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• Oscar Mendiola Sotelo

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´ INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE CALKIN´I EN EL ESTADO DE CAMPECHE

´ APUNTES DE ALGEBRA LINEAL PARA INGENIER´IA

Docente: L. M. Angel Can M. C. M.

2

´Indice general I

Parcial 1

7

1. N´ umeros complejos 1.1. Antecedentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Definiciones y Propiedades Fundamentales. . . . . . . . . . . . 1.3. La unidad imaginaria i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Interpretaci´on geom´etrica, m´odulo y argumento. Forma Polar. 1.5. Exponenciales complejos y teorema de DeMoivre . . . . . . . . 1.6. Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1. Los polinomios como funciones . . . . . . . . . . . . . 1.6.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.3. Suma y Producto de polinomios . . . . . . . . . . . . . 1.6.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.5. Divisi´on con residuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.6. Ra´ıces de polinomios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Pr´acticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1. Pr´actica 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.2. Pr´actica 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II

Parcial 2

2. Matrices 2.1. Definiciones b´asicas . 2.2. Operaciones B´asicas 2.2.1. Igualdad . . . 2.2.2. Suma . . . . . 2.2.3. Multiplicaci´on

9 9 10 14 15 19 20 21 21 21 22 22 22 23 23 24 26

29 . . . . . . . . . . . . . . . . por un

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . escalar

3

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31 31 32 32 32 33

´INDICE GENERAL

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2.2.4. Multiplicaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Definiciones complementarias . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Propiedades de las operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Propiedades de la suma y multiplicaci´on por escalar 2.4.2. Propiedades de la multiplicaci´on de Matrices . . . . 2.5. Clasificaci´on de las Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Operaciones Elementales Rengl´on. . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Algoritmo de reduccci´on de Gauss . . . . . . . . . . . . . . 2.8.1. Algoritmo de reducci´on de Gauss-Jordan. . . . . . . 2.9. C´alculo de la Inversa de una Matriz. . . . . . . . . . . . . 2.10. El Determinante de una matriz cuadrada. . . . . . . . . . 2.11. La matriz Adjunta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

3. Sistemas de Ecuaciones Lineales 3.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Clasificaci´on de los Sistemas de Ecuaciones Lineales. . . . . . 3.2.1. Interpretaci´on Gr´afica de las soluciones . . . . . . . . 3.2.2. Ecuaciones lineales degeneradas . . . . . . . . . . . . 3.3. M´etodos de soluci´on de los sistemas de Ecuaciones Lineales. 3.3.1. Sistemas equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Forma Triangular y Escalonada . . . . . . . . . . . . 3.3.3. Forma Escalonada Reducida. . . . . . . . . . . . . . 3.4. Algoritmo de reduccci´on de Gauss-Jordan. . . . . . . . . . . 3.4.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III

. . . . . . . . . . . . .

33 34 34 34 35 36 41 42 43 44 45 46 48

. . . . . . . . . .

53 53 54 55 59 60 60 61 63 64 64

Parcial 3

4. Espacios Vectoriales 4.1. Definici´on de Espacios Vectoriales . . . . . . . 4.1.1. Propiedades de los Espacios Vectoriales 4.2. Subespacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Propiedades de los subespacios . . . . 4.3. Combinaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . 4.4. El Conjunto Generado . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. Dependencia e Independencia Lineal. . 4.5. Producto Interno. . . . . . . . . . . . . . . . .

67 . . . . . . . .

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69 69 71 71 72 72 73 74 75

´INDICE GENERAL

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4.5.1. Normas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Base Ortonormal y proceso de Ortonormalizaci´on de GrahmSchmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1. Algoritmo de Grahm-Schmidt . . . . . . . . . . . . . 4.6.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Pr´acticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1. Pr´actica 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Transformaciones Lineales 5.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Propiedades de las transformaciones Lineales 5.2. El Kernel y la Imagen . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Matrices y Transformaciones Lineales . . . . . . . . 5.5. Cambio de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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. 76 . . . . .

76 77 79 79 79

. . . . . .

81 81 83 84 87 87 89

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´INDICE GENERAL

Parte I Parcial 1

7

Cap´ıtulo 1 N´ umeros complejos El presente material tiene como finalidad complementar el material de aprendizaje del alumno y no debe ser tomado como u ´ nico recurso de estudio. Es responsabilidad del alumno leer el presente material de manera anticipada y prepararse para las clases en que se aborden los temas as´ı como tambi´en investigar de manera m´as amplia los temas aqu´ı tratados.

1.1.

Antecedentes.

Al inicio de los estudios que una persona realiza, uno de primeros conceptos adquiridos es el de “n´ umero”. De hecho el primer conjunto de “n´ umeros” estudiado es aquel que nos sirve para contar objetos materiales, los n´ umeros naturales: N = {1, 2, 3, ...} y con ello inicia nuestra formaci´on matem´atica. Habiendo conocido este conjunto tambi´en definimos la primera operaci´on que podemos realizar con este conjunto de n´ umeros: la suma. Ahora que podemos sumar, deseamos “deshacer” esta operaci´on y por ello definimos la operaci´on inversa a la suma: la resta, sin embargo esta u ´ltima presenta problemas cuando nos topamos con cosas del tipo: 4 − 8 =? dado que la respuesta no tiene explicaci´on sobre el conjunto de n´ umeros naturales que conocemos hasta el momento. Es entonces cuando pasamos al siguiente nivel en los n´ umeros: los enteros: Z = {0, ±1, ±2, · · · }. Posteriormente se inventa una nueva operaci´on que nos permite simplificar las sumas extensas: la multiplicaci´on, 2 + 2 + 2 + 2 = 4 × 2 = 8, y nuevamente nos enfrentamos al problema de “deshacer” aquellos resultados que obtenemos con esta nueva operaci´on. Esto nos lleva a la definici´on de 9

´ CAP´ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS

10

la operaci´on inversa a la multiplicaci´on: la divisi´on. Sin embargo esta nueva operaci´on nos presenta un nuevo tipo de problemas dado que divisiones del tipo 84 tienen respuesta dentro de Z pero divisiones del tipo 83 no lo tienen. Para resolver el problema anterior definimos un nuevo conjunto de n´ umeros, a 1 los racionales : Q = { b |b 6= 0}. Y este conjunto resuelve el problema anterior. Nuevamente creamos una nueva operaci´on que no ayudar´a a simplificar la ultilicaci´on: 2 × 2 × 2 × 2 = 24 . Y de la misma manera que en los conjuntos anteriores tambi´en buscamos una operaci´on “inversa” a la potenciai´on y esta nos llevar´a ante la necesidad de definir umeros, √ un nuevo conjunto de n´ esto debido a que expresiones del tipo 2 no tienen explicaci´on dentro del conjunto de los n´ umeros racionales. Esto nos sirve para definir a los n´ umeros irracionales. Hasta este punto hemos mostrado de manera superficial aquellos problemas que han planteado la necesidad de definir a los diferentes conjuntos de n´ umeros hasta llegar al conjunto universalmente conocido, los reales: R. Sin embargo quedaba pendiente un problema que no se resolv´ıa con ayuda de√los irracionales, puesto que a pesar de poder explicar expresiones √ del tipo 2, a´ un no exis´ıa una explicaci´on l´ogica para el resultado de −1. PArtiremos a partir de este punto para definir el siguiente nivel dentro de los conjuntos de n´ umeros, los complejos.

1.2.

Definiciones y Propiedades Fundamentales.

Definici´ on 1.2.1 (N´ umeros Complejos). Si a y b son n´ umeros reales, el par (a, b) es llamado un n´ umero complejo, y donde la igualdad, suma y multiplicaci´on de estos pares est´an definidas como sigue: (a) Igualdad: (a, b) = (c, d) significa que a = c y b = d. (b) Suma: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). (c) Producto: (a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc). Notaci´ on. Denotamos por C al conjunto de todos los n´ umeros complejos. 1

En realidad el conjunto de los racionales se define con ayuda de relaciones de equivalencia pero este no es el objetivo de este curso, por lo cual bastar´a con la definici´on dada

1.2. DEFINICIONES Y PROPIEDADES FUNDAMENTALES.

11

Como se ver´a m´as adelante, existen diferentes formas de representar a los n´ umeros complejos, sin embargo partiremos de la definici´on anterior. Definici´ on 1.2.2. Los n´ umeros a y b son llamados componentes de (a, b). El primer componente, a, es tambi´en llamado parte real del n´ umero complejo; la segunda componente, b, es llamada parte imaginaria. Ejemplo Debemos observar que esta definici´on nos plantea las reglas de las operaciones b´asicas de n´ umeros complejos. Por ejemplo, si queremos sumar el complejo (1, −1) con el complejo (5, 3) simplemente aplicamos la regla descrita en la definici´on: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (1, −1) + (5, 3) = (1 + 5, −1 + 3) = (6, 2). Por otro lado si queremos multiplicarlos, simplemente seguimos las reglas de la definici´on: (a, b) · (c, d) = (ac − bd, ab + bc) (1, −1) · (5, 3) = ((1)(5) − (−1)(3), (1)(3) + (−1)(5)) = (5 + 3, 3 − 5) = (8, −2). Teorema 1.2.1. Las operaciones de suma y multiplicaci´on de n´ umeros complejos satisfacen las leyes asociativa, conmutativa y distributiva. Es decir, si x, y, z son n´ umeros complejos arbitrarios, tenemos lo siguiente: Ley asociativa: x + (y + z) = (x + y) + z y x(yz) = (xy)z. Ley conmutativa: x + y = y + x y xy = yx. Ley distributiva: x(y + z) = xy + xz. Hay que remarcar que en este teorema las variables x, y, z representan n´ umeros complejos y que dichas propiedades deber´ıan expresarse con los s´ımbolos usados para complejos, por ejemplo, supongamos que tenemos:

