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Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” Ica Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas

INTRODUCCIÓN

Los sistemas de ecuaciones son una herramienta de mucha utilidad para la solución de problemas de aplicación en distintas áreas del conocimiento: en economía existe un conocido modelo matemático llamado modelo de Leontief, que relaciona oferta y demanda entre diversos sectores de una economía en cierto período de tiempo; en química para el balanceo de ecuaciones; en ciencias de la salud para la descripción de dosis de medicamentos; en ingeniería existen diferentes modelos de aplicación para la descripción de fenómenos físicos, para estimar costo, o para el ajuste de curvas a una serie de eventos de un experimento. Los sistemas de ecuaciones lineales tienen representación geométrica para los casos de ecuaciones con dos y tres variables. La representación geométrica de una ecuación lineal con uno o dos variables en el plano, es una recta; sin embargo, las ecuaciones con uno, dos o tres variables en el espacio, es un plano. Las ecuaciones lineales con más de tres variables no tienen representación geométrica, pero se pueden interpretar analíticamente. Muchos problemas del álgebra lineal están relacionados con sistemas de ecuaciones lineales, por ejemplo, cuando estudiamos susbespacios de un conjunto de vectores, o cuando queremos hallar el núcleo de una transformación lineal. Existen diferentes métodos de solución para los sistemas de ecuaciones, pero, pondremos énfasis en: Eliminación de Gauss, reducción de Gauss-Jordán y la matriz inversa para la solución de una ecuación matricial. Carl Friedrich Gauss (1777-1855), realizó valiosas contribuciones a la teoría de los números, teoría de funciones, probabilidad y estadística; y Camile Jordan (1838-1922), fue pionero en varias ramas de las matemáticas, y claro en la teoría de matrices; pero se hizo famoso por el Teorema de la Curva de Jordan.

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Alberto Gutiérrez Borda

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Índice Introducción ……………………………………………………………….. 2 1. Generalidades ………………………………………………………………… 4 1.1 Ecuación lineal ……………………………………………………………….. 4 1.2 Ecuación lineal degenerada …………………………………………………… 5 1.3 Interpretación geométrica de sistemas de ecuaciones lineales ………………… 6

1.3.1

Sistemas con dos incógnitas …………………………………………… 6

1.3.2

Sistemas con tres incógnitas …………………………………………… 6

2. Sistemas de ecuaciones lineales ……………………………………………. 8 2.1 Rectas en el plano cartesiano ………………………………………………….. 9 2.2 Planos en el espacio tridimensional ………………………………………….. 11

3. Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales …………….. 12 4. Sistemas homogéneos de ecuaciones lineales …………………………. 14 5. Método de Solución …………………………………………………………. 15 5.1 Equivalencia por filas ………………………………………………………… 16 5.2 Matriz aumentada …………………………………………………………….. 16 5.3 Método de eliminación gaussiana ……………………………………………. 16 5.4 Forma escalonada y variables libres …………………………………………. 22 5.5 Método de reducción Gauss-Jordan …………………………………………. 23 5.6 Método de la ecuación matricial …………………………………………….. 30

6. Rango de una matriz y sistemas de ecuaciones lineales …………… 33 6.1 Sistemas lineales sin solución ……………………………………………….. 33 6.2 Sistemas lineales con una única solución …………………………………… 34 6.3 Sistemas lineales con infinitas soluciones …………………………………… 34

7. Ejercicios resueltos ………………………………………………………….. 36 8. Ejercicios propuestos ……………………………………………………….. 37

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Sistemas de Ecuaciones Lineales

1. GENERALIDADES 1.1 Ecuación lineal Definición 1. Se llama ecuación lineal con n variables a una ecuación de la forma: , donde:

son las variables, todas de grado uno, son constantes reales que denomina coeficientes de las variables y b se llama término independiente. Ejemplo 1. La ecuación , es una ecuación lineal con 5 variables

; los coeficientes son: es el término independiente.

y Ejemplo 2. La ecuación , es una ecuación lineal donde las variables son: y el término independiente es 0.

; los coeficientes son: 5, 2 y -3

Ejemplo 3. La ecuación . Al escribir , es una ecuación lineal en la cual son las variables; 3, 1, -1 y -1 los respectivos coeficientes y 0 es el término independiente. Ejemplo 4. La ecuación , no es una ecuación lineal porque la variable

es de grado 3.

Ejemplo 5. La ecuación , no es lineal porque el término pues tiene exponente -2.

es de grado 2 y la variable

no es de grado 1,

Ejemplo 6. La ecuación ,

4

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Sistemas de Ecuaciones Lineales

no es una ecuación lineal por la presencia de

.

Observación: Si la ecuación es lineal, cada sumando de la ecuación es de grado uno y ningún término es producto de dos o más variables y no aparecen como argumento funciones trigonométricas, logarítmicas o exponenciales. Definición 2. Se llama solución de una ecuación lineal con n variables a un conjunto de n valores reales tales que, al ser reemplazado por respectivamente, satisfacen la igualdad. El conjunto de todas las soluciones de la ecuación es su conjunto solución. Entonces, decir resolver una ecuación lineal es encontrar la (s) solución(es). Ejemplo 7. El conjunto ecuación cumple

es una solución de la la igualdad se

porque si .

Ejemplo 8. La ecuación ellas son:

tiene muchas soluciones, algunas de

;

.

;

.

1.2 Ecuaciones lineales Degeneradas Definición 3. Una ecuación lineal se llama degenerada si se escribe

es decir, si cada coeficiente es cero. Teorema 1. Sea el sistema lineal degenerada

(i) (ii)

Si Si

, la ecuación no tiene solución. , toda sucesión es una solución.

Demostración: i) Si la sucesión es una solución. Supongamos , reemplazamos en la ecuación obtenemos, , entonces

de donde

No es cierto porque (ii) Supongamos

5

.

