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• Carina Ibarra Mart�nez

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INGENIERÍA ECONÓMICA Competencias específicas de la asignatura: Aplica las herramientas de ingeniería económica para establecer estrategias que apoyen la planeación, control y toma de decisiones para optimizar los resultados de la organización de tal forma que ayuden en la solución de problemas financieros de forma efectiva. Competencias previas:

- Resuelve problemas de modelos lineales aplicados a la Ingeniería para la toma de decisiones de acuerdo a la interpretación de resultados, utilizando matrices y sistemas de ecuaciones. - Analiza el desarrollo de su disciplina, para conocer sus aspectos sobresalientes en los ámbitos local, nacional e internacional con fundamento en la investigación científica. UNIDAD 1 “FUNDAMENTOS BÁSICOS DE INGENIERÍA ECONÓMICA” 1.1 Concepto de Ingeniería Económica. 1.2 Interés simple e interés compuesto. 1.3 Equivalencia y diagrama de flujo. 1.4 Factores de interés y su empleo: factor de pago único, factor valor presente, factor valor futuro, factor de serie uniforme, factor de gradiente, factor múltiple. Competencias Específicas: Determina el interés simple y compuesto en los diferentes tipos de préstamos para analizar los cambios de las variables que intervienen en su obtención. Competencias Genéricas: - Habilidades en el uso de las tecnologías de la información y comunicación - Capacidad de investigación - Capacidad de análisis y síntesis - Capacidad de comunicación profesional con otras áreas - Capacidad de aprender y actualizarse permanentemente - Habilidades para buscar, procesar y analizar información procedente de fuentes diversas. Actividades de aprendizaje: - Identificar el concepto de ingeniería económica y sus elementos para elaborar un mapa conceptual. - Debatir los conceptos de ingeniería económica, presentar en clase los resultados y unificando criterios. - Realizar un mapa conceptual explicando el interés simple e Interés compuesto, equivalencia financiera y diagramas de flujo de efectivo. - Realizar una Investigación documental sobre los factores de: interés, pago único, valor presente, valor futuro, serie uniforme, gradiente, y múltiple. - Resolver ejercicios prácticos utilizando hoja de cálculo o calculadora financiera para conformar un problemario financiero.

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TRABAJO EN EQUIPO DE LA PRIMERA UNIDAD. VALOR: 20% Realizar una investigación documental. Todas las citas en el trabajo deben aparecer en la lista de referencias y todas las referencias deben ser citadas en el texto empleando el estilo APA 6ª. Edición para el desarrollo de este informe: 1. Introducción a) Importancia de la Ingeniería Económica para los ingenieros y otros profesionales b) Papel de la Ingeniería económica en la toma de decisiones 2. Conceptos generales: a) Ingeniería económica b) Interés simple c) Interés compuesto d) Capital e) Vida útil f) Valor de salvamento g) Anualidad h) Tasa de interés i) Equivalencia j) Diagrama de flujo 3. Factores de interés y su empleo a) Factores de pago único (F/P y P/F) y un ejemplo de cada uno. b) Factores de valor presente y de recuperación de capital en series uniformes (P/A y A/P) y un ejemplo de cada uno c) Derivación del factor de fondo de amortización y el factor de cantidad compuesta serie uniforme (A/F y F/A) y un ejemplo de cada uno. d) Factores de gradiente aritmético (P/G y A/G) y un ejemplo de cada uno. e) Factores para series gradiente geométrico 4. Desarrollar un mapa conceptual del tema 5. Desarrollar un mapa de imágenes 6. Conclusiones generales del tema 7. Referencias bibliográficas 8. Sitios consultados

Conceptos: Ingeniería económica: es una especialidad que integra los conocimientos de ingeniería con los elementos básicos de la microeconomía. Su principal objetivo es la toma de decisiones basada en las comparaciones económicas de las distintas alternativas tecnológicas de inversión. Interés simple: se refiere a los intereses que producen un capital inicial en un periodo de tiempo, el cual no se acumula al capital para producir los intereses del siguiente periodo. Interés compuesto: se presenta cuando los intereses obtenidos al final del periodo de inversión o préstamo no se retiran o pagan sino que se reinventan y se añaden al capital principal. Capital: elemento necesario para la producción de bienes de consumo y que consiste en maquinarias, inmuebles u otro tipo de instalaciones. 2

Vida útil: es la duración estimada que un objeto puede tener, cumpliendo correctamente con la función para el cual ha sido creado. Valor de salvamento: se refiere al valor estimado de un activo después de que se ha dado tanta utilidad para el propietario como sea posible. Anualidad: es una sucesión de pagos, depósitos o retiros, que generalizan en periodos regulares de tiempo, con interés compuesto. El término no implica que las rentas tengan que ser anuales, sino que se da a cualquier secuencia de pagos. Tasa de interés: hace referencia al costo que tiene un crédito o bien a la rentabilidad de los ahorros. Se trata de un término que permite describir al provecho, utilidad, valor o la ganancia de una determinada cosa o actividad. Usualmente se maneja en porcentaje. Introducción a la Ingeniería Económica 1.1 Concepto de ingeniería económica La Ingeniería Económica es una especialidad que integra los conocimientos de ingeniería con los elementos básicos de la microeconomía. Su principal objetivo es la toma de decisiones basada en las comparaciones económicas de las distintas alternativas tecnológicas de inversión. Las técnicas empleadas abarcan desde la utilización de planillas de cálculo estandarizadas para evaluaciones de flujo de caja, hasta procedimientos más elaborados, tales como análisis de riesgo e incertidumbre, y pueden aplicarse tanto a inversiones personales como industriales. En las economías emergentes, existen dificultades reales respecto al entendimiento práctico y a la aplicación de conceptos claves como la depreciación (amortización), la financiación y formación de costos, particularmente cuando se trata con industrias pequeñas y medianas. Esta situación ciertamente impide la posibilidad de actividades autosustentables, muy frecuentemente impide la introducción de las necesarias mejoras técnicas y contribuye al desgaste de los recursos humanos y financieros. (Tecnológico de estudios superiores del oriente del estado de México) Los empresarios y los especialistas de la ingeniería económica se interrogan frecuentemente respecto a lo siguiente: - ¿Qué diseño se elige entre varias alternativas similares? - ¿Debe reemplazarse el equipo en uso por uno nuevo?, y en caso afirmativo, ¿cuándo debe sustituirse? - ¿Los beneficios esperados del proyecto son suficientes para justificar la inversión? ¿Es preferible un proyecto conservador y más seguro o uno de mayor riesgo que ofrece beneficios superiores?

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Estas preguntas poseen características comunes: 1) cada una implica una selección entre opciones técnicas 2) todas involucran consideraciones económicas. Otras características menos evidentes, son los requerimientos de datos adecuados y el conocimiento de las restricciones tecnológicas para definir el problema, identificar soluciones posibles y determinar la solución óptima. En consecuencia, el profesional debe considerar que el diseño y Operación de plantas industriales y su evaluación económica constituyen un todo relacionado. Finalmente, el término "inversión" es usado en este manual en un amplio contexto; puede estar dirigido a: una gran planta, una línea de procesamiento, un cambio en la línea de procesamiento, al desarrollo de un nuevo producto, la decisión entre dos o más tecnologías diferentes para obtener el mismo producto, al análisis de una operación aislada (por ej., el mantenimiento del pescado en hielo), la introducción de un nuevo sistema de control de calidad, etc. Al mismo tiempo, el término "inversión" es usado independientemente del nivel de inversión y de la fuente de financiamiento. ¿Por qué aplicar la Ingeniería Económica a la pequeña y mediana empresa? La industria pequeña tiene actividades variadas que cubren todos los aspectos del espectro empresarial. Por ejemplo, comprar insumos, solicitar préstamos, pagar mano de obra, planificar el futuro y obtener beneficios. Estos mecanismos se observan en todo el sistema de una microempresa: captura, procesamiento y comercialización. Un objetivo esencial, desde un punto de vista económico, es ser económicamente autosustentable, por ej., recuperar los recursos invertidos y generar un beneficio dentro de un tiempo razonable. El logro de este objetivo es una condición necesaria porque sin éste, el proyecto no sería viable, y fracasaría cuando los capitales iniciales se acabaran, o cuando los subsidios cesaran. La mayor parte de este Manual está dedicado al análisis de este objetivo. Sin embargo, no se olvida que en el caso de la industria mediana existen otras condiciones necesarias para la auto sustentabilidad. El más evidente es la necesidad de una administración racional de los recursos económicos y del medio ambiente. El éxito económico de un proyecto y su operación real no son en sí mismas condiciones suficientes para la inversión; sin embargo, ambas condiciones son necesarias. En este contexto, la ingeniería económica aplicada a la industria mediana y pequeña aparece como una contribución útil para ayudar a la administración y a la sustentabilidad del sector, particularmente en los países en vías de desarrollo. En este manual, se presenta un análisis global de los factores más importantes que intervienen en la producción y en el diseño de las operaciones y procesos, asociadas con la misma, con particular énfasis en los aspectos económicos de las industrias medianas tanto en la captura como en el 4

procesamiento industrial. Se estudian tanto cualitativa como cuantitativamente, las inversiones en bienes de capital, los costos de producción y la rentabilidad asociada con ellos. Por último, se presenta un análisis microeconómico de la producción. ¿Cuáles son las limitaciones de la metodología propuesta? El análisis de la microeconomía depende de los modelos (y/o ideologías) y en consecuencia, está determinado por las limitaciones propias de los modelos o porque las condiciones de aplicación de los referidos modelos no coinciden con la situación dada. Las políticas específicas pueden diferir aún en los países que adoptan el mismo sistema político general y afectar los análisis económicos de diferentes formas (por ej., qué método de depreciación es permitido, o qué impuestos se aplican). Un profundo estudio de todas las posibilidades queda fuera del propósito de este manual, aunque se analizan algunos aspectos. ¿Por qué es tan importante la ingeniería económica? Porque prácticamente a diario se toman decisiones que afectan el futuro. Las opciones que se tomen cambian la vida de las personas poco y en algunas ocasiones considerablemente. Por ejemplo, la compra en efectivo de una camisa nueva aumenta la selección de ropa del comprador cuando se viste cada día y reduce la suma de dinero que lleva consigo en ese momento. Por otra parte, el comprar un automóvil nuevo y suponer que un préstamo para automóvil nos da opciones nuevas de transporte, puede causar una reducción significativa en el efectivo disponible a medida que se efectúan los pagos mensuales. En ambos casos, los factores económicos y no económicos, lo mismo que los factores tangibles e intangibles son importantes en la decisión de comprar la camisa o el automóvil. Los individuos, los propietarios de pequeños negocios, los presidentes de grandes corporaciones y los dirigentes de agencias gubernamentales se enfrentan rutinariamente al desafío de tomar decisiones significativas al seleccionar una alternativa sobre otra. Estas son decisiones de cómo invertir en la mejor forma los fondos, o el capital de la Compañía y sus propietarios. El monto del capital siempre es limitado, de la misma manera que en general es limitado el efectivo disponible de un individuo. Estas decisiones de negocios cambiarán invariablemente el futuro, con la esperanza de que sea para mejorar. Por lo normal, los factores considerados pueden ser una vez más, económicos y no económicos, lo mismo tangibles que intangibles. 1.2 Interés simple e interés compuesto Los términos interés, periodo de interés y tasa de interés, son útiles para el cálculo de sumas equivalentes de dinero para un periodo de interés en el pasado y un periodo en el futuro. Sin embargo, para más de un periodo de interés, los términos interés simple e interés compuesto resultan importantes. El interés simple se calcula utilizando solo el principal, ignorando cualquier interés causado en los periodos de interés anteriores. El interés simple total durante diversos periodos se calcula como: 5

Interés = (principal) (número de periodos) (tasa de interés) En donde la tasa de interés está expresada en forma decimal. Ejemplo: Si se obtiene un préstamo de $1000 para pagar en 3 años a una tasa de interés simple del 5% anual. ¿Cuánto dinero se pagará al final de los tres años? Interés anual = $1000 * 0.05 = $50 Interés por los tres años = $50 * 3 = $150 Total a pagar al final de los 3 años = $1000 + $150 = $1150 Para el interés compuesto, el interés acumulado para cada periodo de interés se calcula sobre el principal más el monto total del interés acumulado en todos los periodos anteriores. Por lo tanto, el interés compuesto significa un interés sobre el interés, es decir, refleja el efecto del valor del dinero en el tiempo también sobre el interés. El interés compuesto para un periodo de tiempo se calcula: Interés = (principal + todo el interés causado) (tasa de interés) Ejemplo: Si se obtiene un préstamo de $1000 al 5% anual compuesto, calcule la suma total a pagar después de los tres años. Interés año 1 = $1000 * 0.05 = $50 Suma después del año 1 = $1050 Interés año 2 = $1050 * 0.05 = $52.50 Suma después del año 2 = $1102.50 Interés año 3 = $1102.50 * 0.05 = $55.13 Suma después del año 3 = $1157.63

Interés compuesto y simple ejemplos: Un banco presta $10,000 pesos con una tasa de interés del 10% a 5 años, entonces: Capital: $10,000 Tasa: 10% Vida útil: 5 años

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INTERÉS COMPUESTO Año

Cantidad Inicial

0 1 2 3 4 5

0 10,000 11,000 12,100 13,310 14,641

Interés generado (10%) 0 1,000 1,100 1,210 1,331 1,464.1

Cantidad final.

Interés generado (10%) 0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000

Cantidad final.

10,000 11,000 12,100 13,310 14,641 16,105.1

INTERÉS SIMPLE Año

Cantidad Inicial

0 1 2 3 4 5

0 10,000 11,000 12,000 13,000 14,000

10,000 11,000 12,000 13,000 14,000 15,000

DIAGRAMA DE FLUJO Concepto Vida útil Presente Tasa de interés Futuro Ingreso (+)

Término n P i F

Egreso (-)

i= 10% anual

0

F=16,105.1

1

2

3

4

5

P= 10,0000

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1.3 Equivalencia y diagrama de flujo Concepto de equivalencia Cuando se consideran juntos, el valor del dinero en el tiempo y la tasa de interés ayudan a desarrollar el concepto de equivalencia, el cual significa que sumas diferentes de dinero en momentos diferentes son iguales en valor económico. Por ejemplo, si la tasa de interés es de 6% anual, $100 hoy serían equivalentes a $106 en un año a partir de hoy ó $94.34 hace un año Diagrama de flujo El concepto de flujo de caja se refiere al análisis de las entradas y salidas de dinero que se producen (en una empresa, en un producto financiero, etc.), y tiene en cuenta el importe de esos movimientos, y también el momento en el que se producen. Estas van a ser las dos variables principales que van a determinar si una inversión es interesante o no. Generalmente el diagrama de flujo de efectivo se representa gráficamente por flechas hacia arriba que indican un ingreso y flechas hacia abajo que indican un egreso. Estas flechas se dibujan en una recta horizontal cuya longitud representa la escala total de tiempo del estudio que se esté haciendo. Esta recta se divide en los periodos de interés del estudio, la duración de estos periodos debe ser la misma que el periodo en el cual se aplica la tasa de interés. La presentación gráfica de sistemas es una forma ampliamente utilizada como herramienta de análisis, ya que permite identificar aspectos relevantes de una manera rápida y simple. Una esfera donde esta técnica puede ser utilizada con éxito es en la elaboración del Manual de Normas y Procedimientos, ya sea para la asistencia al proceso de dirección o para la comprobación del adecuado cumplimiento de los Principios de Control Interno en las entidades subordinadas. Una de las vertientes del Control Interno se encuentra en la dirección que, desde el punto de vista sistémico, tiene como elementos básicos las funciones de planificación, organización, mando y control, todas las cuales tienen como elemento común, al margen del estilo utilizado en la entidad: el proceso de toma de decisiones, donde rapidez y calidad en la decisión compiten, por lo cual el empleo de adecuadas representaciones gráficas de las situaciones bajo análisis, constituye una herramienta ventajosa para el órgano de dirección. Tipos de Diagramas Conceptualmente, los diagramas tienen como objetivo fundamental garantizar la modelación, tanto lógica (representación del sistema basado en la función que realiza, en lo que hace), como física (representación del sistema en una forma real: departamentos, soportes, etc) del objeto de estudio y de acuerdo a sus características pueden clasificarse en: árboles de decisión, organigramas, diagramas de flujo y otros. De manera resumida, los árboles de decisión consisten en una herramienta gráfica donde se recogen las condiciones y las acciones relacionadas con el desarrollo de una actividad; en tanto los diagramas de flujo constituyen la representación de un sistema, que lo define en términos de sus componentes y de las relaciones entre éstos.