´ CAP´ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS

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x = (a1 , b1 ) y = (a2 , b2 ) z = (a3 , b3 ) entonces la ley conmutativa deber´ıa escribirse como: (a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a2 , b2 ) + (a1 , b1 ) Ejercicio 1. Siguiendo la idea anterior, ¿C´omo deber´ıa describirse las propiedades asociativa y la distributiva para n´ umeros complejos? N´otese el hecho de que la “f´ormula” x + y = y + x representa lo que la operaci´on de los complejos como parejas ordenadas debe cumplir. Teorema 1.2.2. Existen 2 propiedades m´as dentro del conjunto de los complejos: Existencia de los neutros: • (Aditivo) ∃0 ∈ C tal que ∀x ∈ C, x + 0 = x. • (Multiplicativo) ∃1 ∈ C tal que ∀x ∈ C, x · 1 = x. Existencia de los inversos: • (Aditivo) ∀x ∈ C, ∃ − x ∈ C tal que x + (−x) = 0. • (Multiplicativo) ∀x 6= 0 ∈ C, ∃x−1 ∈ C tal que x · (x−1 ) = 1. Los neutros (aditivo y multiplicativo) son representados por el 0 y el 1 aunque en realidad estos son solo s´ımbolos que representan a ciertos n´ umeros complejos particulares que son f´aciles de reconocer ya que: (0, 0) + (a, b) = (a, b) y (a, b)(1, 0) = (a, b) De manera similar, cuando definimos el inverso aditivo de x ∈ C como −x en realidad estamos describiendo al inverso de cada complejos (a, b) como −(a, b) = (−a, −b).

1.2. DEFINICIONES Y PROPIEDADES FUNDAMENTALES.

13

Para definir al inverso multiplicativo debemos usar la definici´on de la multiplicaci´on, dado que para todo complejo x = (a, b) 6= 0 podemos encontrar otro complejo x−1 = (c, d) tal que x · x−1 = 1 ⇒ (a, b)(c, d) = (1, 0) de hecho, sabemos que esta ecuaci´on es equivalente a resolver el siguiente par de ecuaciones ac − bd = 1, ad + bc = 0 el cual tiene soluci´on u ´nica: −b a , d = . a2 + b2 a2 + b 2 Ejercicio 2. Justifique los 2 p´arrafos anteriores. c=

La condici´on (a, b) 6= 0 asegura que a2 + b2 6= 0 con lo cual el rec´ıpro1 para representar al co (c, d) est´a bien definido. Escribimos (a, b)−1 o´ (a,b) rec´ıproco de (a, b). As´ı pues tenemos:   1 a −b = , . (a, b) a2 + b 2 a2 + b 2 Con el desarrollo anterior podemos definir la divisi´on de n´ umeros complejos como sigue:   1 a −b (c, d) = (c, d) · = (c, d) · , , (a, b) (a, b) a2 + b2 a2 + b2 siempre que (a, b) 6= 0. Consideremos el subconjunto C0 de C consistente de todos los n´ umeros complejos de la forma (a, 0), esto es, todos los n´ umeros complejos con parte imaginaria cero. La suma o el producto de dos miembros de C0 est´a de nuevo en el conjunto C0 . De hecho tenemos: (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0) y (a, 0)(b, 0) = (ab, 0). con esto observamos que los elementos de C0 se comportan “como si fueran n´ umeros reales”. De hecho podemos formalizar esta observaci´on si definimos una funci´on biyectiva f : R → C dada por f (a) = (a, 0) para toda a ∈ R, con la cual es f´acil probar que el conjunto de los n´ umeros reales es un subconjunto de los n´ umeros complejos (bajo isomorfismo), R ⊂ C, (de hecho podemos afirmar que R es un subcampo de C). As´ı podemos pensar en el sistema de los n´ umeros complejos como una extensi´on del sistema de los n´ umeros reales.

´ CAP´ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS

14

1.3.

La unidad imaginaria i.

Definici´ on 1.3.1. El n´ umero complejo (0, 1) es denotado por i y es llamado la unidad imaginaria. Es f´acil probar con la definici´on anterior, que el complejo i tiene la propiedad de que su cuadrado (0, 1)2 = i2 = (−1, 0) = −(1, 0) = −1 y por tanto x = ±i es soluci´on de la ecuaci´on x2 + 1 = 0. Esto nos acerca a la soluci´on del problema planteado en la secci´on 1.1 Esta propiedad anterior del n´ umero comlejo i nos permite formar la siguiente lista: i0 i1 i2 i3 i4 i5 i6 .. .

=1 =i = −1 = (i2 )i = (−1)i = −i = (i3 )i = (−i)i = −(i2 ) = −(−1) = 1 = (i4 )i = (1)i = i = (i5 )i = (i)i = i2 = −1

Claramente podemos ver cierta relaci´on entre las potencias de i. Ejercicio 3. Calcule i99 Ahora podemos relacionar la idea de “pares ordenados” (con respecto a la definici´on de n´ umeros complejos) con la notaci´on que usaron los matem´aticos al inicio del estudio de los n´ umeros complejos. Primero notemos que de la definici´on de multiplicaci´on tenemos (b, 0)(0, 1) = (0, b) y as´ı tenemos que: (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1). por tanto si escribimos a = (a, 0), b = (b, 0) e i = (0, 1), tenemos (a, b) = a + bi. Esto se resume en el siguiente teorema: Teorema 1.3.1. Cada complejo (a, b) puede ser expresado en la forma a+bi. Esta representaci´on recibe el nombre de“forma binomial”

´ GEOMETRICA, ´ ´ 1.4. INTERPRETACION MODULO Y ARGUMENTO. FORMA POLAR.15

1.4.

Interpretaci´ on geom´ etrica, m´ odulo y argumento. Forma Polar.

Como un n´ umero complejo (x, y) es un par ordenado de n´ umeros reales, este puede ser representado geom´etricamente por un punto en el plano, o por una flecha o un vector geom´etrico del origen al punto (x, y), como lo muestra la figura 1: y

r=

Α

ÈÈx

yÈÈ

+i

y=r SenHΑL

Hx,yL

x=r CosHΑL x

Figura 1.1: Representaci´on geom´etrica En este contexto, el plano xy es usualmente referido como el plano complejo. El eje x es llamado el eje real; el eje y es el eje imaginario. Es usual intercambiar el uso de las palabras “n´ umero complejo” y “punto”. As´ı nos referiremos al punto z = a + ib como aquel correspondiente al punto (a, b) en el plano xy asociado al complejo z. Las operaciones de suma y resta de n´ umeros complejos tiene una interpretaci´on geom´etrica simple. si dos complejos z1 y z2 son representados por flechas del origen a z − 1 y z2 , entonces la suma z1 + z2 est´a determinada por la ley de los paralelogramos: La flecha del origen a z1 + z2 es la diagonal del paralelogramo determinado por 0, z1 y z2 como se ilustra en el ejemplo de la figura 2: La otra diagonal del paralelogramo est´a relacionada con la diferencia de z1 y z2 . La flecha de z1 a z2 es paralela e igual en longitud a la flecha de 0 a z2 − z1 , la flecha en la direcci´on opuesta, de z2 a z1 , est´a relacionada con la diferencia z1 − z2 . Si (x, y) 6= (0, 0) podemos expresar x e y en coordenadas polares, para ello bastar´a observar detenidamente la figura 1. Usando las definiciones de las funciones trigonom´etricas Seno y Coseno es f´acil ver que se cumple:

´ CAP´ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS

16 y

z1 +z2

z2

z1

x

z1 -z2

Figura 1.2: Interpretaci´on geom´etrica de la suma y resta.

x = rCosθ, y = rSenθ y con ello obtenemos: x + iy = r(Cosθ + iSenθ). Esta u ´ltima expresi´on es conocida como la representaci´on de los n´ umeros complejos en la forma polar. Obs´ervese que lo u ´nico que debemos hacer para cambiar un n´ umero escrito en forma polar a la forma binomial es simplemente evaluar las funciones trigonom´etricas dadas y multiplicar por el valor r. Definici´ on 1.4.1. El n´ umero r, el cual representa la distancia de (x, y) al origen, es llamado el m´odulo o valor absoluto de x + iy y es denotado por |x + iy|, as´ı pues tenemos: p |x + iy| = x2 + y 2 .

Definici´ on 1.4.2. El ´angulo polar θ se representa como  b  ArcT an( a ) Arg(a, b) = 180◦ + ArcT an( ab )   ◦ 360 + ArcT an( ab )

es llamado el argumento de x + iy. Y

si a y b > 0 si a < 0 y b > 0 ´o bien si a, b < 0 si a > 0 y b < 0

´ GEOMETRICA, ´ ´ 1.4. INTERPRETACION MODULO Y ARGUMENTO. FORMA POLAR.17 Nosotros solo definimos a θ como un argumento y no como el argumento, debido a que para un punto (x, y) el a´ngulo θ est´a determinado solamente hasta m´ ultiplos de 2π. Algunas veces es deseable asignar un u ´nico argumento a un n´ umero complejo, esto se puede realizar restringiendo θ a pertenecer a un intervalo semi-abierto de longitud 2π. Usualmente usamos el intervalo [0, 2π). Denotamos este θ por arg(x + iy). Ejemplos Vamos a calcular el m´odulo y el argumento de los siguieets complejos: √ 1. ( 3, 1) Para calcular el m´odulo simplemente sustituimos en la f´ormula: q√ √ k( 3, 1)k = ( 3)2 + 12 = 2 Y el argumento ser´ıa: √ Arg( 3, 1) = ArcT an



1 √ 3



= 30◦

√ 2. (1, − 3) Para calcular el m´odulo simplemente sustituimos en la f´ormula: q √ √ k(1, − 3)k = 12 + (− 3)2 = 2 Y el argumento ser´ıa: √ Arg(1, − 3) = 180◦ + ArcT an

