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3º laboratorio de cálculo por elementos finitos

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

3º laboratorio de cálculo por elementos finitos TEMA: ARMADURAS PLANAS

CURSO:

Cálculo por elementos finitos.

SECCIÓN: “G” FECHA DE ENTREGA: 07/10/2015 ALUMNO: Rafael Maynasa, Anthony Williams . CÓDIGO:

20130217D

2015-II

ÍNDICE. Armaduras Planas

Página 1

3º laboratorio de cálculo por elementos finitos 1. INTRODUCCIÓN. …………………………………………………………………………… 1 2. OBJETIVOS. …………………………………………………………………………………… 2 3. ENUNCIADO

DEL

PROBLEMA.

……………………………………………………… 4. SOLUCIÓN 1: 4.1. Modelado

del

3

cuerpo

real.

…………………………………………………… 4 4.2. Grados de libertad

nodales.

…………………………………………………6 4.3. Vector

carga.

……………………………………………………………………… 7 4.4. Matriz de rigidez. ………………………………………………………………… 4.5. Ecuaciones de rigidez y ecuaciones de

8 contorno.

………………… 10 4.6. Esfuerzos. …………………………………………………………………………… 4.7.

11 Resultados.

………………………………………………………………………… 12 5. SOLUCIÓN 2.  Diagrama 

de

flujo.

…………………………………………………………………… 13 Programación en MATLAB. ………………………………………………………

Armaduras Planas

Página 2

15

3º laboratorio de cálculo por elementos finitos 6. CONCLUSIONES. …………………………………………………………………………… 19

1. Enunciado del problema Considere la armadura tipo balcón como se muestra en la Figura 1. Todos los elementos están hechos de madera. Determinar la distribución de esfuerzos de una armadura plana, la cual es sometida a cargas en ciertos nodos, despreciándose los efectos de temperatura y de peso de cada viga de la armadura plana. Se tiene que el Módulo de Elasticidad del material de cada viga es transversal de

6

1.9× 10 lb/ pulg

2

, y una sección

8 pulg 2 .

Ilustración 1

Datos del problema: Diámetro de la sección constante de cada viga: 3.1915 pulg

Armaduras Planas

Página 3

3º laboratorio de cálculo por elementos finitos Carga

P1=500 lb

Carga

P2=500 lb

Modulo de elasticidad de cada viga:

I.

1.9× 106 lb/ pulg 2

2. Solución (cálculos previos) El análisis por el método de los elementos finitos

Ilustración 2

3. Grados de libertad y coordenadas Como observamos en la ilustración 2, hacemos uso de las coordenadas X-Y en la posición mostrada, para así poder tener las posiciones de los 5 nodos Armaduras Planas

Página 4

3º laboratorio de cálculo por elementos finitos de la armadura plana y así poder cuantificar dichos nodos. Para esto procedemos hacer el siguiente cuadro: Nodo 1 2 3 4 5

II.

X(mm) 0 3 6 3 0

Y(mm) 0 0 0 3 3

Luego hacemos nuestra tabla de conectividad

Elemento

1 2 3 4 5 6 7

Element o 1 2 3 4 5 6

Nodos (1) (2)

GDL 1 2 3 4 1 2 3 4 3 4 5 6 5 6 7 8 7 8 3 4 7 8 1 2 7 8 9 10 1 2 9 10

1 2 2 3 3 4 4 2 4 1 4 5 1 5

# de Nodo

X (pulg)

Y (pulg)

1

0

0

2

3 3

0 0

6 6

3 3

3 3

3 3

3 3

0 3

4

0 3

0 3

5

0

3

2 3 3 4 4 2 4 1

Armaduras Planas

Le en (mm)

Ae en (

3

8

1.9× 106

4.2426

8

1.9× 106

3

8

1.9× 10

3

8

1.9× 106

4.2426

8

1.9× 106

3

8

1.9× 10

3

8

1.9× 106

2

mm

(XiXj)

(Yi-Yj)

le (pulg)

-3

0

-3

Ee en (N/

mm2 )