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1.4 Factores de interés y su empleo Factor de cantidad compuesta pago único (FCCPU) o factor F/P: F = P (1+i)n Factor de valor presente, pago único (FVPPU) o factor P/F: P = F [1 / (1+i)n] Factor del valor presente, serie uniforme (FVP-SU) o factor P/A: P = A [(1+i)n-1 / i(1+i)n] Factor de recuperación del capital (FRC) o factor A/P: A = P [i(1+i)n / (1+i)n-1] Factor del fondo de amortización (FA) o factor A/F: A = F [i / (1+i)n-1] Factor de cantidad compuesta, serie uniforme (FCCSU) o factor F/A: F = A [(1+i)n-1 / i] VALOR PRESENTE Para identificar factores es más sencillo utilizar la notación estándar de los nombres de los factores y ésta será utilizada en lo sucesivo: Nombre del factor notación estándar Valor presente, pago único (P/F,i,n) Cantidad compuesta, pago único (F/P,i,n) Valor presente, serie uniforme (P/A,i,n) Recuperación del capital (A/P,i,n) Fondo de amortización (A/F,i,n) Cantidad compuesta, serie uniforme (F/A,i,n) La notación anterior es útil para buscar los valores de los factores involucrados los cuales se establecen en las tablas correspondientes, por ejemplo: (P/A,5%,10) es el factor utilizado en el cálculo de un valor presente, dado el valor de una anualidad, con una tasa de interés del 5% y un valor de 10 periodos de capitalización. Este factor, en las tablas correspondientes es igual a 7.7217 Si utilizamos la fórmula para calcular el valor de este factor (P/A), tenemos: (P/A,5%,10) = [(1+i)n-1 / i(1+i)n]= (1.05)10-1 / 0.05(1.05)10= 7.7217

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Ejemplos de la utilización de factores: Un contratista independiente realizó una auditoria de algunos registros viejos y encontró que el costo de los suministros de oficinas variaba como se muestra en la siguiente tabla: Año 0 $600 Año 1 $175 Año 2 $300 Año 3 $135 Año 4 $250 Año 5 $400 Si el contratista deseaba conocer el valor equivalente de las 3 sumas más grandes solamente, ¿Cuál será ese total a una tasa de interés del 5%? F = 600(F/P,5%,10) + 300(F/P,5%,8)+400(F/P,5%,5) F=? F = $1931.11 Otra forma de solucionarlo P = 600+300(P/F,5%,2)+400(P/F,5%,5) = $1185.50 F = $1185.50(F/P,5%,10) = 1185.50(1.6289) = $1931.06 ¿Cuánto dinero tendría un hombre en su cuenta de inversión después de 8 años, si depositó $1000 anualmente durante 8 años al 14 % anual empezando en una año a partir de hoy? F = A(F/A,14%,8) = 1000(13.2328) = $13232.80 ¿Cuánto dinero estaría una persona dispuesta a gastar ahora con el fin de evitar el gasto de $500 dentro de 7 años a partir de hoy si la tasa de interés es del 18% anual? P = F(P/F,18%,7) = 500(0.3139) = $156.95 ¿Cuánto dinero estaría una persona dispuesta a pagar ahora por una inversión cuyo retorno garantizado será de $600 anual durante 9 años empezando el año próximo a una tasa de interés del 16% anual? P = A(P/A,16%,9) = 600(4.6065) = $2763.90 ¿Cuánto dinero debo depositar cada año empezando dentro de 1 año al 5.5% anual con el fin de acumular $6000 dentro de 7 años? A = F(F/A,5.5%,7) = 6000(0.12096) = $725.76 anual.

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VALOR FUTURO En algunos casos, se conoce la cantidad de dinero depositado y la cantidad de dinero recibida luego de un número especificado de años pero se desconoce la tasa de interés o tasa de retorno. Cuando hay involucrados un pago único y un recibo único, una serie uniforme de pagos recibidos, o un gradiente convencional uniforme de pagos recibido, la tasa desconocida puede determinarse para “i” por una solución directa de la ecuación del valor del dinero en el tiempo. Sin embargo, cuando hay pagos no uniformes, o muchos factores, el problema debe resolverse mediante un método de ensayo y error, ó numérico. Ejemplo: Si Carolina puede hacer una inversión de negocios que requiere de un gasto de $3000 ahora con el fin de recibir $5000 dentro de 5 años, ¿Cuál sería la tasa de retorno sobre la inversión? P = F [1/(1+i)n] 3000 = 5000 [1 / (1+i)5] 0.600 = 1 / (1+i)5 i = (1/0.6)0.2-1 = 0.1076 = 10.76% FACTOR DE RECUPERACIÓN DE CAPITAL ( A / P ) Y FONDO DE AMORTIZACIÓN ( A / F ) En el análisis económico del punto de equilibrio, algunas veces es necesario determinar el número de años (periodos) requerido antes de que la inversión se pague. Otras veces se desea saber cuándo determinadas cantidades de dinero estarán disponibles a partir de una inversión propuesta. En estos casos, el valor desconocido es “n”; para encontrar esta variable pueden utilizarse técnicas similares a aquellas que se utilizan para el cálculo de tasa de interés desconocida. Ejemplo: ¿Cuánto tiempo tardará duplicar $1000 si la tasa de interés de del 5% anual? El valor “n” se puede determinar sea mediante el factor F/P o el factor P/F. utilizando el factor P/F. P = F(P/F,i,n) 1000 = 2000(P/F,5%,n) (P/F,5%,n) = 0.500 Según la tabla de interés del 5%, el valor 0.5 bajo la columna P/F se encuentra entre 14 y 15 años. Por interpolación, n = 14.2 años. Por logaritmos: Ln (1.05)n = Ln 2 … n = Ln 2 / Ln 1.05 = 14.21

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EJERCICIOS: Formulas: Futuro (F/P)

Presente (P/F)

𝐹 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛

𝑃 = (1+𝑖)𝑛

𝐹

Ejemplo: i= 10% 0 P= 10,0000

F=?

2

1

P=10,000 F=? n=5 i=10%

3

4

5

*Se utiliza formula de F/P y sustituimos

𝐹 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛

𝐹 = 10,000 (1 + .10)5 = 16,105.1

F=16,105.1

EJERCICIOS: 1.- ¿Cuál sería la cantidad que se acumulara al final de seis años si se depositan hoy $5,000 en una cuenta que ofrece el 8% de interés anual? i= 8% n=6 P=5,000 F=?

i=8%

2

1

0

F=?

3

5

4

6

P=5,000 𝐹 = 5,000 (1 + .08)6 = 7,934.3716

F=7,934.3716

2.- ¿Qué cantidad deberá depositarse hoy en una cuenta que ofrece el 8% anual para que se puedan retirar $10,000 dentro de 6 años? i=0.08 F=10,000 n=6 años

F=10,000

i=8% 0 P=?

1

2

3

4

5

6

*Se utiliza formula de P/F y sustituimos 10,000

𝑃 = (1+0.08)6= 6301.69628 P=6301.69628 12

i= 6%

3.- F=? P= 12,614 n= 4 años i= 6% anual

1

0

F=?

2

3

4

P=12,614

𝐹 = 12,614 (1 + .06)4 = 15,924.88

4.-P=? F= 26,582.40 n=7 meses i= 7% mensual

0

F=15,924.88

i= 7% mensu al 2 3

1

F= 26,582.4 4

5

6

7

P=?

26,582.40

𝑃 = (1+0.07)7 = 16,554.19

P=16,554.19

5.-P=10,500 n= 12 años i= 10% F=?

F=?

0

1

2

4

3

10

12

11

P=10,500 𝐹 = 10,500 (1 + .10)12 = 11,831.66

P=11,831.66

FORMULA: Vida Útil (n) log 𝐹⁄

𝑃 𝑛 = log(1+𝑖)

𝑛 log(1 + 𝑖) = log 𝐹⁄𝑃

EJEMPLOS: 1.- ¿Cuánto tiempo se necesitara para que $5,000 que hay en una cuenta que ofrece el 10% anual se conviertan en $7,394? P= 5,000 i= 10% 𝑛 log(1.1) = log 𝐹⁄𝑃 = 1.4788 F= 7,394 n=?

𝑛=

log 1.4788 log(1.1)

= 4.11

n= 4.11 años

13

2.- P= 10,500

𝑛 log(1.1) = log 𝐹⁄𝑃 = 3

F= 31,500 n=?

log 3

𝑛 = log(1.1) = 11.55

i= 10% anual

n= 11.55 años

FORMULA= Tasa de interés log 𝐹⁄𝑃 𝑖 = 1 − 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑙𝑜𝑔( ) 𝑛

EJERCICIO: Suma las siguientes cantidades del diagrama de flujo pasándolas a solo un tiempo en común Recuerda: Cantidades en tiempos diferentes NO se pueden sumar 1.i= 8% anual

𝐹 = 800(1 + 0.08)6 = F=1,269.49

𝐹 = 2,500(1 + 0.08)3 = F= 3,149.28

800 n=6

1

0 3,000 n=8

𝐹 = 3,000(1 + 0.08)8 = F= 5552.79

2

1269.49+3149.28= 4,418.77 (+)

2,500 n=3

3

4 5,000 n=5

𝐹 = 5,000(1 + 0.08)5 = F= 7346.64

5

F=?

6

7

8 3,700 n=1

5552.79+7346.64+3996= 16,895.43 (-)

𝐹 = 3,700(1 + 0.08)1 = F= 3996

Suma total= 4,418.77+ (-16,895.43)= -12,476.66 Cantidad que yo tengo a invertir

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2.- i= 8% anual 3,500 (1 + 0.08)3 F= 54,026.88 𝑃=

54,026.88+2,381.49= 56,408.37 (+)

1

0

100,000 (1 + 0.08)8 F= 54,026.88 𝑃=

3,000 n=3

2

100,000 n=8

10,000 n=2 P=?

6

5

4

3

2,500 n=5

10,000 (1 + 0.08)8 F= 8,573.38 𝑃=

8

7

2,500 (1 + 0.08)5 F= 1,701.45 𝑃=

1,701.45+8,573.38= 8,573.38 (-)

Entonces si 56,408.37+(-10,274.83)= P=46,133.54 Cantidad que yo tengo a retirar

3.- i=10% anual 2000 (1 + 0.1)2 F= 1,652.89

65,000 (1 + 0.1)4 F= 44,395.87

𝑃=

𝑃=

2,000 n=2

1

0 1,500 n=5

𝐹 = 1,500(1 + 0.1)5 = F= 2,415.76

3

2 3,000 n=2

𝐹 = 3,000(1 + 0.1)2 = F= 3,630

4

5

6

7

65,000 n=4

8

9

¿? 46,048.76 + (-6,045.76)= 40,003 Cantidad que yo tengo en el año 5

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CAPITALIZACION DE INTERÉS TASA DE CAPITALIZACIÓN Las tasas de interés nominales y efectivas tienen la misma relación que entre sí guardan el interés simple y el compuesto. La diferencia es que las tasas de interés efectivas se utilizan cuando el periodo de capitalización (o periodo de interés) es menor a un año, por ejemplo 1% mensual, deben considerarse los términos de las tasas de interés nominales y efectivas. El diccionario define la palabra nominal como “pretendida, llamada, ostensible o profesada”. Estos sinónimos implican que una tasa de interés nominal no es una tasa correcta, real, genuina o efectiva. Las tasas de interés nominales deben convertirse en tasas efectivas con el fin de reflejar, en forma precisa, consideraciones del valor del tiempo. Antes de analizar las tasas efectivas, sin embargo, es preciso definir la tasa de interés nominal, r, como la tasa de interés por periodo por el número de periodos. En forma de ecuación, R = tasa de interés del periodo * número de periodos. Puede encontrarse una tasa de interés nominal para cualquier periodo de tiempo mayor que el periodo originalmente establecido. Por ejemplo, una tasa de interés de una periodo que aparece como 1.5% mensual también puede expresarse como un 4.5% nominal por trimestre. La tasa de interés nominal obviamente ignora el valor del dinero en el tiempo y la frecuencia con la cual se capitaliza el interés. Cuando se considera el valor del dinero en el tiempo al calcular las tasas de interés a partir de las tasas de interés del periodo, la tasa se denomina tasa de interés efectiva. De igual manera que fue válido para las tasas de interés nominales, las tasas efectivas pueden determinarse para cualquier periodo de tiempo mayor que el periodo establecido originalmente. Para comprender la diferencia entre tasas de interés nominales y efectivas, se determina el valor futuro de $100 dentro de 1 año utilizando ambas tasas. Si un banco paga el 12% de interés compuesto anualmente, el valor futuro de $100 utilizando una tasa de interés del 12% anual es: F = P(1+i)n = 100(1.12)1 = $112.00 Por otra parte, si el banco paga un interés que es compuesto semestralmente, el valor futuro debe incluir el interés sobre el interés ganado en el primer periodo. Una tasa de interés del 12% anual, compuesto semestralmente significa que el banco pagará 6% de interés después de 6 meses y otro 6% después de 12 meses. Por lo tanto, los valores futuros de $100 después de 6 meses y después de 12 meses son: F6 = 100(1.06)1 = $106.00 F12 = 106(1.06)1 = $112.36

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Donde 6% es la tasa de interés efectiva semestral. En este caso, el interés ganado en 1 año es de $12.36 en vez de $12.00; por consiguiente, la tasa de interés efectiva anual es de 12.36% La ecuación para determinar la tasa de interés efectiva a partir de la tasa de interés nominal puede generalizarse de la siguiente manera: i = (1 +r/m)m – 1 donde: i = tasa de interés efectiva por periodo r = tasa de interés nominal por periodo m = número de periodos de capitalización Ejemplo de cálculo de tasas de interés efectivas: Una tarjeta de crédito tiene una tasa de interés del 2% mensual sobre el saldo no pagado. - Calcule la tasa efectiva por periodo semestral. - Si la tasa de interés se expresa como 5% por trimestre, encuentre las tasas efectivas por periodos semestrales y anuales. Solución: En esta parte del ejemplo, el periodo de capitalización es mensual. Dado que se desea obtener la tasa de interés efectiva por periodo semestral, la “r” debe ser la tasa nominal por 6 meses ó r = 2% mensual * 6 meses (periodo semestral) = 12% por periodo semestral la “m” es igual a 6, puesto que el interés estaría compuesto 6 veces en un periodo de 6 meses. Por lo tanto, la tasa efectiva semestral es: i por cada 6 meses = (1 +0.12/6)6 - 1 = 0.1262 = 12.62% Para una tasa de interés del 5% por trimestre, el periodo de capitalización es trimestral. Por consiguiente, en un periodo semestral, m = 2 y r = 10%. En consecuencia, i por cada 6 meses = (1 +10/2)2 - 1 = 0.1025 = 10.25% La tasa de interés efectiva anual puede determinarse utilizando r = 20% y m = 4, de la siguiente manera: i por cada año = (1 +20/4)4 - 1 = .02155 = 21.55% CÁLCULO DE PAGOS PERIÓDICOS Cuando el periodo de capitalización de una inversión o préstamo no coincide con el periodo de pago, se hace necesario manipular la tasa de interés y/o pago con el fin de determinar la cantidad correcta de dinero acumulado o pagado en diversos momentos. Recuerde que si el pago y los periodos de capitalización no coinciden, no es posible utilizar las tablas de interés hasta hacer las correcciones apropiadas. En esta ocasión analizaremos la situación en la cual el periodo de pago (por ejemplo un año) es igual o mayor que el periodo de capitalización (por ejemplo un mes). Dos condiciones pueden ocurrir:

17

 

Los flujos de efectivo requieren del uso de factores de pago único (P/F, F/P). Los flujos de efectivo requieren el uso de series uniformes o factores de gradientes.

