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• José Luis Mamani

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ARITMETI CA III BIM. TRILCE PRIMARIA LOCUTORIO REN@TRIX CEL :992444616

ARITMETICA

Índice Pág .

å

Sistema de númeración decimal: descomposición

å

Sistema de numeración no decimal.................13

å

Cambio de Sistema de numeración.................19

å

Repaso de Sistema de numeración..................25

å

Propiedades de los números............................29

å

Criterios de divisivilidad...................................37

å

Máximo Común Divisor - Mínimo Común Múltiplo43

å Problemas con m.c.m y m.c.d.............49

COLEGIO TRILCE

Página 2

7

ARITMETICA

CONCEPTOS BÁSICOS

N ú m e r o : E s u n a i d e a d e c a n t i d a d , la c u a l n o s p e r m it e c u a n t if ic a r lo s o b j e t o s ; e s u n e n te a b s tra c to .

N u m e r a l : E s la f ig u r a o s ím b o lo q u e r e p r e s e n t a o d a la id e a d e l n ú m e r o .

*

Sistema de numeración Es un conjunto de símbolos y leyes que nos permiten representar y expresar correctamente los números. Tenemos diversos Sistemas de Numeración, entre los cuales destaca el Sistema de Numeración de Decimal o decuplo

SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL Es el sistema cuyo principio fundamental es que la agrupación de sus unidades son de diez en diez. Así por ejemplo: 1 < > 1 u n id a d 1 0 u n id a d e s < > 1 d e c e n a 10 d ecenas

< > 1 c e n te n a . . .

COLEGIO TRILCE

Página 3

ARITMETICA Características del sistema Decimal a. Símbolos utilizados en el sistema decimal.

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9           cifras

b. De la combinación de estas cifras se pueden formar todos los números que conocemos: Ejemplo: -

Con 0; 1; 2 se pueden formar: 0; 1; 2; 10; 20; 11; 12; 210; . . . Con 3; 4; 0 se pueden formar: ___; ___; ___; ___; ___; ___; ___; ___; . . .

Descomposición polinómica de un Numeral del Sistema Decimal "Cualquier número se puede descomponer como la suma de los valores relativos de sus cifras". Ejemplo:

3 2 7 8 = 3000 + 200 + 70 + 8 = ___ × 103 + ___ + 102 + ___ × 101 + 8

Observa: Cada cifra está multiplicada por 10 y ésta tiene como exponente la cantidad de cifras que se encuentran as la derecha de ella. 3 278

32 78

327 8

3 × 103

2 × 102

7 × 101

3278 8 × 100

Forma general . . . bcba = . . . + d × 10

3

+ c × 10

2

+ b × 10

1

+ a

Casos especiales * mmmm = m × 103 + m × 102 + m × 101 + m = 1000m + 100m + 10m + m = 1111m *

Para un numeral capicúa:

aba = a × 102 + b × 101 + a = 100a + 10b + a = 101a + 10b abcba

= a × 104 + b × 103 + c × 102 + b × 101 + a = 10000a + 1000b + 100c + 10b + a = 10 = _______ × a + _______ × b + _______ × c

COLEGIO TRILCE

Página 4

ARITMETICA

c.

En -

el sistema decimal: Mínimo valor no significativo Mínimo valor significativo : 1 Máximo valor : 9

:0

Orden: Es la posición que ocupa cada cifra empezando a contar de derecha a izquierda. UM

C

D

U

1

er

o r d e n o u n id a d e s . . . . = _ _ _ _ _ _ _ _

1

2

3

4

2

do

o rd e n o d e ce n a s . . . . = _ _ _ _ _ _ _ _

3

er

o rd e n o c e n te n a s . . . . = _ _ _ _ _ _ _ _

4

to

o r d e n o u n id a d e s d e m il la r . . . . = _ _ _ _ _ _ _ _

4

to

3

er

2

do

1

er

Ejemplo:

Lugar: Es la ubicación de la cifra según como se lee, de izquierda a derecha. Ejemplo: UM

C

D

U

1 er L u g a r = _ _ _ _ _ _ _ _

1

2

3

4

2 do Lu g a r = _ _ _ _ _ _ _ _

4 to

3 er

2do

1 er

3 er L u g a r = _ _ _ _ _ _ _ _ 4 to L u g a r = _ _ _ _ _ _ _ _

Valores de una cifra Toda cifra que forma parte de un número, puede tener dos valores. a. Valor absoluto (V.A.): Es absolutamente el mismo valor de cada cifra en cualquier orden que se encuentre. V.A .(7 ) = _ _ _ _ _ _ _ _

V.A .(5 ) = _ _ _ _ _ _ _ _ V.A .(1 ) = _ _ _ _ _ _ _ _ V.A .(4 ) = _ _ _ _ _ _ _ _

7 5 1 4 V.R .( 4 ) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ V.R .( 1 ) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ V.R .( 5 ) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ V.R .( 7 ) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

COLEGIO TRILCE

Página 5

ARITMETICA b. Valor Relativo (V.R.): Es relativo al orden donde se encuentra cada cifra (unidades, decenas, centenas, . . .)

¡ LISTOS A TRABAJAR ¡ 1. Escribe el valor relativo (V.R.) o el valor absoluto (V.A.) según corresponda. a.

34 271

→

V.R.(2) = _____________

b.

67 192

→

V.A.(6) = _____________

c. 5 314 218

→

V.R.(4) = _____________

d.

27 235

→

V.A.(7) = _____________

e.

851 231

→

V.R.(8) = _____________

f.