. De manera que ningún . Sustituyendo

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es solución.

en la ecuación se obtiene

Sistemas de Ecuaciones Lineales

, entonces

, es decir

.

Lo cual es verdadero, en este caso

es solución.

1.3 Interpretación Geométrica de Sistemas de Ecuaciones Lineales Son casos particulares las ecuaciones lineales con dos y tres variables, que geométricamente representan una recta en el plano o un plano en espacio. 1.3.1 Ecuación lineal con dos variables: , con es una recta en el plano de , que se puede graficar cuando se conocen dos puntos, es decir dos soluciones porque cada punto corresponde a una solución. Ejemplo 9. Graficar la ecuación

.

Solución: dos soluciones de esta ecuación son: y por tanto dos puntos de la recta son: y con los cuales se puede graficar la recta en el plano cartesiano (figura 1).

Figura 1. Recta

.

1.3.2 Ecuación lineal con tres variables: , donde

son las incógnitas.

Es la ecuación de un plano en el espacio tridimensional que puede ser graficado si se conocen tres puntos, es decir, tres soluciones de la ecuación. Como un plano tiene infinitos puntos, la ecuación tiene infinitas soluciones, pues cada punto corresponde a una solución. Ejemplo 10. Graficar la ecuación

.

Solución: Tres soluciones de esta ecuación son: ; ; ; por tanto los tres puntos del plano son: ; con los cuales se puede graficar el plano, figura 2.

6

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Sistemas de Ecuaciones Lineales

;

Figura 2. Plano

.

Observación: las ecuaciones el espacio tridimensional. Ejemplo 11. La ecuación de tres unidades, figura 3.

tambien representan planos en

ilustra un plano paralelo al plano XY, a una altura

Figura 3. Plano

La ecuación

es un plano paralelo al plano XZ, figura 4.

Figura 4. Plano

La ecuación

.

corresponde a un plano paralelo al plano YZ, figura 5.

Figura 5. Plano

7

.

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. Sistemas de Ecuaciones Lineales

Ejemplo 12. Las ecuaciones ;

;

,

representan planos ortogonales a los planos coordenados XY, YZ y XZ respectivamente. Por ejemplo la ecuación

Figura 6. Plano

es un plano ortogonal al plano XY, figura 6.

ortogonal al plano XY.

2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Definición 4. Se llama sistema de ecuaciones lineales de orden de ecuaciones lineales con variables. Se escribe

a un conjunto

Definición 5. Se llama solución de un sistema de ecuaciones lineales con variables, a un conjunto de valores reales tales que al ser reemplazados por respectivamente, satisfacen las igualdades del sistema. Ejemplo 13. Se tiene , es un sistema ecuaciones de orden dos porque tiene dos ecuaciones y dos variables. Este sistema de ecuaciones tiene como solución: porque reemplazando en la primera ecuación, así como en la segunda ecuación se satisface. Ejemplo 14. De ,

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es un sistema de orden tres, pues tiene tres ecuaciones y tres variables. Este sistema tiene como solución: , debido a que reemplazando en la tres ecuaciones se cumple. Ejemplo 15. Se tiene , es un sistema de orden 2x3, pues hay dos ecuaciones y 3 variables. Este sistema tiene más de una solución, dos de ellas son: y . En general esta ecuación tiene infinitas soluciones se puede escribir , donde

.

Observación. Resolver un sistema de ecuaciones lineales es hallar el conjunto solución que satisfacen todas las ecuaciones del sistema. 2.1 Rectas en el Plano Cartesiano Para un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables hay tres posibilidades de solución: donde

ninguno es cero.

i) El sistema tiene solución única, ii) Existen infinitas soluciones, iii) Es inconsistente, es decir no tiene solución. Una ecuación lineal con dos variables representan una recta en el plano, por lo tanto dos ecuaciones representan dos rectas, las cuales pueden ser diferentes o iguales, y siendo diferentes pueden ser paralelas o no paralelas (secantes). Si son iguales, tienen todos los puntos (infinitos) en común, entonces el sistema tiene infinitas soluciones, figura 7.

Figura 7. Rectas que coinciden, una infinidad de soluciones.

Si son diferentes y paralelas no tienen puntos en común, entonces el sistema no tiene solución, es inconsistente, figura 8.

9

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Figura 8. Rectas paralelas, ninguna solución.

Si las rectas son secantes sólo tiene un punto común, entonces el sistema tiene solución única. Las coordenadas del punto de intersección son la solución del sistema de ecuaciones, figura 9.

Figura 9. Rectas que se cruzan, una solución.

Para un sistema con tres o más ecuaciones lineales con dos variables

,

(s)

Para que este sistema (s) tenga solución única, todas las rectas deben intersectar en el mismo punto, figura 10.

Figura 10. Las rectas se cruzan en un único punto P.

Si todas las rectas coinciden entonces el sistema tiene infinitas soluciones, figura 11.

10

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Figura 11. Todas las rectas se confunden.

Es suficiente que una de ellas no se intersecte con los demás en el mismo punto para que el sistema de ecuaciones sea inconsistente, figura 12.

Figura 12. Rectas que no se intersecan en un único punto.

2.2 Planos en el Espacio tridimensional Para un sistema de ecuaciones con tres variables , cuando la ecuación tiene tres variables representa un plano, por tanto, un sistema de ecuaciones lineales con tres variables, geométricamente representa un conjunto de planos que pueden ser iguales o diferentes, paralelos, o secantes. Si dos planos son paralelos y diferentes, el correspondiente sistema de ecuaciones es inconsistente, figura 13.

Figura 13. Planos paralelos.

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Si la intersección de los tres planos es sólo un punto, entonces el sistema de ecuaciones tiene solución única, figura 14.

Figura 14. Tres planos que se intersecan en único punto P.