Factores de pago único En esencia, un número infinito de procedimientos correctos pueden utilizarse cuando solamente hay factores únicos involucrados. Esto se debe a que sólo hay dos requisitos que deben ser satisfechos: (1) Debe utilizarse una tasa efectiva para i. y (2) las unidades en n deben ser las mismas que aquéllas en i. en notación estándar de factores, entonces, las ecuaciones de pago único pueden generalizarse de la siguiente manera: P = F(P/F, i efectivo por periodo, número de periodos) F = P(F/P, i efectivo por periodo, número de periodos) Por consiguiente, para una tasa de interés del 12% anual compuesto mensualmente, podrían utilizarse cualquiera de las i y los valores correspondientes de n que aparecen en la siguiente tabla, en las fórmulas de pago único. Por ejemplo, si se utiliza la tasa efectiva equivalente por mes para i (1%), entonces el término n debe estar en meses (12). Si se utiliza una tasa de interés efectiva semestral para i, es decir (1.03)3 - 1 ó 3.03%, entonces n debe estar en trimestres (4). Tasa de interés efectiva 1% mensual 3.03% trimestral 6.15% semestral 12.68% anual 26.97% cada 2 años

Unidades para n Meses trimestres semestres años Periodos de 2 años

El señor Hernández planea invertir su dinero en un depósito que paga el 18% anual compuesto diariamente. ¿Qué tasa efectiva recibirá anual y semestralmente? i anual = (1+0.18/365)365-1 = 19.72% i semestral = (1+.09/182)182-1 = 9.41% Si una persona deposita $1000 ahora, $3000 dentro de 4 años a partir de la fecha del anterior depósito y $1500 dentro de 6 años a una tasa de interés del 12% anual compuesto semestralmente. ¿Cuánto dinero tendrá en su cuenta dentro de 10 años?

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Solución: Suponga que se ha decidido utilizar una tasa de interés anual para resolver el problema. Dado que solamente pueden ser utilizadas tasas de interés efectivas en las ecuaciones, el primer paso es encontrar la tasa efectiva anual. De acuerdo con la tabla anterior, para r = 12% y capitalización semestral, i efectivo = 12.36%, o mediante la ecuación: i anual =(1 +0.12/2)2 - 1 = 0.1236 = 12.36% Dado que i está expresado en unidades anuales, n debe estar expresado en años. Por lo tanto. F = 1000(F/P,12.36%,10)+3000(F/P,12.36%,6)+1500(F/P,12.36%,4) F = 1000(3.21)+3000(2.01)+1500(1.59) F = $11625.00 Como el interés capitaliza semestralmente, si utilizamos la tasa de interés efectiva semestral, obtenemos el siguiente resultado: F = 1000(F/P,6%,20)+3000(F/P,6%,12)+1500(F/P,6%,8) F = 1000(3.2071)+3000(2.0122)+1500(1.5938) F = $11634.40 EJEMPLO: Si una mujer deposita $500 cada 6 meses durante 7 años. ¿Cuánto dinero tendrá luego del último depósito si la tasa de interés es del 20% anual compuesto trimestralmente? n = 14 semestres; convertir la tasa trimestral en semestral i= (1+0.10/2)2-1 = 10.25% semestral. F = A(F/A,i,n) = 500(10.25%,14) = 500[(1.1025)14-1/.1025] F = $14244.53 FACTORES DE CAPITALIZACIÓN DE INTERÉS Cuando el periodo de pago es más corto que el periodo de capitalización (PP < PC), el procedimiento para calcular el valor futuro o el valor presente, depende de las condiciones especificadas en relación con la capitalización entre los periodos. La capitalización ínter periódica se refiere al manejo de los pagos efectuados entre los periodos de capitalización. Pueden existir 3 casos posibles: • No hay interés pagado sobre el dinero depositado o retirado entre los periodos de capitalización. • El dinero depositado o retirado entre los periodos de capitalización gana un interés simple. • Todas las transacciones entre los periodos ganan interés compuesto. En esta ocasión se considera únicamente el caso 1 ya que la mayoría de las transacciones reales del mundo real se encuentran dentro de esta categoría. Si no se paga interés sobre las transacciones entre los periodos, entonces se considera que cualquier cantidad de dinero depositado o retirado entre los periodos de capitalización ha sido depositada al final del periodo de capitalización o retirada al principio de dicho periodo.

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Ejemplo: Si la tasa de interés es del 12% anual compuesta trimestralmente, entonces para el siguiente flujo de efectivo, tenemos: 90 120 45 150 200 75 100 50 P = -150 - 200(P/F,3%,1)-85(P/F,3%,2)+165(P/F,3%,3)-50(P/F,3%,4) P = $317.73 Tasa de interés efectiva para capitalización contínua A medida que el periodo de capitalización disminuye, el valor m (número de periodos de capitalización) aumenta. Cuando el interés se capitaliza en forma continua, m se acerca al infinito y la fórmula de tasa de interés efectiva puede escribirse de una nueva forma: i = er-1 Ejemplo: Para una tasa de interés del 15% anual, la tasa efectiva continua anual es: i = e0.15-1 = 0.16183 = 16.18% Para una tasa de interés del 18% anual compuesto en forma continua, calcule la tasa de interés efectiva anual y mensual. i mensual = e0.18/12-1 = 1.51% i anual = e0.18-1 = 19.72% Si un inversionista exige un retorno efectivo de por lo menos el 15% sobre su dinero ¿Cuál es la tasa mínima anual nominal aceptable si tiene lugar una capitalización continua? 0.15 = er-1 --- er = 1.15 --- lner = ln 1.15 --- r = ln 1.15 r = 0.1398 = 13.98% El señor Rodríguez y la señora Hernández planean invertir $5000 a 10 años a un 10% anual. Calcule el valor futuro para ambos si el señor Rodríguez obtiene un interés compuesto anualmente y la señora Hernández obtiene capitalización continua. Para el señor R.: F = P(F/P,10%,10) = 5000(2.5937) = $12968.5 Para la señora H.: i = e0.10-1 = 10.52% F = P(1+i)n = 5000(1.1052)10 = 5000(2.72) = $13594.99

20

ANUALIDAD Varios pagos consecutivos se les llama Anualidad Toda anualidad empieza siempre un año después del presente Formulas: 𝐴[(1+𝑖)𝑛 −1]

F/A

𝐹=

A/F

𝐴 = [(1+𝑖)𝑛−1]

P/A

𝑃 = 𝐴[

A/P

𝐴 = 𝑃[

𝑖 𝐹𝑖

(1+𝑖)𝑛 −1 𝑖(1+𝑖)𝑛

]

𝑖(1+𝑖)𝑛 ] (1+𝑖)𝑛 −1

EJEMPLOS: Si se depositan hoy 25,000 pesos en una cuenta que paga el 10% anual, ¿Cuánto se podría retirar año tras año, comenzando dentro de un año, durante 6 años? P= 25,000 i=10% anual n= 6 años A=?

A=? 0

1

2

3

4

5

6

Se utiliza la formula A/P y sustituimos

𝑖(1 + 𝑖)𝑛 𝐴 = 𝑃[ ] (1 + 𝑖)𝑛 − 1 . 1(1.1)6 𝐴 = 25,000 [ ] = 𝟓, 𝟕𝟒𝟎. 𝟒𝟒 (1.1)6 − 1 A si mismo se puede mostrar en la siguiente tabla Año 0 1 2 3 4 5 6

Cantidad inicial --25,000 21,760 18,196 14,275.6 9,963.16 5,219.476

Intereses 10%

suma

--2,500 2,176 1,819.6 1,427.56 996.316 521.9476

--27,500 23,936 20,015.6 15,703.16 10,959.476 5,741.4236

Cantidad retirada --5,740 5,740 5,740 5,740 5,740 5,740

Cantidad final 25,000 21,760 18,196 14,275.6 9,963.16 5,219.476 1.4236 21

Unos padres preocupados por su hijo recién nacido el día de hoy toman la decisión de realizar depósitos anuales iguales comenzando dentro de un año y hasta que su hijo cumpla los 18 años, momento en el cual sacara todo el dinero acumulado para pagar los estudios profesionales del joven. Si desea que la cantidad por retirar sea de un millón de pesos, y si la cuenta bancaria ofrece un 8% anual. Determina el valor de los depósitos. F= 1,000,000

A=? i= 8% F= 1,000,000 n=18%

0

1

2

3

15 16

4

17

18

A=?

Se utilizara la fórmula de A/F y sustituimos

𝐴= 𝐴=

𝐹𝑖 [(1+𝑖)𝑛 −1] (1,000,000)(.08) [(1.08)18 −1]

=

A= 26,702.18 anuales

EJERCICIOS 1.- i=10% a F=??

0

1

5 2,000

P1=12,210.2 n=7

A=2000 n=5 i=10% anual F=? 𝐹/𝐴 =

6

2000[(1.1)5 −1] .1

=12,210.2

10

2,500

12 P2=15,262.75

A=2500 n=2 n=5 i=10% anual F=? 𝐹/𝐴 =

2500[(1.1)5 −1] .1

=15,262.75

Ahora se usaran los resultados como presentes para poder sacar un futuro en común

𝐹 = 12,210.2(1 + .1)7 = F1=23,794.22 𝐹 = 15,262.75(1 + .1)2 = F2= 18,467.92 La suma de los dos futuros dan como resultado F=42,262.14

22

2.- i=10%

P= 0

1

10 11

5

A=?

3.-Utilizaremos el futuro 5 para obtener la anualidad A=? F=47,075.6 n=5 i=10% (47,075.56)(.1) 𝐴= [(1.1)5 − 1] A=7,710.86

A= 20,000

2.-Sacaremos el presente del año 5 con respecto al futuro del año 10 P=? F=75,815.73 n=5 i=10% 75,815.73 𝑃= (1.1)5 P=47,075.60

15

1.-Sacaremos el presente de la anualidad que tenemos año 10 P=? A=20,000 n=5 i=10% (1.1)5 −1

𝑃/𝐴 = 20,000 [ .1(1.1)5 ]= P=75,815.73

3.- i=10% A=? 0

1

11

7

15

A=30,000 F=?

1.-Obtener el futuro de la anualidad F=? A=30,000 n=7 i=10% 30,000[(1.1)7 − 1] 𝐹/𝐴 = .1 F=284,615.13

2.-Utilizaremos el presente del año 7 para sacar un futuro en el año 15 P=284,615.13 F=? n=8 i=10% 𝐹 = 284,615.13(1.1)8 F=610,097.80

3.-Utilizaremos el futuro 155 para obtener la anualidad A=? F=610,097.8 n=5 i=10% (610,097.80)(.1) 𝐴= [(1.1)5 − 1] A=99,932.48

23

4.-i= 1% mensual

m=2,000 0

1

60

m=?

3.- Utilizar el futuro del mes 60 para obtener la mensualidad F=89,910.0714 m=? n=60 mensuales i=1% 89,910.0714(0.01) 𝑚= [(1.01)60 − 1] m=1,100.89

61

2.- Convertir el futuro del mes 120 año presente del mes 60 F=163,339.33 P=? n=60 mensuales i=1% 163,339.33 𝑃= (1.01)60 P=89,910.0714

120

1.-Obtener el futuro de la mensualidad F=? m=2,000 n=60 mensuales i=1% 2,000[(1.01)60 − 1] 𝐹/𝐴 = . 01 F=163,339.33

Un joven futbolista recientemente cumplió 21 años y su futuro en el deporte es muy prometedor. SU contrato con el equipo actual término y este mismo equipo le ofrece un nuevo contrato por 6 años por una cantidad igual a $16, 000,000 pagados al momento de la firma. Por otro lado, el jugador piensa que si eleva continuamente su nivel de juego puede conseguir contratos anuales, el primero de los cuales seria por 2.5 millones de pesos y con cada contrato sucesivo pedir una suma adicional de 500 mil pesos. Todos los contratos pagan lo convenido al principio del año. Si la tasa de interés que se considera es del 15% anual, ¿Qué opción debería toma el jugador para sus próximos 6 años de vida? 1.- Primer contrato i=15% anual 0 16,000,000

1

6

𝐹 = 16,000,000(1.15)6 = F=37,008,972.245

24

2.- Segundo contrato i=15% anual

0

𝐹1 = 2,500,000(1.15)6 = 5,782,651.91 𝐹2 = 3,000,000(1.15)5 = 6,034,071.56 𝐹3 = 3,500,000(1.15)4 = 6,121,521.87 𝐹4 = 4,000,000(1.15)3 = 6,083,500 𝐹5 = 4,500,000(1.15)2 = 595,250 𝐹6 = 5,000,000(1.15)1 = 575,000 𝐹7 = 5,500,000(1.15)0 =

6 3.0

2.5

3.5

4.5

4.0

5.0

Suma de futuros total F= 35,866,995.34 Por lo tanto por observación el mejor contrato es el Primero

Determinar la cantidad acumulada, después de una serie de depósitos, si se considera una tasa de interés del 5% mensual i=5% 0

400

500

600

7

𝐹1 = 400(1.05) = 562.84 𝐹2 = 500(1.05)6 = 670.04 𝐹3 = 600(1.05)5 = 765.76 𝐹4 = 700(1.05)4 = 850.85 𝐹5 = 800(1.05)3 = 926.1 𝐹6 = 900(1.05)2 = 992.25 𝐹7 = 1,000(1.05)1 = 1,050 𝐹8 = 1,100(1.05)0 = 1,100

700

800

900

8 1100

1000

Futuro total F= 6,917.84

GRADIENTE Serie de flujos de caja (ingresos o desembolso) periódicos que poseen una ley de formación, que hace referencia a que los flujos de caja pueden incrementar o disminuir, con relación al flujo de caja anterior, en una cantidad constante en pesos o en un porcentaje. Para que una serie de flujos de caja se consideren un gradiente, deben cumplir las siguientes condiciones: Los flujos de caja deben tener una ley de formación. Los flujos de caja deben ser periódicos Los flujos de caja deben tener un valor un valor presente y futuro equivalente. La cantidad de periodos deben ser iguales a la cantidad de flujos de caja.

PTOT
1 → el proyecto es rentable Los pasos necesarios para hallar y analizar la relación costo-beneficio son los siguientes: Hallar costos y beneficios: en primer lugar hallamos la proyección de los costos de inversión o costos totales y los ingresos totales netos o beneficios netos del proyecto o negocio para un periodo de tiempo determinado. Convertir costos y beneficios a un valor actual: debido a que los montos que hemos proyectado no toman en cuenta el valor del dinero en el tiempo (hoy en día tendrían otro valor), debemos actualizarlos a través de una tasa de descuento. Hallar relación costo-beneficio: dividimos el valor actual de los beneficios entre el valor actual de los costos del proyecto. Analizar relación costo-beneficio: si el valor resultante es mayor que 1 el proyecto es rentable, pero si es igual o menor que 1 el proyecto no es viable pues significa que los beneficios serán iguales o menores que los costos de inversión o costos totales. Comparar con otros proyectos: si tendríamos que elegir entre varios proyectos de inversión, teniendo en cuenta el análisis costo-beneficio, elegiríamos aquél que tenga la mayor relación costo-beneficio. Ejemplo: Supongamos que queremos determinar si nuestra empresa seguirá siendo rentable y para ello decidimos analizar la relación costo-beneficio para los próximos 2 años. La proyección de nuestros ingresos al final de los 2 años es de US$300 000, esperando una tasa de rentabilidad del 12% anual (tomando como referencia la tasa ofrecida por otras inversiones).