√ ! − 3 = 180◦ + (−60◦ ) = 120◦ 1

3. (−2, −2) Para calcular el m´odulo simplemente sustituimos en la f´ormula: p √ √ k(−2, −2)k = (−2)2 + (−2)2 = 8 = 2 2 Y el argumento ser´ıa: ◦

Arg(−2, −2) = 180 + ArcT an



−2 −2



= 180◦ + 45◦ = 225◦

´ CAP´ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS

18

4. (−2, 2) Para calcular el m´odulo simplemente sustituimos en la f´ormula: p √ √ k(−2, 2)k = (−2)2 + 22 = 8 = 2 2 Y el argumento ser´ıa: ◦

Arg(−2, 2) = 360 + ArcT an



−2 2



= 360◦ + (−45◦ ) = 315◦

Como el valor absoluto de un n´ umero complejo z es simplemente la longitud de un segmento de linea, no debe sorprendernos el hecho de que tiene las mismas propiedades que el valor absoluto de los n´ umeros reales: por ejemplo tenemos Teorema 1.4.1. Sea z un n´ umero complejo y |z| su norma (valor absoluto), entonces |z| > 0 si z 6= 0. |z1 − z2 | = |z2 − z1 |. |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |. |z1 z2 | = |z1 ||z2 |. | zz12 | =

|z1 | . |z2 |

Definici´ on 1.4.3. Si z = x + iy, el conjugado complejo de z es el n´ umero complejo z = x − iy. Geom´etricamente, z representa la reflecci´on de z con respecto al eje real x. La definici´on de conjugado implica que Teorema 1.4.2. Sea z un n´ umero complejo y sea z su conjugado, entonces: z1 + z2 = z1 + z2 . z1 z2 = z1 z2 . (z1 /z2 ) = z1 /z2 . zz = |z|2 .

1.5. EXPONENCIALES COMPLEJOS Y TEOREMA DE DEMOIVRE 19

1.5.

Exponenciales complejos y teorema de DeMoivre

Deseamos extender la definici´on de ex de tal forma que la expresi´on tenga sentido cuando x sea remplazada por un n´ umero complejo z. Deseamos que esta extensi´on sea tal que la ley de los exponentes ea eb = ea+b siga siendo v´alida para todos los complejos a y b. Adem´as tambi´en deseamos que ez coincida con la exponencial usual cuando z sea real. Definici´ on 1.5.1. Si z = x + iy, definimos ez como el complejo dado por la ecuaci´on ez = ex (Cosy + iSeny). Esta definici´on resulta de gran utilidad para demostrar un teorema muy conocido: El teorema de Moivre, pero antes de presentarlo, sugerimos desarrollar una pr´actica que nos dar´a una idea del funcionamiento de dicho teorema (ver pr´actica 1) Teorema 1.5.1. Si n es un entero positivo, entonces (Cos θ + iSen θ)n = Cos nθ + iSen nθ Con ayuda de este u ´ltimo teorema, conocido como elteorema de DeMoire, podemos inclusive calcular las ra´ıces de cualquier n´ umero complejo, de hecho la f´ormula para calcular cualquier ra´ız est´a dada por le siguiente teorema (ver pr´actica 2): Teorema 1.5.2. Si n es cualquier n´ umero entero y positivo, y r y α son, respectivamente, el m´odulo y el argumento de cualquier n´ umero complejo, entonces [r(Cosα + iSen(α)]n = rn (Cosnα + iSennα Teorema 1.5.3. Si a y b son complejos, tenemos ea eb = ea+b

´ CAP´ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS

20

Teorema 1.5.4. Cada complejo z 6= 0 puede ser expresado en la forma z = reiθ donde r = |z| y θ = arg(z) + 2πn siendo n un entero. Esta representaci´on es llamada la forma exponencial de z. Esta representaci´on de los n´ umeros complejos en forma exponencial es especialmente u ´til en relaci´on con la multiplicaci´on y divisi´on de los n´ umeros complejos. Por ejemplo, si z1 = r1 eiθ y z2 = r2 eiφ , tenemos z1 z2 = r1 eiθ r2 eiφ = r1 r2 eθ+φ .

1.6.

Polinomios

Llamamos polinomios a las expresiones a0 + a1 x + ... + an xn donde a0 , a1 , ..., an son n´ umeros complejos. A estos n´ umeros se les llama coeficientes del polinomio. Al s´ımbolo x se le llama indeterminada. a0 , a1 x, ..., an xn son los t´erminos del polinomio. Los coeficientes ai pueden ser todos reales, en cuyo caso decimos que se trata de un polinomio con coeficientes reales, o pueden ser todos racionales (o enteros), y diremos entonces que el polinomio tiene coeficientes racionales (o enteros). Haremos varias observaciones: Cuando ai = 0 se conviene en que se puede omitir el t´ermino ai xi al escribir el polinomio. Se conviene en escribir xi en lugar de 1xi , y −axi en lugar de (−a)xi o de +(−a)xi . El t´ermino a0 tambi´en puede escribirse como a0 x0 . Nos referimos al t´ermino ai xi como al t´ermino de grado i. Al t´ermino de grado cero le llamamos t´ermino independiente. Al polinomio 0 le llamamos polinomio nulo. No es necesario escribir los t´erminos de un polinomio siempre en el mismo orden. Definici´ on 1.6.1. El grado de un polinomio no nulo es el mayor de los grados de los t´erminos que tienen coeficiente diferente de cero.

1.6. POLINOMIOS

1.6.1.

21

Los polinomios como funciones

Al polinomio a0 + a1 x + .. + an xn le corresponde la funci´on que a cada complejo α le asocia el complejo: a0 + a1 α + ... + an αn que se obtiene al poner α en lugar de la indeterminada x y darle a los signos + en el sentido usual de suma. Si a esa funci´on la denotamos por f tenemos: f (α) = a0 + a1 α + ... + an αn Se acostumbra denotar el polinomio al que le corresponde la funci´on f con f (x).

1.6.2.

Ejercicios

1. Si sabemos que el t´ermino independiente de un polinomio f (x) es 3, ¿cu´anto vale f (0)?, ¿por qu´e? 2. ¿Existe alg´ un polinomio no nulo de la forma f (x) = a + bx + cx2 tal que f (0) = f (1) = f (−1) = 0?

1.6.3.

Suma y Producto de polinomios

Definici´on de la suma (a0 +a1 x+a2 x2 +...)+(b0 +b1 x+b2 x2 +...) = (a0 +b0 )+(a1 +b1 )x+(a2 +b2 )x2 +...) Definici´on del producto (a0 +a1 x+a2 x2 +...)∗(b0 +b1 x+b2 x2 +...) = a0 b0 +(a1 b0 +a0 b1 )x+(a0 b2 +a1 b1 +a2 b0 )x2 +... El coeficiente de xn en la suma es an + bn , y en el producto es X ai b j . i+j=n

Proposici´ on 1.6.1. El grado de la suma de dos polinomios no nulos es menor o igual que el m´aximo de los grados de los sumandos. Proposici´ on 1.6.2. El grado del producto de dos polinomios no nulos es la suma de los grados de los factores.

´ CAP´ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS

22

1.6.4.

Ejercicios

1. Encuentre un polinomio de grado dos f (x) tal que f (0) = 1, f (2) = 1, f (−3) = 0.

1.6.5.

Divisi´ on con residuo.

Proposici´ on 1.6.3. Sea f (x) cualquier polinomio y sea g(x) un polinomio no nulo. Existen dos u ´nicos polinomios, q(x) y r(x), que satisfacen las condiciones siguientes: 1. f (x) = g(x)q(x) + r(x). 2. grado de r(x) < grado de g(x). Los polinomios q(x) y r(x) son el cociente y el residuo respectivamente. Los polinomios f (x) y g(x) son el dividendo y el divisor, respectivamente.

1.6.6.

Ra´ıces de polinomios.

Se dice que a es ra´ız de f (x) si f (a) = 0. A las ra´ıces de f (x) tambi´en se les llama ceros de f (x). Las ra´ıces de f (x) son las soluciones de la ecuaci´on f (x) = 0, entendiendo por ecuaci´on una ecuaci´on que solo es verdadera si en lugar de x se ponen ciertos n´ umeros a los cuales llamamos soluciones de la ecuaci´on. Proposici´ on 1.6.4. Sea f (x) un polinomio y sea a ∈ C. Existen un polinomio q(x) (cociente) y r ∈ C (resto), tales que f (x) = (x − a)q(x) + r. Adem´as q(x) y r son u ´nicos. Teorema 1.6.5. El residuo de la divisi´on de f (x) entre x−a es igual a f (a). Teorema 1.6.6. Sea f (x) un polinomio de grado n > 0 con coeficientes complejos. Existen n n´ umeros complejos α1 , α2 , ..., αn , no necesariamente diferentes dos a dos, y un compljeo c tales que f (x) = c(x − α1 )(x − α2 ) · · · (x − αn ) adem´as esta factorizaci´on es u ´nica. Definici´ on 1.6.2. α es ra´ız de multiplicidad m del polinomio f (x) de grado positivo si (x − α)m divide a f (x) pero (x − α)m+1 no lo divide.

´ 1.7. PRACTICAS

1.7.

Pr´ acticas

1.7.1.