)

6

6

Cosenos Directores l

m

3

-1

0

-3

4.2426

-0.7071

-0.7071

3

0

3

1

0

0

3

3

0

1

3

3

4.2426

0.7071

0.7071

3

0

3

1

0

Página 5

3º laboratorio de cálculo por elementos finitos 7

1

0

0

5

0

3

0

-3

3

0

-1

4. Matriz de rigidez de los elementos (local)

( ) [−11 −11 ]

X:

Respecto a

k 1=

2

k=

(

(

3

( 1.9 ×106 ) .8 4.2426

3

(

k =

)

[

[

1 0 −1 0

3

Armaduras Planas

[

)

[

1 0 −1 0

[

0

)

(tracción simple)

donde

lm −l 2 −ml m2 −lm −m2 −lm l 2 lm 2 2 −m lm m

] [

0 −1 0 5.0667 0 0 0 =106 × 0 0 1 0 −5.0667 0 0 0 0

] [

] [

] [

0 0 0 −1 =10 6 × 0 0 0 1

Página 6

Lws =Lrt

]

0 −5.0667 0 0 0 0 0 5.0667 0 0 0 0

]

1.7914 1.7914 −1.7914 −1.7914 1.7914 1.7914 −1.7914 −1.7914 −1.7914 −1.7914 1.7914 1.7914 −1.7914 −1.7914 1.7914 1.7914

0 −1 0 5.0667 0 0 0 6 0 =10 × 0 1 0 −5.0667 0 0 0 0

0 1 0 0 0 −1

( 1.9 ×10 6 ) .8 0 4 k =

(

e

l2 lm −l 2 −lm

0.5 0.5 −0.5 −0.5 0.5 0.5 −0.5 −0.5 6 =10 × −0.5 −0.5 0.5 0.5 −0.5 −0.5 0.5 0.5

( 1.9 ×106 ) .8 3

)

EA le

( )

K ers=

Resulta:

e

K sr =Lrt ( K 'tw ) Lws

Respecto a (X, Y):

( 1.9 ×106 ) .8

EA le

K 'tw =

'

0 −5.0667 0 0 0 0 0 5.0667 0 0 0 0

0 0 0 5.0667 0 0 0 −5.0667

0 0 0 −5.0667 0 0 0 5.0667

]

]

]

3º laboratorio de cálculo por elementos finitos

(

k5 =

( 1.9 ×106 ) .8 4.2426

)

[

[

1 ( 1.9 ×10 ) .8 0 6 k = 3 −1 0 6

(

)

[

0

(

3

)

1.7914 1.7914 −1.7914 −1.7914 1.7914 1.7914 −1.7914 −1.7914 −1.7914 −1.7914 1.7914 1.7914 −1.7914 −1.7914 1.7914 1.7914

0 −1 0 5.0667 0 0 0 6 0 =10 × 0 1 0 −5.0667 0 0 0 0

0 1 0 0 0 −1

( 1.9 ×106 ) .8 0 k = 7

] [ ] [

0.5 0.5 −0.5 −0.5 0.5 0.5 −0.5 −0.5 =106 × −0.5 −0.5 0.5 0.5 −0.5 −0.5 0.5 0.5

] [

0 0 0 −1 =106 × 0 0 0 1

0 −5.0667 0 0 0 0 0 5.0667 0 0 0 0

0 0 0 5.0667 0 0 0 −5.0667

0 0 0 −5.0667 0 0 0 5.0667

]

]

]

5. Matriz de rigidez estructural (global) ϵ

K iJ =∑ k esr | s → i (conectividad de model o) e=1

r→J

[

6.8581 1.7914 −5.0667 0 0 0 −1.7914 −1.7914 0 1.7914 6.8581 0 0 0 0 −1.7914 −1.7914 0 −5.0667 0 6.8581 1.7914 −1.7914 −1.7914 0 0 0 0 0 1.7914 6.8581 −1.7914 −1.7914 0 −5.0667 0 0 0 −1.7914 −1.7914 6.8581 1.7914 −5.0667 0 0 [ k ] =106 . 0 0 −1.7914 −1.7914 1.7914 1.7914 0 0 0 −1.7914 −1.7914 0 0 −5.0667 0 11.9248 1.7914 −5.066 −1.7914 −1.7914 0 −5.0667 0 0 1.7914 6.8581 0 0 0 0 0 0 0 −5.0667 0 5.0667 0 −5.0667 0 0 0 0 0 0 0