45

Asimismo, pensamos invertir en el mismo periodo US$260 000, considerando una tasa de interés del 20% anual (tomando como referencia la tasa de interés bancario). Hallando B/C: B/C = VAI / VAC B/C = (300000 / (1 + 0.12)2) / (260000 / (1 + 0.20)2) B/C = 239158.16 / 180555.55 B/C = 1.32 Como la relación costo-beneficio es mayor que 1, podemos afirmar que nuestra empresa seguirá siendo rentable en los próximos 2 años. A modo de interpretación de los resultados, podemos decir que por cada dólar que invertimos en la empresa, obtenemos 0.32 dólares. 2.4.1. CLASIFICACIÓN DE BENEFICIOS, COSTO Y BENEFICIO NEGATIVO PARA UN PROYECTO ÚNICO. Aun cuando los objetivos de un proyecto social no se puedan expresar en unidades monetarias, en muchas ocasiones se busca valorarlos así para poder comparar costos y beneficios. La valoración monetaria de los efectos cualitativos, orientados en función de los precios de mercado, se persigue frecuentemente a través de: (La determinación de la medida en que el proyecto va a incrementar los ingresos de los beneficiarios (La valoración de los bienes y servicios generados por el proyecto a precios de mercado. La justificación de la valoración monetaria está siempre en la finalidad del proyecto y no en la convertibilidad de los efectos en magnitudes monetarias. Si esta condición no se cumple, las magnitudes monetarias del análisis se convierten en fetiche en manos del evaluador. Ejemplo: Para la construcción de un nuevo segmento de la autopista, se consideraran dos rutas. La ruta A que se dirige hacia el norte, localizada alrededor de 10km del distrito empresarial central y se requeriría de distancias de viaje más largas por parte de la red conmutadora del tráfico local. La ruta B se dirige hacia el sur, esta pasaría a través del área central de la ciudad, aunque su costo de construcción es mucho mayor; reduciría el tiempo de viaje. Se supone que las carreras duraran 30 años sin valor de salvamento ¿Cuál ruta debe seleccionarse utilizando el análisis de B/C a una tasa de interés del 5%anual?

46

Solución: En este caso se puede utilizar VA. Los costos en el análisis B/C son los costos de construcción inicial y de mantenimiento. VAA: 10.000.000$(A/P,5%,30) + 35.000$ = 685.500 $ VAB: 15.000.000$(A/P,5%,30) + 55.000$ = 1.030.750 $ La ruta B tiene el valor anual mayor de costos, de manera que es la alternativa que debe justificarse. El valor incremental del costo es: C= VAB – VAA= (1.030.750 – 685.500)$ = 345.250$/año Si se selecciona la ruta B, el beneficio incremental es el menor costo anual para el usuario de la carretera. Esto es un beneficio positivo para la ruta B. La razón B/C es menor a 1.0; como los beneficio relacionados con la ruta B, no se justifican, se seleccionar la ruta A. 2.5. ANALISIS DE SENSIBILIDAD El análisis económico utiliza estimaciones de sucesos futuros para ayudar a quienes toman decisiones. Dado que las estimaciones futuras siempre tienen alguna medida de error, hay imprecisión en las proyecciones económicas. El efecto de la variación puede determinarse mediante el análisis de sensibilidad. Algunos de los parámetros o factores comunes para hallar la sensibilidad son la TMAR, las tasas de interés, las estimaciones de vida, los periodos de recuperación para fines tributarios, todo tipo de costos, ventas y muchos otros factores. Este supuesto no es correcto por completo en situaciones del mundo real, pero es práctico puesto que en general no es posible para considerar en forma precisa las dependencias reales. El análisis de sensibilidad, en sí mismo es un estudio realizado en general en unión con el estudio de ingeniería económica; determina la forma como una medida de valor (VP, VA, TR ó B/C) y la alternativa seleccionada se verán alteradas si un factor particular o parámetro varía dentro de un rango establecido de valores. Generalmente, las variaciones en la vida, en los costos anuales y recaudos resultan de variaciones en el precio de venta, de operación a diferentes niveles de capacidad, de la inflación, etc. Por ejemplo, si un nivel de operación del 90% de la capacidad de sillas de una aerolínea se compara con el 50% en una ruta internacional nueva, el costo de operación y el recaudo por milla de pasajero aumentará, pero es probable que la vida anticipada disminuya solo ligeramente. De 47

ordinario, para aprender cómo afecta el análisis económico la incertidumbre de las estimaciones, se estudian diversos parámetros importantes. La traficación del VP, VA o TR versus el (los) parámetro (s) estudiado (s) es muy útil. Dos alternativas pueden compararse con respecto a un parámetro dado y calcularse el punto de equilibrio. Éste es un valor al cual las dos alternativas son equivalentes en términos económicos. Sin embargo, el diagrama del punto de equilibrio comúnmente representa sólo un parámetro por diagrama. Por tanto, se construyen diversos diagramas y se supone la independencia de cada parámetro. Cuando se estudian diversos parámetros, un estudio de sensibilidad puede resultar bastante complejo. Éste puede realizarse utilizando un parámetro a la vez mediante un sistema de hoja de cálculo, un programa de computador preparado especialmente, o cálculos manuales. El computador facilita la comparación de múltiples parámetros y múltiples medidas de valor y el software puede representar gráficamente de manera rápida los resultados. 2.5.1. LA SENSIBILIDAD EN LAS ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN. Al realizar un estudio de análisis de sensibilidad se puede seguir este procedimiento general, cuyos pasos son: - Determine cuál parámetro o parámetros de interés podrían variar con respecto al valor estimado más probable. - Selecciones el rango probable de variación y su incremento para cada parámetro. - Seleccione la medida de valor que será calculada. - Calcule los resultados para cada parámetro utilizando la medida de valor como base. - Para interpretar mejor los resultados, ilustre gráficamente el parámetro versus la medida de valor. Este procedimiento del análisis de sensibilidad debe indicar cuáles parámetros justifican un estudio más detenido o requieren la consecución de información adicional. Cuando hay dos alternativas o más, es mejor utilizar una medida de valor tipo monetario (VP ó VA) en el paso 3. Si se utiliza la TR, se requieren esfuerzos adicionales de análisis incremental entre alternativas.

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Ejemplo: La Compañía “Enlatados agrícolas” está considerando la compra de un nuevo activo para el manejo automatizado del arroz. Las estimaciones más probables son un costo inicial de $80000, valor de salvamento de cero y una relación de flujo de efectivo antes de impuestos de la forma FEN = $27000 - 2000t anual (t = 1, 2,…n). La TMAR de la compañía varía entre el 10% y el 25% anual para los tipos diferentes de inversiones en activos. La vida económica de maquinaria similar varía entre 8 y 12 años. Evalúe la sensibilidad de VP y VA variando (a) el parámetro TMAR, a la vez que supone un valor ´n´ constante de 10 años (b) el parámetro ´n´, mientras la TMAR es constante al 15% anual. Solución: - La TMAR, i, es el parámetro de interés. - Seleccione incrementos del 5% para evaluar la sensibilidad a la TMAR; el rango para i es del 10% al 25%. - Las medidas de valor son VP y VA. - Establezca las relaciones VP y VA. Por ejemplo, para i = 10%, utilice valores k de 1 a 10 para el flujo de efectivo: - VP = -80000 + 25000(P/A,10%,10[6.1446]) - 2000(P/G,10%,10[22.8913]) = $27832.40 - VA = P(A/P,10%,10) = 27832.40(0.1627) = $4528.33 Las medidas de valor para los cuatro valores i en intervalos del 5% son:

- En la siguiente figura se muestra una gráfica de la TMAR versus el VA. La pendiente negativa pronunciada indica que la decisión de aceptar la propuesta con base en VA es bastante sensible a variaciones en la TMAR. Si se establece la TMAR en el extremo en el extremo superior del rango, la inversión no es atractiva.

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(b) Siga los pasos del procedimiento: - El parámetro es la vida ´n´ del activo. - Seleccione incrementos de 2 años para evaluar la sensibilidad a ´n´ durante el rango de 8 a 12 años. - Las medidas de valor son VP y VA. - Establezca las mismas relaciones VP y VA que en la parte (a) para i = 15%. Los resultados de las medidas de valor son:

En la siguiente figura se aprecia una gráfica no lineal de VA versus n. Ésta es una forma característica para el análisis de sensibilidad de un valor n. Como quiera que las medidas VP y VA son positivas para todos los valores de n, la decisión de invertir no se ve afectada en forma sustancial por la vida estimada. 2.5.2. VALOR ESPERADO Y ÁRBOL DE DECISIÓN. - Para seleccionar la mejor alternativa se puede usar el criterio de valor esperado. El valor esperado es la suma ponderada de los pagos correspondientes a la alternativa de decisión. El factor de ponderación de cada pago es la probabilidad de ocurrencia del estado de la naturaleza asociado a ese pago. -Si las consecuencias de un resultado potencialmente desfavorable pueden sobrellevarse sin mayores sobresaltos, el VE es un criterio razonable para la acción. Cuando las consecuencias de un resultado potencialmente desfavorable no pueden ignorarse (cuando se ponen en juego grandes sumas de dinero en términos relativos), el VE puede no ser el mejor criterio de decisión. ARBOLES DE DECISION El árbol de decisión es uno de los mejores métodos para el análisis de una decisión. Aquí se describen gráficamente en forma de "árbol" los puntos de decisión, hechos aleatorios y probabilidades de los diversos cursos de acción que podrían seguirse. Uno de los problemas más comunes de las empresas es la introducción de un nuevo producto, por lo que los administradores deben decidir en este caso si instalar costoso equipo permanente para garantizar la producción a menor costo posible o si efectuar un montaje temporal más económico que suponga mayores costos de manufactura pero menores inversiones de capital y resulte en menores pérdidas en caso de que las ventas del producto no respondan a las estimaciones.

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La evaluación de alternativas puede requerir una serie de decisiones en las cuales el resultado de una tapa es importante para la siguiente etapa en la toma de decisiones. Cuando es posible definir claramente cada alternativa económica se desea considerar explícitamente el riesgo, es útil realizar la evaluación utilizando un árbol de decisiones, el cual incluye: -Más de una etapa de selección de alternativas. -La selección de una alternativa en una etapa conduce a otra etapa. -Resultados esperados de una decisión en cada etapa. -Estimaciones de probabilidad para cada resultado. -Estimaciones del valor económico (costo o ingreso) para cada resultado. -Medida del valor como criterio de selección, tal como E(VP). El árbol de decisiones se construye de izquierda a derecha e incluye cada decisión y resultado posible. Un cuadrado representa un nodo de decisiones y las alternativas posibles se indican en las ramas que salen del nodo de decisión. Un círculo representa un nodo de probabilidad con resultados posibles y probabilidades estimadas en las ramas. Generalmente, cada rama de un árbol de decisión tiene algún valor económico asociado en términos de costos o de ingresos o beneficios. Estos flujos de efectivo están expresados en términos de VP, VA ó VF y se muestran a la derecha de cada rama de resultados finales. Los valores de flujo de efectivo y de probabilidad en cada rama de resultados se utilizan para calcular el valor económico esperado de cada rama de decisión. - Probabilidad estimada de que cada resultado pueda ocurrir. Estas probabilidades deben sumar 1.0 para cada conjunto de resultados (ramas) que resultan de una decisión. - Información económica para cada alternativa de decisión y resultado posible, tales como inversión inicial y flujos de efectivo anuales. Este método permite determinar al menos las principales alternativas y el hecho de que decisiones subsecuentes pueden depender de acontecimientos futuros.

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EJERCICIOS DE REPASO -Método valor presente neto (VPN): Consiste en trasladar todos los flujos de las opciones al año cero, esta alternativa solo es aplicable para opciones que tienen la misma vida útil -Método costo anual uniforme (CAUE): Se trasladan todos los flujos de las opciones a una serie uniforme durante toda la vida útil de las mismas, este método se aplica indistintamente para vidas útiles iguales y diferentes.

-Método tasa interna de retorno (TIR): Consiste en encontrar el porcentaje de retorno de todos los flujos de cada una de las opciones Flujos principales en alternativas económicas: - Inventario inicial - Gastos operativos

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EJERCICIO: Encontrar el VPN y CAUE (se tiene que tener tabla de factores de interés a la mano) de un activo que se conoce como lo siguiente: 1) .-Costo inicial: $460,000 .-Costos anuales de operación: $32,000 .-Costos anuales de mantenimiento: $15,000 el primer año, aumentando en $2,000 por año .- Valor de salvamento: $60,000 .- Ingresos anuales: $150,000 el primer año aumentando en $20,000 cada año .-Vida útil: 10 años .- Tasa interés: 10% anual i= 10% anual

150,000

0

5) 60,000

4)G=20,000

1

10 2)A=32,000

1) $460,000 3)G=2,000 $15,000

VPN 1.-Primeramente se colocaran en un orden los egresos e ingresos para una mayor facilidad en el manejo, se colocara la cantidad y entre paréntesis el tiempo en el que se planea convertir, el porciento de interés y número de años que está en ese tiempo. 1)-460,000 2)-32,000(P/A, 10%, 10) 3)-[15,000(P/A, 10%, 10)+2,000(P/G,10%,10) 4)+[150,000(P/A,10%,10)+20,000(P/G,10%,10) 5)+60,000(P/F,10%,10) 2.- se buscaran en las tablas la cantidad y se sustituirá en el paréntesis 1)-460,000 2)-32,000(6.1446) 3)-[15,000(6.1446)+2,000(22.8913) 4)+[150,000(6.1446)+20,000(22.8913) 5)+60,000(0.3855)

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3.- Se multiplican las cantidades y se suman. 1)-460,000 2)-196,627.2 3)-137,951.6 4)+1,379,516 5)+23,130 VPN: 608,067.2 CAUE Se transforma toda la serie anual y se hacen los mismos pasos 1)-460,000(A/P,10%,10) 2)ATOT=-(15,000+2,000(A/G,10%,10) 3)-32,000 4)15,000+20,000(A/G,10%,10) 5)60,000(A/F,10%,10) 1)-460,000(0.16275)=-74,865 2)-[15,000+2,000(3.7255)=-22,451 3)-32,000 4)150,000+20,000(3.7255)=224,510 5)60,000(0.06275)=3,765 CAUE= 98,959 (En lugar de todos los flujos yo termino con un flujo positivo eso significa que estoy ganando)

2.- Una compañía de mantenimiento industrial tiene 2 alternativas para realizar trabajos de pintura. En la siguiente tabla se presentaran los datos de cada una de ellas para decidir con una tasa mínima atractiva de retorno del 6% anual de la alternativa seleccionada.

Inversión inicial Capacitación (año 1) Prestaciones sociales x hombre Seguro contra accidentes x hombre Mano de obra No de trabajadores Vida útil

Manual $0 $300 $3,000 x año

Automática $100,000 $100 $1,200 x año

$1,000 x año

$4,350 x año

$4,200 x año 6 4 años

$4,200 x año 2 4 años

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1)$0

4

1

0 $300

18,000 6,000 4,200

0 1)$100,000

4

1 100

2,400 8,700 4,200

1. Método CAUE 1)0 2)-300(P/F, 6%,1) con esto lo llevamos al año 0 y después lo multiplicamos por la anualidad (A/P, 6%, 4)=-81-676 3)-18,000 4)-6,000 5)-4,200 Suma total: -28,284.67 2. 1)-100,000(A/P, 6%, 4)=-28,859 2)-100(P/F, 6%,1) (A/P, 6%, 4) 3)-2,400 4)-8,700 5)-4,200 Suma total: -44,186-22 Conclusión: la mejor alternativa es seleccionar la alternativa manual

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1. Método VPN 1)-300(P/F, 6%, 1) 2)-18,000(P/A, 6%, 4) 3)-6,000(P/A, 6%, 4) 4)-4,200(P/A, 6%, 4) Suma total: -97,998.84 2. 1)-100,000 2)-100(P/F,6%,1) 3)-2,400(P/A,6%,4) 4)-8,700(P/A,6%,4) 5)-4,200(P/A,6%,4) Suma total: -153,110.35 3.- Usted es miembro de un equipo de proyectos de ingeniería que está diseñando una nueva instalación de proceso, su tarea actual consiste en diseñar la porción de un sistema catalizador que requiere del bombeo de un compuesto acuoso de hidrocarburos corrosivos y que contiene partículas abrasivas para el análisis final y su compasión, se han seleccionado 2 alternativas, de bombeo y ambas proporcionarían el mismo nivel de servicio. Aunque tienen costos y vidas útiles diferentes si se necesita la instalación y considerando una taza mínima atractiva de retorno del 20% anual con la siguiente información ¿Cuál seleccionarías?