567 421

→

V.A.(5) = _____________

2. Indicar la suma de la cifra del primer orden más la cifra del sexto orden en: 42 399 981 301 3. Indicar la suma de la cifra del tercer lugar más la cifra del quinto lugar en: 29 433 167 4. Calcular la suma del mayor y menor número que se puede formar con las siguientes cifras, solo puedes utilizar una vez cada cifra. 1; 2; 4; 7; 9 5. ¿Cuál debe ser el valor de "x" en: x32 + 3x2 + xxx = 2323 ? 6. Si se cumple que: 22a es el triple de 7a . Calcular el valor de "a". 7. Hallar el valor de "a" y "b" tal que: 123b es el doble de a1a . 8. Hallar el valor de "b", si se cumple que: 78b es el resultado de invertir el orden de las cifras a b87 y disminuirlo en 99 unidades. 9. Hallar un número de dos cifras, ambas diferentes de cero, tal que al restarle el mismo número pero con las cifras invertidas de como resultado 72. Dar como respuesta la suma de sus cifras.

COLEGIO TRILCE

Página 6

ARITMETICA 10. Si al numeral 1432 se le quita la cifra del tercer orden y se le reemplaza por la cifra "a", el número resultante es mayor que el anterior en 200 unidades. Hallar el valor de "a".

DEMUESTRA LO APRENDIDO

7. Hallar un número de dos cifras, ambas diferentes de cero, tal que al restarle el mismo número pero con las cifras invertidas dé como resultado 63. Además se sabe que la suma de las dos cifras es 9. Dar como respuesta el producto de las cifras del número perdido. 8. Se tiene un número de tres cifras al cual se le agrega un 7 al final; luego al mismo número original se le agrega un 7 al comienzo. Si se suman los dos números de cuatro cifras se obtiene 9768. Hallar la suma de las cifras del número original. 9. A un número de dos cifras se le agregan dos ceros a la derecha, aumentándose el número en 4752 unidades. Calcular el número original. 10. Hallar un número de dos cifras, cuya suma de cifras es 10 y tal que al invertir el orden de sus cifras, el número disminuye en 36 unidades. Dar como respuesta el producto de las cifras del número pedido.

COLEGIO TRILCE

Página 7

ARITMETICA DESAFÍO Un número está compuesto por tres cifras, la cifra de las centenas es cuatro veces la cifra de las unidades y la cifra de las decenas es igual a la mitad de la suma de las otras cifras. Dar como respuesta el producto de las cifras de dicho número.

P a r a e s t e s e g u n d o t e m a , q u e r id o s a lu m n o s , e s t u d i a r e m o s o t r o s s is t e m a s d e n u m e r a c i ó n ; p a r a lo c u a l, g e n e r a liz a r e m o s a lg u n o s c o n c e p t o s d a d o s e n e l t e m a a n t e r i o r.

1. Base de un Sistema de Numeración: Es la cantidad de unidades requeridas de un orden cualquiera para formar una unidad de un orden inmediato superior. Así; por ejemplo, si deseo representar un grupo de unidades en base 7, necesito grupos de siete unidades para ser agrupados y formar una unidad de orden inmediato superior. Al agrupar de 7 en 7, se han formado cuatro grupos y han quedado sin agrupar seis unidades, luego se puede decir que dicha agrupación tiene la forma siguiente: 46(7) Otro ejemplo: Agrupar 26 unidades en base 3. La agrupación es: 2 grupos de 3 × 3 = 2 × 32 2 grupos de 1 × 3 = 2 × 31 2 unidades sueltas = 2 o también: 222(3).

COLEGIO TRILCE

Página 8

ARITMETICA

Condiciones de la base: a)

La base de un sistema de numeración siempre es un número natural mayor

que 1.

b) La menor agrupación que se puede hacer es dos unidades, por lo que la menor base es 2 (Sistema Binario). 2. Principios fundamentales de los Sistemas de Numeración: 2.1 Toda cifra de un numeral es menor que su base y utiliza "n" cifras: el cero y (n - 1) cifras significativas. 0 ;

1 ; 2 ; 3 ; 4 ; . . . ; (n - 1)

ce ro

c i f r a s s i g n i f i c a t iv a s

Ejemplo: -

1023(5)

→

Todas las cifras son menores que la base 5, entonces, el número 10 está correctamente escrito.

-

222222(3)

→

-

86577(8)

→

Todas las cifras son menores que la base 3. Todas las cifras no son menores que la base 8, la cifra que ocupa el primer lugar (el 8) no es menor que 8, entonces el número no está correctamente representado.

Entonces de los ejemplos, afirmamos lo siguiente: En la base "b": COLEGIO TRILCE

Página 9

ARITMETICA -

Se usan "b" cifras para formar un orden inmediatamente superior cualquiera.

-

Las cifras pueden ser: Significativas = {1; 2; 3; 4; ...; (b - 1)) C ifr a m á x im a

No significativa o auxiliar: 0 (cero)

Conclusión: Cifra < Base Principales Sistemas de Numeración B ase

S is t e m a s d e N u m e r a c ió n

C if r a s d ife r e n t e s q u e u t iliz a

2

B in a r i o o d u a l

3

T e r n a r io

4

C u a t e r n a r io

5

Q u i n a r io

0; 1; 2; 3; 4

6

S e n a r io

0; 1; 2; 3; 4; 5

7

H e p t a n a r io

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6

8

O c t a n a r io

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7

9

N o n a r io

10

D e n a r io o d e c im a l

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9

11

U n d e c im a l

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;

12

D u o d e c im a l

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;

0 ; 1 0; 1; 2 0; 1; 2; 3

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8

;

Para representar numerales con cifras mayores que 9, se toma en cuenta: α = 10; β = 11; γ = 12; etc. Como consecuencia del cuadro anterior, existen infinitos sistemas de numeración.

