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UNIVERSIDAD NACIONAL DANIEL ALCIDES CARRION FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

ÍNDICE INDICE................................................................................................................. 1 I.

INTRODUCCION.......................................................................................... 3

II. GENERALIDADES........................................................................................ 4 1.1. CONSIDERACIONES SOBRE ARMADURAS........................................6 1.2. HIPÓTESIS PARA EL ANÁLISIS DE ARMADURAS..............................6 III.

ARMADURAS PLANAS............................................................................ 9

3.1. TIPOS COMUNES DE ARMADURAS....................................................9 a) ARMADURAS PARA TECHOS.............................................................10 b) ARMADURAS PARA PUENTES...........................................................11 c) DESCRIPCIÓN DE ALGUNAS ARMADURAS....................................15 3.2. TIPOS DE CONFIGURACIÓN..............................................................20 a) CONFIGURACIÓN COMPLETA...........................................................20 b) CONFIGURACIÓN INCOMPLETA........................................................20 c) CONFIGURACIÓN REDUNDANTE......................................................21 3.3. ESTABILIDAD INTERNA.....................................................................22 EJEMPLO N°01............................................................................................. 24 EJEMPLO N°02............................................................................................. 24 3.4. DETERMINACIÓN ESTATICA, INDETERMINACIÓN Y ESTABILIDAD DE ARMADURAS PLANAS...........................................................................25 3.5. ECUACIONES DE CONDICIÓN PARA LAS ARMADURAS PLANAS. .29 3.6. CLASIFICACION DE ARMADURAS PLANAS.....................................31 a) ARMADURAS SIMPLES......................................................................31 b) ARMADURAS COMPUESTAS.............................................................32 c) ARMADURAS COMPLEJAS.................................................................35 IV.

METODOS DE SOLUCION PARA ARMADURAS...................................36

4.1. MÉTODOS DE SOLUCION PARA ARMADURAS PLANAS.................36 4.1.1. MÉTODO DE LOS NUDOS (Método de nodos).........................36 CONSIDERACIONES GENERALES DEL MÉTODO DE LOS NUDOS...............38 EJEMPLO N°01.......................................................................................... 40 pág. 1

UNIVERSIDAD NACIONAL DANIEL ALCIDES CARRION FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL 4.1.2. MÉTODO DE LAS SECCIONES.....................................................42 EJEMPLO N°02.......................................................................................... 44 EJEMPLO N°03.......................................................................................... 45 4.1.3. MÉTODO DE LOS

ELEMENTOS DE FUERZA CERO.................46

EJEMPLO N°04.......................................................................................... 47 4.1.4. MÉTODO DE LOS ELEMENTOS SUSTITUTOS............................50 PROCEDIMIENTO...................................................................................... 50 EJEMPLO N°05.......................................................................................... 52 4.2. METODOS DE SOLUCION PARA ARMADURAS ESPACIALES..........54 EJEMPLO N°06.......................................................................................... 55 V.

BIBLIOGARFIA....................................................................................... 57

pág. 2

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I.

INTRODUCCION

Se llaman estructuras a todas las partes de una construcción compuestas por varios elementos rectilíneos unidos entre sí por sus extremos y cuya misión es soportar las cargas a las que se encuentra sometida. Uno de los principales tipos de estructura que se emplean en ingeniería son las armaduras o cerchas, las cuales tienen la característica de ser muy livianos y con una gran capacidad de soportar cargas elevadas y cubrir grandes luces, generalmente se utilizan en cubiertas de techos y puentes. El principio fundamental de las armaduras es unir elementos rectos para formar triángulos, los elementos trabajan a esfuerzos axiales en puntos que se llaman nodos, y entre sí conforman una geometría tal que el sistema se comporta establemente cuando recibe cargas aplicadas directamente en estos nodos .Esto permite soportar cargas transversales, entre dos apoyos, usando menor cantidad de material que el usado en una viga, pero con el inconveniente de que los elementos ocupan una altura vertical considerable. Dado que las armaduras poseen estas características tienen una gran versatilidad en su uso y le permiten al ingeniero una gran flexibilidad para adaptarse a las necesidades de un problema particular. Las armaduras se han venido utilizando desde tiempos antiguos para la construcción de grandes edificaciones, por tal razón se detallaran

las

características

pág. 3

básicas

de

estas

estructuras

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ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL estacionarios, su clasificación y los tipos de armaduras que más se usan hoy en día.

II.

Las

armaduras

estacionarias

o

GENERALIDADES

cerchas

concebidas

se

para

definen soportar

como

estructuras

cargas,

compuesta

únicamente de barras conectadas por articulaciones, llamados nodos o nudos, las fuerzas siguen la dirección de las barras.

El interés de este tipo de estructuras es que las barras, de las que generalmente se desprecia su peso, trabajan predominantemente a compresión y tracción presentando comparativamente flexiones pequeñas, y es posee la característica de que estas estructuras están soportadas y cargadas exclusivamente en los nudos. Una armadura es un ensamble triangular que distribuye cargas a los soportes por medio de una combinación de miembros conectados por juntas articuladas, configurados en triángulos, de manera que idealmente todos se encuentren trabajando en compresión o en tensión pura y que todas las fuerzas de empuje se resuelvan internamente.

La armadura es uno de los tipos más importantes de estructuras empleadas en ingeniería. Proporciona una solución, a la vez práctica y económica, especialmente en puentes, cubiertas y pág. 4

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ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL vigas principales de edificación, sobre todo cuando hay que salvar grandes distancias con una estructura de peso reducido.

Las armaduras pueden ser construidas con materiales diversos: acero, madera, aluminio, etc. Las uniones pueden ser articuladas o rígidas.

