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UNIVERSIDAD ANTONIO RUIZ DE MONTOYA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL CÁLCULO DE INGENIERÍA 1 Ejercicios de Repaso

1. En una fábrica de tornillos, puede usarse uno de tres procedimientos, el 30% de los tornillos se fabrica con el proceso 1, el 20% con el proceso 2, y el resto con el proceso 3. Cuando se usa el procedimiento 1, solo el 1% de los tornillos resultan defectuosos; el 3% si se usa el procedimiento 2; y el 4% si es el procedimiento 3 el que se usa. ¿Cuál es la probabilidad de fabricar un tornillo defectuoso? Solución 𝑃(𝐷) = 𝑃(𝐷/𝑃1). 𝑃(𝑃1) + 𝑃(𝐷/𝑃2). 𝑃(𝑃2) + 𝑃(𝐷/𝑃3). 𝑃(𝑃3) 𝑃(𝐷) = 0.01 ∗ 0.3 + 0.03 ∗ 0.2 + 0.04 ∗ 0.5 = 0.003 + 0.006 + 0.02 = 0.029 2. En un proceso de producción continuo el porcentaje de unidades defectuosas producidas es 8%. Para controlar el proceso se revisan periódicamente las unidades producidas. a) Calcule la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 25 unidades revisadas se encuentre más del 15% de defectuosas. b) El proceso de producción se detiene si al revisar una muestra aleatoria de 100 unidades producidas, se encuentra más del 15% de defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que el proceso se detenga? Solución X: # unidades defectuosas en la muestra. Por ser la producción muy grande, puede asumir que 𝑥~𝐵(𝑛, 𝑝) a) Aquí se pide hallar la probabilidad

X P( 25  0,15) , que equivale a la probabilidad P( X  3, 75). Y

se tiene que 𝑥~𝐵(𝑛 = 25, 𝑝 = 0.08) 𝟐𝟓 𝒙 𝟐𝟓−𝒙 Luego, 𝑷(𝒙 > 𝟑. 𝟕𝟓) = 𝟏 − ∑𝒙=𝟑 = 𝟏 − 𝟎. 𝟖𝟔𝟒𝟗 = 𝟎. 𝟏𝟑𝟓𝟏 𝒙=𝟎( 𝒙 ) (𝟎. 𝟎𝟖) (𝟎. 𝟗𝟐)

b) Se necesita calcular la probabilidad

X P( 100  0,15) , la cual es igual a P ( X  15); y ahora

tenemos que 𝑥~𝐵(𝑛 = 100, 𝑝 = 0.08) Luego, usando el complemento, se tiene que: 𝟏𝟎𝟎 𝒙 𝟏𝟎𝟎−𝒙 𝑷(𝒙 > 𝟏𝟓) = 𝟏 − 𝑷(𝒙 ≤ 𝟏𝟓) =𝟏 − ∑𝒙=𝟏𝟓 𝒙=𝟎 ( 𝒙 ) (𝟎. 𝟎𝟖) (𝟎. 𝟗𝟐)

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3. Una compañía vendedora de equipos electrónicos verifica que de todas las máquinas por ella instaladas, el 40% exigen nuevos ajustes después de su instalación. Si 10 máquinas fueron seleccionadas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de por lo menos 3 pero no más de 6 requieran trabajos de ajuste después de la instalación? Solución X: # máquinas que exigen nuevos ajustes de un total de 10 máquina x = 0, 1, …, 10 n=10 p= 0.4, 1-p = 0.6 Entonces X~ B(n=10, p=0.4) Se pide 𝑃(3 ≤ 𝑥 ≤ 6) = 𝑝(𝑋 = 3) + 𝑝(𝑋 = 4) + 𝑝(𝑋 = 5) + 𝑝(𝑋 = 6) = 0.778 𝟏𝟎