Pr´ actica 1

23

Vamos a estudiar el producto de n´ umeros complejos con ayuda de la forma polar. Para ello usaremos dos identidades trigonom´eticas: Sen(a + b) = Sen(a)Cos(b) + Sen(b)Cos(a) Cos(a + b) = Cos(a)Cos(b) − Sen(a)Sen(b) 1. Supongamos que z1 y z2 son dos n´ umeros complejos tales que sus m´odulos y argumentos son (r1 , θ1 ) y (r2 , θ2 ), respectivamente. ¿C´omo quedar´ıa la representaci´on de los n´ umeros en forma polar? 2. Ahora deseamos calcular el producto de esos n´ umeros z1 · z2 con ayuda de la representaci´on polar. Escriba el resultado usando la f´ormula del producto de complejos. 3. El resultado anterior se puede simplificar usando las identidades trigonom´etricas que mencionamos al principio. ¿C´omo quedar´ıa el resultado? 4. Supongamos que z3 = z1 · z2 , este es un complejo y se puede expresar en forma polar con ayuda del paso anterior. ¿cu´al es el m´odulo y el argumento de z3 ? 5. El resultado anterior nos da informaci´on sobre el m´odulo y el argumento de un producto de complejos. Escriba dos teoremas que expliquen este resultado: “Supongamos que ... entonces el m´odulo (argumento) del producto ....” 6. Repetiremos los pasos pero ahora simplemente multiplicaremos z1 · z1 , es decir z12 . ¿C´omo quedar´ıa la representaci´on polar del resultado? 7. Continuando con la idea del paso anterior, ahora queremos determinar el resultado en forma polar de z13 = z12 · z1 . Escribalo en forma polar. 8. Ahora calcule en forma polar los resultados de z14 , z25 , ... ¿Cu´al es el patr´on que se repite en todos los casos?

´ CAP´ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS

24

9. ¿C´omo quedar´ıa la representaci´on polar del caso general z1n ? Escriba las conclusiones en forma de teorema.

1.7.2.

Pr´ actica 2

1. Vamos a calcular las ra´ıces sextas del n´ umero complejo (1,0), posteriormente vamos a generalizar los resultados para tratar de hallar las ra´ıces en cualquier otra potencia y por u ´ltimo calcularemos las ra´ıces de un complejo diferente a (1, 0). 2. Dado que conocemos la forma polar de escribir los n´ umeros complejos, usaremos esta herramienta: Escribimos el complejo (1,0) en forma polar (es decir, buscamos escribirlo de la forma r(Cos α +i Sen α).) ¿Cu´anto vale r, α? 3. Dado que queremos calcular las ra´ıces sextas, podemos encontrar f´acilmente algunas de ellas sin necesidad de hacer muchas cuentas, ¿cu´ales ser´ıan? (se deben encontrar al menos 2 ra´ıces sextas reales). ¿Ser´a que estas que encontramos son todas las que existen?, ¿existir´an m´as ra´ıces reales (complejas)? 4. Dado que no podemos encontrar m´as soluciones reales, entonces supondremos que las dem´as soluciones son complejas, y como no conocemos realmente cu´ales son estas soluciones, simplemente supongamos quep z = r’(Cos β +i Sen β) es una ra´ız sexta, es decir, se cumple 6 que (1, 0) = zen los pasos siguientes trataremos de encontrar el valor espec´ıfico de z, es decir, trataremos de determinar su m´odulo y su argumento. Para empezar, de acuerdo con el teorema de Moivre podemos calcular (al menos simb´olicamente) el valor de z 6 , ¿c´omo quedar´ıa z 6 ? Adem´as de acuerdo con la ecuaci´on anterior podemos, inclusive, determinar (despejando) el valor de z 6 ¿que sucede con r’ y con β? 5. Dado que z es ra´ız sexta del complejo (1,0), entonces podemos igualar el resultado anterior con el primero, es decir (1, 0) = z 6 . ¿C´omo se escribir´ıa la igualdad en t´erminos polares? 6. Comparemos, ¿Cu´al es el argumento de z, z 6 y (1,0)?, ¿Cu´al es su m´odulo? (Usar inc´ognitas o variables, si es necesario, por ejemplo el valor β del paso 2). Complete la siguiente tabla

´ 1.7. PRACTICAS

25

z z 6 (1, 0) Argumento M´odulo 7. Usando el hecho de que z 6 = (1, 0), podemos igualar las u ´timas dos columnas de la tabla anterior (¿por qu´e?), y con ello despejar los valores del m´odulo y el argumento de z hallados en el paso 4. ¿Qu´e valores obtenemos para r’ y β? 8. Como mencionamos anteriormente no conoc´ıamos el valor real de z puesto que no conoc´ıamos su m´odulo ni su argumento, sin embargo con ayuda de las propiedades conocidas hemos podido encontrar esos valores (¿cu´ales fueron estas propiedades?), con lo cual podemos dar otra ra´ız sexta de (1,0). Escriba la soluci´on final para z. 9. De acuerdo con la definici´on del argumento, existen varias alternativas a elegir para representar el argumento, de hecho sabemos que si el argumento del complejo (1,0) es α (de hecho sabemos que α = 0) tambi´en podemos tomar como a´ngulo al valor α+2π (en este caso espec´ıfico ser´ıa 0 + 2π), ¿por qu´e podemos cambiar el a´ngulo sin preocuparnos de estar haciendo algo incorrecto? ¿C´omo var´ıan los pasos anteriores con respecto a este nuevo a´ngulo? 10. Repita todos los pasos anteriores y determine el valor final de z (nuevamente) ¿es el mismo que el resultado del paso 7? ¿por qu´e? 11. Podemos repretir los pasos anteriores si consideramos ahora el valor del ´angulo igual a α+2(2π). ¿El resulado para z es el mismo a alguno de los anteriores? ¿cuantos valores de z diferentes podemos encontrar? ¿qu´e hay que hacer para encontrar todos los valores de z? 12. Supongamos ahora que en lugar de calcular las ra´ıces sextas queremos calcular las ra´ıces octavas, ¿qu´e hay que cambiarle al proceso para obtener las respuestas? 13. Por u ´ltimo supongamos que no queremos las ra´ıces del complejo (1,0) sino m´as bien queremos calcular las ra´ıces de un complejo (a, b) cuyo m´odulo sea R y su argumento sea α ¿qu´e cambiar´ıamos para obtener las respuestas al problema?

´ CAP´ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS

26

1.8.

Ejercicios

1. Exprese los siguientes n´ umeros complejos en la forma a + bi : a) (1 + i)2 b) 1/(1 + i) c) 1 + i + i2 + i3

2. Calcule los valores absolutos de los siguiente n´ umeros complejos a) 1 + i2 + i3 b) 2(1 − i) + 3(2 + i) √ c) −3 + 3i

3. En cada caso determine los valores de x y y que satisfacen la relaci´on dada: a) x + iy = x − iy b) x + iy = kx + iyk c) (x + iy)2 = (x − iy)2

4. Exprese cada uno de los siguientes n´ umeros complejos en la forma a+bi a) eπi/2 b) i + e2πi c) 3eπi

5. En cada caso determine los valores reales x e y que satisfacen las relaciones dadas: a) x + iy = xeiy b) x + iy = yeix

1.8. EJERCICIOS

27

6. Realice las siguientes operaciones con n´ umeros complejos y calcule el m´odulo del resultado: √ √ √ √ ( 3, 43 )( 3, −4 3 ) (5,8) (10,−8) ( 4+6i ) 3 (2+3i)

7. Calcule las siguientes potencias de i : i−99 i4x+j donde x = 2010, 2011 y j = 1, 2, 3. 8. Convertir a la forma polar y exponencial los siguientes complejos: (7, 7) (7, −7) (0, −5) 9. Encu´entrese las soluciones de las siguientes ecuaciones: x2 + x + 1 = 0 x2 + 5 = 0 x2 + 1 x2 − 2x + 2 = 0 10. Demuestre que si a + bi es soluci´on de la ecuaci´on x2 + k = 0 con k > 0, real, entonces la otra soluci´on ser´ıa a − bi. 11. Calcule las ra´ıces sextas de 1 y -1. 12. Si α es real encuentre expresiones en t´erminos de eiα para las siguientes funciones: Cos α Sen α 13. Encuentre dos n´ umeros complejos z, w tales que

√ √ √ zw 6= z w.

´ CAP´ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS

28 14. Calcule

s

√ 1−i 3 2

15. ¿Para qu´e parejas de n´ umeros complejos u y v se cumplen las siguientes ecuaciones? uv = uv u + (u + v) − u − v = u 16. Determine los valores de los complejos z, u, v que satisfacen cada igualdad. zz = |z|2 |uv| = |u||v| |u| = |v| 17. Determine el cociente indicado en forma binomial 1 i4 − 1 1+i ; ; i Cos( π4 ) + iSen( π4 ) i − 1 18. Determine 4 n´ umeros complejos tales que su conjugado tenga m´odulo 4. 19. Convierta el resultado de las siguientes operaciones a las distintas representaciones de n´ umeros complejos. (Cos(35o ), Sen(35o )) · (Cos(55o ), Sen(55o )) (0, −1)85 √ π
6 5e 3

Parte II Parcial 2

29

Cap´ıtulo 2 Matrices 2.1.

Definiciones b´ asicas

Definici´ on 2.1.1. Una matriz sobre un campo F es un arreglo rectangular de elementos del campo F, ordenados en filas y columnas (para los objetivos de nuestro curso, bastar´a con considerara que F = R o bien F = C). El s´ımbolo Mm×n (F ) denota la colecci´on de todas las matrices de m renglones con n columnas sobre el campo F. Las matrices usualmente ser´an denotadas por letras may´ usculas, y la ecuaci´on A = [aij ] significa que el elemento en el i-´esimo rengl´on y la j-´esima columna de la matriz A es igual a aij . En ocasiones tambi´en es conveniente escribir aij = (A)ij . Ejemplo 1. La f´ormula aij = 1/(i + j) para 1 ≤ i ≤ 3, 1 ≤ j ≤ 4 define una matriz A de 3 renglones con 4 columnas que tiene la forma: 1 1 1 1 2

A =  13 1 4

Nota 2.1.1. Dada una matriz de la  a11  a21  A =  ..  . an1

3 1 4 1 5

4 1 5 1 6

5 1 6 1 7

forma  a12 ... a1m a22 ... a2m   .. . . ..  . . .  an2 ... anm 31

CAP´ITULO 2. MATRICES

32

es usualmente llamada matriz de orden n × m.

2.2. 2.2.1.