Las armaduras están compuestas por:



Cuerda Superior: formada por los elementos unidos en toda la parte superior de la armadura, y que generalmente soportan las cargas de la cubierta del techo, que para un trabajo eficiente deben estar



concentradas en los nudos Cuerda Inferior: formada por los elementos unidos en toda

la

parte

inferior

de

la

armadura,

y

que

generalmente soportan las cargas de las instalaciones eléctricas, hidrosanitarias, aire acondicionado, o de 

los vehículos en el caso de los puentes Elementos Secundarios: formada por los elementos unidos en toda la parte interior de la armadura, y que generalmente ayudan a soportan las cargas de la cuerda superior e inferior, e inclusive muchas veces algunos elementos tienen fuerza interna axial de valor cero, que se colocan, por simetría, rigidez, estética y construcción.

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1.1. CONSIDERACIONES SOBRE ARMADURAS En el estudio de armaduras o cerchas es necesario tomar en consideración los siguientes cuatro puntos: 

Ningún miembro se prolonga más allá de sus

 

extremos. Las cargas se aplican solo en los nudos. Si es necesario considerar el peso de las barras, se considera que la mitad del peso de cada barra actúa sobre cada uno de los nudos a los que está



conectada. Suele ser satisfactoria la hipótesis de pasador si concurren en el nudo los ejes geométricos de cada miembro.

1.2. HIPÓTESIS PARA EL ANÁLISIS DE ARMADURAS El análisis de las armaduras se basa en las siguientes hipótesis: 1) Todos

los

elementos

están

conectados

en

sus

extremos por articulaciones sin fricción en armaduras planas y por rotulas sin fricción en armaduras espaciales o en tres dimensiones. 2) Todas las cargas y las reacciones de los apoyos están aplicadas en los nodos. 3) El eje centroidal de cada elemento coincide con la línea

que

conecta

los

centros

de

los

nodos

adyacentes. La razón de realizar estas hipótesis es para obtener la armadura ideal, cuyos elementos están sujetos solo a carga axial.

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Dado que cada elemento de la armadura ideal está conectado en sus extremos por articulaciones sin fricción (hipótesis 1) y sin cargas aplicadas entre sus extremos (hipótesis 2), los elementos estarán sujetos solo a dos fuerzas en sus extremos, como se muestra en la Fig.(a). Asimismo, ya que los elementos están en equilibrio, la fuerza y el para resultantes de las dos fuerzas FA y FB deben ser cero; por lo tanto, las fuerzas deben de satisfacer las tres ecuaciones de equilibrio. En la Fig. (a) podemos ver que para que la fuerza resultante de

∑ F X =0 y ∑ F Y =0

las dos fuerzas sea cero

), las dos fuerzas

¿

deben ser iguales en magnitud pero de sentido opuesto. Para que el par resultante sea cero (

∑ M =0

), las dos fuerzas

deben ser colineales, por lo tanto, las fuerzas deben tener la misma línea de acción. Por otra parte, dado que el eje centroidal de cada elemento de la armadura es una línea recta con relación a la línea que conecta los centros de las conexiones adyacentes (hipótesis 3), los elementos no están sujetos a momento flexionante o fuerza cortante y pero si a la fuerza de tensión axial (elongación como se muestra en la Fig. (b) o en compresión axial (acortamiento como se muestra en la Fig. (c). Tales fuerzas axiales en los elementos obtenidas del análisis son llamadas fuerzas primarias. En las armaduras reales, estas idealizaciones casi nunca son completamente armaduras

ciertas.

reales

Como

están

se

dijo

construidas

pág. 7

anteriormente,

con

sus

las

elementos

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Algunos elementos de las armaduras pueden estar conectados de manera continua en los nodos. Ademes, a pesar de que las cargas externas son transmitidas a la armadura en los nodos por medio de vigas de piso, larguero, y así sucesivamente, el peso muerto de los elementos está distribuido a lo largo de su longitud. Los momentos flexionantes, cortantes y las fuerzas axiales

causadas

por

estas

y

otras

variaciones

de

las

condiciones de idealización antes mencionada son comúnmente llamadas fuerzas secundarias.

A pesar de que las fuerzas secundarias no pueden ser eliminadas, si se pueden reducir sustancialmente en la mayoría de las armaduras

usando

elementos

esbeltos

y

diseñando

las

conexiones para que los ejes centroidales de los elementos que se unen en el nodo sean concurrentes en ese punto. Las fuerzas pág. 8

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III.

ARMADURAS PLANAS

Si todos los elementos de una armadura y sus cargas se encuentran en un solo plano, la armadura se llama armadura plana. Las armaduras planas son comúnmente usadas para soportar pisos de puentes y techos de edificios. La siguiente figura muestra un sistema estructural tipo para un techo soportado por armaduras planas.

3.1. TIPOS COMUNES DE ARMADURAS Las armaduras planas se ubican en un solo plano y a menudo se emplean como soporte (apoyo) de techos y puentes.

a) ARMADURAS PARA TECHOS

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UNIVERSIDAD NACIONAL DANIEL ALCIDES CARRION FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL Los propósitos de las armaduras para techos son darle soporte a estos que nos protegen de los elementos (lluvia, nieve, viento), las cargas conectadas en el subsuelo (ductos, tuberías, plafón), y su propio peso. Las armaduras para techos pueden ser de lomo plano o de lomo en punta. En el pasado, las armaduras de lomo en punta se usaron más en edificios de claros cortos, en tanto que las armaduras de lomo plano se utilizaron para los de claros mayores. Sin embargo, la tendencia actual para claros cortos y largos parece alejarse de las armaduras de lomo en punta y acercarse a las armaduras de lomo plano. El cambio se debe predominantemente a la apariencia deseada del edificio, tal vez a una construcción más económica de las armaduras para techo.