El sistema tiene infinitas soluciones en los siguientes casos: cuando todos los planos coinciden o cuando la intersección entre ellos es una recta, figura 15.

Figura 15. Tres planos que coinciden y tres planos que se cruzan en la recta L.

3. FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Todo sistema de ecuaciones de orden ecuación matricial. Sea el sistema lineal

se puede definir por medio de una

,

donde son las incógnitas y denotan constantes reales.

;

En forma matricial se escribe

(

12

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)(

)

(

) Sistemas de Ecuaciones Lineales

en forma abreviada se escribe, , donde A es matriz de coeficientes,

, (

)

es la matriz columna de variables (incógnitas)

, (

)

la matriz columna de términos independientes es

. (

)

Teorema 2. Un sistema de ecuaciones lineales de orden n tiene solución única si y sólo si la forma reducida de la matriz de coeficientes, es la matriz idéntica de orden n. Teorema 3. Si un sistema de ecuaciones lineales tiene menos ecuaciones que variables, entonces, o el sistema tiene infinitas soluciones, o no tiene solución (es inconsistente). Ejemplo 16. Hallar todos los pares de números

que satisfacen las ecuaciones

. Solución: Mediante el método de eliminación, entonces

de donde

.

La ecuación se multiplicó por (-3) y se suma a la segunda. Se observa que se tiene sólo una solución, y es . Ejemplo 17. Encontrar todos los pares de números ecuaciones,

13

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que satisfacen las

Sistemas de Ecuaciones Lineales

{

.

Solución. Multiplicamos la primera ecuación por (-2) y sumamos a la segunda, {

entonces

.

Se puede verificar que las dos ecuaciones representan a la misma recta, entonces el sistema es equivalente a la primera ecuación y esto significa que el sistema tiene infinitas soluciones: {

donde

.

Ejemplo 18. Encontrar todos los pares de números ecuaciones {

que satisface las

.

Solución. Si multiplicamos la primera ecuación por (-1), y sumamos a la segunda se obtiene que lo que es absurdo, significa que una inconsistencia, pues se trata de dos rectas paralelas.

4. SISTEMAS HOMOGÉNEOS DE ECUACIONES LINEALES Definición 6. Un sistema de ecuaciones lineales se llama sistema lineal homogéneo, si en todas las ecuaciones el término independiente es cero. Se escribe

,

En forma matricial

, (

)(

)

( )

Abreviadamente, . Un sistema lineal homogéneo se caracteriza por que siempre tiene solución. Si todas las variables toman el valor cero, se satisfacen todas las ecuaciones, en este caso se llama solución trivial.

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Sistemas de Ecuaciones Lineales

Si el sistema es de solución única, esta solución es la trivial. Sin embargo pueden existir otros valores de las variables, no todos iguales a cero, que satisfagan todas las ecuaciones, en tal caso el sistema tiene infinitas soluciones. Ejemplo 19. El sistema de ecuaciones {

,

es un sistema lineal homogéneo porque cada uno de los términos independientes son ceros, y tiene como solución . ¿Tiene otras soluciones no triviales? Ejemplo 20. El sistema de ecuaciones {

,

es un sistema lineal homogéneo que tiene solución única y que es la solución trivial . Teorema 4. Todo sistema lineal homogéneo con menos ecuaciones que variables tiene infinitas soluciones. Demostración. Si el sistema tiene menos ecuaciones que variables, por el teorema 2, tiene infinitas soluciones o no tiene solución; pero como un sistema homogéneo siempre tiene al menos la solución trivial. Se concluye que el sistema tiene infinitas soluciones. Teorema 5. Todo sistema de ecuaciones lineales homogéneo posee siempre una única solución o infinitas soluciones, es decir, siempre es un sistema consistente de ecuaciones lineales. Demostración. Es claro que siempre existe al menos una solución puesto que puede tomarse como solución trivial (basta hacer la sustitución). Por el teorema del rango 10, sabemos que hay tres casos para un sistema de ecuaciones de ecuaciones lineales: ninguna solución ( este caso no ocurre), una única solución (que tendría que ser la trivial) o infinitas soluciones con lo cual se ha demostrado el teorema. Ejemplo 21. Hallar todas las ternas {

que satisfacen las ecuaciones

.

Solución. Sumamos la primera ecuación a la segunda,

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{

entonces

.

´Según el teorema 4 se afirma que hay infinitas soluciones.

5. MÉTODO DE SOLUCIÓN Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. i) Método de eliminación de Gauss, ii) Método de reducción de Gauss-Jordán, iii) Solución de la ecuación matricial con la matriz inversa, iv) Regla de Cramer v) Métodos de aproximación numérica. En esta notas solo trataremos los tres primeros métodos, los cuales se desarrollarán con el uso de matrices. El método llamado regla de Cramer puede verse en las apuntes sobre determinantes. Los dos primeros métodos hacen referencia a la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales. 5.1 Equivalencias por filas Para poder trabajar con matrices, se sugiere revisar los apuntes referentes a matrices sobre Operaciones Elementales entre filas, recordamos las notaciones usadas y aclaramos el significado: Significa intercambiar las filas i-ésima y j-ésima. Significa multiplicar la fila í-ésima por un escalar no nulo

,

Significa sustituir la fila i-ésima por ella misma más k veces la j-ésima. 5.2 Matriz aumentada Definición 8. Se llama matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales a la matriz que se forma con los coeficientes de las variables, aumentando al lado ] donde A es la derecho, la columna de los términos independientes. Se denota [ matriz de coeficientes y b es la columna aumentada. Ejemplo 22. El sistema