𝟏𝟎∗𝟗∗𝟖 ∗ 𝟑∗𝟐

𝟏𝟎

𝟏𝟎∗𝟗∗𝟖∗𝟕 ∗ 𝟒∗𝟑∗𝟐

𝟏𝟎

𝟏𝟎∗𝟗∗𝟖∗𝟕∗𝟔 ∗ 𝟓∗𝟒∗𝟑∗𝟐

𝟏𝟎

𝟏𝟎∗𝟗∗𝟖∗𝟕 ∗ 𝟒∗𝟑∗𝟐

𝑃(𝑥 = 3) = ( 𝟑 ) (𝟎. 𝟒)𝟑 (𝟎. 𝟔)𝟕 = 𝑃(𝑥 = 4) = ( 𝟒 ) (𝟎. 𝟒)𝟒 (𝟎. 𝟔)𝟔 = 𝑃(𝑥 = 5) = ( 𝟓 ) (𝟎. 𝟒)𝟓 (𝟎. 𝟔)𝟓 = 𝑃(𝑥 = 6) = ( 𝟔 ) (𝟎. 𝟒)𝟔 (𝟎. 𝟔)𝟒 =

𝟎. 𝟎𝟔𝟒 ∗ 𝟎. 𝟐𝟏𝟔 ∗ 𝟎. 𝟐𝟏𝟔 ∗ 𝟎. 𝟔 = 𝟎. 𝟐𝟏𝟓 𝟎. 𝟎𝟐𝟓𝟔 ∗ 𝟎. 𝟐𝟏𝟔 ∗ 𝟎. 𝟐𝟏𝟔 = 𝟎. 𝟐𝟓𝟎𝟖 (𝟎. 𝟒)𝟓 (𝟎. 𝟔)𝟓 = 𝟎. 𝟐

(𝟎. 𝟒)𝟔 (𝟎. 𝟔)𝟒 = 𝟎. 𝟏𝟏𝟏

4. Considérese un fabricante de automóviles que compra los motores a una compañía donde se fabrican bajo estrictas especificaciones. El fabricante recibe un lote de 40 motores. Su plan para aceptar el lote consiste en seleccionar 8 motores, de manera aleatoria, y someterlos a prueba. Si encuentra que por lo menos 2 de los motores presenta defectos, el fabricante rechaza el lote. Si se sabe que el lote contiene 3 motores con defectos. ¿Cuál es la probabilidad que el lote sea aceptado? Solución N= 40 r = 3 motores defectuosos N-r = 37 motores no defectuosos Se extrae sin reposición n=8 motores X: v.a. # motores defectuosos en la muestra

x =0, 1, 2,3

Entonces X~ H(N=40, n= 8, r=3) Decisión: si X  2 rechaza el lote Si X < 2

acepta el lote

Se pide P(acepte el lote) = 𝑝(𝑋 < 2) = 𝑝(𝑋 = 0) + 𝑝(𝑋 = 1) = 0.904

𝑃(𝑥 = 0) = 𝑃(𝑥 = 1) =

(𝟑𝟎)(𝟑𝟕 𝟖) (𝟒𝟎 𝟖)

(𝟑𝟏)(𝟑𝟕 𝟕) (𝟒𝟎 𝟖)

=

𝟑𝟕! 𝟖!∗ 𝟐𝟗! 𝟒𝟎! 𝟖!∗𝟑𝟐!

=𝟑∗

𝟑𝟎∗𝟑𝟏∗𝟑𝟐

= 𝟒𝟎∗𝟑𝟗∗𝟑𝟖 = 𝟎. 𝟓𝟎𝟐

𝟑𝟕! 𝟕!∗ 𝟑𝟎! 𝟒𝟎! 𝟖!∗𝟑𝟐!

=

𝟑∗𝟑𝟐∗𝟑𝟏∗𝟖 𝟒𝟎∗𝟑𝟗∗𝟑𝟖

= 𝟎. 𝟒𝟎𝟐

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5. Sabiendo que: P[A] = 0,5; P[B] = 0,6 ; P[A ∩ B] = 0,25 a. ¿Son A y B sucesos independientes? ¿Por qué? b. Calcule P [ A  B ] c. Calcule P [ A / B ] Solución a. 𝑃[𝐴] ∗ 𝑃[𝐵] = 0.5 ∗ 0.6 = 0.3 ≠ 0.25 . . 𝐴 𝑦 𝐵 𝑛𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠

b. 𝑃(𝐴𝑈𝐵) = 𝑃[𝐴] + 𝑃[𝐵] − 𝑃[𝐴 ∩ 𝐵] = 0.5 + 0.6 − 0.25 = 0.85 c. 𝑃(𝐴/𝐵) =

𝑃[𝐴∩𝐵]