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Tipos de armaduras comunes para techos

b) ARMADURAS PARA PUENTES

A medida que los claros por cubrir y las cargas que se habrán de soportar van siendo mayores, las armaduras comienzan a competir con otros tipos de estructuras para puentes. Las primeras armaduras para puentes se construyeron de madera, pero tenían varias desventajas. Primero, estaban sujetas

al deterioro

por

el viento y

el agua. Como

consecuencia, se introdujeron los puentes cubiertos, cuyas estructuras duraban con frecuencia algunas décadas. Sin embargo,

las

armaduras

para

puentes

de

madera,

especialmente en los puentes para ferrocarril, eran muy vulnerables al fuego. Además, con el paso de los años y el incremento de la magnitud de las cargas fijas y móviles, se presentaban problemas debido al aflojamiento de los pernos de unión. pág. 12

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Como resultado de todas esas desventajas, las armaduras de madera para puentes dejaron de usarse hacia fines del siglo XIX. Aunque existieron algunos puentes de armadura de hierro precursores, los puentes de acero estructural se hicieron predominantes. Los puentes de acero no necesitan tanta protección contra los elementos, y sus nudos tienen resistencias más altas a la fatiga. Hoy día, las armaduras existentes de acero para puentes están siendo reemplazadas por puentes de vigas de acero, de concreto precolado o de concreto preesforzado. Parece ser que ha pasado la edad de las armaduras de acero para puentes, excepto cuando se trata de claros de cientos de pies, lo que constituye un pequeño porcentaje del total. Aun para esos claros más largos, hay mucha competencia de otros tipos de estructuras como los puentes atirantados y los puentes de trabes en caja de concreto preesforzado. Algunos puentes carreteros tienen armaduras a los lados y arrostramiento lateral por arriba entre las armaduras. A este tipo de puente se le llama de calzada inferior. El sistema de piso esta soportado por vigas de piso que van a lo largo bajo la calzada y se apoyan en vigas entre los nudos de las cuerdas inferiores de las armaduras. En los puentes de calzada superior, la vía de transito se coloca sobre las armaduras o sobre trabes. Los puentes de calzada superior tienen muchas ventajas sobre los puentes de calzada inferior: se tiene un espacio libre superior horizontal y vertical ilimitado, la expansión a futuro es más factible, y las armaduras o trabes de apoyo pueden colocarse más juntas, lo

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ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL que reduce los momentos laterales en el sistema de piso. Otras ventajas de este tipo de puente son los sistemas simplificados

de

piso

y

la

posible

reducción

en

las

dimensiones de las pilas y los estribos de apoyo, todo lo cual se debe a la disminución en sus alturas. Por último, el mejor aspecto que ofrece este tipo de estructuras es otra razón de su creciente popularidad. La única desventaja real de un puente de paso superior es la altura libre bajo el puente. Puede ser necesario situar a gran altura al puente de calzada superior para permitir un claro libre adecuado para los barcos y los vehículos que pasan por debajo. Los puentes de calzada superior eliminan la sensación de confinamiento exhibida por otros tipos de puentes. En algunas ocasiones, las armaduras para los puentes de calzada inferior de claro corto eran tan bajas que no se disponía

de

una

altura

suficiente

para

proporcionar

arriostramiento por la parte superior y, al mismo tiempo, dejar una altura libre vertical arriba de la superficie de rodamiento suficiente

para

el

tránsito

vehicular.

Por

ello,

el

arriostramiento se colocaba bajo la superficie de rodamiento. Los puentes de calzada inferior sin arriostramiento en la parte superior se denominan tipo pony o puentes rebajados. Un problema importante que se presenta en los puentes tipo pony es la dificultad de proporcionar un arriostramiento lateral adecuado para los elementos a compresión de la cuerda superior. Es poco probable que hoy día resulte económico un puente tipo pony, porque las vigas se han impuesto en el mercado de los puentes de claro corto. Se dice que la armadura tipo Baltimore es una armadura subdividida, ya que las longitudes

pág. 14

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ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL sin soporte lateral de algunos de sus elementos se han reducido en virtud de la introducción de elementos cortos llamados

subdiagonales

y

subverticales.

Cuanto

mayor

peralte tenga una armadura, con iguales dimensiones de sus cuerdas, tantos mayores serán sus momentos resistentes. Si se varía el peralte de la armadura a lo largo del claro en proporción a los momentos

flexionantes, se obtendrá una

estructura más ligera. Sin embargo, el costo de fabricación por libra de acero será mayor que el de una armadura de cuerdas paralelas. A medida que los claros van siendo mayores, el peso que se ahorra al variar el peralte importara más que los costos adicionales de fabricación, y entonces las “armaduras de cuerdas curvas” serán las que resulten más económicas.

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Tipos de armaduras comunes para puentes

c) DESCRIPCIÓN DE ALGUNAS ARMADURAS

La mayoría de los tipos de armaduras usadas en la estructuración de cubiertas y puentes, han sido llamadas así por el apellido o nombre de quien las diseñó por primera vez, por ejemplo, la armadura tipo Howe, fue patentada en 1840 por William Howe, la armadura Warren, fue patentada por los ingleses James Warren y Willboughby Monzoni en 1848.  Armadura Howe La armadura Howe, patentada en 1840 aunque ya había sido usada con anterioridad, se utilizó mucho en el diseño de armaduras de madera. Está compuesta por montantes verticales entre el cordón superior e inferior. Las diagonales se unen en sus extremos donde coincide un montante con el cordón superior o inferior. Con esa disposición se lograba que los elementos verticales, que eran metálicos y más cortos estuviera tensionados, mientras que las diagonales más pág. 16

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ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL largas estaban comprimidas, lo cual era económico puesto que los elementos metálicos eran más caros y con la disposición Howe se minimizaba su longitud. Las armaduras de dos aguas Howe son los tipos más comunes de armaduras de peralto medio, y tienen luces máximas de 27 ó 30m.

