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• Ademyr Bravo

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ARMADURAS PLANAS Y ESPACIALES Una armadura es un montaje de elementos rectos conectados en sus extremos por conexiones flexibles que forman un cuerpo rígido. Debido a su ligereza y alta resistencia, las armaduras son usadas ampliamente, y su rango de aplicación va desde puentes y techos de edificios (Fig. 4.1), hasta estructuras de soporte en estaciones espaciales (Fig. 4.2). Las armaduras modernas están construidas con elementos unidos, los cuales por lo general son de acero, perfiles de aluminio o puntales de madera, sujetos a placas de refuerzo a través de conexiones atornilladas o soldadas. Si todos los elementos de una armadura y sus cargas se encuentran en un solo plano, la armadura se llama armadura plana. Las armaduras planas son comúnmente usadas para soportar pisos de puentes y techos de edificios. La Fig. 4.3 muestra un sistema estructural tipo para un techo soportado por armaduras planas. En este caso, dos o más armaduras están conectadas en sus nodos por vigas, llamadas largueros, para formar una estructura en tres dimensiones. El techo está sujeto a los largueros, los cuales transmiten la carga de techo (peso del techo más cualquier otra carga debida a la nieve, viento, etc.), además de su propio peso, a las armaduras de soporte en los nodos. Debido a que las cargas aplicadas actúan en cada armadura en su plano, la armadura puede ser tratada como una armadura plana. Algunas de las configuraciones más comunes de puentes y armaduras para techos, muchas de las cuales han sido llamadas por el nombre de su diseñador original, se muestran en las Figs. 4.4 y 4.5, respectivamente. A pesar de que la mayoría de las armaduras pueden ser analizadas como armaduras planas, hay muchos más sistemas de armaduras, tales como torres de transmisión y domos reticulares (Fig. 4.6), que no pueden ser tratadas como armaduras planas debido a su forma, al arreglo de sus elementos o a las cargas aplicadas. Estas armaduras, llamadas armaduras espaciales, son analizadas como cuerpos en tres dimensiones sujetos a un sistema de fuerzas de tres dimensiones.

HIPÓTESIS PARA EL ANÁLISIS DE ARMADURAS El análisis de las armaduras se basa en las siguientes hipótesis: 1. Todos los elementos están conectados en sus extremos por articulaciones sin fricción en armaduras planas y por rótulas sin fricción en armaduras espaciales o en tres dimensiones. 2. Todas las cargas y las reacciones de los apoyos están aplicadas en los nodos. 3. El eje centroidal de cada elemento coincide con la línea que conecta los centros de los nodos adyacentes. La razón de realizar estas hipótesis es para obtener la armadura ideal, cuyos elementos están sujetos solo a carga axial. Dado que cada elemento de la armadura ideal está conectado en sus extremos por articulaciones sin fricción (hipótesis 1) y sin cargas aplicadas entre sus extremos (hipótesis 2), los elementos estarán sujetos

solo a dos fuerzas en sus extremos. Asimismo, ya que los elementos están en equilibrio, la fuerza y el par resultantes de las dos fuerzas FA y FB deben ser cero; por lo tanto, las fuerzas deben de satisfacer las tres ecuaciones de equilibrio. En la Fig. 4.7(a) podemos ver que para que la fuerza resultante de las dos fuerzas sea cero (∑Fx=0 y ∑Fy=0), las dos fuerzas deben ser iguales en magnitud pero de sentido opuesto. Para que el par resultante sea cero (∑M=0), las dos fuerzas deben ser colineales, por lo tanto, las fuerzas deben tener la misma línea de acción. Por otra parte, dado que el eje centroidal de cada elemento de la armadura es una línea recta con relación a la línea que conecta los centros de las conexiones adyacentes (hipótesis 3), los elementos no están sujetos a momento flexionante o fuerza cortante, pero sí a la fuerza de tensión axial (elongación cono se muestra en la Fig. 4.7(b)) o en compresión axial (acortamiento como se muestra en la Fig. 4.7(c)). Tales fuerzas axiales en los elementos obtenidas del análisis son llamadas fuerzas primarias. En las armaduras reales, estas idealizaciones casi nunca son completamente ciertas. Como se dijo anteriormente, las armaduras reales están construidas con sus elementos conectados a través de placas de refuerzo por conexiones atornilladas o soldadas (Fig. 4.8). Algunos elementos de las armaduras pueden estar conectados de manera continua en los nodos. Además, a pesar de que las cargas externas son transmitidas a la armadura en los nodos por medio de vigas de piso, larguero, y así sucesivamente, el peso muerto de los elementos está distribuido a lo largo de su longitud. Los momentos flexionantes, cortantes y las fuerzas axiales causadas por estas y otras variaciones de las condiciones de idealización antes mencionada son comúnmente llamadas fuerzas secundarias. A pesar de que las fuerzas secundarias no pueden ser eliminadas, sí se pueden reducir sustancialmente en la mayoría de las armaduras usando elementos esbeltos y diseñando las conexiones para que los ejes centroidales de los elementos que se unen en el nodo sean concurrentes en ese punto (como se mostró en la Fig. 1.16). Las fuerzas secundarias en tales armaduras son mucho menores que las fuerzas primarias, y usualmente no son consideradas en el diseño.