=

𝑃[𝐵]

0.25 0.6

5

= 12 = 0.4167

6. El contenido de zinc que tiene cierto depósito de mineral es una variable aleatoria con función de densidad dada por:

 57 51( x  1) 2   f ( x)   40 ;0,5  x  1,5. 10 0; en otro caso. 

a) Determine el porcentaje de mineral que contiene zinc entre 0,8 y 1. b) ¿Cuál es el contenido promedio de Zinc? ¿Y su desviación estándar? Solución 1 57

57

a) zinc entre 0,8 y 1 = ∫0.8 − 5.1(𝑥 − 1)2 𝑑𝑥 = [( − 5.1) 𝑥 − 40 40

5,1 3

1

𝑥 3 + 5.1𝑥 2 ]

0.8

= −0.735 − 0.8296 + 1.836 = 0.2714 ⟹ 27.14% b) ¿Cuál es el contenido promedio de Zinc? ¿Y su desviación estándar 1.5

𝐸(𝑥) = ∫ 0.5

1.5

57 57 𝑥 2 5,1 4 2 ∗ 5.1𝑥 3 𝑥 − 5.1𝑥(𝑥 − 1)2 𝑑𝑥 = [( − 5.1) − 𝑥 + ] 40 40 2 4 3 0.5

= (−3.675) ∗ (1) − 1.275 ∗ (5) + 3.4 ∗ (3.25) = 1 1.5 2

𝐸(𝑥 ) = ∫ 0.5

1.5

57 2 57 𝑥 3 5,1 5 2 ∗ 5.1𝑥 4 𝑥 − 5.1𝑥 2 (𝑥 − 1)2 𝑑𝑥 = [( − 5.1) − 𝑥 + ] 40 40 3 5 4 0.5

= (−3.675) ∗ (1.0833) − 1.02 ∗ (7.5625) + 2.55 ∗ (5) = 1.055 𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 0.055

𝜎 = 0.2345

7. De acuerdo con el National Health Survey, las estaturas de hombres adultos en Estados Unidos están distribuidas normalmente con media de 69.0 pulgadas y desviación estándar de 2.8 pulgadas a) ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre adulto escogido al azar mida entre 65 pulgadas y 73 pulgadas de estatura? b) ¿Qué porcentaje de la población de hombres adultos mide más de 72 pulgadas? Solución 4

4

a) 𝑃(65 ≤ x ≤ 73) = P (− 2.8 ≤ z ≤ 2.8) = 2∅(1.42857) − 1 = 0.8447 3 2.8

b) 𝑃(72 ≤ x ) = P (

≤ z) = 1 − ∅(1.07) = 1 − 0.8577 = 0.1423

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8. Una urna contiene 5 bolas blancas y 3 negras. Tres jugadores A, B y C extraen una bola sin devolución en este mismo orden. Gana el primer jugador que saca una blanca. Calcular la probabilidad de que gane C. Solución

𝐽𝐴

5/8

𝐵 − 𝐺𝐴

3/8

𝑁 − 𝐽𝐵

5/7

𝐵 − 𝐺𝐵

2/7

𝑁 − 𝐽𝐶

5/6

𝐵 − 𝐺𝐶

1/6

𝑁 − 𝐽𝐴

1

𝐵 − 𝐺𝐴

0

𝑁− 𝑁

5 3 2 1 36 + ∗ ∗ = 8 8 7 6 56 3 5 15 𝑃(𝐺𝐵 ) = ∗ = 8 7 56 3 2 5 5 𝑃(𝐺𝐶 ) = ∗ ∗ = 8 7 6 56 𝑃(𝐺𝐴 ) =

9. Supongamos que tenemos 10 urnas: 5 de ellas son de tipo U1 y contienen 3 blancas y 3 negras, 3 de ellas son de tipo U2 y contienen 4 blancas y 2 negras, y el resto son de tipo U3 y contienen 1 blanca y 5 negras. Se pide: a). Probabilidad de que una bola extraída al azar de una de las 10 urnas sea blanca. b). Probabilidad de que habiendo salido una bola negra, proceda de una urna del tipo U2. c). Sabiendo que ha salido una bola negra, ¿de qué tipo de urna es más probable que haya salido?