 Armaduras Warren Este tipo de armadura, en la forma utilizada para viguetas ligeras de alma abierta, se usan elementos de barras de acero redondas con múltiples dobleces. Para el caso de elemento principal de cubierta y entrepisos se utilizan perfiles clásicos L, C y hasta W. Cuando se utiliza en gran escala, la Warren ofrece la ventaja de que proporciona un máximo de espacio abierto libre para la inclusión de los elementos de servicio del edificio que deben pasar a través de las armaduras (ductos, tuberías. Etc.) El rasgo característico de este tipo de armadura es que forman una serie de triángulos isósceles (o equiláteros), de manera que todas las diagonales tienen la misma longitud. Típicamente en una armadura de este tipo y con cargas aplicadas verticales en sus nudos superiores, las diagonales presentan alternativamente compresión y pág. 17

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ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL tensión. Se pueden usas armaduras Warren para cubrir luces de hasta 90 metros y más.

 Armadura Pratt plana Representa la adaptación de las armaduras al uso más generalizado de un nuevo material de construcción de la época: el acero. A diferencia de una armadura Howe, las barras están inclinadas en sentido contrario, de manera que las diagonales están sometidas a tensión, mientras que las barras verticales están comprimidas. En esencia tiene una tipología y uso muy parecidos a la Warren. Para la armadura de cuerdas paralelas, la Pratt ofrece la ventaja de tener los miembros más largos del alma a tracción y los miembros verticales más cortos a compresión (menos efecto de pandeo). Se usan en pág. 18

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ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL techos de luces moderadas entre 18 y 30 metros. Si se requiere de mayor luz serían más recomendables las armaduras de abanico o las armaduras Fink.

 Armaduras Fink Para techos de pendientes mayores (más de 15º) la armadura Fink es muy usada, las Howe y Pratt también pueden usarse pero no son tan económicas, la armadura Fink ha sido utilizada para claros del orden de los 37m. Un hecho que la hace más económica es que la mayoría de los miembros están en tensión, mientras que los sujetos a compresión son bastante corto, además es importante saber que la triangulación de una armadura se proyecta tomando en cuenta el espaciamiento de los largueros. Ya que usualmente es conveniente localizar los largueros sólo en los vértices de los triángulos, la triangulación principal puede subdividirse. La armadura Fink puede ser dividida en un gran número de triángulos y coincidir casi con cualquier espaciamiento de largueros.

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 Armaduras tipo diente de sierra Estas armaduras pueden utilizarse cuando la separación entre

columnas

no

es

objetable

y se desea

una

iluminación natural adecuada por medio de ventanales en construcciones anchas. Sus caras más inclinadas llevan los ventanales y están generalmente orientadas al norte

para

una

iluminación

difusa

más

pareja.

Estructuralmente es una estructura aporticada muy eficiente y se usa mucho es fábricas textiles.

 Celosía Long Este tipo de celosía debe su nombre a Stephen H. Long (1784-1864), y tiene su origen hacia 1835. Los cordones superior

e

montantes

inferior

horizontales

verticales

diagonales dobles.

pág. 20

todos

se

ellos

unen

mediante

arriostrados

por

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 La celosía Vierendeel: En honor al ingeniero belga A. Vierendeel, tiene como características principales las uniones obligatoriamente rígidas y la ausencia de diagonales inclinadas. De esta manera, en una celosía Vierendeel, no aparecen formas triangulares como en la mayoría de celosías, sino una serie de marcos rectangulares. Se trata por tanto de una celosía empleada en edificación por el aprovechamiento de sus aperturas.

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3.2. TIPOS DE CONFIGURACIÓN a) CONFIGURACIÓN COMPLETA

Es aquella que se compone del número mínimo de miembros necesarios para formar una estructura hecha completamente de triángulos.

b) CONFIGURACIÓN INCOMPLETA

Es un entramado no compuesto totalmente de triángulos. Para cargas simétricas esta configuración puede ser estable, pero si la carga es asimétrica, ocurrirá una distorsión que puede provocar falla. Una configuración incompleta se considera que es inestable y siempre debe eludirse.

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ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL c) CONFIGURACIÓN REDUNDANTE

Es un entramado que contiene un número de miembros mayor que el requerido para formar el número mínimo de triángulos. En la armadura, se muestran dos diagonales en el tablero central; una de las diagonales se llama miembro redundante.

Sin

embargo

en

la

práctica

estas

dos

diagonales, formadas de varillas, se usan frecuentemente; como las varillas son capaces de resistir únicamente fuerzas de tensión, de las dos varillas diagonales en el tablero, solamente una de ellas actuara a la vez. Para el caso de cargas asimétricas, el miembro que resiste una fuerza de tensión trabajara, mientras que la otra diagonal, no estará trabajando. Si se emplea solamente una diagonal, esta deberá ser capaz de resistir tanto compresión como tensión, dependiendo de las magnitudes relativas de las cargas aplicadas.