{

,

tiene como matriz aumentada

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[

]

| ),

(

donde la matriz del lado izquierdo es la matriz de coeficientes y la columna del lado derecho se formó con los términos independientes de las ecuaciones. 5.3 Método de Eliminación Gaussiana Es la forma simplificada y generalizada del método de eliminación descrito en la sección anterior, mediante el uso de matrices. Consiste en triangulizar la matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales. La matriz aumentada (

| )

es un ejemplo de una matriz que se encuentra en la forma escalonada en filas reducidas. Para encontrarse en esta forma, una matriz debe tener las siguientes propiedades: 1. Si una fila no consta completamente de ceros, entonces el primer número diferente de cero en la fila es un 1. (A este 1 se le denomina 1 principal, pivot). 2. Si existen filas que consten completamente de ceros, entonces se agrupan en la parte inferior de matriz. 3. Si dos filas sucesivas no constan completamente de ceros, el 1 principal de la fila inferior se presenta más a la derecha que el 1 principal de la fila superior. 4. Cada columna que contenga un 1 principal tiene ceros en todas las demás posiciones. Si una matriz tiene las propiedades 1,2 y 3 se dice que está en la forma escalonada (triangular superior) por filas. Si una matriz tiene las propiedades 1,2,3 y 4 se dice que está en la forma escalonada reducida por filas. 5.3.1 Algoritmo: i) ii) iii) iv) v)

] del sistema de ecuaciones, Escribir la matriz aumentada [ ] a la forma escalonada por filas [ ], Llevar la matriz [ ], Escribir el sistema de ecuaciones asociado a la matriz escalonada [ Encontrar el valor de cada una de las variables por sustituciones sucesivas a partir de la última ecuación (hacia atrás). Escribir la solución del sistema de ecuaciones.

Observaciones:

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Cuando se está en paso 2, hay que analizar la forma de matriz escalonada, para identificar el tipo de soluciones. Si C es una matriz triangular superior con unos en la diagonal principal, el sistema tiene solución única y se continúa con los pasos (iii), (iv) y (v). Si en la matriz aparece una fila de ceros excepto en la última columna, el sistema es inconsistente. Si la matriz no presenta inconsistencia pero tampoco corresponde solución única, el sistema tiene infinitas soluciones y se caracteriza porque tiene menos ecuaciones que variables. Todo sistema de ecuaciones lineales se puede representar matricialmente y recíprocamente a toda matriz se puede asociar un sistema de ecuaciones lineales. Ejemplo 23. Las matrices aumentada siguientes están en la forma escalonada por filas: a) (

|

)

b) (

| )

c) (

| ).

Es fácil observar que una de las matrices en la forma escalonada en filas tiene ceros debajo de cada 1 principal. Ejemplo 24. Las matrices aumentadas siguientes están en la forma escalonada en las filas reducidas: a) (

|

)

b) (

| )

c) (

| ).

Es fácil observar que cada una de las matrices en la forma escalonada reducidas por filas tiene ceros arriba y debajo de cada 1 principal. Ejemplo 25. Supóngase que la matriz aumentada correspondiente a un sistema de ecuaciones lineales se ha reducido por medio de operaciones elementales por filas a la forma escalonada. Resuelva el sistema. (

|

).

Solución. El sistema correspondiente es ,

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Puesto que corresponden a 1 principales en la matriz aumentada, se llamará variables principales. En este caso es la variable libre (independiente), al despejar las variables principales en términos de da

Asignando un valor arbitrario a , se tiene una infinidad de soluciones. El conjunto solución queda dado por las fórmulas . Ejemplo 26. Supóngase que la matriz aumentada correspondiente a un sistema de ecuaciones lineales se ha reducido por medio de operaciones elementales por filas a la forma escalonada. Resuelva el sistema. (

|

).

Solución. El sistema correspondiente es , que despejando

se escribe

Como ya se conoce el valor de los otros valores

, mediante sustitución hacia atrás se encuentra .

Ejemplo 27. Utilizando el método de Eliminación de Gauss, hallar la solución del siguiente sistema de ecuaciones

{

.

Solución. Se aplica el algoritmo (i)

La matriz aumentada del sistema de ecuaciones (

19

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|

)

Sistemas de Ecuaciones Lineales

(ii) Se lleva la matriz a la forma escalonada por filas |

(

)→

|

(

),

: Significa sustituir la fila 2 por ella misma más -2 veces la fila 1. ( )

→

|

→

(

)

|

(

)

( ) (iii) Se escribe el sistema de ecuaciones de la matriz escalonada,

{ Como la cuarta fila es inconsistente (degenerada), el sistema es inconsistente. Ejemplo 28. Utilizando el método de Eliminación de Gauss, hallar la solución del siguiente sistema de ecuaciones {

.

Solución. Se aplica el algoritmo (i)

La matriz aumentada del sistema de ecuaciones (

|

)

(ii) Se lleva la matriz a la forma escalonada por filas (

|

)→

→

(

(

|

|

)

)

(iii) Se escribe el sistema de ecuaciones de la matriz escalonada {

,

de donde {

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Sistemas de Ecuaciones Lineales

como ya se tiene el valor de

, en la segunda ecuación se reemplaza en la

segunda ecuación el valor de z, . En la primera ecuación se despeja se reemplazan los valores de

y :

, Por tanto el sistema tiene solución única: Ejemplo 29. Encuentre los valores de la constante

para que el sistema

{

tenga: (i) Solución única, (ii) Infinitas soluciones, (iii) Ninguna solución. Solución. Utilizando el método de eliminación de Gauss, la matriz aumentada (

|

)

Se lleva a la forma escalonada por filas .(

|

(

→

)→

(

|

)→

|

(

)

|

).

Hacemos un análisis sobre la última fila de la matriz escalonada, para dar las condiciones que corresponden a cada tipo de solución: (i)

El sistema de ecuaciones tiene solución única si la constante diferentes de 2 y -2, es decir . (

|

toma valores

)

(ii) El sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones cuando , en tal caso la última fila se anula y el sistema tiene menos ecuaciones que variables.