3. Descomposición polinómica de un número en cualquier Sistema de Numeración

abcd

(n)

= a × n3 + b × n2 + c × n + d

Ejemplos: •

1234(5) = 1 × 53 + 2 × 52 + 3 × 5 + 4 = 125 + 50 + 15 + 4 = 194

COLEGIO TRILCE

Página 10

ARITMETICA •

(9)

= a × 92 + a × 9 + a = 81a + 9a + a = 91a

•

(a)

= 3 × a2 + 4 × a + 0 = 3a2 + 4a

COLEGIO TRILCE

Página 11

ARITMETICA

DEMUESTRA LO APRENDIDO

COLEGIO TRILCE

Página 12

ARITMETICA

DESAFÍO Un número consta de 2 cifras, cuya suma es 11. Si intercambiamos el orden de sus cifras resulta un número que excede en 5 al triple del número original. Hallar dicho número. a.

47 b.

29 c.

65

d.

83

e.

56

Consiste en transformar un número de cierto sistema de numeración a otro sistema de numeración, pero sin dejar de representar estos números la misma cantidad de unidades. También se le conoce a este tema como cambio de base. Caso I: De una base diferente de 10 a la base 10 "Para este caso se utiliza el procedimiento de descomposición polinómica, efectuando para ello las operaciones indicadas". Descomposición polinómica: abc (n) = a × n2 + b × n + c Ejemplos:

•

•

•

2 123 (4) = 1 × 4 + 3 = 27  ×4 +2 16

8

2 879 (9) = 8 × 9 + 6 = 717  × 9 +7 648

63

2 aba (8) = a × 8 + a = 65a + 8b  ×8 +b 64a

8b

También se puede utilizar el "método de Ruffini", así: COLEGIO TRILCE

Página 13

ARITMETICA 1

2

3

+

+

4

24

1

6

27

1

7

6

+

+

72

711

79

717

4 ×

E n e l s i s t e m a d e c im a l

×

9 ×

8

E n e l s i s t e m a d e c im a l

×

Caso II: De base 10 a una base diferente de 10 Se utiliza el método de divisiones sucesivas, que consiste en dividir el número dado del sistema decimal (base 10) entre la base "n" a la cual se desea convertir; si el cociente es mayor que "n", se dividirá nuevamente y así en forma sucesiva hasta que se llegue a una división donde el cociente sea menor que "n". Luego, se toma el último cociente y los residuos de todas las divisiones, desde el último residuo hacia el primero y este será el número expresado en base "n". Ejemplo: •

•

Convertir 25 a base 8:

25

8

1

3

2 5 = 3 1 (8)

Convertir 100 a base 3: 100 1

3 33 0

1 0 0 = 1 0 2 0 1 (3)

3 11

3 2

•

Convertir 216 a base 6:

COLEGIO TRILCE

Página 14

3

3

0

1

ARITMETICA

216

6

0

2 1 6 = 1 0 0 0 (6)

36

6

0

6

6

0

1

Caso III: De una base diferente de 10 a otra diferente de 10 Se utilizan en este caso, los dos métodos vistos anteriormente, es decir, primero llevamos el número de base diferente de 10, por descomposición polinómica, al sistema decimal; y, luego este número, por divisiones sucesivas, lo llevamos al otro sistema de base diferente a 10.

Ejemplos: 1. Convertir: 543

(6)

a base 4

a. Descomposición polinómica: b. Divisiones sucesivas: 207

2 543 (6) = 5 × 6 + 3 = 207  ×6 +4 180

24

4

3

51

4

3

12

4

0

3

L u e g o : 5 4 3 (6 ) = 2 0 7 = 3 0 3 3 (4 )

2. Convertir: 2134(5) a base nueve

a. Descomposición polinómica: b. Divisiones sucesivas: 294 6

3 2 2134 (5) = 2 × 5 + 4 = 294  × 5  +1 ×5 +3 250

25

15

9 32

9

5

3

L u e g o : 2 1 3 4 (5 ) = 2 9 4 = 3 5 6 (9)

PROPIEDAD: "En un numeral que representa la misma cantidad de unidades simples en dos sistemas de numeración diferentes, deberá cumplirse que COLEGIO TRILCE

Página 15

ARITMETICA donde tenga mayor representación aparente le corresponde una menor base y viceversa, a menor representación mayor base". + N = RATÓN

Ejemplo:

(x)

N u m e ra l m e n o r

= PAVO

(y)

+

N u m e ra l m a yo r

1 3 4 = 2 5 1 (7) = 2 0 1 2 (4 ) M ayo r b a se

M enor base

¡ LISTOS … A TRABAJAR ¡ 1. Convertir al sistema decimal: a. 1101(2)

b. 320(4)

d. 2031(4)

e. 132(9)

c.

1032(5)

2. Convertir: a. 123 al sistema binario.

b. 871 al sistema ternario.

c.

d. 952 al sistema undecimal.

2031 al sistema quinario.

e. 642 al sistema de base 15. 3. Convetir: a. 1002(3) al sistema quinario.

b. 432(7) a base 4.

c.

d. 1023(4) a base 6.

2134(5) al sistema nonario.

e. 123(4) al sistema octanario. 4. Hallar "a + b + c" si: 1230(5) = a. 8

COLEGIO TRILCE

b. 9

Página 16

c.

abc(7) 10

d. 11

e. 12

ARITMETICA (a + 1)(a − 1)(a − 2) ( 4) 5. Convertir: al sistema senario. Dar como respuesta la suma de sus cifras.

a. 4

b. 5

c.

6

d. 7

e. 8

DEMUESTRA LO APRENDIDO

COLEGIO TRILCE

Página 17

ARITMETICA

LISTOS … A TRABAJAR 1. Hallar el valor de "A + B + C", si se sabe que: A: es el mayor número de tres cifras. B: es el mayor número impar de dos cifras diferentes. C: es el mayor número de tres cifras diferentes. a. 2063

b. 2073

c.

2083

d. 2093

e. 3113

2. ¿Cuál es el menor número cuyas cifras suman 24? Dar como respuesta su cifra de mayor orden. a. 6

b. 7

c.