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3.3. ESTABILIDAD INTERNA Con frecuencia la estabilidad interna de una armadura puede comprobarse mediante una inspección cuidadosa de la disposición de sus elementos. Si es posible determinar que cada junta se mantiene fija de modo que no puede moverse en el sentido de un "cuerpo rígido" con respecto a las otras juntas, entonces la armadura será estable. Observe

que

una

armadura

simple

siempre

será

internamente estable, dado que por la naturaleza de su construcción requiere partir de un elemento triangular básico para después agregar sucesivos “elementos rígidos”, cada uno con dos elementos adicionales y una junta. La armadura de la figura es un ejemplo de esta construcción, donde, a partir del elemento triangular sombreado ABC, se agregan sucesivamente las juntas D, E, F, G y H.

Si una armadura se construye de manera que sus juntas no se mantienen en una posición fija, será inestable o tendrá una “forma crítica". Un ejemplo claro de esto se muestra en la figura, donde puede observarse que no hay restricción o fijeza entre las juntas de C y F o R y E, por lo que la armadura colapsará bajo carga.

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Sin embargo, debe tenerse en cuenta que si una armadura es inestable, no importa si es estáticamente determinada o indeterminada.

Obviamente,

el

uso

de

una

armadura

inestable debe evitarse en la práctica. La siguiente ecuación expresa los requisitos para el mínimo número de elementos que una armadura plana de j número de nodos que debe contener, si quiere ser internamente estable. Si una armadura plana contiene m elementos y j nudos, entonces si m < 2j - 3 La armadura es internamente estable m ≥ 2j - 3 La armadura es internamente inestable Es muy importante notar que, si bien es necesario el criterio anterior, no es suficiente para garantizar la estabilidad interna. Una armadura no solo debe contener el suficiente número de elementos para satisfacer la condición m ≥ 2j - 3, sino que los elementos además deben estar dispuestos adecuadamente

para

asegurar

estructura.

pág. 25

la

rigidez

de

toda

la

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EJEMPLO N°01

La armadura de la Fig. contiene 20 elementos y 12 nodos. Por lo tanto, m = 20, y 2j - 3 = 2(12) - 3 = 21. Dado que m es mejor que 2j - 3, la armadura no tiene el suficiente número de elementos para formar un cuerpo rígido; por lo tanto, es internamente inestable. Una inspección cuidadosa muestra que contiene dos cuerpos rígidos, ABCD y EFGH, conectados por dos elementos paralelos, BE y DG. Estos dos elementos horizontales no pueden prevenir el desplazamiento relativo en dirección vertical de una parte rígida de la armadura con respecto a la otra. EJEMPLO N°02

La armadura mostrada en la Fig. es igual a la de la Fig. anterior, excepto que el elemento diagonal DE ha sido agregado para prevenir el desplazamiento relativo entre las dos partes ABCD y EFGH. La armadura completa ahora actúa como un cuerpo rígido. La adición de un elemento DE aumenta el número de elementos a 21 (mientras que el número de nodos permanece igual en 12), con ello satisface pág. 26

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ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL la ecuación m >2j - 3. La armadura es ahora internamente estable.

pág. 27

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3.4. DETERMINACIÓN E INDETERMINACIÓN ESTÁTICA Esta caracterización de determinación estática, abarca tanto las reacciones externas de apoyo y las fuerzas internas de los elementos,

también

se

conoce

como

DETERMINACION

ESTATICA EXTERNA. Estos métodos pueden aplicarse para analizar solo estructuras isostáticas o estáticamente determinadas.

OBJETIVO: pág. 28

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ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL - Determinar tanto las fuerzas en los elementos como en las reacciones externas.

 Podemos observar que la armadura plana esta sujeta a cargas externas P1, P2 y P3.  Se observa el diagrama de cuerpo libre de los 5 elementos y los 4 nodos.

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ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL  Cada elemento está sujeto a dos fuerzas axiales en sus extremos que son colineales.  ∑Fx = 0 y ∑Fy = 0.  De igual magnitud pero de sentido contrario.  El D.C.L muestran las mismas fuerzas pero en direcciones opuestas.  El análisis de las armaduras involucra la determinación de las 5 fuerzas de los elementos y las 3 reacciones.  La armadura esta en equilibrio entonces cada nodo debe estar en equilibrio.  En cada nodo las fuerzas internas y externas forman un sistema coplanar y concurrente que satisface las 2 ecuaciones de equilibrio.  Dado que la armadura tiene 4 nodos entonces tendremos 8 ecuaciones disponibles. Basado a lo anterior, se desarrolla el criterio para la determinación estática, indeterminación e inestabilidad de armaduras planas. 

m elementos



j nodos



r apoyos (N° de reacciones externas)

Para cada nodo el N° total de ecuaciones es (2j). Entonces la formula seria:

pág. 30

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ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL m + r=2j

 Si la armadura tiene más incógnitas que ecuaciones, es decir:

M + r > 2j

Todas las incógnitas no

podrán ser determinadas y tal

armadura es llamada ESTATICAMENTE INDETEMINADA. El exceso

de

elementos

y

reacciones

son

llamadas

REDUNDANTES, y el N° de elementos y reacciones en exceso es llamado GRADO DE INDETERMINACION ESTÁTICA (i)

I = ( m + r ) - 2j

pág. 31

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3.5. ECUACIONES DE CONDICIÓN PARA LAS ARMADURAS PLANAS

Sabemos que los tipos de conexiones usadas para conectar partes rígidas de estructuras internamente estables dan lugar a ecuaciones de condición, que junto con las tres ecuaciones de equilibrio, se pueden usar para determinar las reacciones necesarias para restringir por completo esas estructuras. En la figura, se muestran tres tipos de disposiciones de conexiones de conexiones de uso común para unir dos armaduras rígidas con el fin de formar una sola armadura (internamente estable). En la figura (a), dos armaduras rígidas, AB y BC, están conectadas entre sí para una articulación interna en B. Puesto que una articulación interna no puede transmitir momento, da lugar a una ecuación de condición:

∑ M BAB=0

O

∑ M BC B =0

En la figura (b), se muestra otro tipo de disposición de la conexión. Esta comprende la conexión de dos armaduras rígidas, AB y BC, por medio de dos miembros paralelos. Como estas barras paralelas (horizontales) no pueden transmitir fuerza en la dirección perpendicular a ellas, este tipo de conexión proporciona una ecuación de condición:

∑ M AB y =0

O

∑ M CD y =0

Otro tipo de disposición de conexión comprende conectar dos armaduras rígidas, AB y CD, por un solo eslabón, BC, como se muestra en la figura (c). Como un eslabón no puede transmitir pág. 32

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ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL momento ni fuerza en la dirección perpendicular a él, da lugar a dos ecuaciones de condición:

∑ M AB x =0

O

∑ M CD x =0

Y

∑ M AB A =0

O

∑ M CD C =0

Como se indicó en el anteriormente, se pueden usar estas ecuaciones de condición, con las tres ecuaciones de equilibrio, para determinar las reacciones desconocidas de armaduras planas estáticamente determinadas externamente.

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Fig. Ecuaciones de condición para armaduras planas

3.6. CLASIFICACION DE ARMADURAS PLANAS Las armaduras planas de nudos articulados de acuerdo con la forma de crear la configuración de una armadura pueden dividirse desde el punto de vista estructural en:   

Armaduras simples. Armaduras compuestas. Armaduras complejas.

a) ARMADURAS SIMPLES

O estáticamente determinadas, constituye la armadura bidimensional o plana más sencilla, y ante la carga aplicad la única deformación posible es la que se origine por pequeños cambios de longitud de sus barras. Una armadura simple puede formarse partiendo de tres barras unidas por nodos en sus extremos formando un triángulo y luego extendiendo dos nuevas barras por cada nuevo nodo o unión

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ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL Estas se diseñan a partir de un elemento triangular básico (triángulo ABC), luego se añaden, uno a uno, elementos triangulares adicionales uniendo un nuevo nudo (D) a la armadura y utilizando dos nuevos miembros (BD y CD) y así sucesivamente. La armadura simple, al estar constituida tan solo por elementos triangulares, siempre será rígida. Como cada nuevo nudo trae con él dos nuevos miembros, se cumple que en una armadura simple plana: m = 2n - 3, Siendo m el nº de miembros y n el nº de nudos. Según el método de los nudos, ésta es exactamente la condición necesaria para garantizar la resolubilidad de la armadura simple plana, aunque no es válida para otro tipo de armaduras..

b) ARMADURAS COMPUESTAS

Las armaduras compuestas se forman al unir varias armaduras simples. Para que la armadura compuesta pueda transmitir cualquier tipo de carga sin cambiar la forma debe formar parte de un sistema, y esto dependerá del tipo de uniones en las armaduras simples y de los vínculos con su superficie firme.

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ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL La unión rígida entre dos armaduras simples se obtiene por un mínimo de tres barras que no deben ser concurrentes ni paralelas (Caso A) o por medio de una articulación barra

cuya

línea

no

debe

pasar

por

la

y una

articulación

mencionada (Caso B).

Cuando la unión se forma por el número mínimo de vínculos necesarios (tres) y la unión con la superficie firme tiene también un número de vínculos (Tres, ni concurrentes, ni paralelos) se tiene un sistema invariante, completamente restringido y estáticamente determinado.

Si hay más vínculos que el mínimo necesario, el sistema será indeterminadamente estático o hiperestático y las ecuaciones de equilibrio no serán suficientes para determinar las fuerzas en las barras.

Para esto existen relaciones entre el número de barras (b), el número de nudos (n) y el nuero de las posibles reacciones (r)

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ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL que nos indican si una armadura es un sistema invariante estáticamente determinado o indeterminado. Pero no se pueden confiar estrictamente en estas fórmulas ya que la invariabilidad del sistema depende también de la disposición de los elementos. Por esto deben comprobarse las formulas, hay que inspeccionar el sistema por otros medios.

El análisis de las fuerzas internas de estas armaduras se hará con los siguientes métodos a manera de recomendación: El Método de los Nudos. El Método de las Secciones

EJEMPLO PARA DETERMINAR EL GRADO DE HIPERESTATICIDAD DE ESTRUCTURAS COMPUESTAS.

c) ARMADURAS COMPLEJAS

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ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL Una armadura compleja es aquella que no puede clasificarse como simple o compuesta.

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IV.

METODOS DE SOLUCION PARA ARMADURAS

4.1. MÉTODOS DE SOLUCION PARA ARMADURAS PLANAS Dado que los dos métodos de análisis que se presentan en las siguientes secciones pueden aplicarse para analizar solo armaduras

isostáticas

importante

para

el

o

estáticamente

estudiante

determinadas,

reconocer

las

es

armaduras

estáticamente determinadas antes de proceder al análisis.

4.1.1.MÉTODO DE LOS NUDOS (Método de nodos)

Consiste en desmontar la armadura dibujando por separado el DCL de cada miembro y cada pasador y aplicarles las condiciones de equilibrio La distribución de nudos y barras en una armadura simple es tal que siempre es posible encontrar un nudo en que sólo haya dos fuerzas desconocidas. Estas fuerzas pueden calcularse siguiendo los métodos de equilibrio, y sus valores pueden trasladarse a los nudos adyacentes y tratarse como cantidades conocidas en dichos nudos. Este procedimiento puede repetirse hasta que se hallen todas las fuerzas desconocidas. El diagrama de Maxwell, facilita el análisis gráfico de problemas en armaduras.