Operaciones B´ asicas Igualdad

Definici´ on 2.2.1 (Igualdad de Matrices). Diremos que dos matrices A y B son iguales si tienen la misma dimensi´on y sus correspondientes elementos son iguales; es decir si A y B ∈ Mm×n (F ) y si A = [aij ], B = [bij ], con aij = bij para 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n. Las matrices 1 2

 1 A= 3  1 4

1 1+1

1 1+2

1 1+3

1  1+4

  1 B=  2+1  

1 2+2

1 2+3

1  2+4 

1 3

1 4

1 5

1 4

1 5

1 6

1 5

1 6





 

1 7

1 3+1

1 3+2

1 3+3

 

1 3+4



son iguales ya que el valor de cada elemento aij es igual al valor de cada entrada bij . Por otro lado, las matrices 1 1 1 2 3 4 1 1 1 1   2 3 4 5 1 1 1     3 4 5 1 1 1 1    A= 3 4 5 6 B = 1 1 1     4 5 6 1 1 1 1   4

5

6

7

1 5

1 6

1 7

no son iguales.

2.2.2.

Suma

Definici´ on 2.2.2 (Suma de Matrices). Sean A = [aij ] y B = [bij ] matrices de igual dimensi´on. Entonces A + B es la matriz obtenida al sumar los correspondientes elementos de A y B; es decir A + B = [aij ] + [bij ] = [aij + bij ].

´ 2.2. OPERACIONES BASICAS Si

1 2

 1 A= 3  1 4

1 3

1 4

1 5

1 4

1 5

1 6

1 5

1 6

1 7

33





1 2

 

  −1 B= 3   1 4

2 3

3 4

−1 4

−1 5

1 5

1 6

4 5

  

−1  6  1 7



Entonces, por la definici´on anterior   1 1 1 1 A + B = 0 0 0 0 2 5

2 4

2.2.3.

2 6

2 7

Multiplicaci´ on por un escalar

Definici´ on 2.2.3 (Multiplicaci´on por un escalar). Sea A = [aij ] y t ∈ F (= R, = C)1 . Entonces tA es la matriz obtenida de multiplicar todos los elementos de A por t; es decir tA = t[aij ] = [taij ] Sean

1 2

 1 A= 3  1 4

1 3

1 4

1 5

1 4

1 5

1 6

1 5

1 6

  

1 7

t=2



Entonces 

2·

  tA =  2 ·  2·

2.2.4.

1 2 1 3 1 4

2·

1 3

2·

1 4

2·

1 5

2·

1 4

2·

1 5

2·

1 6

2·

1 5

  



1

 2 2· = 3   1 2 · 17 2 1 6

2 3

1 2

2 5

1 2

2 5

1 3

2 5

1 3

2 7

   

Multiplicaci´ on

Definici´ on 2.2.4. Sean A = [aij ] una matriz de tama˜ no m × n y B = [bjk ] una matriz de tama˜ no n×p; (es decir, el n´ umero de columnas de A es igual al 1

en este caso decimos que t es un escalar

CAP´ITULO 2. MATRICES

34

n´ umero de renglones de B). Entonces definimos la multiplicaci´on AB como la matriz de m × p, C = [cij ] donde los elementos (i, j) est´an definidos por la f´ormula n X cik = aij bjk = ai1 b1k + ... + ain bnk j=1

       1 2 5 6 1×5+2×7 1×6+2×8 19 22 = = 3 4 7 8 3×5+4×7 3×6+4×8 43 50

2.3.

Definiciones complementarias

Definici´ on 2.3.1 (La Inversa Aditiva de una Matriz). Sea A = [aij ]. Entonces −A es la matriz obtenida al reemplazar los elementos de A por sus inversos aditivos (negativos); es decir −A = −[aij ] = [−aij ] Definici´ on 2.3.2. Para cada m, n la matriz en Mm×n (F ), cuyos elementos son todos cero, es llamada la matriz cero (de tama˜ no m × n) y es denotada por el s´ımbolo 0. Definici´ on 2.3.3 (Resta de Matrices). La resta matrices est´a definida para dos matrices A = [aij ] y B = [bij ] del mismo tama˜ no, de la manera usual; es decir A − B = [aij ] − [bij ] = [aij − bij ]

2.4.

Propiedades de las operaciones

2.4.1.

Propiedades de la suma y multiplicaci´ on por escalar

Teorema 2.4.1. Sean A, B y C matrices de dimensi´on n×m y sean s, t ∈ F, entonces: 1. (Asociativa para la suma) (A + B) + C = A + (B + C).

2.4. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES

35

2. (Conmutativa para la suma) A + B = B + A. 3. (Neutro aditivo) 0 + A = A. 4. (Inverso aditivo) A + (−A) = 0. 5. (Distributiva por la derecha) (s + t)A = sA + tA, (s − t)A = sA − tA. 6. (Distributiva por la izquierda) t(A + B) = tA + tB. 7. (Asociativa para la multiplicaci´on por escalar) s(tA) = (st)A. 8. 1A = A, 0A = 0, (−1)A = −A. 9. tA = 0 ⇒ t = 0 o bien A = 0.

2.4.2.

Propiedades de la multiplicaci´ on de Matrices

Teorema 2.4.2. Para la multiplicaci´on de matrices tenemos las siguientes propiedades: 1. (AB)C = A(BC) si A, B, C son de tama˜ no m × n, n × p, p × q respectivamente 2. t(AB) = (tA)B = A(tB), A(−B) = (−A)B = −(AB) 3. (A + B)C = AC + BC si A, B son de tama˜ no m × n y C es de n × p 4. D(A + B) = DA + DB si A y B son de m × n y D es de p × m Nota 2.4.3. A pesar de que tenemos las propiedades anteriores una com´ un en aritm´etica y que no se cumple para matrices es la siguiente: AB = BA ∀A, B matrices que se puedan multiplicar.

CAP´ITULO 2. MATRICES

36

2.5.

Clasificaci´ on de las Matrices

Matriz Triangular. Definici´ on 2.5.1. Se dice que una matriz es triangular superior si todos los elementos que est´an por debajo de la diagonal principal son nulos. Definici´ on 2.5.2. Se dice que una matriz es triangular inferior si todos los elementos que est´an por encima de la diagonal principal son nulos. Ejemplos Triangular Superior: 

 1 4 2  0 3 4  0 0 1 Triangular Inferior: 

 1 0 0  2 8 0  4 9 7 Matriz Diagonal. Definici´ on 2.5.3. Se llama diagonal principal de una matriz A a la diagonal formada por los elementos aii . La Matriz diagonal, es una matriz cuadrada donde sus elementos aij = 0 si i 6= j. Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las entradas o valores son todos nulas salvo en la diagonal principal, y ´estos incluso pueden ser nulos o no. Otra forma de decirlo es que es diagonal si todos sus elementos son nulos salvo algunos de la diagonal principal. Ejemplos MATRIZ DIAGONAL: 

1 0 0 4



´ DE LAS MATRICES 2.5. CLASIFICACION

37

Matriz Escalar. Definici´ on 2.5.4. Matriz Escalar es el nombre que recibe aquella matriz diagonal en la cual los elementos que conforman la diagonal principal son iguales. Ejemplo MATRIZ ESCALAR 

 2 0 0  0 2 0  0 0 2 Matriz Identidad. Definici´ on 2.5.5. Se llama matriz identidad de orden n y se nota In a una matriz cuadrada de orden n en la que los elementos de la diagonal principal son 1 y el resto 0. La matriz identidad es una matriz diagonal. Ejemplos MATRIZ IDENTIDAD   1 0 0 1 ; 

 1 0 0  0 1 0  0 0 1

. Matriz Per´ odica.

Definici´ on 2.5.6. Una matriz A se llama peri´odica, si existe k, el menor n´ umero entero y positivo, para el cual se cumple Ak+1 = A. Se dice que la matriz A tiene como periodo k. ´ Ejemplo MATRIZ PERIODICA 

1 0 0 1

2

 =

1 0 0 1



CAP´ITULO 2. MATRICES

38 Matriz Nilpotente.

Definici´ on 2.5.7. Sea A una matriz cuadrada. Si existe un entero positivo p para el cual Ap = 0, entonces decimos que A es nilpotente de orden p. Tambi´en llamada matriz nulipotente. Ejemplo MATRIZ NILPOTENTE 2   0 −8 0 0 0 0  0 0 0  = 0 0 0  0 5 0 0 0 0 

Matriz Idempotente Definici´ on 2.5.8. Una matriz idempotente1 es una matriz la cual es igual a su cuadrado, es decir: A es idempotente si A · A = A2 = A. Ejemplo. MATRIZ IDEMPOTENTE 

1 0 0 1

2

 =

1 0 0 1



Matriz Involutiva Definici´ on 2.5.9. Una matriz A es involutiva si cumple con A2 = I. Ejemplo: MATRIZ INVOLUTIVA 

−1 0 0 1

2

 =

1 0 0 1



Matriz Transpuesta Definici´ on 2.5.10. Se llama matriz traspuesta de una matriz A a aquella matriz cuyas filas coinciden con las columnas de A y las columnas coinciden con las filas de A. Es representada por el s´ımbolo At .

´ DE LAS MATRICES 2.5. CLASIFICACION

39

La matriz transpuesta se puede obtener intercambiando las filas por las columnas de una matriz dada. Ejemplo: MATRIZ TRANSPUESTA     1 2 1 3 t A= →A = 3 4 2 4 

   1 2 3 1 4 7 B =  4 5 6  → Bt =  2 5 8  . 7 8 9 3 6 9 Matriz Sim´ etrica Definici´ on 2.5.11. Una matriz A es sim´etrica si cumple con A = At . Ejemplo: ´ MATRIZ SIMETRICA:  1 2  2 0 A= 3 5

(A = At )    3 1 2 3 5  → At =  2 0 5  = A 6 3 5 6



   4 −5 2 4 −5 2 B =  −5 0 3  → B t =  −5 0 3  = B. 2 3 9 2 3 9 Matriz Antisim´ etrica. Definici´ on 2.5.12. Una matriz A es antisim´etrica, cuando cumple con A = −At . Ejemplo: ´ MATRIZ ANTISIMETRICA:    0 −2 4 0 2  → At =  A= 2 −4 −2 0

(At = −A)    0 2 −4 0 −2 4 −2 0 −2  = −  2 0 2  = −A. 4 2 0 −4 −2 0

CAP´ITULO 2. MATRICES

40 Matriz Compleja.

Definici´ on 2.5.13. Sea A una matriz de tama˜ no mxn, se llama compleja si sus elementos con n´ umeros complejos. Ejemplo: MATRIZ COMPLEJA  A=

1 + i 2 − 3i 2 − 4i 3 + 8i

 .