DISPOSICIÓN DE LOS ELEMENTOS DE LAS ARMADURAS PLANAS-ESTABILIDAD INTERNA Se define una armadura plana como internamente estable si el número y arreglo geométrico de sus elementos es tal que la armadura no cambia su forma y se mantiene como un cuerpo rígido cuando no está sujeta a sus apoyos. El término interno es usado aquí para referirse al número y arreglo de los elementos contenidos dentro de la armadura. La inestabilidad debida a los apoyos externos insuficientes o el arreglo inapropiado de los apoyos externos se conoce como externa.

ELEMENTOS BÁSICOS DE UNA ARMADURA

La armadura plana interna estable (o rígida) más sencilla puede formarse al conectar tres elementos por sus extremos a una articulación para formar un triángulo, como el que se muestra en la Fig. 4.9(a). Esta armadura triangular recibe el nombre de armadura básica elemental. Nótese que esta armadura triangular es internamente estable en el sentido de que es un cuerpo rígido que no cambia su forma bajo la acción de las cargas. En contraste, una armadura rectangular formada por cuatro elementos conectados en sus extremos por articulaciones, como la mostrada en la Fig. 4.9(b), es internamente inestable ya que cambiará su forma y se colapsará cuando se sujete a un sistema general de fuerzas coplanares.

ARMADURAS SIMPLES Los elementos de la armadura básica ABC de la Fig. 4.10(a) se pueden ampliar conectando dos nuevos elementos BD y CD, a los dos nodos existentes B y C, y uniéndolos para formar un nuevo nodo D, como el mostrado en la Fig. 4.10(b). Mientras que el nuevo nodo D no se encuentre en línea recta que pasa a través de los nodos existentes B y C, la nueva armadura ampliada será internamente estable. La armadura se puede ampliar aún más repitiendo el mismo procedimiento (como el de la Fig. 4.10(c)) tatas veces como se desee. Las armaduras construidas con este procedimiento se llaman armaduras simples. Una armadura simple se forma ampliando los elementos básicos de la armadura, la cual contiene tres elementos y tres nodos, y agregando dos elementos por cada nodo adicional, de tal manera que el número de elementos m en una armadura simple esté dado por m = 3 + 2(j – 3) = 2j – 3 (4.1) En la cual j = número total de nodos (incluidos aquellos unidos a los apoyos).

ARMADURAS COMPUESTAS Las armaduras compuestas están construidas por la unión de dos o más armaduras simples que forman un cuerpo rígido. Para prevenir cualquier movimiento relativo entre las armaduras simples, cada armadura debe estar conectada a la(s) otra(s) por medio de una conexión capaz de transmitir cuando menos tres componentes de fuerza, las cuales no deben ser ni paralelas ni concurrentes. Dos ejemplos de arreglos de conexión usados para formar armaduras compuestas se muestran en la Fig. 4.11. En la Fig. 4.11(a) dos armaduras simples ABC y DEF están conectadas por tres elementos, BD, CD y BF, que no son paralelos ni concurrentes. Otro tipo de arreglo de conexión se ejemplifica en la Fig. 4.11(b). Esto implica conectar dos armaduras simples ABC y DEF con un nodo común C y un elemento BD. Para que la armadura compuesta sea internamente estable, el nodo común C y los nodos B y D no deben estar en línea recta. La relación entre el

número total de elementos m y el número de nodos j para armaduras compuestas internamente estables es igual que para armaduras simples. Esta relación, dada por la Ec. (4.1), puede ser fácilmente verificada para armaduras compuestas mostradas en la Fig. 4.11.