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ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL CONSIDERACIONES GENERALES DEL MÉTODO DE LOS NUDOS



Los DCL de los miembros de la armadura solo tienen fuerzas axiales aplicadas en sus extremos en virtud de



las hipótesis formuladas anteriormente. El símbolo TBC representa la fuerza incógnita en el



miembro BC (TBC = TCB). Las fuerzas que apuntan hacia fuera del miembro se denominan fuerzas de tracción o de tensión y tienden a



estirar el miembro. Las fuerzas que denominan



fuerzas

apuntan de

hacia

el

compresión

miembro y

se

tienden

a

comprimirlo. De acuerdo con el principio de acción y reacción, la fuerza que un pasador ejerce sobre un miembro es igual



y opuesta a la que el miembro ejerce sobre el pasador. El análisis de la armadura se reduce a considerar el equilibrio de los nudos ya que el equilibrio de los miembros no aporta más información que la igualdad de



fuerzas en los extremos. Como en cada nudo actúan fuerzas concurrentes coplanarias,

el

equilibrio

de

momentos

no

dará

información útil con lo que solo se analiza el equilibrio de fuerzas. Para cada nudo R = 0 dará lugar a 2 ecuaciones escalares independientes: 

Una armadura plana con n pasadores dará un total de 2n ecuaciones escalares independientes con las que calcularemos las m fuerzas en los miembros y las 3 reacciones en los apoyos de una armadura simple.

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ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL 

Si existe un nudo con solo dos fuerzas incógnitas, las dos ecuaciones para este nudo se pueden resolver



independientemente del resto de ecuaciones. Si no existe un tal nudo, suele poderse crear resolviendo



primero las EQ de la armadura en su conjunto. Los nudos se resuelven de esta manera uno tras otro



hasta que se conozcan todas las fuerzas. Una vez determinadas todas las fuerzas, deberá hacerse un resumen de todas las fuerzas de los miembros indicando



en

cada

una

si es

de

tracción

o

de

compresión. Si se utiliza primeramente el equilibrio global para determinar las reacciones en los apoyos y ayudar a iniciar el método de los nudos, entonces tres de las 2n EQ de los nudos serán superabundantes y se podrán



utilizar para comprobar la solución. Si no es así, es el equilibrio global el que puede utilizarse para comprobar la solución.

EJEMPLO N°01

Determine la fuerza en cada uno de los elementos de la armadura que se muestra en la siguiente imagen. Indique si los elementos están en tensión o en comprensión.

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SOLUCION Solo es necesario determinar las fuerzas en la mitad de los elementos puesto q la armadura es simétrica tanto con respecto a la carga como a la geometría. Nudo A. El análisis puede iniciarse en el nudo A.

Nudo G En este caso, observe cómo la orientación de los ejes X y Y evita la solución simultánea de ecuaciones.

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Nudo B

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ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL 4.1.2.MÉTODO DE LAS SECCIONES

El método de las secciones se usa para determinar las cargas que actúan dentro de un cuerpo. Se basa en el principio de que si un cuerpo está en equilibrio, entonces cualquier parte del cuerpo también está en equilibrio. Se puede observar con claridad que para que haya equilibrio, el miembro que está en tensión (T) está sujeto a un “jalón” mientras que el miembro de compresión esté sometido a un “empuje”

Si la sección seleccionada pasa por la armadura y se traza el diagrama de cuerpo libre de cualquiera de sus dos partes, entonces podemos aplicar las ecuaciones de equilibrio a esa parte para determinar las fuerzas del miembro de la “sección cortada”. Como sólo tres ecuaciones independientes de equilibrio (∑Fx=0 ∑Fx=0 ∑Mo=0) pueden ser aplicadas a la parte aislada de la armadura, trate de seleccionar una sección que, en general, pase por no más de tres miembros en que las fuerzas sean desconocidas.

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Hay dos maneras en que se pueden determinar el sentido correcto de una fuerza de miembro desconocido:

 Siempre suponer que las fuerzas desconocidas en miembros de la sección cortada están en tensión, es decir, “jalando” en el miembro. Haciendo esto, la solución numérica de las ecuaciones de equilibrio dará escalares positivos para miembros en tensión y escalares negativos para miembros en compresión.  El sentido correcto de una fuerza desconocido, en muchos

casos

puede

ser

determinado

“por

inspección” dependiendo como se requiera para que esté en equilibrio. En casos más complicados, el sentido de una fuerza de miembro desconocido puede ser supuesto. Si la solución da un escalar negativo, esto indica que el sentido de la fuerza opuesto al mostrado en el diagrama de cuerpo libre.

EJEMPLO N°02

Hallar la fuerza en las barras EF y GI de la armadura representada. pág. 46

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Se dibuja el diagrama del sólido libre de la armadura completa, en el que las fuerzas externas que actúan sobre ella son las cargas aplicadas y las reacciones en B y J. Escribimos las siguientes ecuaciones de equilibrio:

EJEMPLO N°03

Determinar la fuerza en los elementos FH, GH y GI de la siguiente armadura:

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Diagrama de cuerpo libre: toda la armadura. A partir del diagrama de cuerpo libre para toda la armadura se encuentra las reacciones en A y L:

Se observa que:

Fuerza en el elemento GI: Se pasa la sección nn a través de la armadura como se muestra en la figura. Utilizando la porción HLI de la armadura como el cuerpo libre, se obtiene el valor de FGI escribiendo:

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ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL Fuerza en el elemento FH. El valor de FFH se obtiene a partir de la ecuación ƩMG = 0. Se mueve FFH a lo largo de ssu línea de acción hasta que actúe en el punto F, donde se descompone en sus componentes x y y. Ahora, el momento de FFH con respecto al punto G es igual a (FFH cosα)(8m).