Matriz Conjungada. Definici´ on 2.5.14. Sea A una matriz compleja, la matriz conjugada de A se forma con los conjugados de cada elemento de A, se representa por A. Ejemplo: MATRIZ CONJUGADA     2+i 3 −1 + 4i 2−i 3 −1 − 4i 5 −2 − 2i  → Ac =  4 + i 5 −2 + 2i  . A= 4−i 1 3 − i 1 + 3i 1 3 + i 1 − 3i Matriz Herm´ıtica. Definici´ on 2.5.15. Sea A es una matriz compleja, decimos que A es una matriz herm´ıtica (o hermitiana) si cumple que At = A . Ejemplo: MATRIZ HERM´ITICA:       3 2+i 3 2−i 3 2+i c ct A= →A = →A = = A. 2−i 1 2+i 1 2−i 1 Matriz Antiherm´ıtica Definici´ on 2.5.16. Si A es una matriz compleja y adem´as cumple con At = −A, entonces se llama matriz antihermitiana, hermiherm´ıtica o antiherm´ıtica.

2.6. EJERCICIOS

41

Ejemplo: MATRIZ ANTIHERM´ITICA: (A∗ = −A)     i 2+i −i 2−i c A= →A = → ... −2 + i 3i −2 − i −3i 

ct

··· → A =

−i −2 − i 2 − i −3i



 =−

i 2+i −2 + i 3i

 = −A.

Matroz Ortogonal. Definici´ on 2.5.17. Una matriz cuadrada es ortogonal si A · At = At · A = I. Ejemplo: MATRIZ ORTOGONAL: √1 2 − √12

A=

t

A∗A =

2.6.

√1 2 − √12

!

√1 2 √1 2

√1 2 √1 2

√1 2 √1 2

→ At =

! ∗

√1 2 √1 2

− √12

− √12 √1 2

!

√1 2

 =

Ejercicios 

Sea A =

1 2 −1 3



 yB=

3 1 2 4 3 1

 ,

1. ¿cu´ales son las dimensiones de A y B? 2. ¿qu´e operaciones se pueden realizar entre A y B? 3. ¿cu´al es la dimensi´on de AB? 4. Calcule el elemento (2,3) y el elemento (3,2) de AB 5. Calcule AB 6. Sea Ri = (ai,1 , ai,2 ), ¿Cu´al es el valor de R2 ?

!

1 0 0 1

 .

CAP´ITULO 2. MATRICES

42

7. Si sabemos que X ∈ M2x2 (R) y que AX = A, ¿qui´en es X? 8. Si sabemos que X ∈ M2x2 (R) y que AX = 02×2 , ¿qui´en es X?

2.7.

Operaciones Elementales Rengl´ on.

Vamos a definir unas funciones f : Mn×n −→ Mn×n usando los renglones Ri de una matriz dada A, de la siguiente manera: f (Ri , Rj ) −→ Ri donde el resultado de la f´ormula f (Rj ) lo vamos a colocar en Ri de la matriz A. Por ejemplo: (R1 + R2 ) → R1 significa que el resultado (R1 + R2 ) (la suma del renglon 1 mas el rengl´on 2) lo vamos a colocar en R1 (el rengl´on 1). En particular vamos a definir 3 tipos diferentes de f´ormulas que podemos usar sobre las matrices, estas son llamadas operaciones elementales rengl´on, puesto que como mencionamos anteriormente, u ´nicamente utilizan los renglones de una matriz. A continuaci´on definimos las operaciones elementales que usaremos para realizar la reducci´on de las matrices: Definici´ on 2.7.1. Sea 

 R1   A =  ...  Rm una matriz, donde cada Ri representa el rengl´on i de la matriz, entonces definimos las siguientes operaciones elementales rengl´on: 1.- Intercambiar el rengl´on i-´esimo y la j-´esimo. Es decir,

´ DE GAUSS 2.8. ALGORITMO DE REDUCCCION

         

R1 ... Ri ... Rj ... Rm





    Ri ↔Rj  −→    

        

R1 ... Rj ... Ri ... Rm

43

         

2.- Reemplazar el rengl´on i por un m´ ultiplo constante no cero de el mismo. Es decir,     R1 R1  ...      kRi →Ri  ...   Ri  −→  k ∗ Ri       ...   ...  Rm Rm 3.- Reemplazar el rengl´on i por una combinaci´on de el mismo m´as un m´ ultiplo constante del rengl´on j     R1 R1  ...    ...   (kRj +Ri )→Ri    Ri   k ∗ Rj + Ri  −→      ...    ... Rm Rm

2.8.

Algoritmo de reduccci´ on de Gauss

Definici´ on 2.8.1. Forma Escalonada: Una matriz se dice que es escalonada, escalonada por filas, o que est´a en forma escalonada si: 1. Todas las filas cero, est´an en la parte inferior de la matriz. 2. El primer elemento no nulo (es decir diferenete de cero) de cada fila llamado pivote, est´a a la derecha del pivote de la fila anterior (esto supone que todos los elementos debajo del pivote son cero). Definici´ on 2.8.2. Forma Escalonada Reducida: Esta es una matriz que cumple las condiciones de escalonada y adem´as:

CAP´ITULO 2. MATRICES

44

1. Todos los elementos pivotes son iguales a 1. 2. Todos los elementos por encima de los pivotes son nulos. Ejemplos Esta es una matriz en forma escalonada.   0 2 −1  0 0 8  0 0 0 Matriz en forma escalonada, aunque  2 3  0 −3 0 0

sin renglones cero:  0 0  1

Esta es una matriz en forma escalonada reducida.   0 1 0  0 0 1  0 0 0 Esta matriz est´a en forma escalonada, adem´as es la identidad.   1 0 0  0 1 0  0 0 1 Existen dos algoritmos que nos ayudan a convertir matrices en formas m´as “simples”, estos son: 1. Algoritmo de Gauss: Convierte la matriz en una escalonada. 2. Algoritmo de Gauss-Jordan: Convierte la matriz en una forma escalonada reducida.

2.8.1.

Algoritmo de reducci´ on de Gauss-Jordan.

A continuaci´on listamos los pasos del algoritmo de reducci´on de Gauss par simplificar los sistemas de ecuaciones:

´ 2.9. CALCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ.

45

1. Realizar la operaci´on elemental 1 hasta conseguir que el primer rengl´on tenga como primer elemento a un valor diferente de cero. 2. Se divide el primer rengl´on entre una constante, para hacer el elemento a11 igual a 1 . Esto se logra con operaciones tipo 2. 3. Se “eliminan” los elementos de la primera columna de los dem´as renglones usando las operaciones del tipo 3. 4. Se usa la operaci´on del tipo 1 para conseguir que el segundo rengl´on tenga como primer elemento a un elemento diferente de cero. 5. Se repiten los pasos 2 y 3 con el elemento a22 . 6. Se repiten los pasos anteriores con cada elemento (aii ) hasta conseguir transformar el sistema a la forma escalonada. Ejemplo: Aplicar el algoritmo para calcular la forma escalonada  de Gauss-Jordan  6 5 −3 reducida de la matriz  2 1 4  . 0 8 7 ´ Unicamente mostraremos la cadena de operaciones usadas y los resulados obtenidos:       5 −1 5 −1 1 1 6 5 −3 −3 1 6 2 6 2 R1 →R1 R2 →R2 +R2 →R2  2 1 4  −2R1−→  0 −2 5  2 −→  2 1 4  6 −→ 3 0 8 7  0 8 5 7 −1   0 5 8 −1 7 5 −1 1 6 2 1 6 2 1 6 2 1 R3 →R3 +R3 →R3 2 +R1 →R1  0 1 −15  −8R2−→  0 1 −15  67 −→  0 1 −15  −5/6R−→ 2 2 2 7  0 0 67 0 0 1  0 8 23    1 0 4 1 0 0 1 0 0 3 +R1 →R1 3 +R2 →R2  0 1 −15  −23/4R−→  0 1 −15  15/2R−→  0 1 0  2 2 0 0 1 0 0 1 0 0 1

2.9.

C´ alculo de la Inversa de una Matriz.

Podemos aplicar el algoritmo de Gauss-Jordan para calcular la inversa de una matriz cuadrada, u ´nicamente necesitamos formar una matriz especialcon ayuda de la identidad:

CAP´ITULO 2. MATRICES

46 Calcularemos la  inversa 7 Gauss-Jordan: A =  −5 9

de 8 2 0

la siguiente matriz por medio de algoritmo de  3 −3  4

   1 78 37 17 0 0 7 8 3 1 0 0 1 R →R 1 1 2 →R2  −5 2 −3 0 1 0  5R1 +R  −5 2 −3 0 1 0  7 −→ −→ 9 0 4 0 0 1  9 08 43 0 1 0 1   3 1 8 0 0 1 7 1 7 7 7 0 0 7 7 7 R2 →R2 +R3 →R3  0 54 −6 5 1 0  54 −→  0 54 −6 5 1 0  −9R1−→ 7 7 7 7 7 7 −72 1 −9 9 0 4 0 0 1 0 0 1 7 7 7     8 3 1 5 1 −4 0 0 0 1 7 1 0 −8 72 7 7 9 27 27 R +R →R R +R →R 7  0 1 −1 5 7 0  7 2−→1 1  0 1 −1 5  7 2−→3 3 0 9 54 54 9 54 54 1 −9 1 −9 −72 0 1 0 −72 7 7 7  0 7 5 7 1 7 −40 1   1 −4 5 1 0 9 27 27 0 1 0 9 27 27 0 −5 R +R →R −R3 →R3 7 5 7 −1  0 1 −1 5    9 3−→1 1 0 0 0 1 −→ 9 54 54 9 54 54 −1 4 0 0 1 13 −4 −1 3   0 0 −1 −43 163 15  −4 16 5 1 0 0 27 27 9 1 0 0 1 27 27 9 R3 +R2 →R2 7  0 1 −1 5  0 1 0 7 −1 −1  0  9 −→ 9 54 54 54 54 9 1 −4 1 −4 0 0 1 0 0 1 −1 −1 3 3 3 3 Por u ´ltimo, la matriz inversa de la matriz A es aquella que queda en el lado derecho:  −4 16 5  

A−1 = 

2.10.

