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• Bernard Santana

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COMPORTAMIENTO NO LINEAL, ANÁLISIS, Y DISEÑO La mayoría de las estructuras de ingeniería civil se comportan de una manera elástica lineal bajo cargas de servicio. Las excepciones son estructuras esbeltas como algunos sistemas de suspensión, arcos y edificios altos y estructuras sometidas a localizada fluencia temprana o agrietamiento. Pero antes de alcanzar su límite de resistencia, casi todas las estructuras exhibirían respuesta no lineal significativa. Por lo tanto, si el análisis elástico lineal es el nivel más alto disponible, el ingeniero de diseño debe encontrar otra manera de dar cuenta de los efectos que el análisis es incapaz de simular. La respuesta puede estar en cualquiera de los siguientes: a) el juicio individual; b) las fórmulas de código que acepten los resultados de un análisis elástico o simple lineal y dejar espacio suficiente para la no linealidad de alguna manera empírica o semi-empírica; o c) los estudios teóricos o experimentales complementarios. En el análisis no lineal se hace un intento para mejorar la simulación de análisis del comportamiento de una estructura en algún aspecto, el objetivo fundamental es el de mejorar la calidad del diseño, proporcionando el ingeniero con una predicción más fiable del rendimiento de un sistema que está bajo diseño o investigación. En el uso de análisis no lineal de la incertidumbre sobre el comportamiento real puede ser reducida. En el proceso, sin embargo, se incrementa el elemento de arte en el modelado de la estructura y en el manejo de las ecuaciones de análisis. En el modelado, el analista debe decidir qué fuentes de linealidad son aptos para ser significativo y la forma de representarlos. Al tratar con las ecuaciones no lineales resultantes, se deben tomar decisiones con respecto a la forma de reducir a un sistema adecuado para el cálculo práctico y, a continuación, el método para resolver el sistema reducido. Fuentes de no linealidad El análisis no lineal ofrece varias opciones para hacer frente a los problemas derivados de los supuestos anteriores. Podemos considerar sólo la no linealidad geométrica. Es decir, podemos seguir tratando el material estructural como elástico sino que incluyen los efectos de las deformaciones y desplazamientos finitos en la formulación de las ecuaciones de equilibrio. También es posible considerar solamente la no linealidad de material, es decir, el efecto de los cambios en las propiedades del material miembro bajo carga. Y, como tercera opción general, podemos incluir efectos tanto de la no linealidad geométrica y material en el análisis. En cada caso, la posibilidad de acoplamiento de acciones internas debe ser considerada; puede ser una característica dominante del análisis. Entre las muchas fuentes de cada clase de no linealidad son los siguientes.

Efectos geométricos: 1. imperfecciones iniciales como el pandeo del elemento y la perdida de plomada de un marco. 2. El efecto P-Δ, un momento desestabilizador igual a la carga gravitacional descentrada, el desplazamiento horizontal surge como resultado del desplazamiento lateral de la estructura de soporte. 3. El efecto P-δ, la influencia de la fuerza axial de la rigidez a la flexión de un miembro individual Efectos materiales: 1. La deformación plástica de las estructuras de acero. 2. Agrietamiento o fluencia de estructuras de concreto reforzado. 3. interacción inelástica de la fuerza axial, flexión, cortante y torsión. Efectos combinados: 1. La deformación plástica más P-Δ y los efectos P-δ. 2. Deformaciones de conexión. 3. Deformaciones de la zona de panel. 4. Las contribuciones de llenado y sistemas secundarios a resistencia y rigidez. Niveles de Análisis Por definición, los análisis elásticos de primer orden (lineal) excluyen la no linealidad, pero por lo general representan las condiciones en las cargas de servicio muy bien. En los análisis elásticos de segundo orden, efectos de las deformaciones finitas y desplazamientos del sistema se contabilizan en la formulación de las ecuaciones de equilibrio. Un análisis elástico de segundo orden puede producir una excelente representación de influencias desestabilizadoras, como el efecto P-Δ, pero no tiene disposiciones para la detección de la no linealidad de los materiales. En los análisis de primer orden inelásticos las ecuaciones de equilibrio están escritas en términos de la geometría de la estructura no deformada. Regiones inelásticas pueden desarrollarse gradualmente o, si el concepto de articulación plástica se adopta, como cambios bruscos en la respuesta de la estructura. Cuando los efectos desestabilizadores de desplazamientos finitos son relativamente insignificantes, de primer orden de análisis inelástico puede producir una excelente representación de la formación de mecanismo de comportamiento y abrevadero fallo elástico-plástico simple, es decir, el simple límite plástico de carga. Pero