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|

(

)

(iii) El sistema ecuaciones no tiene solución cuando es de ceros excepto en la columna aumentada (

|

porque la última fila

).

Teorema 6. Supongamos que un sistema de ecuaciones lineales se obtiene de otro mediante un conjunto de operaciones elementales. Entonces tiene el mismo conjunto solución. 5.4 Forma Escalonada y Variables libres Un sistema de ecuaciones está en la forma escalonada si ninguna ecuación es degenerada y la primera incógnita de cada ecuación está a la derecha de la primera incógnita de la ecuación anterior. Se escribe

(e)

donde , y , sistema escalonado (e) se denomina variable libre si ninguna ecuación, esto es

. Una incógnita en el no es la primera incógnita de

Teorema 7. Consideremos el sistema de ecuaciones (e). Existen dos casos si (i) (ii) Si

, entonces el sistema (e) tiene solución única. , entonces el sistema (e) tiene infinitas soluciones.

Aclaración: (i) Hay tantas ecuaciones como incógnitas. (ii) Hay menos ecuaciones que incógnitas entonces se puede asignar arbitrariamente valores a los variables libres (independientes) y obtener una solución general del sistema. En este caso la solución general se obtiene al asignar valores arbitrarios, digamos llamadas parámetros a las variables libres y entonces se emplea la sustitución hacia atrás para obtener los valores de las variables no libres (dependientes) en términos de los parámetros. Ejemplo 30. Consideremos el sistema

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, el sistema está en la forma escalonada. Vemos que las primeras incógnitas son por lo tanto las variables libres son las otras incógnitas y . Escribimos despejando

, ,

Si hacemos

, la solución general se escribe son parámetros cualesquiera.

Teorema 8. Cualquier sistema de ecuaciones lineales tiene: (i) Una solución única, (ii) Ninguna solución, o (iii) Un número infinitos de soluciones. Demostración: Aplicando el algoritmo anterior al sistema bien podemos reducirlo a la forma escalonada, o bien determinar que no tiene solución. Si la forma escalonada tiene variables libres, entonces el sistema tiene un número infinitas de soluciones. Observación: Un sistema es compatible si tiene una o más soluciones ((i) y (iii) teorema), y se dice que es incompatible si no tiene solución ((iii) teorema), diagrama 1.

Diagrama 1. Tipo de soluciones de sistemas lineales.

5.5 Método de Reducción (eliminación) de Gauss-Jordán En este método se trabaja un poco más la matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales, pero se evitan las sustituciones sucesivas, consiste en diagonalizar la matriz. En el caso de un sistema con solución única, ésta se lee directamente en la forma reducida de la matriz aumentada.

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Sistemas de Ecuaciones Lineales

Este método es el más adecuado especialmente para sistemas de ecuaciones con infinitas soluciones o para sistemas lineales homogéneas. 5.6.1 Algoritmo: (i) (ii) (iii) (iv)

Escribir la matriz aumentada | del sistema de ecuaciones, Llevar la matriz | a la forma reducida por filas | , Escribir el sistema de ecuaciones asociados a la matriz reducida Escribir la solución del sistema de ecuaciones.

|

,

5.6.2 Toma de decisiones Cuando ya estamos en el paso (ii) se analiza la matriz reducida, para decidir el tipo de solución: Si la parte de los coeficientes (C) es la matriz idéntica, el sistema tiene solución única. Si en la matriz aparece una fila de ceros excepto en la última columna, el sistema es inconsistente. Si en la matriz no presenta inconsistencia pero tampoco corresponde a solución única, el sistema tiene infinitas soluciones. En este caso el sistema de ecuaciones asociado a la matriz reducida tiene menos ecuaciones que variables. Ejemplo 31. Supóngase que la matriz aumentada correspondiente a un sistema de ecuaciones lineales se ha reducido por medio de operaciones elementales por filas a la forma escalonada reducida. Resuelva el sistema. (

|

).

Solución. El sistema correspondiente es , es inmediato la solución:

.

Ejemplo 32. Supóngase que la matriz aumentada correspondiente a un sistema de ecuaciones lineales se ha reducido por medio de operaciones elementales por filas a la forma escalonada reducida. Resuelva el sistema.

(

24

|

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).

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Solución. El sistema correspondiente es , Aquí las variables principales son en términos de las variables restantes da

. Al despejar las principales variables

, Como a

son variables libres (independientes) asignando un valor arbitrario , se tienen una infinidad de soluciones. El conjunto solución está

dado por . Ejemplo 33. Aplicando el método de reducción de Gauss-Jordán, encontrar todas las soluciones del sistema de ecuaciones

{

,

Solución. Siguiendo el algoritmo. Escribimos la matriz aumentada del sistema lineal |

|

(

)

Llevamos la matriz a la forma reducida por filas, |

(

→

25

(

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)→

|

(

|

)→

(

)

| )

Sistemas de Ecuaciones Lineales

| |

→ (

| )

Observando la matriz reducida | se puede deducir que el sistema tiene infinitas soluciones porque la matriz C no es la matriz idéntica, pero tampoco presenta inconsistencia. El sistema de ecuaciones asociado a la matriz reducida {

|

es

,

Que se puede escribir en la forma, {

,

Esta solución tiene dos variables independientes, haciendo pueden tomar cualquier valor real, las infinitas soluciones se escribe: {

que

.

Por ejemplo, para obtener una solución damos valores cualesquiera a entonces

,

. Por lo tanto una solución del sistema lineal es: . Así otras soluciones se obtendrán asignando valores a

. Ejemplo 34. Aplicando el método de reducción de Gauss-Jordán, encontrar todas las soluciones del sistema de ecuaciones

{

,

Solución. Siguiendo el algoritmo. Escribimos la matriz aumentada del sistema lineal |

26

(

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|

).