27 7 54 1 3

27 −1 54 −4 3

9 −1 9



−1

El Determinante de una matriz cuadrada.

Definici´ on 2.10.1. Sea S = {1, 2, 3, ..., n} el conjunto de enteros de 1 a n, odenados en forma creciente. Cualquier reordenamiento de la forma j1 j2 ...jn de los elementos de S se llama una permutaci´ on de S. Ejemplos Si S = {1, 2, 3, 4} algunas permutaciones ser´ıan: 3142

2.10. EL DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA.

47

2134 4321 1234 Adem´as las permutaciones se pueden definir como funciones, as´ı por ejemplo, para la permutaci´on 3142 tenemos la funci´on: f (1) = 3, f (2) = 1, f (3) = 4, f (4) = 2. Denotamos al conjunto de todas las permutaciones de S con el s´ımbolo Sp Definici´ on 2.10.2. Se dice que una permutaci´on j1 j2 ...jn del conjunto S = {1, 2, ..., n} tiene una inversi´ on si un entero mayor jr aparece antes de uno menor ji en dicha permutaci´on. Adem´as, una permutaci´on se denomina par o impar si el n´ umero total de inversiones en ella es par o impar, respectivamente. Ejemplos La permutaci´on 2134, tiene u ´nicamente una inversi´on, por lo tanto es impar. Por otro lado, la permutaci´on 4132 tiene 4 inversiones por lo tanto es par Definici´ on 2.10.3. Dada una permutaci´on p ∈ Sp , definimos el signo de p como:  + Si p es par Sgn(p) = − Si p es impar Definici´ on 2.10.4. Sea A = (aij ) una matriz de n × n. Definimos el determinante de A (que se escribe como det(A) o |A|) como det(A) = |A| =

X

Sgn(σ)a1σ(1) · a2σ(2) · ... · anσ(n)

σ∈Sp

donde la suma var´ıa sobre todas las permutaciones σ ∈ Sp consideradas como funciones.

CAP´ITULO 2. MATRICES

48

2.11.

La matriz Adjunta.

Definici´ on 2.11.1. Sea A una matriz de n × n y sea Mij la matriz de (n − 1) × (n − 1) que se obtiene de A eliminando el rengl´on i y la columna j. Mij se llama el menor i, j de A. Ejemplo: 

 2 −1 4 5 . Encuentre M13 y M32 . Sea A =  0 1 6 3 −4   0 1 M13 = . 6 3  M32 =

2 4 0 5

 .

Definici´ on 2.11.2. Sea A una matriz de n × n. El cofactor i, j de A, denotado por Aij , est´a dado por Aij = (−1)i+j |Mij | donde |Mij | es el determinante del menor ij. Ejemplos: (Usaremos la matriz A anterior)   0 1 1+3 4 A13 = (−1) |M13 | = (−1) det = 1 · (−6) = −6. 6 3   2 4 3+2 5 A32 = (−1) |M32 | = (−1) det = (−1)(10) = −10. 0 5 Teorema 2.11.1. Sea A una matriz de n × n. Entonces el determinante de A, denotado por det(A) est´a dado por det(A) = |A| = a11 A11 + a12 A12 + ... + a1n A1n =

n X

est´a definici´on es llamada expansi´ on por cofactores. Ejemplos:

k=1

a1k A1k

2.11. LA MATRIZ ADJUNTA.

49



 3 2 9 1.- Sea A =  4 8 −1  , entonces de acuerdo con el teorema anterior, 3 2 9 el determinante ser´ıa:   8 −1 A11 = (−1)1+1 |M11 | = (−1)2 det = 1 · (74) = 74. 2  9  4 −1 A12 = (−1)1+2 |M12 | = (−1)3 det = (−1) · (39) = −39.  3 9 4 8 A13 = (−1)1+3 |M13 | = (−1)4 det = 1 · (−16). = −16. 3 2 Luego,el determinante ser´ıa: det(A) = (3) · (74) + (2)(−39) + (9)(−16) = 0   2 −1 4 5 , Por cofactores tendr´ıamos: 2.- Sea A =  0 1 6 3 −4   1 5 1+1 2 = −19 A11 = (−1) |M11 | = (−1) 3 −4   0 5 = −(−30) = 30 A12 = (−1)1+2 |M12 | = (−1)3 6 −4   0 1 = −6 A13 = (−1)1+3 |M13 | = (−1)4 6 3 As´ı pues el determinante ser´ıa: Det(A) = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 = 2(−19) + (−1)(30) + 4(−6) = −38 + −30 + 4(−6) = −68 − 24 = −92 El teorema anterior tambi´en funciona si se lo aplicamos a Nota 2.11.2. cualquier otro rengl´on diferente del primero, inclusive funciona si se lo aplicamos a columnas. Este m´etodo para calcular el determinante tambi´en es llamado expansi´ on por cofactores.

CAP´ITULO 2. MATRICES

50

Si acomodamos todos los signos que se forman en los cofactores por el elemento (−1)i+j , dentro de la matriz con su correspondiente coordenada(i, j), entonces nos  quedar´ıa una matriz como la siguiente: + − + −  − + − +     + − + −  − + − + Definici´ on 2.11.3. Sea A una matriz de n × n y sea B la matriz formada por los cofactores de A, es decir   A11 A12 ... A1n  A21 A22 .. A2n   B=  .. .. .. ..  An1 An2 .. Ann Entonces la adjunta de A, escrito Adj(A), es de n × n.  A11 A21  A 12 A22 Adj(A) = B T =   .. .. A1n A2n

la transpuesta de la matriz B  ... An1 .. An2   .. ..  .. Ann

Teorema 2.11.3. Sea A una matriz de n × n. Entonces A es invertible si y s´olo si det(A) 6= 0. Adem´as si det(A) 6= 0, la inversa de A est´a dada por: A−1 =

1 Adj(A). det(A)

Ejemplo: 

 2 −1 4 5  y calculamos su adjunta: Sea A =  0 1 6 3 −4 A11 = −19 A12 = 30 A13 = −6 A21 = 8 A22 = −32 A23 = −12 A31 = −9 A32 = −10 A33 = 2 det(A) = 1(−32) + 5(−12) = −32 − 60 = −92     −19 30 −6 −19 8 −9 Cof(A) =  8 −32 −12  =⇒ Adj(A) =  30 −32 −10  −9 −10 2 −6 −12 2

2.11. LA MATRIZ ADJUNTA. Pot u ´ltimo A−1

  19  2 9 −19 8 −9 − 23 92 92 8 5 1  1  30 −32 −10  =  − 15 Adj(A) = −92 = det(A) 46 23 46 3 3 1 −6 −12 2 − 46 46 23 

51

52

CAP´ITULO 2. MATRICES

Cap´ıtulo 3 Sistemas de Ecuaciones Lineales 3.1.

Definiciones

Definici´ on 3.1.1. Una ecuaci´on lineal en n inc´ognitas x1 , x2 , ..., xn es una ecuaci´on de la forma a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b Por ejemplo una ecuaci´on lineal ser´ıa 2x + 3y = 6. Definici´ on 3.1.2. Un sistema de m ecuaciones lineales en n inc´ognitas x1 , ..., xn es una familia de ecuaciones lineales a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2 .. . am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm Nosotros deseamos determinar si un sistema de esta forma tiene una soluci´on, es decir, determinar si existen numeros x1 , x2 , ..., xn los cuales satisfagan cada una de las ecuaciones al mismo tiempo.

53

CAP´ITULO 3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

54

Usando el hecho de la existencia de soluciones podemos diferenciar dos tipos de sistemas de ecuaciones lineales:

3.2.

Clasificaci´ on de los Sistemas de Ecuaciones Lineales.

Definici´ on 3.2.1. Un sistema de ecuaciones lineales es consistente (o cmpatible) si tiene por lo menos una soluci´on. Un sistema es inconsistente (o incompatible) si carece de soluci´on.

( Sistemas consistentes (compatibles) Sistemas de ecuaciones Sistemas inconsistentes (incompatibles) ¿Si sabemos que un sistema de ecuaciones lineales tiene Ejercicio 4. al menos una soluci´on, cu´antas soluciones tiene en total? ¿Existe un sistema que tenga exactamente una soluci´on?, ¿dos?, ¿n?, ¿infinitas? Definici´ on 3.2.2. De acuerdo al n´ umero de soluciones que posea un sistema de ecuaciones, los podemos clasificar en: Determinados: si solo poseen una u ´nica soluci´on. Indeterminados: si poseen infinitas soluciones. Con estas u ´ltimas definiciones, nuestra clasificaci´on de los sistemas de ecuaciones lineales queda de la siguiente manera:   Determinados  Consistentes Indeterminados sistemas de ecuaciones lineales  Inconsistentes Ejemplos Consideremos los sistemas de ecuaciones lineales

´ DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.55 3.2. CLASIFICACION

2x + 3y = 6 4x + 6y = 2 2x + 3y = 6 3x − 2y = 8 Las gr´aficas de estas ecuaciones forman l´ıneas rectas, y dependiendo de la forma de las gr´aficas ser´a el tipo de soluci´on que tengamos para los sistemas de ecuaciones.La gr´afica para el primer sistema ser´ıa: 2.0

1.5

1.0

0.5

2.5

3.0

3.5

4.0

-0.5

-1.0

Como podemos observar la primera ecuaci´on tiene una soluci´on, puesto que las gr´aficas se intersectan en un punto. De hecho, las coordenadas de ese punto son los valores soluci´on para las inc´ognitas (x, y). Por otro lado, para el segundo sistema su gr´afica ser´ıa: En el caso del segundo sistema de ecuaciones observamos que sus gr´aficas no se intersectan por lo cual no existen soluciones (coordenas) que satisfagan el sistema.