8

d. 9

e. 10

3. Hallar un número de tres cifras que cumpla las condiciones siguientes para sus cifras: I. La primera es el doble de la tercera. II. La segunda es el triple de la primera.

COLEGIO TRILCE

Página 18

ARITMETICA Dar como respuesta la suma de sus cifras. a. 6

b. 7

c.

8

d. 9

e. 10

4. Si el numeral (a − 1)b(b + 1)( a + 5)(3 − a) es capicúa. Hallar la cifra de tercer orden. a. 6

b. 7

c.

8

d. 9

e. 10

5. Si los numerales están correctamente escritos. Calcular "a + b"

I.

(2a)(a − 2)(5)

a. 3

II.

 b   (b + 5)  3 (9)

b. 4

c.

5

d. 6

e. 7

6. ¿Cuántas numerales de dos cifras cumplen que son iguales a cuatro veces la suma de sus cifras? a. 2

b. 3

c.

4

d. 5

e. 6

7. Un número de dos cifras es igual a la suma de siete veces la cifra de decenas más nueve veces la cifra de las unidades. ¿cuál es la suma de sus cifras? a. 9

b. 10

c.

11

d. 12

e. 13

8. Al menor número de tres cifras diferentes de la base nueve, convertirlo al sistema senario. Dar como respuesta la suma de sus cifras. a. 6

b. 7

c.

8

d. 9

e. 10

c.

10

d. 12

e. 13

5

d. 6

e. 7

9. Hallar: a + b + c. Si:

(a − 2)(b + 1)( c − 2)(8) = 256 (9)

a. 8

b. 9 201

= abcde

(2) (3) 10. Si se cumple: ; hallar: a + b + c + d + e + n

a. 3

COLEGIO TRILCE

b. 4

Página 19

c.

ARITMETICA

DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. Hallar el valor de "A + B + C", si se sabe que: A: Es el menor número de tres cifras diferentes. B: Es el mayor número par de dos cifras diferentes. C: Es el menor número de tres cifras. a. 280

b. 290

c.

300

d. 310

e. 320

2. ¿Cuál es el menor número cuya cifras suman 30? Dar como respuesta la cifra de mayor orden. a. 6

b. 7

c.

8

d. 9

e. 10

3. Hallar un número de tres cifras que cumpla las condiciones siguientes para sus cifras: I. La primera es el triple de la tercera. II. La segunda es el doble de la primera. a. 7

b. 8

c.

9

d. 10

e. 11

4. Si el numeral (x − 2)( y + 3)( x + 1)(6 − x) es capicúa. Hallar la cifra de segundo orden. a. 3

b. 4

c.

5

d. 6

e. 7

5. Si los numerales están correctamente escritos. Calcular "x + y".

I.

 x (2x) ( x + 1)  3 (7)

a. 4

II.

b. 5

c.

 y  (y + 2)( y − 3)  2 ( 8)

6

d. 7

e. 8

6. ¿Cuántos numerales de dos cifras cumplen que son iguales a siete veces la suma de sus cifras? a. 2

b. 3

c.

4

d. 5

e. 6

7. Si: (n - 1)(n3)(n + 3) = aba(7); calcular: "a + b + n". a. 7

b. 8

c.

9

8. Hallar: a + b + c + d + n; si se cumple: COLEGIO TRILCE

Página 20

d. 10

102 (3) = abcd(n)

e. 11

ARITMETICA

a. 3

b. 4

c.

5

d. 6

e. 7

9. Convertir el mayor numeral de 3 cifras diferentes de la base 5 al sistema octanario. a. 10

b. 11

c.

12

d. 13

e. 14

10. Convertir el menor numeral de 4 cifras diferentes del sistema senario al sistema nonario. Dar como respuesta la suma de sus cifras. a.

12 b.

13 c.

14

d.

15

e.

16

DESAFÍO Al convertir el mayor numeral de 3 cifras diferentes del sistema senario al sistema cuaternario se obtiene: abcd . Hallar: a + b + c + d a.

6

b.

7 c.

8

d.

9

e.

10

1. MÚLTIPLOS Un número entero "A" es múltiplo de otro entero "B", si "A" contiene a "B" una cantidad exacta de veces. Ejemplo 1: Averiguar si 72 es múltiplo de 6. Veamos: Para obtener 72 se necesita 12 veces el valor de 6, entonces: 72 = 6(12) ∴ 72 es múltiplo de 6. Ejemplo 2: Averiguar si 143 es múltiplo de 11. Veamos: COLEGIO TRILCE

Página 21

ARITMETICA Para obtener 143 necesito 13 veces el valor de 11, entonces 143 = 11(13) ∴ 143 es múltiplo de 11. Ejemplo 3: Escribe los 10 primeros enteros positivos múltiplos de 4. Solución: 1 × 4; 2 × 4; 3 × 4; 4 × 4; 5 × 4; 6 × 4; 7 × 4; 8 × 4; 9 × 4; 10 × 4 luego: 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40. 2. DIVISOR DE UN NÚMERO Es el número que está contenido en el primero una cantidad exacta de veces, también se le conoce como submúltiplos. Ejemplo 1: *

4 es submúltiplo de 24 porque está contenido en 24 seis veces.

*

8 es factor de 64 porque está contenido en 64 ochos veces.

Ejemplo 2: Halla los divisores de 24. Solución: D(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24} Ejemplo 3: ¿Cuántos divisores más tiene 45 que 13? Solución: D(45) = {1; 2; 3; 5; 9; 15; 45} í tiene 6 divisores D(13) = {1; 13}

í

tiene 2 divisores

Respuesta: 45 tiene 4 divisores más que 13. Observación: En el campo numérico de los enteros Z, los múltiplos pueden ser negativos, además del 0, así por ejemplo: *

Los múltiplos de 15 son:

COLEGIO TRILCE

Página 22

ARITMETICA

15 (1); 1 5(2 ); 15 (3); 15(4 ); . . . . . º 15 = 15k

1 5 (0 ) = ce ro 1 5 (-1); 15 (-2); 1 5 (-3 ); 1 5(-4); . . . .

donde "k" es un entero cualquiera. De todo esto podemos afirmar lo siguiente: i. Todo número tiene INFINITOS múltiplos. ii. El CERO es múltiplo de todos los números. E n re s u m e n : I.