Armaduras Planas

Página 7

3º laboratorio de cálculo por elementos finitos

6. Cargas nodales En coordenadas X’ se sabe que:

F ' ew =[ F ' e1 F ' 2e ] ' En coordenadas X-Y se tiene:

[

]

Fes= Fe1 F e2 F e3 F e4 ' 7. Ecuación de rigidez

[ ][

F1 6.8581 1.7914 −5.0667 0 0 0 −1.7914 −1.7914 0 F2 1.7914 6.8581 0 0 0 0 −1.7914 −1.7914 0 F3 −5.0667 0 6.8581 1.7914 −1.7914 −1.7914 0 0 0 F4 0 0 1.7914 6.8581 −1.7914 −1.7914 0 −5.0667 0 F5 0 0 −1.7914 −1.7914 6.8581 1.7914 −5.0667 0 0 = 0 0 −1.7914 −1.7914 1.7914 1.7914 0 0 0 F6 −1.7914 −1.7914 0 0 −5.0667 0 11.9248 1.7914 −5.0667 F7 −1.7914 −1.7914 0 −5.0667 0 0 1.7914 6.8581 0 F8 0 0 0 0 0 0 −5.0667 0 5.0667 F9 0 −5.0667 0 0 0 0 0 0 0 F 10

Haciendo uso de la eliminación de Gauss:

[

6.8581 1.7914 −5.0667 0 0 0 −1.7914 −1.7914 0 0 1.7914 6.8581 0 0 0 0 −1.7914 −1.7914 0 −5.0 −5.0667 0 6.8581 1.7914 −1.7914 −1.7914 0 0 0 0 0 0 1.7914 6.8581 −1.7914 −1.7914 0 −5.0667 0 0 0 0 −1.7914 −1.7914 6.8581 1.7914 −5.0667 0 0 0 0 0 −1.7914 −1.7914 1.7914 1.7914 0 0 0 0 −1.7914 −1.7914 0 0 −5.0667 0 11.9248 1.7914 −5.0667 0 −1.7914 −1.7914 0 −5.0667 0 0 1.7914 6.8581 0 0 0 0 0 0 0 0 −5.0667 0 5.0667 0 0 −5.0667 0 0 0 0 0 0 0 5.06

Remplazando los datos de las matrices k y F obtenemos Q.

Armaduras Planas

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3º laboratorio de cálculo por elementos finitos

][ ]

[] [

Q3 0 6.8581 1.7914 −1.7914 −1.7914 0 0 Q4 500 1.7914 6.8581 −1.7914 −1.7914 0 −5.0667 Q 0 6 −1.7914 −1.7914 6.8581 1.7914 −5.0667 0 =10 × 5 500 −1.7914 −1.7914 1.7914 1.7914 0 0 Q6 0 0 0 −5.0667 0 11.9248 1.7914 Q7 0 0 −5.0667 0 0 1.7914 6.8581 Q8

[] [ ] Q3 Q4 Q5 =10−3 × Q6 Q7 Q8

0.0987 1.0516 −0.3947 pulg 1.8242 −0.2961 0.8543

Por tanto el vector carga total será:

[ ][ ] Q1 Q2 Q3 Q4

Q5 Q6 Q7 Q8 Q9 Q 10

0 0 0.0987 1.0516 = −0.3947 1.8242 −0.2961 0.8543 0 0

8. Distribución de esfuerzos En coordenadas X’ se sabe que el esfuerzo de cada elemento se halla asi:

σ e =E Bt q 't

(Tracción simple)