Inversión de capital Gastos anuales Energía Eléctrica Mantenimiento Vida útil Valor de rescate

SP24D $33,200 -----$2,165 1,100 año 1 aumenta en 500 por año 5 0

HEP59 $47,600 ------$1,720 500 año 4 aumenta en 100 x año 9 5000

A. 5

1

0 33,200

2,165 1,100

G=500

1)-33,200(A/P,20%,5)=-11,101.41 2)-2,165 3)-[1,100+500(A/G,20%,5)]=-1,920.25 Suma total=-15,186.66 56

5,000

B.

0

4 1,720

1

17,000

9 100

500

1)-47,000(A/P,20%,9)=-11,659.76 2)-1,720 3)-[500+100(A/G,20%,6)(F/A,20%,6)(A/F,20%,9)]=-1,719.16 4)+5,000(A/F,20%,9)=240.4 Suma total: -14,858.52 Conclusión: la mejor opción termina siendo la HEPS9 ya que terminamos con menos egresos 4.- Dado 3 proyectos independientes de ingeniería para mejorar la eficiencia energética, determina cual conviene elegir, si la TMAR= 10% anual y los flujos de c/u de ellos son: Flujo Inversión inicial Flujo neto de afectivo anual Valor de salvamento Vida útil

E1 10,000 2,300

E2 12,000 2,800

10,000

0

E3 15,000 4,067 0 5 años

E1 10,000

1)-10,000(A/P,10%,5)=-2,638 2)+2,300 3)+10,000(A/F,105,5)=+1,638 Suma total: 1,300

1 0 10,000

5

2,300

E2 1)-12,000(A/P, 10%,5)=-3,165.5 2)+2,800 Suma total= -365.6

0 12,000

1

0

1

2,800

5

E3 1)-15,000(A/P,10%,5)=-3,957 2)+4,067 Suma total=110

15,000

4,067

5 57

Conclusión: La mejor opción sería la primera ya que tiene un gran valor de salvamento a primera vista y después de hacer los cálculos resulta mejor su ganancia 5.- Selecciona la mejor alternativa usando el método CAUE o VPN

Inversión inicial Ingresos anuales estimados Costos anuales de operación Costos anuales mantenimiento Valor de salvamento Vida útil

Alt 1 1,000,000 450,000

Alt 2 1,200,000 450,000

Alt 3 1,500,000 450,000

20,000

24,000

30,000

20,000 año 1 incremento 5000 por año 50,000

30,000 año 1 incremento 2000 por año 60,000 10 años

40,000 año 3 y 6

90,000

Método CAUE Alt. 1 50,000

450,000 0

1

1,000,000

A=20,000

10

G=5,000 1)-1,000,000(A/P,10%,10)=-162,750 2)-20,000 3)-[20,000+5,000(A/G,10%,10)]=-38,627 4)+450,000 5)+50,000(A/F,10%,10)=+3,137.5 Suma total: 231,760.5 Alt 2 60,000

450,000 0 1,200,000 30,000

1

24,000

10

G=2,000

1)-1,200,000(A/P,10%,10)=-195,300 58

2)-24,000 3)-(30,000+2,000[A/G,10%,10])=-37,451 4)+450,000 5)+60,000(A/F,10%,10)=3,765 Suma total= 197,014 Alt 3 450,000 0 1,500,000

1

3

30,000

90,000

6

10

40,000

40,000

1)-1,500,000(A/P,10%,10)=-244,125 2)-30,000 3)-40,000 4)-40,000 5)+450,000 6)+90,000(A/F,10%,10)=+5,647.5 Suma total= 101,522.5 Conclusión: La mejor alternativa es la numero 1, genera mayores ganancias a comparación de otras. 6.- Se estudia 3 alternativas de inversión mutuamente excluyentes para implantar la automatización de una oficina en una empresa de diseño de ingeniería. Cada alternativa satisface los mismos requerimientos de servicio. Aunque entre ellas hay diferencias en los montos de inversión de capital y en los beneficios. El periodo de estudio es de 10 años y esto es en bases a las vidas útiles de las 3 alternativas es de 0 al finalizar su vida útil. Si la taza mínima atractiva de retorno es del 10% anual ¿Cuál alternativa debe seleccionarse considerando las siguientes estimaciones? Alt A B C

Inv. Inicial 390,000 920,000 660,000

Ahorros anuales 69,000 107,000 133,500

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Método CAUE Alt A 69,000 10

1 0 390,000

1)-390,000(A/P,10%,10)=-63,472.5 2)+69,000 Suma total: 5,527.5 Alt B 107,000

1 0 920,000

10

1)-920,000(A/P,10%,10)=-149,730 2)+107,000 Suma total: -42,730 Alt C 133,500

0 660,000

1

1)-660,000(A/P,10%,10)=107,415 2)+133,500 Suma total: 26,085

10

Conclusión: La alt 3 es la más viable ya que genera más cantidad de ahorro o beneficio que requieren

TIR INCREMENTAL: Pasos para encontrar el resultado, se tomara de ejemplo el ejercicio anterior TMAR:10%

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1.- Primero acomodaremos las sumas de ingresos y egresos, se planea pasar todas las anualidades a presente entonces: Egreso=Ingreso 390,000=69,000(P/A,___,10) 390,000 69,000

= (𝑃/𝐴, 𝑥, 10) = 5.6521=x

2.- Haremos uso de las tablas para encontrar el porcentaje que buscamos para esto es necesario encontrar 2 números cercanos a este, buscaremos en todas las tablas en la parte de P/A y el número 10, en este caso son estos. x-5.6521 10%-6.1446 12%-5.6502 3.- Utilizaremos la siguiente formula en el cual acomodaremos los datos ya obtenidos del lado izquierdo esta la incógnita y los porcentajes encontrados y del derecho las cantidades de la incógnita y de cada porcentaje. 𝑥 − 10 5.6521 − 6.1446 = 12 − 10 5.6502 − 6.1446 𝑥 − 10 −0.4925 = = 0.9961 2 −0.4944 4.- Convertimos la fórmula para sacar x y obtener el resultado 𝑥 = (0.9961 ∗ 2) + 10 = 11.9922 Alt A: 11.99% Alt B Egresos=Ingresos 920,000=107,000(P/A,___,10) 920,000 = 5.5089 = 𝑥 167,000 12%-5.6502 x-5.5089 13%-5.4262 𝑥−12 13−12

=

5.5089−5.6502

𝑋−12

5.4262−5.6502

1

=

−0.1413 −0.224

= 0.63080

x=(0.6308*1)+12= 12.6308 Alt B= 12.63%

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Alt C Egreso=Ingreso 660,000=133,500(P/A,____,10) 660,000 = 4.9438 = 𝑥 133,500 16%-4.8332 x-4.9438 15%-5.0188 𝑥−15 16−15

=

4.9438−5.0188 −0.075 = 0.4040 4.8332−5.0188 −0.1856

(0.4040*1)+15= 15.40 Conclusión la mejor alternativa es la C EJERCICIO: Si desea evaluar a 2 alternativas mutuamente excluyentes, cuyos ingresos y costos estimados aparecen clasificados en la tabla siguiente: Alt 1 2

Inv. Inicial 100,000 152,000

Ingresos mensuales 15,200 31,900

Valor de salvamento 10,000 0

Si la TMAR=15% y el periodo a evaluar es de 10 años, utiliza el método TIR para seleccionar la mejor alternativa. Alternativa 1 Paso 1 Acomodar los ingresos y egresos Egresos=Ingresos 100,000=15,200(P/A,15%,10)+10,000(P/F,15%,10) 100,000=15,200(5.0188)+10,000(0.2472) 100,000=78,757.76 2.- Encontrar dos porcentajes que se acerquen al número 100,000, sustituiremos de la siguiente forma ejemplo usaremos el 10%: 100,000=15,200(P/A,10%,10)+10,000(P/F,10%,10) 100,000=15,200(6.1446)+10,000(0.3855) 100,00=93,397.92+3855 100,000=97,252.2

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3.- En este caso los porcentajes más cercanos son 10% y 9% 10%-2747.08 i-100.000 9%-1773.04 4.- Usaremos la formula anteriormente mostrada en otros ejercicios 𝑖 − 10 0 − 2,747.08 = 9 − 10 −1,773.04 − 2,747.08 𝑖 − 10 −2,747.08 = −1 −4,520.12 𝑖 = (0.60774 ∗ −1) + 10 = 9.3922 Alternativa 2 1.-Egresos=Ingresos 152,000=31,900(P/A,?,10)

2.-

152,000 31,900

𝑃

= (𝐴 , ? ,10) = 4.7648

3.15%-5.0188 i-4.7648 20%-4.1925 𝑖−15

4.7648−5.0188

4.- 20−15 = 4.1925−5.0188 −0.254

5.-−0.8263 = (0.3073 ∗ 5) + 15=16.53 Conclusión: la mejor opción es la alternativa 2

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UNIDAD 3 “ANALISIS DE DEPRECIACION DE IMPUESTO” 3.1. Métodos de depreciación. 3.1.1. Terminología de la depreciación. 3.1.2. Depreciación en línea recta. 3.1.3. Otros métodos de depreciación. 3.2. Análisis después de impuesto. 3.2.1. Terminología básica para los impuestos sobre la renta. 3.2.2. Ganancias y pérdidas de capital. 3.2.3. Efectos de los diferentes modelos de depreciación. 3.2.4. Análisis después de impuestos utilizando los métodos de valor presente, valor anual y tasa interna de retorno. Competencias Específicas: Determina las depreciaciones, utilidad o perdida un proyecto para elegir más viable. Competencias Genéricas: - Habilidades en el uso de las tecnologías de la información y comunicación - Capacidad de investigación - Capacidad de análisis y síntesis, - Capacidad de comunicación profesional con otras áreas - Capacidad de aplicar los conocimientos en la práctica - Habilidades para buscar, procesar y analizar información procedente de fuentes diversas. Actividades de aprendizaje: - Investigar concepto y terminología de la depreciación y sus diferentes métodos para concluir con un debate. - Resolver casos prácticos en hoja de cálculo o calculadora financiera del análisis financiero después de impuestos donde obtenga las ganancias y pérdidas de capital, de un proyecto.

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3.1. MÉTODOS DE DEPRECIACIÓN. 3.1.1. TERMINOLOGÍA DE LA DEPRECIACIÓN. A continuación de definen algunos términos comúnmente utilizados en depreciación. La terminología es aplicable a corporaciones lo mismo que a individuos que poseen activos depreciables. Depreciación: Es la reducción en el valor de un activo. Los modelos de depreciación utilizan reglas, tasas y fórmulas aprobadas por el gobierno para representar el valor actual en los libros de la Compañía. Costo inicial: También llamado base no ajustada, es el costo instalado del activo que incluye el precio de compra, las comisiones de entrega e instalación y otros costos directos depreciables en los cuales se incurre a fin de preparar el activo para su uso. El término base no ajustada, o simplemente base, y el símbolo B se utiliza cuando el activo es nuevo. Periodo de recuperación: Es la vida depreciable, n, del activo en años para fines de depreciación (y del ISR). Este valor puede ser diferente de la vida productiva estimada debido a que las leyes gubernamentales regulan los periodos de recuperación y depreciación permisibles. Valor de mercado: Es la cantidad estimada posible si un activo fuera vendido en el mercado abierto. Debido a la estructura de las leyes de depreciación, el valor en libros y el valor de mercado pueden ser sustancialmente diferentes. Tasa de depreciación: También llamada tasa de recuperación, es la fracción del costo inicial que se elimina por depreciación cada año. Esta tasa puede ser la misma cada año, denominándose entonces tasa en línea recta, o puede ser diferente para cada año del periodo de recuperación. Valor de salvamento: Es el valor estimado de intercambio o de mercado al final de la vida útil del activo. El valor de salvamento, VS, expresado como una cantidad en dólares estimada o como un porcentaje del costo inicial, puede ser positivo, cero ó negativo debido a los costos de desmantelamiento y de exclusión. Propiedad personal: Está constituida por las posesiones tangibles de una corporación, productoras de ingresos, utilizadas para hacer negocios. Se incluye la mayor parte de la propiedad industrial manufacturera y de servicio: vehículos, equipo de manufactura, mecanismos de manejo de materiales, computadores, muebles de oficina, equipo de proceso de refinación y mucho más. Propiedad real: Incluye la finca raíz y las mejoras a ésta y tipos similares de propiedad, por ejemplo: edificios de oficinas, estructuras de manufactura, bodegas, apartamentos. La tierra en sí se considera como propiedad real, pero no es depreciable.

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3.1.2. DEPRECIACIÓN EN LÍNEA RECTA El modelo en línea recta es un método de depreciación utilizado como el estándar de comparación para la mayoría de los demás métodos. Obtiene su nombre del hecho de que el valor en libros se reduce linealmente en el tiempo puesto que la tasa de depreciación es la misma cada año, es 1 sobre el periodo de recuperación. Por consiguiente, d = 1 / n. La depreciación anual se determina multiplicando el costo inicial menos el valor de salvamento estimado por la tasa de depreciación d, que equivale a dividir por el periodo de recuperación n. En forma de ecuación queda de la siguiente manera: Dt = (B - VS) / d = (B - VS) / n Donde: t = año (1, 2, … n) Dt = cargo anual de depreciación B = costo inicial o base no ajustada VS = valor de salvamento estimado d = tasa de depreciación (igual para todos los años) n = periodo de recuperación o vida depreciable esperada Dado a que el activo se deprecia por la misma cuantía cada año, el valor en libros después de t años de servicio, VLt, será igual a la base no ajustada B menos la depreciación anual, multiplicado por t. dt = 1 / n. Ejemplo: Si un activo tiene un costo inicial de $50000 con un valor de salvamento estimado de $10000 después de 5 años, (a) calcule la depreciación anual y (b) calcule el valor en libros después de cada año, utilizando el método de depreciación en línea recta. (a) La depreciación para cada año puede obtenerse mediante la ecuación: Dt = (B - VS) / n = (50000 - 10000) / 5 = $8000 cada año. (b) El valor en libros después de cada año t se calcula mediante la ecuación VLt = V - tDt VL1 = 50000 - 1*8000 = 42000 VL2 = 50000 - 2*8000 = 34000 VL3 = 50000 - 3*8000 = 26000 VL4 = 50000 - 4*8000 = 18000 VL5 = 50000 - 5*8000 = 10000 = VS

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3.1.3. OTROS MÉTODOS DE DEPRECIACIÓN. Método de la suma de los dígitos del año Este es un método de depreciación acelerada que busca determinar una mayor alícuota de depreciación en los primeros años de vida útil del activo. La fórmula que se aplica es: (Vida útil/suma dígitos)*Valor activo Donde se tiene que: Suma de los dígitos es igual a (V(V+1))/2 donde V es la vida útil del activo. Ahora determinemos el factor. Suponiendo el mismo ejemplo del vehículo tendremos: (5(5+1)/2 (5*6)/2 = 15 Luego, 5/15 = 0,3333 Es decir que para el primer año, la depreciación será igual al 33.333% del valor del activo. (30.000.000 * 33,3333% = 10.000.000) Para el segundo año: 4/15 = 0,2666 Luego, para el segundo año la depreciación corresponde al 26.666% del valor del activo (30.000.000 * 26,666% = 8.000.000) Para el tercer año: 3/15 = 0,2 Quiere decir entonces que la depreciación para el tercer año corresponderá al 20 del valor del activo. (30.000.000 * 20% = 6.000.000) Y así sucesivamente. Todo lo que hay que hacer es dividir la vida útil restante entre el factor inicialmente calculado. Método de la reducción de saldos Este es otro método que permite la depreciación acelerada. Para su implementación, exige necesariamente la utilización de un valor de salvamento, de lo contrario en el primer año se depreciaría el 100% del activo, por lo perdería validez este método. La fórmula a utilizar es la siguiente: Tasa de depreciación = 1- (Valor de salvamento/Valor activo) 1/n Donde n es el la vida útil del activo

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Como se puede ver, lo primero que se debe hacer, es determinar la tasa de depreciación, para luego aplicar esa tasa al valor no depreciado del activo o saldo sin de preciar Continuando con el ejemplo del vehículo (suponiendo un valor de salvamento del 10% del valor del vehículo) tendremos: 1- ( 3.000.000/30.000.000)1/5 = 0,36904 Una vez determinada la tasa de depreciación se aplica al valor el activo sin depreciar, que para el primer periodo es de 30.000.000 Entonces 30.000.000 * 0,36904 = 11.071.279,67 Para el segundo periodo, el valor sin depreciar es de (30.000.000-11.071.279,67) = 18.928.720,33, por lo que la depreciación para este segundo periodo será de: 18.928.720,33 * 0,36904 = 6.985.505,22 Así sucesivamente hasta el último año de vida útil Método de las unidades de producción Este método es muy similar al de la línea recta en cuanto se distribuye la depreciación de forma equitativa en cada uno de los periodos. Para determinar la depreciación por este método, se divide en primer lugar el valor del activo por el número de unidades que puede producir durante toda su vida útil. Luego, en cada periodo se multiplica el número de unidades producidas en el periodo por el costo de depreciación correspondiente a cada unidad. Ejemplo: Se tiene una máquina valuada en $10.000.000 que puede producir en toda su vida útil 20.000 unidades. Entonces, 10.000.000/20.000 = 500. Quiere decir que a cada unidad que se produzca se le carga un costo por depreciación de $500 Si en el primer periodo, las unidades producidas por la maquina fue de 2.000 unidades, tenemos que la depreciación por el primer periodo es de: 2.000 * 500 = 1.000.000, y así con cada periodo.