º A = B s e l e e : " A " e s m ú l t ip lo d e " B " m ú l t ip l o d e

m ú l t ip l o d e

II.

E jm .:

d iv i s i b le p o r

A

d iv i s i b le p o r

12

B

3

fa c to r d e

fa c to r d e

d iv i s o r d e

d iv i s o r d e

3. NÚMEROS PRIMOS Llamados tambien PRIMOS ABSOLUTOS, son aquellos números que tienen unicamente dos divisores que son la unidad y el mismo número. Ejemplos: Número 2 _ 3 _ 5 _ 7 _ 11 _

PrimoDivisores ___________ ___________ ___________ ___________ ___________

COLEGIO TRILCE

_ _ _ _ _

Página 23

_ _ _ _ _

_ _ _ _ _

ARITMETICA

4. NÚMEROS COMPUESTOS Son aquellos números que tienen más de dos divisores. Número 4 _ 6 _ 8 _ 10 _ 12 _

Compuesto _________ _________ _________ _________ _________

Divisores _ _ _ _ _

_ _ _ _ _

_ _ _ _ _

_ _ _ _ _

_ _ _ _ _

TABLA DE LOS NÚMEROS PRIMOS MENORES QUE 100

(Criba de Eratóstenes) 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91

2 12 22 32 42 52 62 72 82 92

3 13 23 33 43 53 63 73 83 93

4 14 24 34 44 54 64 74 84 94

5 15 25 35 45 55 65 75 85 95

6 16 26 36 46 56 66 76 86 96

7 17 27 37 47 57 67 77 87 97

8 18 28 38 48 58 68 78 88 98

9 19 29 39 49 59 69 79 89 99

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Entonces: Los números primos menores que 100 son: ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ •

Propiedades 1. El "uno" no es un número primo. sólo tiene un divisor, es considerado como número simple. 2. Los números primos son infinitos. 3. El "dos" es el único número primo par.

COLEGIO TRILCE

Página 24

ARITMETICA 4. El "dos" y el "tres" son los únicos números consecutivos y a la vez primos absolutos 5. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI (PESI) Dos o más números son primos entre si (PESI), cuando tienen como único divisor común a la unidad. •

Ejemplo: ¿6, 14 y 9 son números PESI? veamos: Divisores 6

: _________________

14 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 9

: _________________

Se observa que _________, es el único divisor común a dichos números Entonces: ______________ son números ______________. •

Ejemplo: ¿21, 15 y 8 son números PESI? veamos: Divisores 21 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 15 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 8

: _________________

Se observa que: __________, es el único divisor común a dichos números. Entonces: ______________ son números ______________. •

Ejemplo: ¿8, 6 y 14 son números PESI? veamos: Divisores 8

: _________________

6

: _________________

14 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Se observa que: __________, son divisores comunes a dichos números. Entonces: ______________ no son números ______________. •

Ejemplo: ¿10, 35 y 15 son números PESI?

COLEGIO TRILCE

Página 25

ARITMETICA veamos: Divisores 10 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 35 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 15 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Se observa que: __________, son divisores comunes a dichos números. Entonces: ______________ no son números ______________. Propiedades 1. Dos o más números consecutivos son siempre números PESI. 2. Dos o más números impares consecutivos son siempre números PESI. 6. DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA (DC) Todo número compuesto se puede expresar como el producto de sus divisores primos diferentes elevados a exponentes enteros positivos. •

•

Ejemplo: Hallar la descomposición canónica de 18. Veam os:

18

E n to n c e s :

18 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Ejemplo: Hallar la descomposición canónica de 120. Veam os:

120

E n to n c e s :

120 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Nota: Los divisores primos de un número compuesto se observan en su descomposición canónica. 7. CANTIDAD DE DIVISORES (CD) COLEGIO TRILCE

Página 26

ARITMETICA Sea "N" un número compuesto cuya descomposición canónica es: N = a

m

. b

n

. c

p

donde: a; b y c

: fa c to r e s p r im o s a b s o lu t o s

m ; n y p : e x p o n e n t e s e n t e r o s p o s i t iv o s

Entonces: la cantidad de divisores de "N" será: C D (N ) = (m + 1)(n + 1 )(p + 1 )

•

Ejemplo: Hallar la cantidad de divisores de 180. Veam os:

180

Luego:

180 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

F i n a lm e n t e :

CD

(180)

= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

•

Ejemplo: Hallar la cantidad de divisores de 480. El primer paso es hallar la descomposición canónica de 480.

COLEGIO TRILCE

Página 27

ARITMETICA Veam os:

480

Luego:

480 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

F in a lm e n t e :

CD

(480)

= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

¡LISTOS… A TRABAJAR ¡ 1. a. ¿Cuál es el menor número primo mayor que 25? b. ¿Cuál es el mayor número primo menor que 52? 2. ¿Cuáles son los números primos que sumados de 2 en 2 dan 100 como resultado? 3. Hallar "a + b"; si: a = mayor número primo menor que 70 b = menor número primo mayor que 20 4. ¿Cuál es el menor número compuesto de 2 cifras? 5. ¿Cuál es el mayor número compuesto de 2 cifras? 6. Indicar verdadero "V" o falso "F", según convenga: a. 35 = 5

(

)

b. 8 = 16

(

)

c.