Pero en coordenadas X-Y se puede escribir del siguiente modo: e

σ =E Bt Ltr qr Resultando

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3º laboratorio de cálculo por elementos finitos

[]

q1 q E σ e = e [ −l −m l m ] 2 l q3 q4 e

( )

(Es el esfuerzo para cada elemento

finito)



[ ][ ] σ1 62.5015 σ2 62.5015 σ3 −88.3905 σ 4 = −62.5015 176.7809 σ5 −187.5045 σ6 0 σ7

9. Diagrama de flujo

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3º laboratorio de cálculo por elementos finitos

INICIO

Leer datos de entrada. Para i=1 hasta Nº de nodos

Ingresar coordenadas de los nodos.

Calcular área, Nº de filas de cond_contorno(CC1)

Para i=1 hasta 2veces Nº de nodos

Cont=0

Para j=1 hasta Nº de filas de cond_contorno(CC1)

1

Armaduras Planas

Página 11

3

2

3º laboratorio de cálculo por elementos finitos

Para i=1 hasta Nº elementos

Calcula Le, l, m, las posiciones de la matriz de rigidez global y su valor.

3 4

SI SI

NO

1

CC(i,1)=0; CC(i,2)=0

Si i=CC(i,1) Cont=1, C2=CC1(i,2) C1=CC1(i,1) Si cont=1 CC(i,1)=C1; CC(i,2)=C2

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acuv=[acuv;acuh]; acumula columnas

Calcula los desplazamientos generales Q1=acuv\FC;

5

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Página 13

3º laboratorio de cálculo por elementos finitos 5 Para i=1; 2Nº nodos Si i==CC(i,1)

Calcula las reacciones r=Kij(i,1:2*nd)*Q-F(i,1); R=[R;r i];

Para i=1 hasta Nº de elementos

Calcula esfuerzos

Imprime Desplazamientos, reacciones y esfuerzos

Armaduras Planas

Página 14

3º laboratorio de cálculo por elementos finitos 10.

Digitación del programa en Matlab

%ARMADURAS PLANAS format long nd=input('INGRESE EL NUMERO DE NODOS='); ne=input('INGRESE EL NUEMRO DE ELEMENTOS='); D=input('INGRESE EL DIÁMETRO DE LAS SECCIONES(pulg)='); E=input('INGRESE EL MODULO DE ELASTICIDAD(lb/pulg^2='); tc=input('INGRESE TABLA DE CONECTIVIDAD(solo nodos)='); %EJEMPLO [1 2;2 3;3 4;4 2;4 1;4 5;5 1] ni=[]; for i=1:nd disp('INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO ');disp(i); n(i,1)=input('N(X)= '); n(i,2)=input('N(Y)= '); end F=input('INGRESE EL VECTOR COLUMNA DE FUERZAS='); CC1=input('INGRESE CONDICIONES DE CONTORNO [posición valor]='); lm=[]; A=pi/4*D^2; krs=zeros(2*nd); Kij=zeros(2*nd);acuh=[];acuv=[];FC=[]; le=[];Q=[];R=[];l=[];m=[];CC=[]; [fc,cc]=size(CC1); for i=1:2*nd cont=0; for j=1:fc if i==CC1(j,1) cont=1; c1=CC1(j,1); c2=CC1(j,2); end end if cont==1 CC(i,1)=c1; CC(i,2)=c2; else CC(i,1)=0; CC(i,2)=0; end end for i=1:ne le(i)=sqrt((n(tc(i,2),1)-n(tc(i,1),1))^2+(n(tc(i,2),2)-n(tc(i,1),2))^2); l(i)=(n(tc(i,2),1)-n(tc(i,1),1))/le(i); m(i)=(n(tc(i,2),2)-n(tc(i,1),2))/le(i); ps1=tc(i,1)*2-1;ps2=tc(i,1)*2;ps3=tc(i,2)*2-1;ps4=tc(i,2)*2; krs(ps1,ps1)=l(i)^2;krs(ps1,ps2)=l(i)*m(i);krs(ps1,ps3)=-l(i)^2;krs(ps1,ps4)=-l(i)*m(i); krs(ps2,ps1)=l(i)*m(i);krs(ps2,ps2)=m(i)^2;krs(ps2,ps3)=-l(i)*m(i);krs(ps2,ps4)=m(i)^2; krs(ps3,ps1)=-l(i)^2;krs(ps3,ps2)=-l(i)*m(i);krs(ps3,ps3)=l(i)^2;krs(ps3,ps4)=l(i)*m(i); krs(ps4,ps1)=-l(i)*m(i);krs(ps4,ps2)=m(i)^2;krs(ps4,ps3)=l(i)*m(i);krs(ps4,ps4)=m(i)^2; Kij=Kij+E*A/le(i)*krs; krs=zeros(2*nd); end