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3.2. ANÁLISIS DESPUÉS DE IMPUESTO. Si se establece la TMAR después de impuestos (a la tasa del mercado como se analizó en el capítulo 12), para calcular el VP o él VA para un proyecto se utilizan los valores FEN justo de la misma manera que en capítulos anteriores. Cuando hay cantidades FEN positivas y negativas, un VP o VA < 0 resultante indica que la TMAR después de impuestos no se ha logrado. Para una comparación de alternativas ‘mutuamente excluyentes, utilice los siguientes parámetros para seleccionar la mejor alternativa. Si el VP o él VA alternativo 2 0, la TMAR después de impuestos requerida se logra o se excede; la alternativa es financieramente viable. Seleccione la alternativa con el valor VP o VA que sea numéricamente mayor: Si para una alternativa se incluyen solamente estimaciones de costo, considere el ahorro de impuestos que genera el CAO o gasto de operación para llegar a un FEN positivo. Luego utilice el mismo parámetro para seleccionar una alternativa. Representa la cantidad de efectivo real resultante que fluye hacia la compañía, es decir la entrada de dinero, considerando esta entrada de dinero neto como una cantidad positiva. En el caso que la resultante del flujo de efectivo neto sale de la compañía, es decir sale dinero o hace desembolsos, esto hace que se considere una cantidad negativa. Lógicamente se debe considerar un determinado periodo de tiempo generalmente un año. El análisis del flujo de efectivo neto después de impuestos implica que se utilizan las cantidades en todos los cálculos para determinar el VP, VA, TIR, o cualquiera que sea la medida de valor de interés para el analista económico. Considerando que el flujo de efectivo neto después de impuestos es igual a la cantidad del flujo de efectivo después de impuestos (FEDI). Si se establece la TMAR después de impuestos, a la tasa del mercado para calcular los VP o él VA para un proyecto se utilizan los valores del flujo de efectivo neto. Cuando hay cantidades FEN positivas y negativas, los valores de VP o VA son menores que cero significa que la TMAR después de impuestos no se ha logrado, es decir, que la alternativa no es viable financieramente. Cuando se tienen alternativas mutuamente excluyentes se utilizan los siguientes parámetros para seleccionar la mejor alternativa.

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• Si el VP o él VA alternativo es mayor o igual a cero, significa que la TMAR requerida después de impuestos es aceptable y que la alternativa financieramente es viable. • Seleccione la alternativa con el VP o VA que sea numéricamente mayor. También, si para una alternativa se incluyen solamente estimaciones de costo, considere el ahorro de impuestos que genera el CAO o gasto de operación para obtener una FEN positiva y utilice el mismo parámetro para seleccionar una alternativa. Análisis de la Tasa de Retorno después de Impuestos Recordando que la tasa de retorno fue calculada cuando se da el equilibrio de los flujos de efectivo positivos y negativos, es decir, cuando un proyecto único se iguala a cero con un VP o VA de la secuencia FEN (Flujo de Efectivo Neto) considerando el valor del dinero en el tiempo y para secuencias convencionales de flujo de efectivo, así también cuando se trata de alternativas múltiples se utiliza una relación VP o VA para calcular la tasa de retorno sobre la serie FEN incremental para la alternativa de inversión inicial más grande con relación a la más pequeña. Así también, recordemos que si solamente se involucra financiamiento con patrimonio, se puede modificar la relación (FEN), en forma más corta utilizando el término ahorro de impuestos (IG) (1 – T), que es la porción IG no absorbida por los impuestos. Para los fondos patrimoniales en un 100%, FPD = P, el gasto de capital en la ecuación. FEN = -gasto de capital + ingreso bruto – gastos de operación + valor de salvamento – impuestos. FEN = - P + IB – GO + VS – IG (T) Si se escribe la depreciación multiplicada por el término de la tasa impositiva, DT como D-D(1-T), se obtiene una forma abreviada para FEN. FEN = - gasto de capital + depreciación + IG (1 – T) 3.2.1. TERMINOLOGÍA BÁSICA PARA LOS IMPUESTOS SOBRE LA RENTA. Ingreso bruto: total de todos los ingresos provenientes de fuentes productoras de ingresos. Gastos: todos los costos en los que se incurre cuando se hace una transacción comercial. Ingreso gravable: el valor monetario remanente sobre el cual se deben pagar los impuestos. Y se calcula como sigue: Ingreso gravable: ingreso bruto menos gastos menos depreciación. Ganancia de capital: cuando el precio de venta de propiedades depreciables (activos) o de un bien raíz (terrenos) exceden el valor en libros, ha ocurrido una ganancia d capital. Los gastos de operación= GO incluyen todos los costos de corporaciones en los que se incurre en las transacciones de un negocio.

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Ganancia =precio de venta – valor en libros. Perdida de capital: valor en libros – precio de venta. Descuento tributario por inversiones: este es un estímulo tributario dado al comprador de equipo nuevo o usado que este calificado de acuerdo con lo dispuesto en la sección 38 de patrimonio. Este crédito tributario se otorga para estimular la compara y uso de equipo moderno. Perdida de operación: cuando una corporación experimenta un año en el que hay pérdida neta en lugar de ganancia neta, sufre una pérdida de operación. IMPUESTOS = (ingreso bruto – gastos – depreciación) T. Donde T = tasa tributaria. IMPUESTOS = (IG) T. Sin embargo para ayudar un poco al pequeño comerciante los impuestos corporativos realmente se calculan como: El ingreso gravable, IG, es la cuantía en dólares sobre la cual se calculan los impuestos. Impuestos corporativos: (IG) (tasa normal de impuestos) + (IG — $ 25 000) (sobretasa). Para las corporaciones, los gastos y la depreciación se restan del ingreso bruto para obtener el ingreso gravable. IG = ingreso bruto - gastos – depreciación FEAI = Flujo de Efectivo Antes de Impuesto. (Sin inflación) FEDI = Flujo de Efectivo Después de Impuesto. D = Depreciación. IG = Ingreso Gravable. I = Impuestos. T = Tasa Tributaria o Tasa de Impuestos. La tasa impositiva es un porcentaje, o equivalente decimal, del ingreso gravable debido en impuestos. Impuestos = ingreso gravable X tasa impositiva aplicable = (1G)T La utilidad neta o ingreso neto, resulta, en general, al restar los impuestos sobre la renta corporativa del ingreso gravable. La ganancia de capital es una cuantía del ingreso gravable en la cual se incurre cuando el precio de venta de un activo o propiedad depreciable excede el precio de compra original. En el momento de la venta. Ganancia de capital = precio de venta - precio de compra Si el resultado es positivo, se registra una ganancia. Si la fecha de ventas ocurre dentro de un tiempo dado de la fecha de compra, se hace referencia a la ganancia de capital como una ganancia 71

de corto plazo (GCP); si el periodo de posesión es más largo, la ganancia es una ganancia de largo plazo (GLP). La ley tributaria determina y cambia el periodo de posesión requerido, el cual generalmente es de 1 año o 18 meses. Aquí se utiliza 1 año. La pérdida de capital es el opuesto de la ganancia de capital. Si el precio de venta es menor que el valor en libros, la pérdida de capital es: Pérdida de capital = valor en libros - precio de venta Si el resultado es positivo, se reporta una pérdida. Los términos pérdida de corto plazo (PCP) y pérdida de largo plazo (PLP) se determinan en forma similar a las ganancias de capital. 3.2.2. GANANCIAS Y PÉRDIDAS DE CAPITAL. Ganancia de capital: cuando el precio de venta de propiedades depreciables (activos) o de un bien raíz (terrenos) exceden el valor en libros, ha ocurrido una ganancia d capital. Ganancia =precio de venta – valor en libros. Donde la ganancia de capital > 0. Si la ocurre dentro de los 6 meses siguientes a la fecha de compra, se refiere a la ganancia de capital como a ganancia a corto plazo (GCP; si el periodo de propiedad es mayor de 6 meses, la ganancia es ganancia a largo plazo (GLP). La GCP y GLP se gravan de forma diferente. Perdida de capital: valor en libros – precio de venta. Los términos perdidos a corto plazo (PCP) y perdidos a largo plazo (PLP) se definen en forma análoga a la ganancia de capital, es decir, un punto de cambio a los 6 meses. El costo de amortizado, resulta una pérdida de capital. Las pérdidas de ganancias de capital se tratan individualmente de acuerdo con la siguiente tabla:

A continuación se describe el procedimiento exacto utilizado para calcular los impuestos en los cuales se involucran pérdidas y ganancias de capital. Una GLP se grava con una tasa del 30% sobre la ganancia en la que se ha incurrido durante el año, si el ingreso gravable sobrepasa $ 25 000. Para una firma pequeña se aplica la tasa tributaria normal del 22 % de la ganancia. Una PCP solo puede utilizarse para compensar una GLP. Así, si en un año en particular la PLP = $ 5 500 y la PCP = $ 3, 200; hay una GLP neta = $ 2, 300 que debe ser gravada. El trato que se da a la GCP y a la PCP es similar, excepto que la ganancia neta se grava como ingreso regular. Una vez que las pérdidas han sido utilizadas para compensar las ganancias, se obtiene el resultado neto. Este valor se usa entonces para el cálculo de los impuestos, no para las ganancias individuales y los valores de perdida. En todo caso, las pérdidas netas declaradas en cualquier año no pueden exceder las ganancias de ese año. Los ejemplos siguientes esclarecerán el procedimiento real. Ejemplo 1: Una compañía tiene los siguientes ingresos, ganancias y pérdidas de valores durante un año: 72

(Los paréntesis se usan para indicar perdidas.) Calcule los impuestos a la renta. Solución: Utilizando las pérdidas para compensar las ganancias, se obtienen los siguientes resultados:

Por lo tanto, $ 52 000 se gravan realmente como ingresos corriente, de la siguiente manera:

El cálculo del impuesto a la renta es: Impuesto = 52 000 (0.22) + 27 000 (0.26) = $ 18 460. 3.2.4. ANÁLISIS DESPUÉS DE IMPUESTOS UTILIZANDO LOS MÉTODOS DE VALOR PRESENTE, VALOR ANUAL Y TASA INTERNA DE RETORNO. Recordando la siguiente terminología tendremos la oportunidad de comprender mejor los términos empleados en esta sección, así tenemos que: FEN = Fondo de Efectivo Neto EN = Ingresos – desembolsos. FEN = entradas de efectivo – salidas de efectivo Representa la cantidad de efectivo real resultante que fluye hacia la compañía, es decir la entrada de dinero, considerando esta entrada de dinero neto como una cantidad positiva. En el caso que la resultante del flujo de efectivo neto sale de la compañía, es decir sale dinero o hace desembolsos, esto hace que se considere una cantidad negativa. Lógicamente se debe considerar un determinado periodo de tiempo generalmente un año. El análisis del flujo de efectivo neto después de impuestos implica que se utilizan las cantidades en todos los cálculos para determinar el VP, VA, TIR, o cualquiera que sea la medida de valor de interés para el analista económico. Considerando que el flujo de efectivo neto después de impuestos es igual a la cantidad del flujo de efectivo después de impuestos (FEDI).

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Si se establece la TMAR después de impuestos, a la tasa del mercado para calcular los VP o él VA para un proyecto se utilizan los valores del flujo de efectivo neto. Cuando hay cantidades FEN positivas y negativas, los valores de VP o VA son menores que cero significa que la TMAR después de impuestos no se ha logrado, es decir, que la alternativa no es viable financieramente. Cuando se tienen alternativas mutuamente excluyentes se utilizan los siguientes parámetros para seleccionar la mejor alternativa. Si el VP o él VA alternativo es mayor o igual a cero, significa que la TMAR requerida después de impuestos es aceptable y que la alternativa financieramente es viable. Seleccione la alternativa con el VP o VA que sea numéricamente mayor. También, si para una alternativa se incluyen solamente estimaciones de costo, considere el ahorro de impuestos que genera el CAO o gasto de operación para obtener una FEN positiva y utilice el mismo parámetro para seleccionar una alternativa. Con el siguiente ejemplo se tratará de dar una forma clara de cómo se hacen los cálculos para seleccionar la mejor alternativa. Ejemplo: Un ingeniero analista de la empresa S&S Bakery, ha estimado los valores FEN presentados a continuación, desea seleccionar la mejor alternativa para lo cual se utilizarán los cálculos de los métodos del VP y VA, considerando que la TMAR es del 7% anual después de impuestos.

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Solución: Utilizando el método del VP: En este caso como las alternativas tienen vida útil diferente, la comparación se debe de realizar por medio del mínimo común múltiplo (m.c.m), por lo cual la comparación se hará con un (n = 10 años), para la alternativa B. Para la alternativa A, se tiene: VPA = - $288,000 + $54,000(P/A, 7%, 6) + $20,400(P/A, 7%, 4) (P/F, 7% 6) + $27,920(P/F, 7%, 10) VPA = - $288,000 + $54,000(4.7665) + $20,400(3.3872)(0.6663) + $27,920(0.5083 VPA = - $288,000 + $257,391+ $46,040 + $14,192 VPA = $29,623 Para la alternativa B se tiene: VPB = - $500,000 + $142,000(P/F, 7%, 1) + $133,000(P/F, 7%, 2) + $124,000(P/F, 7%, 3) + $115,000(P/F, 7%, 4) + $100,000(P/F, 7%, 5) [ -$500,000 + $142,000(P/F, 7%, 1) + $133,000(P/F, 7%, 2) + $124,000(P/F, 7%, 3) + $115,000(P/F, 7%, 4) + $106,000(P/F, 7%, 5)](P/F; 7%, 5) VPB = —$500,000 + $142,000(0.9346) + $133,000(0.8734) + $124,000(0.8163) + $115,000(0.7629) + $100,000(0.7130) [—$500,000 + $142,000(0.9346) + $133,000(0.8734) + $124,000(0.8163) + $115,000(0.7629) + $106,000(0.7130)](0.7130) VPB = - $500,000 + 132,713 + $116,162 + $101,221 + $87,733 + $75,578 [- $500,000 + 132,713 + $116,162 + $101,221 + $87,733 + $75,578] (0.7130) VPB = $13,407 + $13,407(0.7130) VPB = $13,407 + $9559 VPB = $22,966 Con estos resultados se debe tomar una decisión, aunque las dos alternativas son financieramente viables porque cada una tiene (VP > 0). Recordando que la selección debe ser la alternativa que represente el VP mayor, en este caso: VPA > VPB Por lo cual se selecciona la alternativa A.