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Llevamos la matriz a la forma reducida por filas, |

(

→

)→

|

(

|

(

→

|

(

)→ (

)

|

)

|

)→

| (

)

| → | (

→

( )

(

)

)

(

|

)

, | (

)

vemos que la matriz reducida C es la matriz idéntica, entonces el sistema lineal tiene solución única, y es:

. { Ejemplo 35. Aplicando el método de reducción de Gauss-Jordán, encontrar todas las soluciones del sistema de ecuaciones

.

27

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Sistemas de Ecuaciones Lineales

Solución. La matriz aumentada para el sistema es |

|

(

).

Llevamos la matriz a la forma reducida por filas, |

(

→

→

→

)→

|

(

|

(

)

),

| )

(

| )

(

|

,

habiendo descartado la fila que se cumple automáticamente, el sistema de ecuaciones correspondiente es

,

al despejar las variables principales, se obtiene

,

donde se observa tres variables independientes (arbitrarios), haciendo , las infinitas soluciones del sistema lineal se escriben

y

.

Ejemplo 36. Encontrar las soluciones del sistema lineal homogéneo

28

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Sistemas de Ecuaciones Lineales

{

.

Solución. Aplicamos el método de reducción de Gauss-Jordán, escribimos la matriz de coeficientes |

(

| ),

Llevamos la matriz a la forma reducida por filas (

| )→

→

(

| )

| |

| )→

(

( (

→

| )→

( )

(

) | )

| .

Como la matriz reducida es la idéntica, el sistema homogéneo tiene solución única, que la trivial: . Ejemplo 37. Encontrar las soluciones del sistema de ecuaciones homogéneo . Solución. La matriz aumentada de este sistema es |

(

| ),

Se lleva a la forma reducida por filas, (

29

| )→

Alberto Gutiérrez Borda

(

| )

Sistemas de Ecuaciones Lineales

→

( )

| |

| )→

(

( →

( )

(

| )→

( )

)

(

| ),

de matriz reducida se deduce es decir

,

haciendo variable independiente solución general

{

, las infinitas soluciones, dadas por la

, también se puede escribir ( )

(

),

.

Cuando se quiere mostrar algunas soluciones de las infinitas que hay, basta asignar cualquier valor real a , por ejemplo: Si

se tiene la solución trivial

Si

se tiene la solución

Si

. .

se tiene la solución

.

5.6 Método de la ecuación matricial Dado el sistema de ecuaciones lineales de orden

{

(1)

Se expresa en forma matricial

,

, (

30

Alberto Gutiérrez Borda

)(

)

(

(2)

)

Sistemas de Ecuaciones Lineales

aquí A es una matriz cuadrada y representa a la matriz de coeficientes, x es la matriz de variables y b es la matriz de términos independientes. La solución del sistema de ecuaciones (1) se obtiene resolviendo la ecuación matricial (2). Este método hace uso de la matriz inversa, de modo que el método tiene restricciones, se aplica a una matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones que sea invertible. Si

.

5.6.1 Algoritmo (i) Encontrar la matriz

(inversa de A),

(ii) Efectuar el producto

,

(iii) Escribir la solución. Ejemplo 38. Resolver utilizando la matriz inversa, si es posible, el sistema de ecuaciones . Solución. La matriz de coeficiente es (

),

encontramos |

→

la matriz de inversa de , mediante operaciones elementales,

(

( )

|

|

(

)→

(

|

| |

)→ (

→

(

de donde

31

|

(

Alberto Gutiérrez Borda

)→

(

)

(

)

, )

|

),

),

Sistemas de Ecuaciones Lineales

efectuamos el producto

,

(

)(

)

(

)

( ),

Igualando ( ) entonces

( )

es la única solución del sistema

ecuaciones. Ejemplo 39. Para el sistema lineal , no se puede aplicar este método, dado que la matriz de coeficientes no es cuadrada y por tanto no es invertible. Para dar solución hay que aplicar alguna de los otros dos métodos. En general un sistema de ecuaciones que no tenga igual cantidad de ecuaciones que variables no puede ser resuelto con matriz inversa; si la matriz no es cuadrada no existe inversa. Ejemplo 40. Resolver el sistema lineal usando el método matricial si es posible . Solución. La forma matricial del sistema es (

)( )

(

)

donde la matriz de coeficientes (

),

hallamos

si existe,

|

→

32

(

(

|

|

Alberto Gutiérrez Borda

)→

)→

(

|

(

)

|

).

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Hasta aquí llegamos, esta última matriz nos permite concluir que no existe, de manera que este sistema de ecuaciones no se puede resolver con este método; y hay que recurrir a algunos de los métodos de eliminación o reducción para decidir su consistencia o inconsistencia. Teorema 9. Si la matriz de coeficientes de un sistema lineal homogéneo es invertible, entonces el sistema tiene sólo la solución trivial. Demostración. En un sistema homogéneo, todos los términos independientes son cero, es decir es de la forma (*) Ahora si A es una matriz invertible, entonces esta ecuación (*) tiene solución única , porque cualquier matriz multiplicada por una matriz nula da como resultado la matriz nula del orden correspondiente. Entonces , esto significa que el sistema homogéneo tiene solución única a que es la solución trivial.

6. RANGO DE UNA MATRIZ Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Existe una relación muy estrecha entre el rango de una matriz y las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. De allí la importancia de conocer el rango para averiguar el tipo de solución de un sistema lineal. En general hay que anotar que siempre es cierto | , debido que la matriz aumentada es la matriz de coeficientes más la columna b por tanto el número de filas no puede disminuir. Definición 9. El rango de una matriz A es el número de filas no nulas de matriz escalonada reducida a A. El rango de una matriz aumentada | es el número de filas no nulas de la matriz aumentada escalonada reducida equivalente a | . 6.1 Sistema lineales sin Solución Un sistema de ecuaciones lineales no tiene solución si | .