Solución Sea Ui el suceso se elige la urna de tipo Ui , B el suceso se extrae bola blanca y N el suceso se extrae bola negra 𝑎). 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐵|𝑈1) · 𝑃(𝑈1) + 𝑃(𝐵|𝑈2) · 𝑃(𝑈2) + 𝑃(𝐵|𝑈3) · 𝑃(𝑈3) = 3/6 · 5/10 + 4/6 · 3/10 + 1/6 · 2/10 = 29/60

b). 𝑃(𝑈2|𝑁) =

𝑃(𝑁|𝑈2)𝑃(𝑈2) 𝑃(𝑁|𝑈1)𝑃(𝑈1) + 𝑃(𝑁|𝑈2)𝑃(𝑈2) + 𝑃(𝑁|𝑈3)𝑃(𝑈3)

c). Análogamente se tiene

𝑃(𝑈1|𝑁) =

15 31

𝑃(𝑈3|𝑁) =

=

7 31

𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 es más probable que haya salido de la urna de tipo U1.

2 3 · 6 10 3 5 2 3 5 2 · + · + . 6 10 6 10 6 10

=

6 31

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10. Una persona tiene dos negocios en funcionamiento, A y B. El primer negocio tiene pérdidas en el 25 % de los balances, mientras que el segundo, donde la perspectiva de beneficio es menor, tiene pérdidas solo en el 5 % de los casos. Se supone que el conjunto de operaciones es análogo en ambos negocios. Si, analizando el resultado económico de una de las operaciones, se observan pérdidas, ¿cuál es la probabilidad de que dicha operación correspondiese al negocio B?

Solución Denotamos por A el suceso {operación con el negocio A} y análogamente para B. Sea D, el suceso {tener pérdidas}. Se sabe que P(A) = P(B) = 1/2 , P(D|A) = 0,25 y P(D|B) = 0,05 Entonces, 𝑃(𝐵|𝐷) =

𝑃(𝐷|𝐵) · 𝑃(𝐵) 𝑃(𝐷|𝐴) · 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐷|𝐵) · 𝑃(𝐵)

=

0,05 · 0,5 0,25 · 0,5 + 0,25 · 0,5

= 1/ 6

11. Para la elección de las personas de un jurado se disponen de dos urnas. En la primera urna hay 10 papeletas con nombres de 6 hombres y 4 de mujeres. En la segunda hay 5 papeletas con nombres de 2 hombres y 3 de mujeres. Alguien cambia una papeleta de la primera urna a la segunda, e inmediatamente después se extrae al azar una papeleta de la segunda urna, que resulta ser nombre de mujer. ¿Cuál es la probabilidad de que la papeleta cambiada contenga un nombre de mujer?

Solución 6H - 4M

2H - 3M

5H - 4M

3H – 3M M

6H -

3M

2H – 4M M

Cuando se pase una papeleta de la urna U1 a la urna U2, ésta quedara así: Si se pasa nombre de hombre como UH = {3 h, 3 m}, con P (UH) = 6/10, Si se pasa nombre de mujer como UM = {2 h, 4 m},

con P (UM) = 4/10.

La probabilidad pedida es:

4 4 𝑃(𝑀|𝑈𝑀) · 𝑃(𝑈𝑀) 16 6 · 10 𝑃(𝑈𝑀|𝑀) = = = 4 4 3 6 𝑃(𝑀|𝑈𝑀) · 𝑃(𝑈𝑀) + 𝑃(𝑀|𝑈𝐻) · 𝑃(𝑈𝐻) 34 6 · 10 + 6 · 10

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12. Considere 3 cartas: - 1 carta con las 2 caras negras - 1 segunda carta con ambas caras blancas - 1 tercera carta con una cara blanca y la otra negra. Se elige una carta al azar y se coloca sobre la mesa. La cara superior resulta negra, ¿cuál es la probabilidad de que la cara oculta sea blanca? Solución