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EJERCICIOS PARA REPASO Formula: 𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙−𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛

Depreciación Línea Recta=

EJEMPLO: El primer paso es hacer el diagrama de flujo Inventario Inicial: 100,000 Ut. Anual: 40,000 Vida útil: 10 años

40,000

0

10

1

100,000

La característica de este método es que la depreciación siempre será un valor constante durante toda la vida útil del proyecto. 2) Se acomodara la tabla de la siguiente manera. Año

Flujo de efectivo antes de depreciación (FEAD)

Depreciación

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10

-100,000 40,000 40,000 40,000 40,000 40,000 40,000 40,000 40,000 40,000 40,000 0

-------10,000 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000 0

Flujo de efectivo antes de impuesto (FEAI) -100,000 30,000 30,000 30,000 30,000 30,000 30,000 30,000 30,000 30,000 30,000 0

Impuesto 40% ------12,000 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000 0

Flujo de efectivo después de impuesto(FEDI) -100,000 28,000 28,000 28,000 28,000 28,000 28,000 28,000 28,000 28,000 28,000 0

1) FEAD: Se colocara el diagrama por años, si es egreso se pondrá negativo e ingreso positivo, si es anualidad se pondrán en los años que dure y si en algún año no contiene cantidad se agregara un 0. 2) Depreciación: Se utiliza la fórmula de depreciación línea recta. 3) FEAI: FEAD-depreciación 4) Impuestos: usualmente se maneja el 40% del FEAI así que se multiplicara por el porcentaje para sacar la cantidad 5) FEDI: FEAD-impuesto

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Se realizara un nuevo diagrama de flujo a partir del FEDI quedara de la siguiente manera: 28,000 0

1

10

100,000 Se aplicara el método de TIR Egreso=Ingreso 100,000=28,000(P/A,?,10) 100,000 28,000

𝑃 𝐴

= ( , ? ,10)=3.5714

i=3.5714 24%-3.6819 25%-3.5705 𝑖−24 25−24

=

3.5714−3.6819 3.5705−3.6819

= (0.9919) + 14 = 24.99

El paso siguiente es realizar la SUMA DE AÑOS DIGITO el cual se utiliza la siguiente formula 𝐷𝑒𝑝 =

𝐼𝑛𝑣. 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 1 ∗ 𝑛 10

Y se formara la siguiente tabla Años 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total: 55

Depreciación 10/55 9/55 8/55 7/55 6/55 5/55 4/55 3/55 2/55 1/55

100,000*10/55 100,000*9/55 100,000*8/55 100,000*7/55 100,000*6/55 100,000*5/55 100,000*4/55 100,000*3/55 100,000*2/55 100,000*1/55

Nueva depreciación 18,181.81 16,363.63 14,545.45 12,727.27 10,909.09 9,090.90 7,272.72 5,454.54 3,636.36 1,818.18

1) Se suman los años para tener un total de suma de dígitos 2) Se colocan los números de años inversamente y de denominador ira el total 3) Se realizara la fórmula de suma de años dígitos y el resultado será sustituido en una nueva tabla

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Y se acomoda en una nueva tabla Año

Flujo de efectivo antes de depreciación (FEAD)

Depreciación

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10

-100,000 40,000 40,000 40,000 40,000 40,000 40,000 40,000 40,000 40,000 40,000 0

-------18,181.81 16,363.63 14,545.45 12,727.27 10,909.09 9,090.90 7,272.72 5,454.54 3,636.36 1,818.18 0

Flujo de efectivo antes de impuesto (FEAI) -100,000 21,818.19 23,636.39 25,454.55 27,272.73 29,090.91 30,909.1 32.727.28 34,545.46 36,363.64 38,181.82 0

Impuesto 40% ------8,727.27 9,454.55 10,181.82 10,909.09 11,636.64 12,363.64 13,090.91 13,818.18 14,545.45 15,272.72 0

Flujo de efectivo después de impuesto(FEDI) -100,000 31,272.75 30,545.45 29,818.18 29,090.91 28,363.64 27,636.64 26,909.09 26,181.82 25,454.55 24,727.28 0

Se realiza un nuevo diagrama de flujos que queda de la siguiente forma: 31,272.73 G=-727.272 10 0 1 100,000 Nuevamente manejamos los pasos del TIR para encontrar el porcentaje que nos ayude acercarnos más a la cantidad de 100,000. Egresos=Ingresos 100,000=31,272.73(P/A,?,10)-727.272(P/G,?,10) Utilizando el 26% 100,000=101,433.25 Utilizando el 28% 100,000=95,936.81 x-¿? 26%--143.25 28%-4063.18 𝑥 − 28 0 − 4063.1872 = 26 − 28 −1433.25 − 4063.1872 i=26.52% Este es el nuevo porcentaje la tasa de interés

78

SALDO DOBLE DECRECIENTE Formula: 2 𝑆𝐷𝐷 = ∗ 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑙 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑎ñ𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑛 40,000 0 1 100,000 Año 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Valor del activo 100,000 80,000 64,000 51,200 40,960 32,768 26,214.4 20,971.52 16,777.216 13,421.7728 0

10 Depreciación --20,000 16,000 12,800 10,240 8,192 6,553.6 5,242.88 4,194.304 3,355.4432 13,421.77

2

1)SDD=10 ∗ (100,000) = 20,000

2

2)SDD=10 ∗ (80,000) = 16,000

2

3)SDD=10 ∗ (64,000) = 12,840

Sustituiremos por la depreciación en la siguiente tabla Año

Flujo de efectivo antes de depreciación (FEAD)

Depreciación

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10

-100,000 40,000 40,000 40,000 40,000 40,000 40,000 40,000 40,000 40,000 40,000 0

-------20,000 16,000 12,800 10,240 8,192 6,553.6 5,242.88 4,194.304 3,355.4432 13,421.77 0

Flujo de efectivo antes de impuesto (FEAI) -100,000 20,000 24,000 27,200 29,760 31,808 33,446.4 34,757.12 35,805.696 36,644.5568 26,578.23 0

Impuesto 40% ------8,000 9,600 10,880 11,904 12,723.2 13,378.56 13,902.84 14,322.27 14,657.32 10,631.29 0

Flujo de efectivo después de impuesto(FEDI) -100,000 32,000 30,400 29,120 28,096 27,276.8 26,621.49 26,097.15 25,677.72 25,342.17 24,368.7 0

79

5

0

24,368.7

25,342.17

25,677.72

26,621.4 4 26,097.15

28,276.8

28,096

29,120

30,400

32,000

Con el FEDI se realizara un nuevo diagrama de flujo y buscaremos los porcentajes más cercanos a los 100,000

10

100,000=32,000(P/F,1)+36,400(P/F,2)+29,120(P/F,3)+28,096(P/F,4)+27,276.8(P/F,5)+ 26,268.44(P/F,6)+26,097.15(P/F,7)+25,677.72(P/F,8)+25,342.17(P/F,9)+29,368.7(P/F,10) Porcentajes cerca de la cantidad 26% 100,000=100,790.45 28% 100,000=95,332.74 28%-4629.1 i-¿? 26%- -830.45 𝑖 − 28 0 − 4629.1 = = 26.30% 26 − 28 −830.45 − 4629.1 i=26.30% EJERCICIOS 1.-Determina la TIR para el siguiente proyecto -Inventario inicial $600,000 -Utilidad anual $250,000 -Valor de salvamento $100,000 -Tasa tributaria 40% -Vida útil 5 años -Método depreciación suma de años digito 100,000

250,000

0

1

5

600,000

80

Año 1 2 3 4 5 Total=15

5/15 4/15 3/15 2/15 1/15

Año 0 1 2 3 4 5 5

Depreciación 166,666.66 133,333.33 100,000 66,666.66 33,333.33

FEAD -600,000 250,000 250,000 250,000 250,000 250,000 100,000

DEP --166,666.66 133,333.33 100,000 66,666.66 33,333.33 ---

FEAI -600,000 83,333.34 116,666.67 150,000 183,333.34 216,666.67 100,000

Impuesto 40% --33,333.33 46,666.66 60,000 73,333.33 86,666.66 ---

FEDI -600,000 216,666.67 203,333.34 190,000 176,666.67 163,333.34 100,000

216,666.67 G=13,333.33

0

1

100,000 5

600,000 Egresos=Ingresos -600,000=216,666.67(P/A,5)-13,333.33(P/G,5)+100,000(P/F,5) Porcentajes cercanos a la cantidad 600,000 20% 600,000=622,738.68 22% 600,000=596,013.36 20%:-22,738.68 i-0 22%:-3,986.64 𝑖 − 22 0 − 3,986.64 = 20 − 22 −22,738.68 − 3,986.64 −3,986.64 = (0.1491 ∗ −2) + 22 −26,725.32 i = 21.70% 81

2.- Sera rentable un activo con los siguientes datos: -Inversión inicial $1,250,000 -Costos anuales $200,000 -Ingresos anuales estimados $800,000 año 1 aumenta 200,000 por año -Valor salvamento: $250,000 -Tasa tributaria 40% -Vida útil: 10 años -TMAR: 18% a -Método L.R. 250,000 200,000

0

1

10 200,000

1,250,000 Año 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10

FEAD -1,250,000 600,000 800,000 1,000,000 1,200,000 1,400,000 1,600,000 1,800,000 2,000,000 2,200,000 2,400,000 250,000

Depreciación ---100,000 100,000 100,000 100,000 100,000 100,000 100,000 100,000 100,000 100,000 -----

FEAI -1,250,000 500,000 700,000 900,000 1,100,000 1,300,000 1,500,000 1,700,000 1,900,000 2,100,000 2,300,000 250,000

Impuesto 40% ---200,000 280,000 360,000 440,000 520,000 600,000 680,000 760,000 840,000 920,000 -----

FEDI -1,250,000 400,000 520,000 640,000 760,000 880,000 1,000,000 1,120,000 1,240,000 1,360,000 1,480,000 250,000 250,000

400,000 120,000

0

1

10

Egresos=Ingresos 1,250,000=400,000(P/A,10)+120,000(P/G)+250,000(P/F,10) 10% 1,250,000=5,301,171

82

18% 1,250,000=400,000(P/A,10)+120,000(P/G,10)+250,000(P/F,10) 1,250,000=1,797,640+1,722,300+1,308,450 1,250,000= 4,828,390 Conclusión: Es rentable porque está por encima de la TMAR del 10% UNIDAD 4 “ANALISIS DE REEMPLAZO” 4.1. Técnicas de análisis de reemplazo. 4.2. Modelos de reemplazo de equipos. 4.3. Factores de deterioro y obsolescencia. 4.4. Determinación del costo mínimo de vida útil. Competencias Específicas: Emplea estrategias de financiamiento y técnicas de administración para el reemplazo de activos y pasivos. Competencias Genéricas: - Habilidades en el uso de las tecnologías de la información y comunicación - Capacidad de investigación - Capacidad de análisis y síntesis, - Capacidad de comunicación profesional con otras áreas - Capacidad de aplicar los conocimientos en la práctica - Habilidades para buscar, procesar y analizar información procedente de fuentes diversas. Actividades de aprendizaje: - Exponer y discutir en plenaria los conceptos de técnicas de análisis de reemplazo. - Emplear hoja de cálculo o calculadora financiera para visualizar casos prácticos de los conocimientos sobre los modelos de reemplazo de equipos. - Debatir los factores de deterioro y obsolescencia en instalaciones y equipamiento en las organizaciones. - Resolver casos prácticos aplicando conocimientos de modelos del costo mínimo de vida útil de equipos. OBJETIVO: El alumno aplicará las herramientas necesarias para determinar la mejor decisión en diferentes alternativas de reemplazo 4.1.- TECNICAS DE ANÁLISIS DE REEMPLAZO Conceptos de retador y defensor en un análisis de reemplazo. En la mayoría de los estudios de ingeniería económica se comparan dos o más alternativas. En un estudio de reposición, uno de los activos, al cual se hace referencia como el defensor, es actualmente el poseído (o está en uso) y las alternativas son uno o más retadoras. Para el análisis se toma la perspectiva (punto de vista) del asesor o persona externa; es decir, se supone que en la actualidad no se posee ni se utiliza ningún activo y se debe escoger entre la(s) alternativa(s) del retador y la alternativa del defensor en uso. Por consiguiente, para adquirir el defensor, se debe “invertir” el valor vigente en el mercado en este activo usado. 83

Dicho valor estimado de mercado o de intercambio se convierte en el costo inicial de la alternativa del defensor. Habrá nuevas estimaciones para la vida económica restante, el costo anual de operación (CAO) y el valor de salvamento del defensor. Es probable que todos estos valores difieran de las estimaciones originales. Sin embargo, debido a la perspectiva del asesor, todas las estimaciones hechas y utilizadas anteriormente deben ser rechazadas en el análisis de reposición. Un hotel de playa, compró hace tres años una máquina para hacer hielo, de la más reciente tecnología, por $12000 con una vida estimada de 10 años, un valor de salvamento del 20% del precio de compra y un CAO de $3000. La depreciación ha reducido el costo inicial a su valor actual de $8000 en libros. Un nuevo modelo de $11000, acaba de ser anunciado. El gerente del hotel estima la vida de la nueva máquina en 10 años, el valor de salvamento en 57 $2000 y un CAO de $1800. El vendedor ha ofrecido una cantidad de intercambio de $7500 por el defensor de 3 años de uso. Con base en experiencias con la máquina actual, las estimaciones revisadas son: vida restante, 3 años; valor de salvamento, $2000 y el mismo CAO de $3000. Si se realiza el estudio de reposición, ¿Qué valores de P, n, VS y CAO son correctos para cada máquina de hielo? Solución: Desde la perspectiva del asesor, use solamente las estimaciones más recientes: Defensor Retador P = $7500 P = $11000 CAO = $3000 CAO = $1800 VS = $2000 VS = $2000 n = 3 años n = 10 años El costo original del defensor de $12000, el valor de salvamento estimado de $2400, los 7 años restantes de vida y el valor de $8000 en libros no son relevantes para el análisis de reposición del defensor Vs. el retador. Dado que el pasado es común a las alternativas, los costos pasados se consideran irrelevantes en un análisis de reposición. Esto incluye un costo no recuperable, o cantidad de dinero invertida antes, que no puede recuperarse ahora o en el futuro. Este hecho puede ocurrir debido a cambios en las condiciones económicas, tecnológicas o de otro tipo o a decisiones de negocios equivocadas. Una persona puede experimentar un costo perdido cuando compra un artículo, por ejemplo, algún software y poco después descubre que éste no funciona como esperaba y no puede devolverlo. El precio de compra es la cantidad del costo perdido. En la industria, un costo no recuperable ocurre también cuando se considera la reposición de un activo y el valor del mercado real o de intercambio es menor que aquel predicho por el modelo de depreciación utilizado para cancelar la inversión de capital original o es menor que el valor de salvamento estimado. El costo no recuperable de un activo se calcula como: Costo no recuperable = Valor presente en libros - valor presente del mercado.