33

Alberto Gutiérrez Borda

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Ejemplo 41. Consideremos el sistema de ecuaciones lineales (a) Su matriz aumentada es (

|

),

llevando a su forma escalonada reducida, se tiene (

| ).

| De aquí observamos que mientras que . Por tanto, como | el sistema de ecuaciones lineales (a) no tiene solución. 6.2 Sistema con una única solución Un sistema de ecuaciones lineales admite solución única si | donde m representa el número de columnas de la matriz A, es decir, el número de variables del sistema de ecuaciones lineales. Ejemplo 42. Dado el sistema de ecuaciones lineales (c) La matriz aumentada es (

|

)

Mediante operaciones elementales se reduce a su forma escalonada reducida por filas a (

|

)

de aquí se observa que |

, esto permite concluir que el sistema (c) tiene

solución única. 6.3 Sistema de ecuaciones lineales con infinitas soluciones Un sistema de ecuaciones lineales admite infinita soluciones si | . En este caso una característica especial, hay variables libres. Ejemplo 43. Dado el sistema de ecuaciones lineales

34

Alberto Gutiérrez Borda

Sistemas de Ecuaciones Lineales

tiene como matriz aumentada a |

(

)

Reduciendo a su matriz escalonada reducida |

(

),

| aquí se observa que sistema tiene infinitas soluciones y como una variable libre (independiente) y es .

, mientras que

. Por lo tanto el , entonces hay

Vamos resumir todo lo explicado en 6.1, 6.2 y 6.3 en el siguiente teorema. Teorema del rango 10. Para cualquier sistema de ecuaciones lineales con | . Las soluciones de tal sistema incógnitas siembre se tiene que se relacionan con el rango de su matriz correspondiente según: | entonces el sistema lineal no posee soluciones, (i) Si | (ii) Si , entonces el sistema lineal posee una única solución, | (iii) Si , entonces el sistema lineal no posee infinitas soluciones caracterizadas por variables libres. Ejemplo 44. Considere el sistema de ecuaciones lineales , La matriz aumentada es | )

(

En este caso la matriz es 2x5, lo llevamos a su forma escalonada reducida | )→

( →

(

(

| )

| ).

| Entonces . E n este caso, como (número de incógnitas), el teorema del rango señala que el sistema tiene infinitas soluciones con

35

Alberto Gutiérrez Borda

Sistemas de Ecuaciones Lineales

| variables libres (parámetros). Para indicar las variables libres, se reescribe el sistema, , despejando las variables principales :

en términos de las variables libres

,

, Según el teorema del rango faltaría hallar un parámetro más; lo que pasa es que como se observa del sistema de ecuaciones la variable no aparece, lo cual significa que su valor no están restringida, es decir, es el parámetro adicional. Este ejemplo señala que no necesariamente todo los parámetros van aparecer en el sistema de ecuaciones. Finalmente las infinitas soluciones se escriben: , ; escrita como conjunto sería: {

}.

7. EJERCICIOS RESUELTOS Ejercicio 1. Dado el sistema

Resolver usando la eliminación de Gauss Jordán. Solución. La matriz aumentada para el sistema es

(

| ),

mediante transformaciones elementales llevamos a la forma escalonada reducida

(

| )→

→

→

36

(

(

Alberto Gutiérrez Borda

(

| )→ (

| )→

(

| )

| )

| ).

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Hasta aquí llegamos, ya tenemos una matriz aumentada escalonada reducida por filas, el sistema de ecuaciones correspondiente es , Observación: se ha descartado la última, , debido a que se satisface inmediatamente por las soluciones. Despejamos las variables principales en términos de las variables libres (independientes) , se tiene , asignando valores arbitrarios a las variables libres: infinitas se escriben por las fórmulas:

, las soluciones

, donde

.

Ejercicio 2. Dado el sistema

. Resuelva el sistema mediante eliminación gaussiana. Solución. Como se recuerda, el método de resolver sistema de ecuaciones lineales reduciendo a la matriz aumentada a la forma escalonada en los renglones se llama eliminación gaussiana. La matriz aumentada de este sistema es (

|

),

Llevamos a la forma escalonada por filas, (

→

|

(

)→

|

(

)→

(

|

|

)→

(

|

)

),

el sistema que corresponde a esta matriz es , despajamos las variables principales hacemos una sustitución hacia atrás y obtenemos las soluciones únicas

37

Alberto Gutiérrez Borda

Sistemas de Ecuaciones Lineales

. Observación. La forma escalonada en los renglones reducida es única. Sin embargo, una forma escalonada en filas no es única; al cambiar la sucesión de operaciones elementales sobre filas es posible llegar a una forma escalonada en filas diferentes. Ejercicio 3. Dado el sistema

. Resuelva por eliminación gaussiana. Solución: La matriz aumentada de este sistema es (

|

),

llevamos esta matriz a su forma escalonada reducida por filas, (

→

|

(

)

(

)→

(

| )→

|

(

)

|

).

Hasta aquí llegamos, la última fila de esta matriz da

una ecuación degenerada, por tanto el sistema es incompatible. Ejercicio 4. Resuelva el sistema

mediante eliminación de Gauss-Jordán. Solución. La matriz aumentada del sistema es

(

|

),

llevamos a su forma escalonada reducida por filas

38

Alberto Gutiérrez Borda

Sistemas de Ecuaciones Lineales

(

|

|

)→ (

)

|

→

| )

(

)→

(

( (

→

→

)

(

(

|

|

| |

→

)

|

)

).

De donde la solución es única:

.

Ejercicio 5. Resuélvase el sistema homogéneo de ecuaciones lineales, aplicando la eliminación de Gauss-Jordán:

.

Solución. La matriz aumentada para el sistema es

(

| ),

Llevamos esta matriz a la matriz escalonada reducida,

(

39

| )→ (

→

(

→

(

Alberto Gutiérrez Borda

| )

| )→

| )→

(

(

| )

| )

Sistemas de Ecuaciones Lineales

→

(

| ).