A

B

C

1 1∗3 𝑃(𝑁|𝐶3) · 𝑃(𝐶3 ) 2 𝑃(𝐶3 |𝑁) = = = 1 1 1 1 𝑃(𝑁|𝐶1 ) ∗ 𝑃(𝐶1 ) + 𝑃(𝑁|𝐶2 ) ∗ 𝑃(𝐶2 ) + 𝑃(𝑁|𝐶3 ) ∗ 𝑃(𝐶3 ) 3 ∗ +0∗ +1∗ 2 3 3 3

VAR ALEATORIA DISCRETA 13. En algunos casinos se realiza el siguiente juego: se elige uno de los números 1, 2, 3, 4, 5, 6. A continuación se lanzan tres dados. Si el número elegido aparece 1, 2, 3 veces, se recibe 1, 2, 3 veces lo apostado, y se recupera éste. Si no aparece el número elegido, se pierde lo apostado. Si X es la variable aleatoria que proporciona la ganancia, obtenga E(x).

Solución Sea X la variable aleatoria que proporciona la ganancia: x P(x)

-1 𝟏𝟐𝟓 𝟐𝟏𝟔

𝐸(𝑥) = −1 ∗

𝟏𝟐𝟓 𝟐𝟏𝟔

1 𝟕𝟓 𝟐𝟏𝟔

+1∗

2 𝟏𝟓 𝟐𝟏𝟔 𝟕𝟓 𝟐𝟏𝟔

+2∗

3 𝟏 𝟐𝟏𝟔 𝟏𝟓 𝟐𝟏𝟔

+3∗

𝟏 𝟐𝟏𝟔

= −

𝟏𝟕 𝟐𝟏𝟔

14. Fiabilidad de un componente. Para una componente de un sistema, sea A, el suceso “la componente funciona”. Se define la función indicatriz del suceso A como aquella función IA tal que IA = 1 si A es cierto e IA = 0 si A es falso. ¿Qué indica E(IA )

Solución Sea 𝐼𝐴 la v.a. definida como:

1, 𝑥 ∈ 𝐴 𝐼𝐴 (𝑥) = { 0, 𝑥 ∉ 𝐴

E(𝐼𝐴 ) = 1 ∗ 𝑃(𝐴) + 0 ∗ 𝑃(𝐴̅) = 𝑃(𝐴) Luego E(𝐼𝐴 ) indica la probabilidad de que la componente funcione.

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15. A partir la figura 1. Determinar la función indicatriz de los sistemas. 2. Determinar la fiabilidad de los sistemas. 3. Suponiendo p1 = p2 = p3 = 0,90, determinar la fiabilidad de los sistemas y compararlos.

Solución 1. Función indicatriz:

a) 1-(1- 𝐼1 )(1 − 𝐼2 )(1 − 𝐼3 ) b) 𝐼1 ∗ 𝐼2 c) 1-(1- 𝐼1 ∗ 𝐼2 ) ∗ (1 − 𝐼3 ) 2. Fiabilidad:

a) 1-𝑞1 ∗ 𝑞2 ∗ 𝑞3 b) 𝑝1 ∗ 𝑝2 c) 1-(1- 𝑝1 ∗ 𝑝2 ) ∗ 𝑞3 16. Se lanza una moneda tres veces; sea X el número de caras obtenidas. Hallar la función de distribución de probabilidad de X y la función de distribución acumulada.

Solución X: v.a. # caras obtenidas x 0 1 𝟏 𝟑 f(x) 𝟖 𝟖 𝟎, 𝟏

F.d.a. = 𝑭(𝒙) =

𝟖 𝟒 𝟖 𝟕 𝟖

2 𝟑 𝟖

3 𝟏 𝟖

𝒙 0.5/𝑦 > 0.1) = 𝑃(𝑌>0.1) = 1−𝐹(0.1) = 0.71 19. La cantidad aleatoria de dinero ahorrado por una persona en un mes sigue una ley de probabilidad dada por:

0, 𝑥 5 y npq = 125 > 5, aproximamos a la distribución normal B(500, 0,5) ∼ N(µ = 250, σ =√125), realizando el ajuste por continuidad: P[

