignora al comienzo del intervalo, pues no se conoce el desplazamiento del sistema en ese instante, lo cual corresponde precisamente a lo que se quiere determinar. A medida que se utilice un intervalo de tiempo menor el error será menor.

NONLINEAR MODAL TIME HISTORY ANALYSIS: FAST NONLINEAR ANALYSIS -FNA

NONLINEAR MODAL TIME HISTORY ANALYSIS: FAST NONLINEAR ANALYSIS -FNA El análisis modal tiempo historia no lineal se realiza utilizando el método de análisis no lineal rápido (FNA) desarrollado por el profesor Wilson. Dos características importantes del método FNA son: el comportamiento no lineal se produce sólo en elementos predefinidos, y el análisis tiempo historia se realiza mediante superposición modal. Cuando se utiliza FNA, la no linealidad se restringe a elementos predefinidos y grados de libertad. Si bien es extremadamente eficiente para sistemas estructurales que tienen un número limitado de no linealidades, no hay límite en el

número de elementos no lineales que se pueden considerar. Para una estructura elástica lineal con elementos no lineales predefinidos, las ecuaciones de equilibrio

dinámico en el tiempo t pueden escribirse como:

𝑀 𝑢̈(𝑡) + 𝐶 𝑢̇(𝑡) + 𝐾𝐿 𝑢(𝑡) + 𝑅𝑁𝐿(𝑡) = 𝑅(𝑡)

Donde M y C son las matrices de masa y de amortiguamiento

proporcional, respectivamente; y 𝐾𝐿 es la matriz de rigidez ensamblada de los elementos elásticos lineales; 𝑅𝑁𝐿 es el vector de resistencia global para elementos no lineales; 𝑢 (𝑡), 𝑢̇ (𝑡),

𝑢̈ (𝑡) son los

desplazamientos relativos, las velocidades y las aceleraciones en el tiempo t con respecto al suelo; y R es el vector de cargas aplicadas.

Moviendo 𝑅𝑁𝐿 hacia la derecha:

𝑀 𝑢̈(𝑡) + 𝐶 𝑢̇(𝑡) + 𝐾𝐿 𝑢(𝑡) = 𝑅(𝑡) − 𝑅𝑁𝐿(𝑡)

Una matriz de rigidez efectiva lineal, 𝐾𝑁, se añade a ambos lados de la ecuación para los elementos no lineales. Esta rigidez efectiva es arbitraria

y puede estar entre cero y la máxima rigidez no lineal. La ecuación de equilibrio dinámico resultante se asemeja a las ecuaciones modales

elásticas lineales y todos los efectos no lineales se incorporan en el lado derecho:

𝑀 𝑢̈(𝑡) + 𝐶 𝑢̇(𝑡) + (𝐾L + 𝐾𝑁) 𝑢(𝑡) = 𝑅(𝑡) - 𝑅𝑁𝐿(𝑡) + 𝐾𝑁 𝑢(𝑡)

𝑀 ̈(𝑡) + 𝐶 ̇(𝑡) + 𝐾 𝑢(𝑡) = 𝑅 ̂(𝑡)

Donde:

𝐾 = 𝐾𝐿 +𝐾𝑁 𝑅 ̂(𝑡) = 𝑅(𝑡) - 𝑅𝑁𝐿(𝑡) + 𝐾𝑁 𝑢(𝑡) La matriz de rigidez elástica carga efectiva externa

𝑅 (̂ 𝑡)

𝐾

es igual a

es igual a

𝐾𝐿 +𝐾𝑁

y es conocida. La

𝑅(𝑡) - 𝑅𝑁𝐿(𝑡) + 𝐾𝑁 𝑢(𝑡),

debe ser evaluada por iteración. Si se puede hacer una buena

estimación de la rigidez elástica efectiva, la velocidad de convergencia puede acelerarse porque el término de carga desconocida

𝐾𝑁 𝑢(𝑡) será pequeña.