El sistema correspondiente de ecuaciones es , observando la matriz escalonada reducida se deduce que las variables principales son que despejando , Para las variables libres consideramos del sistema homogéneo:

, así obtenemos el conjunto solución .

Ejercicio 6. Dado el sistema

Estudie este sistema según los dos parámetros. Es decir, halle para qué valor a valores de el sistema tiene solución única o tiene infinitas soluciones o no tiene soluciones. Solución. Las incógnitas son , pero hay ciertos valores de los coeficientes que se desconocen y que dependen de los parámetros . La única dificultad que tiene este tipo de problemas con respecto de los anteriores es que al no saber el valor de a veces hay que trabajar con casos para realizar una operación elemental sobre la matriz. La matriz aumentada es (

|

),

Realizamos las operaciones elementales hasta llevar a su forma reducida, (

|

→

(

→

)→ |

(

(

|

),

), |

)

(g)

Cuando llegamos a este punto tenemos pensar en las condiciones que debe asumir los parámetros para continuar reduciendo la matriz Caso cuando .

40

Alberto Gutiérrez Borda

Sistemas de Ecuaciones Lineales

En este caso podemos continuar con la reducción en (g), →

(

)

(

|

)→

(

|

),

En este caso hay solución única y es , para un valor particular de {(

)} con

,

. Es decir

.

Caso cuando . Reemplazando en (g) se obtiene (

|

),

Como por el teorema del rango el sistema no tiene solución. Es decir conjunto solución . Caso cuando : Reemplazamos en la matriz (g) resulta, (

|

)

En este caso, por el teorema de rango se tiene infinitas soluciones donde hay una variable libre , la solución se escribe, , donde si hacemos {

} con

, el conjunto solución es .

8. EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Decida si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera (V) o falsa (F) justifique su respuesta a) La solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables, es un par ordenado que satisface ambas ecuaciones. b) Es posible tener un sistema lineal homogéneo con exactamente tres soluciones. c) Un sistema de ecuaciones lineales consistente, tiene más de una solución. d) Un sistema lineal homogéneo con más variables que ecuaciones, tiene infinitas soluciones. 2. Si es una solución del sistema de ecuaciones {

,

Decida si el sistema tiene o no infinitas soluciones, ¿Por qué? 3. Escriba sistemas de ecuaciones lineales con las condiciones dadas en cada caso: a) No homogéneo de orden 4x3. b) Homogéneas con infinitas soluciones, c) De orden 2x3 que sean consistentes, d) Que represente un conjunto de tres planos que se intersecten en un solo punto. 4. Las siguientes matrices corresponden a la forma reducida de algunos sistemas de ecuaciones:

41

Alberto Gutiérrez Borda

Sistemas de Ecuaciones Lineales

a) (

)

b) (

)

c) (

)

d) (

)

Responder en cada caso si el sistema tiene solución única o infinitas soluciones. Justifica sus respuestas. 5. Escriba para cada una de las siguientes ecuaciones matriciales el sistema de ecuaciones correspondiente: a) (

b) (

)( )

( ),

)( )

(

b) (

)

)( )

d) (

)( )

(

( )

)

6. Las siguientes son matrices aumentadas de un sistema de ecuaciones lineales. En cada caso identifique: el orden del sistema de ecuaciones, y si el sistema es homogéneo o no y el tipo de solución que tiene (única, infinitas o ninguna): a) (

| )

b)(

|

) c) (

| ) d) (

| )

7. Si las siguientes matrices son la forma escalonada de matriz aumentada de un sistema de ecuaciones, resuelva en cada caso el correspondiente sistema. a) (

|

) b) (

|

) c) (

| ) d) (

|

)

8. ¿Cuáles de las siguientes matrices está en la forma escalonada en las filas reducidas? a) (

)

c) (

)

) f) (

b) (

d) (

)

e) (

)

)

9. ¿Cuáles de las siguientes matrices están en forma escalonada por filas? a) (

) c) (

b) (

)

) d) (

f) (

) e) (

)

).

10. Asumiendo que las siguientes matrices aumentadas corresponde a un sistema de ecuaciones lineales donde se ha aplicado operaciones sobre filas y llevarlo a la forma escalonada. Resuelva el sistema.

42

Alberto Gutiérrez Borda

Sistemas de Ecuaciones Lineales

a) (

| )

c) (

b) (

| )

d) (

|

)

|

).

11. Resuelva cada uno de los sistemas que siguen por medio de la eliminación de Gauss-Jordan. a)

c)

b)

d)

.

12. Resuelva cada una uno de los sistemas del ejercicio 11 por eliminación gaussiana. 13. Para cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones decidir si el sistema tiene solución o si es inconsistente. Escribir la forma general de las soluciones si el sistema tiene infinitas soluciones. a) {

d) {

e) {

b) {

g) {

,

c) {

h) {

14. Sea el sistema {

.

Encuentre valores de la constante para que sistema tenga. a) solución única, b) ninguna solución, c) infinitas soluciones. 15. ¿Para qué valor, o valores, de la constante el siguiente sistema de ecuaciones lineales no tiene solución? ¿Tiene exactamente una solución? ¿Tiene una infnidad de soluciones? . 16. Dado el sistema de ecuaciones , Demuestre que para que este sistema sea consistente, . 17. Dado el sistema

43

Alberto Gutiérrez Borda

deben satisface

Sistemas de Ecuaciones Lineales

{

.

Encuentre todos los valores de solución única. 18. Dado el sistema {

para que el sistema homogéneo dado tenga

.

Analizar las condiciones que deben tener las constantes para que el sistema dado sea consistente. 19. Utilice la matriz inversa para determinar la solución de los siguientes sistemas a) {

44

b) {

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Sistemas de Ecuaciones Lineales