no tiene disposiciones para la detección de efectos no lineales y geométricos, de suma importancia y su influencia en la estabilidad del sistema. En los análisis inelásticos de segundo orden las ecuaciones de equilibrio se escriben en términos de la geometría del sistema deformado. Tiene el potencial para acomodar todos los factores geométricos, elásticos y materiales que influyen en la respuesta de una estructura. UNA APROXIMACIÓN MATRICIAL En los análisis elásticos de segundo orden los efectos de las deformaciones finitas y desplazamientos se contabilizan en la formulación de las ecuaciones de equilibrio y por tanto podemos plantear (Ec. 8.3):

En la que [Kg] la matriz de rigidez geométrica, representa el cambio en la rigidez que resulta de estos efectos. La matriz [Kg] puede ser desarrollada en un número de maneras, y varios procedimientos se pueden utilizar para resolver la ecuación 8.3. En general, los miembros deben ser subdivididos en varios elementos para producir resultados satisfactorios. En los análisis inelásticos de primer orden las ecuaciones de equilibrio se escriben en términos de la geometría de la estructura deformada, y podemos plantear (Ec. 8.4):

Donde [Km], que llamaremos la matriz reducción de plástica, representa el cambio en la rigidez que resulta de comportamiento inelástico del sistema. En los análisis inelásticos de segundo orden tanto la no linealidad geométrica y material se contabilizan. Las ecuaciones de equilibrio están escritas en términos de la geometría del sistema deformada y podemos plantear (Ec. 8.5)

COMPORTAMIENTO NO LINEAL MATERIAL En la ingeniería de estructuras enmarcadas consideramos comportamiento en cuatro niveles: (1) en un punto y la región diferencial alrededor de ella; (2) en una sección transversal; (3) en toda la longitud del miembro; y (4) el sistema como un todo. Hay en el análisis no lineal opciones para el modelado de algún aspecto del comportamiento.

Teoría de la plasticidad La porción de interés de la teoría de la plasticidad se inicia con la consideración de un elemento diferencial en un punto en un cuerpo de material elasto-plático perfecto, sometido a esfuerzos multidireccionales. El material se presume que tiene una relación de esfuerzo-deformación uniaxial conocida y, en el punto considerado, los esfuerzos principales. La teoría consiste en la definición de una función de fluencia y una regla de flujo correspondiente. La función de fluencia más comúnmente aceptada se deriva del criterio de von

Mises

y

el

estado

de

flujo

desde

el

criterio

de

normalidad.

El criterio de von Mises postula que el elemento diferencial será elástico dado que la función:

Es menor que 2σଶ௬ , la fluencia puede ocurrir cuando es igual a 2σଶ௬ y que, para el material plástico ideal, los valores de f mayor que 2σଶ௬ , son inadmisibles. Dependiendo de la dirección de la carga posterior, un elemento en un estado dado responderá en una de tres maneras: 1) el simple esfuerzo de plástico; 2) una combinación de plástico y esfuerzo elástico; o 3) esfuerzo elástico sencillo (un retorno a un estado elástico). Análisis plástico Lo que comúnmente se llama "análisis plástico" en la ingeniería estructural se trata de un material idealmente elasto-plástico y, en su forma más simple, implica dos conceptos: la rótula plástica y la formación de mecanismo. El concepto de rótula plástica postula que la sección transversal de un miembro, por ejemplo, la sección de una viga de acero sometida a la fuerza axial y de flexión, puede tener sólo dos estados: (1) completamente elástica si el esfuerzo máximo calculado por la teoría común de ingeniería es igual o menor que σy, o (2) totalmente de plástico bajo una distribución de esfuerzos de tensión y compresión de magnitud σy, que equilibran las fuerzas sobre la sección. El último caso define una rotula plástica, una sección que puede someterse a deformación plástica indefinida bajo estas fuerzas, si no se ve limitada por la resistencia del resto del sistema. Las condiciones bajo las cuales se puede formar una rótula dependen la sección transversal. Una fórmula bilineal comúnmente usada para el caso del patín de una viga ancha alrededor de su eje principal es (Ec. 10.5): ‫ = ܯ‬1.18 ൬1 −

ܲ ൰ ‫݌ܯ ≤ ݌ܯ‬ ܲ‫ݕ‬

Donde Py, la carga de aplastamiento, y Mp, el momento plástico, son, respectivamente, el área de la sección y el módulo plástico de la sección por σy. El Mecanismo de formación es un elemento o proceso de un

sistema. En su forma más elemental conceptualmente, análisis plástico-rígido, las deformaciones elásticas se descuidan y se realiza una búsqueda por el menor valor de la carga necesaria para formar un mecanismo, es decir, un patrón de rótulas plásticas que satisfaga las condiciones de equilibrio de la estructura no deformada y, al mismo tiempo, admita salir de esa configuración. MÉTODO DE LA RÓTULA PLÁSTICA PARA MARCOS DÚCTILES Para desarrollar un método basado en el análisis de la rótula plástica, consideraremos un elemento compuesto de un material dúctil. Los supuestos para la sección se aplican a éste a su vez, y para el tratamiento del comportamiento no lineal de material, agregamos lo siguientes: 1. Deformaciones plásticas se limitan a las zonas plásticas de longitud cero en los extremos de los elementos. 2. El material se supone que es perfectamente elástico lineal plástico sin endurecimiento por deformación. 3. Los efectos de esfuerzos cortantes y esfuerzos directos normales al eje del miembro de la deformación plástica no se tienen en cuenta. 4. Como consecuencia de lo anterior, las secciones extremas pueden someterse a una transición abrupta de un estado totalmente elástico a un estado totalmente plástico. Fuerzas combinadas (fuerza axial y flexión) que inician la fluencia en una sección transversal se suponen para producir la plastificación completa de la sección. 5. Deformaciones plásticas se rigen por el criterio de la normalidad. Superficie de fluencia y Matriz de reducción plástica Ecuaciones que relacionan la magnitud de la deformación plástica y el incremento de la fuerza para el incremento total de la deformación pueden ser desarrolladas por simple manipulación matricial. Por lo tanto (Ec 10.14.):

Despejando (DF) resultados en (Ec. 10.15)

En donde (Ec. 10.16):

, es la matriz de reducción plástica Definición de la superficie de fluencia La aplicación de la ecuación 10.16 requiere la definición del esfuerzo resultante de la superficie de fluencia. Su dimensión es igual al número de resultantes de tensiones consideradas en la determinación de la plastificación de la sección transversal y su forma es una función de la forma de la sección. En principio, por lo tanto, podría ser un "hipersuperficie" en seis dimensiones. Pero en un análisis de rotula plástica de marcos dúctiles donde no se consideran los efectos de deformación por cortante debido a la torsión y cortante transversal, se reduce a 3 dimensiones: fuerza axial y de flexión alrededor de dos ejes. La forma de la función se estableció mediante la aplicación de los correspondientes tres ecuaciones de equilibrio de la sección transversal a una forma dada de material determinado, por ejemplo un material elasto-plástico perfecto en el que se supone que los puntos de fluencia en tensión y compresión son iguales, por lo que se puede plantear (Ec. 10.17):