ESTABILIDAD INTERNA La ecuación (4.1) expresa los requisitos para el mínimo número de elementos que una armadura plana de j número de nodos que debe contener, si quiere ser internamente estable. Si una armadura plana contiene m elementos y j nodos, entonces si m < 2j – 3 La armadura es internamente estable m ≥ 2j – 3 La armadura es internamente inestable Es bien importante notar que, si bien es necesario el criterio anterior, no es suficiente para garantizar la estabilidad interna. Una armadura no solo debe contener el suficiente número de elementos para satisfacer la condición m ≥ 2j – 3, sino que los elementos además deben estar dispuestos adecuadamente para asegurar la rigidez de toda la estructura.

ARMADURAS COMPLEJAS Las armaduras no se pueden clasificar ni como armaduras simples ni como armaduras compuestas, sino como armaduras complejas. Dos ejemplos de armaduras complejas se muestran en la Fig. 4.27. Desde un punto de vista analítico, la principal diferencia entre las armaduras compuestas y las complejas estriba en el hecho de que ni el método de los nodos ni el de las secciones se puede usar en el análisis de armaduras complejas. Podemos ver en la Fig. 4.27 dos armaduras complejas que, a pesar de ser estáticamente determinadas, después de calcular las reacciones no se puede aplicar el método de los nodos porque no es posible identificar un nodo que tenga al menos dos o menos fuerzas desconocidas. Igualmente, el método de las secciones no se puede emplear porque cada sección pasa por más de tres elementos con fuerzas desconocidas. Las fuerzas de los elementos de estas armaduras se determinan escribiendo dos ecuaciones de equilibrio en términos de las fuerzas desconocidas para cada nodo de la armadura y luego resolviendo el sistema de 2j ecuaciones simultáneamente. En la actualidad las armaduras complejas son usualmente analizadas en computadoras con la formulación matricial.

ARMADURAS ESPACIALES Las armaduras espaciales, debido a su forma, arreglo de elementos, o cargas aplicadas, no pueden subdividirse en armaduras planas para propósitos de análisis, y deben, por lo tanto, analizarse como estructuras en tres dimensiones sujetas a un

sistema de fuerzas tridimensional. Se asume que los elementos están conectados en sus extremos por articulaciones de rótula sin fricción, que las cargas externas y reacciones están aplicadas solo en los nodos y que los ejes centroidales de cada elemento coinciden con la línea que conecta el centro con los nodos adyacentes. Por estas hipótesis simplificadoras, los elementos de una armadura espacial pueden tratarse como elementos sujetos a carga axial. La armadura espacial más sencilla internamente estable (o rígida) se puede formar al conectar seis elementos por sus extremos con cuatro articulaciones de rótula, con lo que se obtiene un tetraedro, como como se muestra en la Fig. 4.28(a). Esta armadura en forma de tetraedro se considera como un elemento básico de una armadura espacial. Se debe notar que esta armadura espacial básica es estable en el sentido de que es un cuerpo rígido espacial que no cambiará su forma bajo un sistema general de cargas aplicadas en sus nodos. La armadura básica ABCD de la Fig. 4.28(a) se puede hacer más grande agregando tres nuevos elementos, BE, CE y DE, a los tres nodos existentes B, C y D, y conectándolos para formar un nuevo nodo E, como se muestra en la Fig. 4.28(b). Siempre y cuando el nuevo elemento no caiga en el plano que contiene a los nodos existentes B, C y D, la nueva armadura ampliada será internamente estable. Es posible ampliar la armadura repitiendo este mismo proceso (como se expone en la Fig. 4.28(c)) tantas veces como sea deseado. Las armaduras construidas por este proceso reciben el nombre de armaduras espaciales simples. Una armadura espacial simple se forma cuando se amplía su elemento básico tetraedro, que contiene seis elementos y cuatro nodos con tres elementos adicionales por cada nodo adicional, así que el número de elementos m de una armadura espacial simple está dado por m = 6 + 3(j – 4) = 3j – 6 En donde j = número total de nodos (incluidos aquellos atribuidos a los nodos)