(

)

d. 53 = 7

(

)

e. 26 = 13

(

)

111 = 37

7. ¿Cuál es la suma de cifras del mayor múltiplo de 13 de dos cifras? COLEGIO TRILCE

Página 28

ARITMETICA 8. Si el número 5a2 es múltiplo de 8, ¿cuántos valores puede tener "a"? 9. Hallar la suma de las partes alícuotas de 12. 10. Si: A = {x/x ∈ N, "x" es divisor de 14} y B = {x/x ∈ N, "x" es divisor de 8} hallar: a. A ∪ B

b. A ∩ B

c.

A-B

DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. ¿Cuál es el menor número compuesto mayor que 20? 2. Hallar la suma de todos los números compuestos mayores que 12 pero menores que 23? 3. ¿Qué grupo de números son PESI? a. 8; 25; 32

b. 9; 27; 35

c.

18; 30; 43

4. Hallar la descomposición canónica en cada caso: a. 220 600

b. 280

c.

390

5. Hallar la cantidad de divisores de: a. 340

b. 420

6. ¿Cuántos números de dos cifras son 5? 7. Del 1 al 100, ¿cuántos números son 7? 8. Si el siguiente número:

453 x

es divisible por 7, calcular el valor de "x".

9. Del 1 al 80, ¿cuántos números son 3? 10. Si: a < 10, hallar la suma de valores que puede tomar en: 3a + 1 = 7.

DESAFÍO Hallar la cantidad de divisores de: 32 ×××

COLEGIO TRILCE

Página 29

× 75

d.

ARITMETICA

COLEGIO TRILCE

Página 30

ARITMETICA

COLEGIO TRILCE

Página 31

ARITMETICA

COLEGIO TRILCE

Página 32

ARITMETICA

COLEGIO TRILCE

Página 33

ARITMETICA

COLEGIO TRILCE

Página 34

ARITMETICA

DESAFÍO

DESAFIO En un juego infantil se va contando de 1 a 100 y se aplaude cada vez que se dice un múltiplo de 3 o un número que termina en 3. ¿Cuántas veces se has aplaudido al terminar el juego? a.

30

COLEGIO TRILCE

b.33

c.36

Página 35

d.39

e.43

ARITMETICA

¿ S a b ía s q u é ? E l m é t o d o d e o b t e n c ió n d e l m á x i m o c o m ú n d iv i s o r p o r d i v i s i o n e s s u c e s iv a s , a p a r e c e y a d e s c r i t o e n e l s i g l o I V ( a . C . ) e n l a o b r a " E l e m e n t o s " , d e l m a t e m á t ic o g r ie g o E u c li d e s . E n d i c h a o b r a t a m b i é n s e p r o p o n í a u n m é t o d o p a r t a o b t e n e r e l m ín i m o c o m ú n m ú lt i p l o .

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (m.c.d) I.

DEFINICIÓN Es el mayor de los divisores comunes que presentan dos o más números enteros positivos. Ejemplo: Sean los números 8 y 12.

D 8 = { 1 ; 2 ; 4 ; 8} D

12

= { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6; 12}

Los divisores comunes son: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ El mayor divisor común es: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Entonces el m.c.d.(8;12) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ II.

Método para hallar el m.c.d. PO R D ESCO M PO SICIÓ N SIM U LTÁN EA

o b te n e r

E j e m p lo : 8

n ú m e r o s P E S I , lu e g o e l m . c . d . d e d ic h o s n ú m e r o s e s e l p r o d u c t o d e

S e e x t r a e d e lo s n ú m e r o s t o d o s l o s fa c to re s c o m u n e s h a s ta

lo s f a c t o r e s e x t r a í d o s .

COLEGIO TRILCE

- 12

2

4

-

6

2

2

-

3

m .c .d . = 2 × 2 = 4

Página 36

ARITMETICA PO R D ESCO M PO SICIÓN CAN ÓN ICA

E j e m p lo : 8 4 2 1

A lo s n ú m e r o s s e l e s d e s c o m p o n e c a n ó n ic a m e n t e , lu e g o e l m . c . d . d e d ic h o s n ú m e r o s e s e l p r o d u c t o d e t o d o s s u s d iv i s o r e s p r i m o s c o m u n e s e le v a d o s a s u m e n o r e x p o n e n t e .

2 2 2

12 6 3 1

2 2 3

lu e g o : 8 = 2 3 12 = 22 × = 3 e n to n c e s e l m .c .d .(8 ; 1 2 ) = 2 2 = 4

¡ LISTOS … A TRABAJAR ¡ 1. Completa el siguiente cuadro: N ú m e ro

D iv is o r e s

N ú m e ro

36

27

24

18

40

30

D iv is o r e s

Ahora completa el siguiente cuadro: N ú m e ro

D iv is o r e s c o m u n e s

m .c .d .

18 y 24 30 y 40 18 y 27 24 y 36

2. Hallar el m.c.d. por descomposición simultánea en cada caso: a. 49 y 63

b. 48 y 72

c. 90 y 120

-

-

-

m .c.d . =

m .c .d . =

m .c .d . =

COLEGIO TRILCE

Página 37

ARITMETICA 3. Hallar el mc.d. por descomposición canónica, en cada caso: a. 52 y 78

b. 56 y 72

c.

84 y 96

4. Hallar el m.c.d. si: A = 22 × 34 × 5 B = 22 × 15 m.c.d.(A;B) =

DEMUESTRA LO APRENDIDO

1. Hallar el mc.d. por descomposición simultánea, en cada caso: a. 45 y 95 d. 30; 60 y 90

b. 75 y 125 e. 20; 36 y 40

c. f.

24; 36 y 68 18 y 15

2. Hallar el mc.d. por descomposición canónica, en cada caso: a. 64 y 96 d. 48; 52 y 72

b. 160 y 180 e. 50; 300 y 600

3. Hallar el mc.d. de A, B y C; si: A = 33 × 54 × 8 B = 12 × 27 C = 25 × 36

DESAFÍO •

Hallar el m.c.d. de: 5 y 9. ¿Qué ocurrió?