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3º laboratorio de cálculo por elementos finitos for i=1:2*nd if i==CC(i,1) Q(i,1)=CC(i,2); else FC=[FC;F(i)]; for j=1:2*nd if j~=CC(j,1) acuh=[acuh,Kij(i,j)]; end end end acuv=[acuv;acuh]; acuh=[]; end Q1=acuv\FC; for i=1:2*nd if i~=CC(i,1) Q(i,1)=Q1(1,1); [f,c]=size(Q1); if f>=2 Q1=Q1(2:f,1); end end end for i=1:2*nd if i==CC(i,1) r=Kij(i,1:2*nd)*Q-F(i,1); R=[R;r i]; end end ESF=[]; for i=1:ne ps1=tc(i,1)*2-1;ps2=tc(i,1)*2;ps3=tc(i,2)*2-1;ps4=tc(i,2)*2; ESF(i)=E/le(i)*[-l(i) -m(i) l(i) m(i)]*[Q(ps1,1);Q(ps2,1);Q(ps3,1);Q(ps4,1)]; end format short disp('============='); disp('RESULTADOS'); disp('============='); disp('LOS DESPLAZAMIENTOS'); disp(Q); disp('LAS REACIONES'); disp('REACCIÓN POSICIÓN'); disp(R); disp('LOS ESFUERZOS'); disp(ESF');

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3º laboratorio de cálculo por elementos finitos 11. Ejecucion del programa   

Ingrese numero de codos =5 Ingrese numero de elementos =7 Ingrese el diámetro de las secciones(pulg) = 3.1915



Ingrese el modulo de elasticidad(N/pulg2) = 1.9x



Ingrese tabla de conectividad (solo los nodos) =[1 2;2 3;3 4;4 2;4 1;4 5;1 5]

10

6

Ingrese las coordenadas del nodo (1) N(X)=0 N(Y)=0 Ingrese las coordenadas del nodo (2) N(X)=3 N(Y)=0 Ingrese las coordenadas del nodo (3) N(X)=6 N(Y)=0 Ingrese las coordenadas del nodo (4) N(X)=3 N(Y)=3 Ingrese las coordenadas del nodo (5) N(X)=0 N(Y)=3 Ingrese

el vector columna de fuerzas= [0 0 0 500 0 500 0 0 0 0]’

Ingrese condición de contorno [posición valor]= [1 0;2 0;9 0;10 0] Resultado: a)

Los desplazamientos son:

0 0 0.0001 0.0010 0.0002 0.0016 -0.0003 0.0009 0 0 Las reacciones son:

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3º laboratorio de cálculo por elementos finitos REACCIÓN POSICIÓN 1.0e+03 * -1.5000

0.0010

-1.0000

0.0020

1.5000

0.0090

0

0.0100

Los esfuerzos (psi)

62.5015 62.5015 -88.3905 -62.5015 176.7809 -187.5045 0 12. 



Conclusiones

Para hacer el cálculo con todo lo concerniente a armaduras planas con el método de elementos finitos, solo pude notar el error de redondeo trabajando analíticamente comparado con el Matlab, pero es despreciable dicho error. También es bueno aclarar que al hacer la tabla de conectividad; este aumenta si la estructura en el plano tiene muchos elementos, para dicho caso es mejor usar el software Matlab.

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