- 𝑅𝑁𝐿(𝑡) +

El análisis modal se realiza utilizando la matriz de rigidez

𝐾

y la

matriz de masa M. El método Ritz-vector dependiente de la carga

se utiliza para generar un conjunto de N modos ortogonales, Φ. Las ecuaciones de equilibrio pueden escribirse en forma modal como:

…….(1)

Donde Y es el vector de coordenadas modales, I es la matriz de

identidad, Λ es la matriz de amortiguamiento modal y Ω es la matriz diagonal de las frecuencias modales. A diferencia del análisis modal tiempo historia no lineal, las ecuaciones modales de la ecuación (1) se acoplará a través del vector de fuerza de resistencia para elementos no lineales, que es una función de todos los

desplazamientos modales. Debido a esto, es necesaria la iteración para

obtener

la

solución

de

las

ecuaciones

modales.

La

descomposición a las ecuaciones modales permite que la relación de amortiguamiento sea especificada por modo.

En comparación con el análisis tiempo historia de integración directa con una matriz de amortiguamiento formada por las propiedades modales, la FNA tiene algunas ventajas:

1. Debido a que las ecuaciones de movimiento se resuelven en la forma modal, el amortiguamiento modal no requiere formación o almacenamiento de una matriz completa o aproximación de la matriz de amortiguamiento modal.

2. La integración exacta de forma cerrada puede utilizarse para resolver

las ecuaciones modales en cada iteración, eliminando la dependencia de cada intervalo de tiempo debido a los algoritmos de escalonamiento de tiempo utilizados. Por lo tanto, el método no es sensible al paso del tiempo en la medida en que la no linealidad es lineal a lo largo de la etapa de tiempo.

3. El método FNA puede utilizarse sin el conjunto completo de todos los modos estructurales posibles. Por esta razón, se sugiere utilizar el método de los vectores de Ritz dependiente de la carga para determinar

un número suficiente de modos estructurales para representar el comportamiento de la respuesta estructural. El número de ecuaciones resueltas cuando se utiliza el método FNA puede ser significativamente menor que el número total de grados de libertad en la estructura, especialmente para estructuras con grados de libertad no lineales

limitados. Esto puede resultar en un tiempo de finalización del análisis significativamente más rápido con una precisión comparable en comparación con el análisis tiempo historia de integración directa.

Sin embargo, es importante señalar que la solución obtenida por

FNA depende de la capacidad de representar adecuadamente el comportamiento de la estructura y las fuerzas no lineales por las formas de modo calculado. Con una representación modal suficiente, los resultados de la FNA son de una exactitud comparable o mayor que la de la integración directa.

ANALISIS NO LINEAL ESTATICO - “PUSHOVER” En estados unidos los documentos de referencia usados para desarrollar un análisis estático no lineal o “Pushover Analysis” son el ATC-40 (Applied Technology Council) “Seismic Evaluation and Retrofit of Concrete Building” y FEMA 356 (Federal Emergency Management Agency).

PROCESO DE ANÁLISIS NO LINEAL “PUSHOVER” SEGÚN FEMA 356 El método consiste en aplicar una distribución vertical de carga lateral a la estructura la cual debe incrementarse monotónicamente hasta que la estructura alcance el máximo desplazamiento, lo que permite graficar el cortante en la base y el desplazamiento en el tope de la estructura denominada curva de capacidad.

NIVELES DE DESEMPEÑO

CONVERSIÓN DE LA CURVA DE CAPACIDAD A LA CURVA DE ESPECTRO DE CAPACIDAD Para usar el método del espectro de capacidad es necesario convertir la curva de capacidad que está dada en términos del cortante en la base y el desplazamiento en el tope a otras coordenadas en función de aceleración y desplazamientos espectrales (coordenadas ADRS) Sa vs Sd, las ecuaciones requeridas para la transformación son las siguientes:

En general el proceso para convertir la curva de capacidad a espectro de capacidad (ADRS) conlleva primero calcular el factor de participación modal para el primer modo, luego el coeficiente de masa modal; entonces para cada punto que describe la curva de capacidad, usar las ecuaciones Sa y Sd. Para cualquier punto sobre el (ADRS) el periodo T, puede computarse usando la relación T = 2π (Sd/Sa)½ similarmente para el espectro tradicional el desplazamiento espectral puede ser calculado usando la relación Sd = SaT²/4π².