84

Si el resultado en la ecuación anterior es un número negativo, no hay costo no recuperable involucrado. El valor presente en libros es la inversión restante después de que se ha cargado la cantidad total de la depreciación; es decir, el valor actual en libros es el valor en libros del activo. Por ejemplo, un activo comprado por $100000 hace 5 años tiene un valor depreciado en libros de $50000. Si se está realizando un estudio de reposición y sólo se ofrecen $20000 como la cantidad de intercambio con el retador, según la ecuación anterior se presenta un costo no recuperable de 50000 - 20000 = 30000. En un análisis de reposición, el costo no recuperable no debe incluirse en el análisis económico. El costo no recuperable representa en realidad una pérdida de capital y se refleja correctamente si se incluye en el estado de resultados de la compañía y en los cálculos del ISR para el año en el cual se incurre en dicho costo. Sin embargo, algunos analistas tratan de “recuperar” el costo no recuperable del defensor agregándolo al costo inicial del retador, lo cual es incorrecto ya que se penaliza al retador, haciendo que su costo inicial aparezca más alto; de esta manera se inclina la decisión. Con frecuencia, se han hecho estimaciones incorrectas sobre la utilidad, el valor o el valor de mercado de un activo. Tal situación es bastante posible, dado que las estimaciones se realizan en un punto en el tiempo sobre un futuro incierto. El resultado puede ser un costo no recuperable cuando se considera la reposición. No debe permitirse que las decisiones económicas y las estimaciones incorrectas del pasado influyan incorrectamente en los estudios económicos y decisiones actuales. En el ejemplo de la máquina de hielo, se incurre en un costo no recuperable para la máquina defendida si ésta es reemplazada. Con un valor en libros de $8000 y una oferta de intercambio de $7500, la ecuación correspondiente produce: Costo no recuperable = 8000 - 7500 = $500 Los $500 nunca debieron agregarse al costo inicial del retador. Tal hacho penaliza al retador puesto que la cantidad de inversión de capital que debe recuperarse cada año es más grande debido a un costo inicial aumentado de manera artificialmente y es un intento de eliminar errores pasados en la estimación, pero probablemente inevitables. 4.2 MODELO DE REEMPLAZOS DE EQUIPOS

ANÁLISIS DE REEMPLAZO UTILIZANDO UN HORIZONTE DE PLANIFICACIÓN ESPECIFICADO El periodo de estudio u horizonte de planificación es el número de años seleccionado en el análisis económico para comparar las alternativas de defensor y de retador. Al seleccionar el periodo de estudio, una de las dos siguientes situaciones es habitual: La vida restante anticipada del defensor es igual o es más corta que la vida del retador. Si el defensor y el retador tienen vidas iguales, se debe utilizar cualquiera de los métodos de evaluación con la información más reciente. 85

Ejemplo: En la actualidad, Transportes Terrestres del Pantano, posee varios camiones de mudanza que se están deteriorando con mayor rapidez de lo esperado. Los camiones fueron comprados hace 2 años, cada uno por $60000. Actualmente, la compañía planea conservar los camiones durante 10 años más. El valor justo del mercado para un camión de 2 años es de $42000 y para un camión de 12 años es de $8000. Los costos anuales de combustible, mantenimiento, impuestos, etc. son de $12000. La opción de reposición es arrendar en forma anual. El costo anual de arrendamiento es de $9000 (pago de fin de año) con costos anuales de operación de $14000. ¿Debe la compañía arrendar sus camiones si la TMAR es del 12%? Solución: Considere un horizonte de planificación de 10 años para un camión que actualmente poseen y para un camión arrendado y realice un análisis VA para efectuar la selección. Defensor Retador P = 42000 Costo de arrendar = 9000 anuales CAO = 12000 CAO = 14000 VS = 8000 No salvamento n = 10 años n = 10 años El defensor D tiene un valor justo del mercado de $42000, lo cual representa entonces su inversión inicial. El cálculo VAD es: VAD = -P(A/P, i, n) + VS(A/F, i, n) - CAO = -42000(AP,12,10[0.1770]) + 8000(AF,12,10[0.0570]) - 12000 = -$18978.00 La relación VAR para el retador C es: VAR = -9000 - 14000 = -$23000 Es claro que la firma debe conservar la propiedad de los camiones, ya que VAD es numéricamente superior a VAR. Ejemplo: Un municipio es propietario de un selector de material reciclable que ha utilizado durante 3 años. Con base en cálculos recientes, el activo tiene un VA de $5200 por año durante una vida restante estimada de 5 años. La reposición por un selector mejorado tiene un costo inicial de $25000, un valor de salvamento estimado de $3800, una vida proyectada de 12 años y CAO de $720. La ciudad utiliza una TMAR del 10% anual. Si se planea conservar el nuevo selector durante toda su vida estimada, ¿debe la ciudad reemplazar el antiguo selector? Solución: Seleccione un periodo de estudio de 12 años correspondiente a la vida del retador. Suponga que él VA de $5200 del defensor es una buena estimación del costo equivalente anual para obtener el mismo nivel de Selección de material reciclable después de los cinco años de vida restante del defensor. VAD = -$5200 86

VAR = -25000(AP,10,12[0.1468]) + 3800(AF,10,12[0.0468]) - 720 = -$4212.16 La compra de un nuevo selector cuesta aproximadamente $1000 menos por año. CUANDO LA VIDA ÚTIL RESTANTE DEL DEFENSOR ES IGUAL A LA DEL RETADOR. Para retención adicional de un año Normalmente se espera que un activo se conserve hasta el final de su vida de servicio económico o durante su vida útil estimada, si es diferente. Sin embargo, a medida que transcurre la vida de un activo que posee actualmente, éste se deteriora, apareciendo entonces modelos disponibles más atractivos, modernos o mejorados; o las estimaciones de costo e ingreso original resultan ser significativamente diferentes de las cantidades reales. Entonces, una pregunta que se hace con frecuencia es: ¿Debe el activo ser reemplazado o conservarse en servicio durante 1, 2, 3 o más años? Buena pregunta si el activo ha estado en servicio durante todo el tiempo esperado; es decir, han transcurrido n años de servicio o la vida estimada ha expirado y parece que el activo tendrá más años de servicio. Dos opciones son posibles para cada año adicional. Seleccionar a un retador ahora o conservar al defensor durante un año más. Para tomar la decisión de remplazar o conservar, no es correcto simplemente comparar el costo equivalente del defensor y el costo del retador durante el tiempo restante de servicio económico, vida útil anticipada, o algún número seleccionado de años más allá de cualquiera de estos dos números de años. En lugar de ello, se utiliza el procedimiento de valor anual donde: VAR = Valor anual del retador CD (1) = Estimación de costo del defensor para el año próximo (t = 1) Si el costo de 1 año del defensor CD (1) es menor que el valor anual del retador, conserve al defensor un año más ya que su costo es menor. Ejemplo: En general, Engineering Models, Inc., conserva su flota de auros al servicio de la compañía durante 5 años antes de su reposición. Debido a que los autos comprados con descuento hace exactamente 2 años se han deteriorado mucho más rápido de lo esperado, la gerencia se pregunta qué es más económico: reemplazar los autos este año por otros nuevos; conservarlos durante 1 año más y luego reemplazarlos; conservarlos durante dos años más y luego reemplazarlos; o conservarlos durante 3 años más hasta el final de sus vidas estimadas. Realice un análisis de reposición para i = 20% utilizando estos costos estimados. -Auto actualmente poseído (defensor) -Valor al principio de año -Costo anual de operación -Reposición posible (retador)

87

Año próximo 3 3800 4500 Costo inicial 8700 Año próximo 4 2800 5000 Costo anual 3900 Último año 5 500 5500 Vida 5 años Vida restante 3 V. S. 1800 V.S. después de 3 años ad. 500 Solución: Calcule el VA para el retador durante 5 años. VAR = -8700(AP,20,5[0.3344]) + 1800(AF,20,5[0.1344]) -3900 = -$6567.36 Calcule el costo del defensor para el próximo año (t = 1) utilizando un valor de $2800 como estimación del VS para el próximo año CD(1) = -3800(AP,20,1[1.2]) + 2800(AF,20,1[1.0]) -4500 = -$6260.00 Puesto que el costo CD(1) es menor que VAR, conserve los autos actuales durante el año siguiente. Terminado el año próximo, para determinar si los autos deben conservarse aún otro año, siga con el análisis de los flujos de efectivo. Ahora, el valor de salvamento de $2800 en CD(1) es el costo inicial para el año t = 2. El costo del primer año CD (2) para el defensor es ahora: CD (2) = -2800(AP,20 1[1.2]) + 500(AF,20,1[1.0]) - 5000 = -$7860.00 Ahora CD cuesta más que VAR = -$6567.36, de manera que debe calcularse el valor VAD para los dos años restantes de la vida del defensor. VAD = - 2800(AP,20,2[0.6545]) + 500(AF,20,2[0.4545]) - 5000 - 500(AG,20,2[0.4545]) = -$6832.60 Dado que el retador en VAR = -$6567.36 es también más barato para los 2 años restantes, es preferible seleccionarlo y reemplazar los autos actuales. 4.3. FACTORES DE DETERIORO Y OBSOLESCENCIA. Deterioro: Es una causa de reemplazo, el equipo a través del tiempo experimenta cambios físicos y a su vez funcional, que delimitan su rendimiento o desempeño y por ende, no cumple con la demanda o expectativas por la cual fue adquirida inicialmente, esto lleva a la empresa a buscar nuevas alternativas de inversión luego de que un análisis de reemplazo arroje resultados que indique el camino a seguir por la empresa para adquirir o tal vez repotenciar dicho equipo. Debido al deterioro físico, la capacidad esperada de rendimiento a un nivel de confiabilidad (estar disponible y funcionar correctamente cuando sea necesario) o productividad (funcionar a un nivel dado de calidad y cantidad) no está presente. Esto por lo general da como resultado incrementos de costo de operación, altos niveles de desechos y costos de reelaboración, pérdida de ventas, disminución de calidad y seguridad, así como elevado gastos de mantenimiento. Obsolescencia: Como consecuencia de la competencia internacional y del rápido avance tecnológico, los sistemas y activos actuales instalados funcionan aceptablemente, aunque con menor productividad que el equipo que se fabricará en breve. La disminución del tiempo que tardan los productores en llegar al mercado con frecuencia es la razón de los análisis de reemplazo anticipado, es decir, estudios realizados antes de que se alcance la vida útil económica calculada. 88

REQUISITOS ALTERADOS (CAPACIDAD INADECUADA) El equipo o sistema existente no puede cumplir con los nuevos requisitos de exactitud, velocidad u otras especificaciones. A menudo las opciones son reemplazar por completo el equipo, o reforzarlo mediante ajuste o intensificación. CAUSAS DEL DETERIORO, OBSOLECENCIA, Y CAPACIDAD INADECUADA -mal uso de un equipo -falta de mantenimiento -el equipo no puede responder a los constantes cambios en la demanda de una empresa -fallas técnicas -finalización de la vida útil del equipo Reemplazo: Es un análisis que la empresa lleva a cabo cuando se ve en la necesidad de reemplazar o sustituir un equipo o maquinaria por otro equipo de la misma índole acorde con las necesidades de la empresa de tal manera que se optimice o se satisfaga la causa del reemplazo. Todo esto, analizado desde el punto de vista económico, claro está. Esta sustitución nace por diversas causas, deterioro, obsolescencia, capacidad inadecuada, menor desempeño, alteración de requisitos, entre muchos otros factores. VIDA ÚTIL: Es el número de años o de periodos durante los cuales será utilizada una alternativa o un activo. Es el tiempo de evaluación. VIDA ECONÓMICA: Es el número de años n en que son mínimos los costos del valor anual uniforme equivalente, tomando en consideración las estimaciones del costo más vigentes, durante todos los años que el activo pudiera suministrar el servicio. 4.4 DETERMINACION DEL COSTO MINIMO DE VIDA UTIL A menudo un analista desea conocer cuánto tiempo debe permanecer un activo o proyecto en servicio para minimizar su costo total, considerando el valor del dinero en el tiempo y los requerimientos de retorno. Este tiempo en años es un valor n y se denomina de varias maneras incluyendo costo mínimo de vida útil, vida útil económica, tiempo de retiro o tiempo de reemplazo. La vida útil del activo tiene que ser suministrada sin considerar como fue determinada. El valor n es el número de años que rinde a un mínimo costo anual. Este enfoque de estimar n como el costo mínimo de vida útil, utiliza cálculos convencionales de CAUE. Para encontrar el costo mínimo de vida útil, se aumenta el valor de la vida, llamada K, desde 1 hasta el valor máximo esperado para el activo N, esto es, K=1,2…,.., n. Para cada valor de k se determina el valor de CAUE, usando:

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EJERCICIOS DE REPASO 1.- Hace 3 años se compró una maquina en 150,000 pesos, la cual se espera que tenga una vida útil de 10 años con costos anuales de operación y mantenimiento de 20,000 pesos y un valor de rescate de 30,000. En este momento el proveedor nos ofrece una nueva versión de la misma maquina a un precio de 250,000 pesos, una vida útil de 10 años, costos anuales de operación de 10,000 pesos y un valor de salvamento de 60,000 pesos. Para hacer más atractiva la oferta nos toma en cuenta la maquina actual en 80,000 pesos si el valor del dinero a través del tiempo lo consideramos con una tasa de interés del 10% anual, ¿Qué debemos hacer?. Maquina 1 i=10% anual 30,000 -3

7

0 20,000

150,000 CAVE=-20,000+30,000(A/F,10%,7) CAVE= -16,837.7

90

80,000

0

60,000

1

10 10,000

250,000 CAVE=-170,000(A/P,10%,10)=-27,667.5 -10,000 +60,000(A/F,10%,10)= 3,765 Total= -33,902.5 Conclusión: Quedarse con la maquina 1

2.- Se desea determinar si es conveniente reemplazar un activo comprado hace 2 años por uno nuevo que se ofrece actualmente. Los datos para cada uno de ellos son los siguientes.

Inventario Inicial Valor de salvamento Costo anual Ingreso anual Vida Útil Tasa de retorno Valor al día de hoy

Maquina actual 700,000 50,000 200,000 400,000 10 años 10% anual 400,000

Maquina nueva 1,000,000 100,000 150,000 450,000 10 años 10% anual 1,000,000

400,000

50,000 400,000

-2

-1

-700,000

8 -200,000

CAVE=-200,000 400,000 50,000(A/F,10%,8) Total= 204,372

91

400,000

100,000

450,000

0

10

1

1,000,000

150,000

CAVE= -600,000(A/P,10%,10)= -97,650 450,000 -150,000 100,000(A/F,10%,10)= 6,275 Total= 208,625 Conclusión: reemplazarla por el equipo nuevo. 3.- Un activo con 7 años de uso puede reemplazarse con 1 de 2 activos nuevos. La información actual para cada alternativa se da enseguida, considere una tasa mínima atractiva de retorno del 18% para seleccionar la decisión más económica.

Costo inicial Valor de canje Costo anual Valor de salvamento Vida útil

Activo actual (Defensor) ---------3,000 500 5 años

Retador 1

Retador 2

10,000 3,500 1,500 1,000 5 años

18,000 2,500 1,200 500 5 años

Defensor 500

-5

0

2 3,000

CAVE= 500(A/F,5,18%) 3,000 Total= -2,930.11

92

Retador 1 3,500

1,000

1

0

5 1,500

10,000

CAVE= -6,500 (A/P,5,18%) -1,500 1,000(A/F,5,18%) Total= -3,428.79 Retador 2 500

2,500 0

1

18,000

CAVE= -15,500(A/P,5,18%) -1,200 500 Total= -6,086.7

5 1,200

Conclusión: La primera opción es la mejor ya que gasta menos

3.- Un activo con 5 años de uso puede reemplazarse con 1 de 2 activos nuevos considerando una TMAR= 15% anual, determine la decisión más económica.

Costo inicial Valor activo actual de hoy Costo de operación anual Valor de rescate Vida útil

Actual ------

Opción 1 20,000 7,000

Opción 2 36,000 4,800

6,000

3,000

2,400

1,100 10 años

2,050 5 años

900 5 años

93

Actual CAVE= 6,000 1,100(A/F,5,15%) Total= -5,836.84 Reemplazo 1 2,050

7,000

0

5

3,000

CAVE= -2,590.25 -13,000(A/P,5,15%) -3,000 2,050(A/F,5,15) Total= -6,574.10

20,000

Reemplazo 2 4,800

0 36,000

900

1

5 2,400

CAVE= -31,200(0.29832)= -0,307.58 -2,400 900 (0.14832)= 133.488 Total= -11,574.09 Conclusión: la primera opción es más estable

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CONCLUSIONES GENERALES La ingeniería económica es la disciplina que presenta los procedimientos sistemáticos para el análisis económico de alternativas de inversión, con base en el flujo de efectivo y en los modelos adecuados para la toma de decisiones. Dichos procedimientos se exponen de tal manera que se pueden aplicar en proyectos de inversión de los sectores público y privado. En las cinco unidades que integra este manual se estudian, entre otros, los siguientes temas: -Conceptos sobre comparación de alternativas -El valor del dinero a través del tiempo -Método de evaluación financiera: Valor Presente Neto y Tasa Interna de Retorno -Métodos de depreciación -Análisis de reemplazo -Planeación Presupuestal Además, en cada unidad se incluyen ejemplos y problemas de ejercicio para reforzar los conocimientos adquiridos. Está claro que el problema de toda nueva empresa, cualquiera que sea el producto o servicio que vaya a elaborar, es cómo ingresar al mercado en los primeros meses de funcionamiento, y esto sólo puede lograrse a partir de la elaboración de una serie de estrategias, básicamente de precio y de mercadotecnia. El problema del financiamiento se convierte en un factor de vital importancia en estos tiempos donde el problema inflacionario se presenta en forma importante.

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