•

¿Por qué no se estudia el mínimo común divisor?

COLEGIO TRILCE

Página 38

c. f.

30; 60 y 72 48 y 36

ARITMETICA

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m) I.

DEFINICIÓN Es el menor de los múltiplos comunes que presentan dos o más números enteros positivos diferentes de "0". Ejemplo: Sean los números 4 y 6. º

4 = 0 ; 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 . . . º

6 = 0 ; 6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 . . .

Los múltiplos comunes son: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ El menor múltiplo común es: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Entonces el m.c.m.(4;6) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ II. Métodos para hallar el m.c.m. PO R D ESCO M PO SICIÓ N SIM U LTÁN EA

fa c to re s c o m u n e s y n o c o m u n e s h a s ta

E j e m p lo : 4

-

6

2

o b t e n e r l a u n id a d e n c a d a n ú m e r o ;

2

-

3

2

lu e g o , e l m c . m . d e d ic h o s n ú m e r o s e s

1

-

3

3

e l p r o d u c t o d e lo s f a c t o r e s e x t r a í d o s .

1

-

1

S e e x t r a e n d e lo s n ú m e r o s t o d o s l o s

m .c .m .(4 ; 6 ) = 2 × 2 × 3 = 1 2

PO R DESCO M POSICIÓN CANÓNICA

A lo s n ú m e r o s s e le s d e s c o m p o n e c a n ó n i c a m e n t e ; lu e g o , e l m . c . m . d e d ic h o s n ú m e r o s e s e l p r o d u c t o d e t o d o s lo s d iv is o r e s p r im o s c o m u n e s y n o c o m u n e s e le v a d o s a s u m a y o r e x p o n e n te .

E j e m p lo : 4 2

2 2

6 3

1

2 3

1

lu e g o : 4 = 2 2 6 = 2 ×

3

e n to n c e s e l m .c .m . = 2 2 × 3

COLEGIO TRILCE

Página 39

ARITMETICA

¡ LISTOS … A TRABAJAR ¡ 1. Completa el siguiente cuadro: N ú m e ro

M ú lt ip lo s ( 1 0 p r im e r o s )

N ú m e ro

8

15

10

16

12

20

M ú lt ip lo s ( 1 0 p r im e r o s )

Ahora completa el siguiente cuadro: N ú m e ro

M ú lt ip lo s c o m u n e s

m .c .m .

8 y 12 10 y 15 8 y 20 16 y 20

2. Hallar el m.c.m. por descomposición simultánea, en cada caso: a. 30 y 45 -

m .c .m . =

b. 12; 15 y 20

c. 42; 36 y 48

-

-

m .c.m . =

m .c .m . =

3. Hallar el m.c.m. por descomposición canónica, en cada caso: a. 45; 75 y 90

b. 12; 14 y 16

4. Hallar el m.c.m. de A y B; si: A = 23 × 32 × 53 B = 26 × 3 × 52

COLEGIO TRILCE

Página 40

c.

9 y 15

ARITMETICA

DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. Hallar el m.c.m. por descomposición simultánea, en cada caso: a. 35 y 63

b. 12 y 60

c.

15 y 25

d. 24 y 36

e. 9 y 15

e. 120; 148 y 200

2. Hallar el m.c.m. por descomposición canónica, en cada caso: a. 85 y 30

b. 36 y 99

c.

96 y 100

d. 24 y 30

e. 200; 300 y 400

e. 160; 180 y 360

3. Hallar el m.c.m. de P, Q y R; si: P = 32 × 53 × 72 Q = 2 × 33 × 52 × 7 R = 32 × 7

DESAFÍO •

Hallar el m.c.m. de 0 y 4. ¿Qué sucede?

•

¿Se podrá hallar el máximo común múltiplo de dos números?

COLEGIO TRILCE

Página 41

ARITMETICA

¿ S a b ía s q u é ? P a r a p o d e r r e s o lv e r p r o b le m a s s o b r e e l m . c . m . y e l m . c . d . d e b e s t e n e r e n c u e n t a l a s s i g u i e n t e s i n d i c a c io n e s : 1 º D e b e s le e r e l p r o b le m a la s v e c e s q u e s e a n n e c e s a r ia s . 2 º S e d e b e r e c o g e r lo s d a t o s d e l p r o b l e m a . 3 º I d e n t i f i c a r l o q u e s e s o l ic i t a . 4 º P la n t e a r e s t r a t e g ia s a l p r o b l e m a . 5 º C o m p r o b a r l a s e s t r a t e g ia s y e l e g ir u n a d e e l la s .

¡ LISTOS .,.. A TRABAJAR ¡ 1. Tres compañías de navegación pasan por cierto puerto. La primera cada 8 días; la segunda cada 18 días y la tercera cada 21 días. ¿Cada cuántos días se hallan los buques de los tres compañías simultáneamente en este puerto? DATOS

SOLUCION

2. Tres aviones salen de una misma ciudad con una periodicidad de 4 días; 5 días y 10 días, respectivamente. Si la última vez que salieron juntos fue el 14 de julio, ¿cuál será la próxima fecha en que volverán a salir juntos? DATOS

COLEGIO TRILCE

SOLUCION

Página 42

ARITMETICA

3. ¿Cuál es la menor longitud que debe tener una varilla para que se puede dividir en trozos de 24 cm; 27 cm; ó 45 cm de longitud sin que sobre ni falte nada? DATOS

SOLUCION

4. Dos ciclistas dan vueltas en una pista; el primero cada 48 segundos y el segundo cada 64 segundos. Si salen juntos, ¿al cabo de cuánto tiempo pasarán por el sitio de partida? DATOS

SOLUCION

5. Tres perros salen juntos en una carrera. El primero tarda 20 segundos en dar la vuelta a la pista, el segundo tarda 33 segundos y el tercero, 36 segundos. ¿Al cabo de cuántos segundos volverán a pasar juntos por la línea de salida, si salen juntos? DATOS