Fuerza en el elemento GH. Primero se observa que:

Entonces, el valor de FGH se determina descomponiendo la fuerza FGH en sus componentes x y y en el punto G y resolviendo la ecuación ƩML = 0

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ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL 4.1.3.MÉTODO DE LOS

ELEMENTOS DE FUERZA CERO

El análisis de armaduras mediante el método de los nodos se simplifica en gran medida si primero se determinan los elementos que no soportan carga. Estos elementos de fuerza cero pueden ser necesarios para la estabilidad de la armadura durante su construcción y para prestar apoyo si la carga aplicada cambia. Por lo general, los elementos de fuerza cero de una armadura pueden determinarse mediante la inspección de las articulaciones y se presentan dos casos. CASO I Considere la armadura de la figura a. Los dos elementos en la junta C se conectan entre sí en ángulo recto y no hay carga externa sobre la junta. El diagrama de cuerpo libre de la junta C, figura 1-b indica que la fuerza en cada elemento debe ser cero a fin de mantener el equilibrio. Además, como en el caso de la junta A, figura 1-c esto debe ser cierto sin importar el ángulo, digamos ϴ, entre los elementos.

CASO II

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ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL Los elementos de fuerza cero también se presentan en las juntas con una geometría como la de la junta D en la figura 2-a. Aquí ninguna carga externa actúa sobre la junta, de modo que una sumatoria de la fuerzas en la dirección y, figura 2-b, que es perpendicular a los dos elementos colineales, requiere que

F DF =0

. Si se usa este resultado,

FC también es un elementos de fuerza cero, como lo indica el análisis de fuerzas de la junta F, figura 2-c.

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EJEMPLO N°04

CASO I La armadura mostrada en la figura es un ejemplo de esta condición.

Solución

Las ecuaciones de equilibrio para el nodo C da inmediatamente la solución.

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CASO II La armadura mostrada en la figura es un ejemplo de esta condición.

Solución

Las ecuaciones de equilibrio para el nodo B son:

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ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL 4.1.4.MÉTODO DE LOS ELEMENTOS SUSTITUTOS

Las fuerzas en los elementos de una armadura compleja pueden determinarse siguiendo el método de los nudos sin embargo, la solución requiere escribir las dos ecuaciones de equilibrio para cada uno de los nudos de la armadura y después resolver el conjunto completo de las ecuaciones en forma simultánea. Este proceso puede ser poco práctico si los cálculos

se realizan manualmente, en especial cuando

las armaduras son muy grandes. Por ello se utilizara el método de los elementos sustitutos.

PROCEDIMIENTO

Reducción a una armadura simple estable Determine las reacciones en los soportes y comience por imaginar cómo analizaría la armadura aplicando el método de los nudos, es decir pasando de un nudo a otro y resolviendo para encontrar cada fuerza de los elementos en la articulación y reemplácelo por un elemento imaginario en cualquier otra parte de la armadura. De esta manera, se reconstruye la armadura como una armadura simple estable.

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

Carga externa sobre una armadura simple Cargue la armadura simple con la carga real P y después determine la fuerza en cada elemento.



Retiro de la carga externa de la armadura simple Considere la armadura simple sin la carga externa P. Coloque

cargas

unitarias

iguales

pero

opuestas

alineadas sobre la armadura en los nudos de las cuales se retiró el elemento. Si estas fuerzas desarrollan una fuerza en elemento de una armadura, entonces por proporción una fuerza “x” desconocida en el elemento retirado. 

Superposición Si los efectos de las dos cargas anteriores se combinan, la fuerza en el i-ésimo elemento de la armadura será:

Una vez que se ha determinado el valor de x, las fuerzas en los otros elementos i de la armadura compleja

pueden

determinarse

ecuación.

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a

partir

de

la

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EJEMPLO N°05

Determine la fuerza en cada elemento de la armadura compleja que se muestra en la figura. Suponga que los nudos B, F y D x encuentran en la misma línea horizontal. Indique si los elementos están en tensión o en compresión.

SOLUCION  

Reducción a una armadura simple estable Carga externa sobre una armadura simple

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



Retiro de la carga externa de la armadura simple

Superposición: Se requiere

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4.2. METODOS DE SOLUCION PARA ARMADURAS ESPACIALES Son armaduras cuyos nudos no se encuentren todos en un plano y/o cuyos apoyos y cargas no sean coplanarios. El equivalente tridimensional del triángulo es el tetraedro. Una armadura espacial simple se forma añadiendo unidades tetraédricas a la armadura con lo que son siempre rígidas. Como ahora cada nuevo nudo lleva consigo 3 nuevos miembros, la relación entre los n nudos y los m miembros vendrá dado por: m = 3n – 6. Estas armaduras, al igual que las planas, se pueden analizar utilizando el método de los nudos o el de las secciones: 

Método de los nudos: al aplicar las EE en cada nudo obtendremos 3n ecuaciones para calcular las m



fuerzas en los miembros y las 6 reacciones de apoyos. Método de las secciones: la aplicación de las EE a las dos secciones darán 12 EE (6 c.u.) suficientes para determinar las 6 reacciones de apoyos y 6 fuerzas de miembros internas (suele ser difícil hacer pasar una sección que no corte a más de 6 miembros).

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ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL EJEMPLO N°06

Determine la fuerza en cada elemento de la armadura espacial que se muestra en la figura. Indique si los elementos están en tensión o en compresión.

SOLUCION Nudo A

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Nudo B

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V.

BIBLIOGRAFÍA

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