La siguiente figura muestra el espectro de capacidad súper impuesto en la respuesta espectral presentada en los dos formatos. En ésta gráfica se puede apreciar que cuando la estructura entra en el rango inelástico el período aumenta ya que la estructura es cada vez más flexible. Las líneas radiales de periodo constante siempre parten desde el origen.

La aplicación de la técnica del espectro de capacidad requiere que tanto la curva de capacidad como el espectro de demanda sean ploteado en coordenadas de aceleración espectral y desplazamiento espectral (ADRS). El espectro de demanda elástico a convertir, debe ser el espectro requerido por un código determinado con las características apropiadas de cada región. El espectro convencional está dado en términos de la aceleración espectral y el periodo por lo cual sólo el período deber convertirse a desplazamiento espectral, por medio de la siguiente ecuación.

Una vez se ha convertido el espectro, se puede calcular la aceleración o el desplazamiento espectral para cuando la estructura tiene un periodo determinado por medio de la siguiente expresión.

INTERSECCIÓN DEL ESPECTRO DE CAPACIDAD Y EL ESPECTRO DE DEMANDA 1. Desarrollar el espectro elástico con amortiguamiento del 5%, apropiado para la localización. 2. Transformar la curva de capacidad a espectro de capacidad. 3. Graficar las dos curvas en un mismo grafico. 4. Seleccionar un punto asumido inicial de desempeño por el método “Aproximación de igual desplazamiento”, ver figura.

5. Desarrollar la representación bilineal del espectro de capacidad.

6. Calcular los factores de reducción espectral.

7. Desarrollar el espectro de demanda reducido y graficar en el mismo gráfico.

8. Determine si el espectro de demanda intercepta el espectro de capacidad en el punto, api, dpi (estos son los puntos asumidos), de lo contrario verifique si el desplazamiento en el punto de intersección di, está dentro de la tolerancia aceptable del dpi (0.95dpi < di < 1.05dpi). (La siguiente grafica muestra la Tolerancia Entre el Punto Asumido y el Punto de Intersección).

9. Si el espectro de demanda no intercepta el espectro de capacidad dentro de la tolerancia, se selecciona un nuevo valor api, dpi y se regresa al paso 5. 10. Si el espectro de demanda intercepta el espectro de capacidad dentro de la tolerancia aceptable, entonces el punto asumido api, dpi será el punto de desempeño (ap, dp), y el desplazamiento dp representa el máximo desplazamiento que se espera en el terremoto.

MODELO UTILIZADO PARA RELACIÓN MOMENTO CURVATURA El comportamiento de los elementos por lo general es modelado usando la relación momento – curvatura, más allá del rango lineal.

(Diagramas de Momento Curvatura Normalizado).

Modelo inelástico de los elementos barra (vigas-columnas) Zonas de comportamiento no-lineal Durante los sismos importantes las vigas y columnas sufren daño en la zona adyacente a los nudos en una longitud determinada “L”. El daño no es uniforme sino más concentrado hacia los nudos como muestra la figura.

Podemos establecer una zona de daño equivalente en la cual se concentre toda la deformación inelástica, y el daño y la curvatura se puedan asumir constantes. Esta zona se denomina rótula plástica, y le corresponde una longitud equivalente “Lp” menor a la del daño total “L” como muestra la figura. Una buena estimación para Lp en vigas y columnas de proporciones típicas es Lp ≈ 0.5h, donde h es el peralte del elemento. [Paulay y Priestley, 1992].

Idealización de daño equivalente

Modelación de vigas y columnas en edificios aporticados

PROPIEDADES DE LA ROTULA

    

El punto A siempre es el origen. El punto B representa el punto de fluencia. El punto C representa la capacidad ultima para el analisis pushover. El punto D representa el esfuerzo residual para el analisis pushover. El punto E representa la falla total.

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