COLEGIO TRILCE

SOLUCION

Página 43

ARITMETICA

6. Dos cintas de 12 metros y 16 metros de longitud se quieren dividir en pedazos iguales y de la mayor longitud posible. ¿Cuál será la longitud de cada pedazo? DATOS

SOLUCION

7. ¿Cuál es la mayor longitud de una regla con la que se puede medir exactamente 3 cintas de 120 cm; 180 cm y 240 cm? DATOS

SOLUCION

8. Se desean dividir dos cordeles de 60 y 80 metros de longitud posible. ¿Cuál será la longitud de cada trozo resultante? DATOS

COLEGIO TRILCE

SOLUCION

Página 44

ARITMETICA

9. Se tienen que envasar 120 kg; 144 kg y 200 kg de plomo en tres cajas de modo que los bloques de cada una tenga el mismo peso y el mayor posible. ¿Cuánto pesa cada pedazo de plomo? DATOS

SOLUCION

10. ¿Cuál es el mayor número que puede dividir a la vez 612; 2040 y 8976? DATOS

COLEGIO TRILCE

SOLUCION

Página 45

ARITMETICA

DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. ¿Cuál es el mayor número de niños entre los cuales hay que repartir 12; 24 y 60 panes simultáneamente para que, en cualquiera de los casos, cada uno reciba la misma cantidad? 2. Se tiene tres cubos de 84 cm 3; 270 cm3 y 330 cm3. ¿Cuál es el mayor volumen en cm3 que cabe un número exacto de veces en cada uno de ellos? 3. ¿Cuál es el menor número de caramelos que se puede repartir simultáneamente entre 15 y 20 niñas para que en cada caso una niña reciba una cantidad exacta? 4. En una competencia automovilística de circuito cerrado, tres automóviles arrancan juntos. Si tardan 10; 12 y 15 minutos en dar una vuelta completa. ¿Al cabo de qué tiempo pasarán juntos por la línea de partida? 5. ¿Cuál será la mayor longitud de una medida con la que se puede medir exactamente tres dimensiones 280; 1120 y 16000 metros? 6. Un tren sale cada 5 horas, otro tren sale cada 3 horas, si han salido al mismo tiempo, a las 9 de la mañana. ¿Cuánto volverán a coincidir? 7. Una puerta se abre cada 20 segundos, otra cada 12 segundos y una tercera cada 30 segundos, si se abren simultáneamente a las 12 del día. ¿A qué hora vuelven a abrirse simultáneamente? 8. ¿Cuál es la menor distancia que se puede medir exactamente con una regla de 30 cm, 40 cm ó de 50 cm? 9. Hallar el mayor número de niños entre los que se puede repartir, en partes iguales, 174 soles y 730 soles.

COLEGIO TRILCE

Página 46

ARITMETICA 10. Una madre distribuye exactamente por partes iguales entre sus hijos: 90 caramelos y 75 chocolates. ¿Qué número de cada dulce corresponde a cada uno de ellos? DESAFÍO Hallar la menor cantidad de soles que hay que repartir entre 5, 6, 9 y 13 niños, de tal manera que en cada caso sobren 4 soles.

SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL 1. En: abc = 273; hallar el V.A.(c) + V.R.(a) - V.A.(b) 2. Indicar la suma de la cifra del segundo orden más la cifra del quinto orden en: 956 783 3. Indicar la suma de la cifra del primer lugar más la cifra del cuarto lugar en: 9 128 751 4. Si se cumple que: 15(2a) es el cuadruple de 3(3a) . Calcular el valor de "a". 5. Hallar un número de dos cifras, ambas diferentes de cero, tal que al restarle el mismo número pero con las cifras invertidas, dé como resultado 27. Si se sabe que la suma de las dos cifras es 13.

TRANSFORMACIÓN DE SISTEMA DE NUMERACIÓN 6. Convertir: 15042(6) a base ternaria. 7. Si:

3ab(65) ; 4b2(a) ; 23(b)

están correctamente escritos,

hallar: "a + b + c" COLEGIO TRILCE

Página 47

ARITMETICA

8. Hallar:

3ab(65) ; 4b2(a) ; 23(b)

9. Hallar: (a + b + c); si se cumple:

(a + 1)(a − 1)a(3) = bc

10. Al mayor número de dos cifras de la base cuaternaria, transformarlo a la base nonaria. Dar la suma de sus cifras (base nonaria).

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS 11. Si: A = cantidad de divisores de 80. B = suma de los tres primeros números primos de 2 cifras. hallar: "A + B" 12. Si: A = 27 × 12 × 5 →

_____________

→

_____________

B = 16 × 24

C = 32 × 18 → _____________ hallar: CD(A) + CD(B) + CD(C)

7843 b es divisible por 9. Calcular el valor de b2.

13. Si el siguiente número

14. Siendo: M = {x/x es divisor de 12} y N = {x/x es divisor de 18}; hallar la suma de los elementos en: M ∩ N. 15. Se tienen los siguientes conjuntos: A = {x/x es múltiplo de 4; x ∈ N}; B = {x/x ∈ N; "x" es múltiplo de 7} hallar cuántos elementos tiene A ∩ B, si todos son de 2 cifras. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD 16. Restas al año de tu nacimiento la suma de las cuatro cifras que lo componen. ¿El resultado obtenido es múltiplo de 9? ¿Por qué? º

º

17. Hallar "a + b", si: 3a = 7 + 1 y b5 = 9 + 1 . COLEGIO TRILCE

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ARITMETICA º

18. Hallar la suma de valores de "a", si: 2nnma= 2 . 19. Calcular la suma entre el mayor y el menor valor que puede tomar "x" en: º

4x21 = 3 º

20. Hallar la suma de valores de "a", si: 29a2 = 4 .

COLEGIO TRILCE

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