240 − 250 – 0,5 √125

< z
1) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 1) = 1 − 𝑃(𝑋 = 0) − 𝑃(𝑋 = 1) 1 0 4 5 5 1 1 4 4 4 5 4 4 = 1 – ( ) ( ) – ( ) ( ) ( ) = 1 − ( ) − ( ) = 0, 26272 5 5 1 5 5 5 5

𝟓

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Geométrica – Pascal 22. Se lanza un dado todas las veces necesarias hasta que aparece un 6. Si X contabiliza el número del lanzamiento en que ocurre. Se pide: a) ¿Qué función de probabilidad tiene la variable aleatoria X? b). Calcular P(X = 3). c). Calcular P(X > 4).

Solución a) X sigue una distribución geométrica o de Pascal G(p = 1/6) Luego, 𝑃(𝑋 = 𝑘) = 𝑝 ∗ 𝑞 𝑘−1 b) P(X = 3) = 𝑞 2 𝑝 5 4

c) En la geométrica se tiene que 𝑃(𝑋 > 𝑘) = 𝑞 𝑘 , luego P(X > 4) = 𝑞 4 = (6) = 0.482 Geométrica 23. Sea X una variable aleatoria geométrica de parámetro p. Demostrar que: P(X > a + b / X > a) = P(X > b), para cualquier constante positiva a y b. Solución Si X es geométrica, de parámetro p, se tiene ∀k que:

𝑃(𝑋 > 𝑘) = 𝑞 𝑘 , luego si a, b > 0: 𝑃(𝑋 > 𝑎 + 𝑏 / 𝑋 > 𝑎) =

𝑃(𝑋 > 𝑎 + 𝑏 ∩ 𝑋 > 𝑎) 𝑃(𝑋 > 𝑎)

=

𝑃(𝑋 > 𝑎 + 𝑏 ) 𝑃(𝑋 > 𝑎)

=

𝑞 𝑎+𝑏 𝑞𝑎

= 𝑞 𝑏 = 𝑃(𝑋 > 𝑏)

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Pascal 24. Se lanza un dado todas las veces necesarias hasta obtener dos números 6. X contabiliza el número de los lanzamientos hasta que dicho suceso ocurre.

Se pide: a) ¿Qué función de probabilidad tiene la variable aleatoria X? b). P(X = 3). c). P(X > 4). Solución a). X sigue una distribución binomial negativa BN(k = 2; p = 1/6 ) Luego 𝑃(𝑋 = 𝑛) = (𝑛−1 ) 𝑞 𝑛−𝑘 ∗ 𝑝𝑘 𝑘−1 𝑃(𝑋 = 𝑛) = (𝑛−1 ) 𝑞 𝑛−2 ∗ 𝑝2 1

𝑛 = 2, 3,· · ·

b). 𝑃(𝑋 = 3) = 2 ∗ 𝑞 ∗ 𝑝2 c). 𝑃(𝑋 > 4) = 1 – 𝑃(𝑋 ≤ 4) = 1 – 𝑃(𝑋 = 2)– 𝑃(𝑋 = 3)– 𝑃(𝑋 = 4) = 1 − 𝑞 0 ∗ 𝑝2 − 2𝑞 ∗ 𝑝2 − 3𝑞 2 ∗ 𝑝2 = 0.868

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Ejercicio 84 – Binomial aproximada a Normal. Se lanza una moneda 500 veces. Hallar la probabilidad de que la frecuencia relativa de caras esté comprendida entre 0,45 y 0,65. Solución El número de caras sigue una distribución binomial B (500; 0,5). A partir de la aproximación de X ≡ B(n, p) ∼ 𝑁(𝑛𝑝, 𝜎 = √𝑛𝑝𝑞) la variable aleatoria frecuencia relativa fr se aproxima a 𝑝𝑞 𝑋 𝑓𝑟 = ∼ 𝑁 (𝑝, 𝜎 = √ ) 𝑛 𝑛 0,45 − 0,5

𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑃(0,45 < 𝑓𝑟 < 0,65) = 𝑃 (

√0,25 500

< 𝑧