3.2.1.

Interpretaci´ on Gr´ afica de las soluciones

Para cada sistema de ecuaciones lineales podemos observar lo siguiente: Cada una de las ecuaciones involucradas en un sistema de ecuaciones se puede “despejar” para as´ı obtener una “funci´on” en t´erminos de cierto n´ umero de variables.

56

CAP´ITULO 3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

4

2

-4

2

-2

4

-2

Dicha funci´on puede ser representada en el hiperespacio Rn . Y las graficas resultante son conocidas como hiperplanos. En R2 , las gr´aficas representan lineas rectas, enR3 , las gr´aficas representan planos. Cada uno de los puntos pertenecientes a las correspondientes gr´aficas se corresponde con un punto “soluci´on” de la respectiva ecuaci´on. Podemos conocer el tipo de sistema de ecuacciones lineales con el que trabajamos si conocemos las gr´aficas de las ecuaciones lineales con las que trabajamos. El punto en el que todas las gr´aficas se intersecten, representar´a la soluci´on del sistema. Con base en las observaciones anteriores podemos distinguir tres casos especiales que se pueden presentar en los sistemas de 2 ecuaciones lineales con 2 variables: Compatible Determinado. Las gr´aficas de las ecuaciones del sistema se cortan en un solo punto: Compatible Indeterminado. Las gr´aficas de las ecuaciones del sistema se cortan en infinitos puntos (est´an sobrepuestas):

´ DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.57 3.2. CLASIFICACION 10

5

-4

2

-2

4

-5

-10

15

10

5

-4

2

-2

4

-5

-10

Incompatible. Las gr´aficas de las ecuaciones del sistema no se cortan: Con base en estas observaciones podemos listar algunas de las caracter´ısticas principales que debe cumplir un sustema compatible indeterminado: La soluci´on gen´erica consiste en expresar una o m´as variables como funci´on matem´atica del resto. Al menos una ecuaci´on se puede hallar como combinaci´on lineal del resto, es decir, es linealmente dependiente. El determinante de la matriz asociada al sistema es cero.

58

CAP´ITULO 3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 10

5

-4

2

-2

4

-5

-10

Ejercicio 5. ¿C´omo podemos extender el an´alisis anterior a un problema de dimensi´on n? Pensemos ahora en un sistema de 3 ecuaciones con 3 inc´ognitas:

2u + v + w = 5 4u − 6v = −2 −2u + 7v + 2w = 9 Observando su gr´afica vemos claramente que el sistema tiene una soluci´on u ´nica. Ejercicio 6. De las siguientes afirmaciones con respecto a la soluci´on de un sistema de 2 ecuaciones con 2 inc´ognitas, ¿cu´al de ellas no es verdadera? Es un par ordenado que satisface ambas ecuaciones. Su gr´afica consiste en el (los) punto(s) de intersecci´on de las gr´aficas de las ecuaciones. Su gr´afica es la abcisa de las gr´aficas de las ecuaciones. Si el sistema es inconsistente no existe soluci´on. ¿Cu´al de las siguientes afirmaciones es cierta para un sistema incompatible de 2 por 2?

´ DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.59 3.2. CLASIFICACION

3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 4

2

0

0.5

1.0

No existe una soluci´on. La gr´afica del sistema est´a sobre el eje y. la gr´afica de la soluci´on es una linea recta. La gr´afica de la soluci´on es el punto intersecci´on de dos rectas. ¿Cu´al de las siguientes ecuaciones forma un sistema consistente indeterminado con la ecuaci´on x+2y=-5? y=

−1 x 2

−

5 2

6x − 3y = −15 6y = 3x + 15

3.2.2.

Ecuaciones lineales degeneradas

Definici´ on 3.2.3. Una ecuaci´on lineal se dice degenerada si tiene la forma 0x1 + 0x2 + ... + 0xn = b es decir, si cada coeficiente es igual a cero. Adem´as la soluci´on de tal ecuaci´on se halla como sigue: Teorema 3.2.1. Consideremos una ecuaci´on degenerada 0x1 + 0x2 + ... + 0xn = b.

CAP´ITULO 3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

60

Si b6= 0, la ecuaci´on no tiene soluci´on. Si b=0, todo vector u = (k1 , ..., kn ) es una soluci´on. Por la primera inc´ognita de una ecuaci´on lineal, entendemos la primera con coeficiente no nulo. Su posici´on p en la ecuaci´on es entonces el menor valor entero de j para el cual aj 6= 0. Teorema 3.2.2. Consideremos una ecuaci´on no degenerada a1 x1 + ... + an xn = b con primera inc´ognita xp Entonces: Cualquier conjunto de valores de las inc´ognitas xj con j6=p dar´a una soluci´on particular de la ecuaci´on (las inc´ognitas xj se llaman variables libres). Toda soluci´on de la ecuaci´on se obtiene en el paso anterior.

3.3. 3.3.1.

M´ etodos de soluci´ on de los sistemas de Ecuaciones Lineales. Sistemas equivalentes.

Definici´ on 3.3.1. Se dice que dos sistemas de ecuaciones lineales con las mismas inc´ognitas son equivalentes si tienen el mismo conjunto soluci´on. Una forma de producir un sistema que sea equivalente a uno dado, con ecuaciones L1 , ..., Lm , es efectuar una sucesi´on de las siguientes operaciones elementales: Definici´ on 3.3.2. Definimos 3 tipos de operaciones elementales para los sistemas de ecuaciones lineales: Intercambiar las ecuaciones i-´esima y j-´esima: Li → Lj .(Operaci´on de tipo I). Multiplicar la ecuaci´on i-´esima por un escalar no nulo k: kLi → Li , k 6= 0. (Operaci´on de Tipo II). Sustituir la ecuaci´on i-´esima por ella misma m´as k veces la j-´esima: (kLj + Li ) → Li . (Operaci´on de Tipo III). Estas operaciones elementales nos sirven para formar sistemas equivalentes pero m´as f´aciles de resolver. En particular nos interesan 2 tipos de sistemas.

´ ´ DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.61 3.3. METODOS DE SOLUCION

3.3.2.

Forma Triangular y Escalonada

Definici´ on 3.3.3. Un sistema de ecuaciones lineales est´a en forma triangular si el n´ umero de ecuaciones es igual al n´ umero de inc´ognitas y si xk es la primera inc´ognita de la k-´esima ecuaci´on. Por tanto, un sistema de ecuaciones lineales triangular tiene la forma

a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 .. . ann xn = bn Ejemplo: El siguiente sistema de ecuaciones lineales se encuentra en forma triangular:

2x − 4y + 2z + 8w = 2 6y + 0z − 4w = 3 2z − w = −8 w = 0. Definici´ on 3.3.4. Un sistema de ecuaciones est´a en forma escalonada si ninguna ecuaci´on es degenerada y la primera inc´ognita de cada ecuaci´on est´a a la derecha de la primera inc´ognita de la ecuaci´on anterior:

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a2j2 xj2 + ... + a2n xn = b2 .. . arjr xr + ... + arn xn = bn Nota 3.3.1. Un sistema triangular tambi´en est´a en forma escalonada. En caso de que un sistema est´e escrito en forma escalonada y tenga menos ecuaciones que inc´ognitas, entonces no puede tener una soluci´on u ´nica.

CAP´ITULO 3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

62

10 5 0 -5 -10

0

-50 -10 -5 0 5 10

Por ejemplo si el sistema tiene 3 inc´ognitas pero solo 2 ecuaciones, las gr´aficas se ver´ıan de la siguiente forma: y como se puede observar, las soluciones est´an dadas por la l´ınea que se forma en la intersecci´on de los planos. Teorema 3.3.2. Consideremos el sistema de “r” ecuaciones lineales con “n” inc´ognitas, en forma escalonada. Existen dos casos: r=n. Hay tantas ecuaciones como inc´ognitas. Entonces el sistema tiene soluci´on u ´nica. r los vectores de W. (Tambi´en se representa por gen(W) gen(W), o bien< >) TEOREMA Dado un conjunto W = {v1 , v2 , ..., vn } de vectores de un espacio vectorial V, entonces Span(W) es un subespacio vectorial de V . ´ DEFINICION Dado un conjunto W = {v1 , v2 , ..., vn } de vectores de un espacio vectorial V, decimos que W es un conjunto de generadores de V si Span(W ) = V. Ejercicios 1. ¿C´omo se ver´ıan los vectores del espacio generado por W en cada uno de los casos siguientes? {(1, 0), (1, 1)}.     1 1 0 0 , . 0 0 1 1 {1, x + 1, x2 − 4x, x5 + 2x3 } . 2. Determine si los siguientes elementos son combinaci´on lineal del conjunto dado 2 − 7x + 8x2 de {1-x, 3 − x2 }. 2 − 7x + 8x2 de {x2 + 1, x2 − 1, x + 6}.           2 7 2 1 0 0 3 −1 0 0 de , , , 9 −4 0 0 2 1 0 0 3 1

CAP´ITULO 4. ESPACIOS VECTORIALES

74

3. Muestre que los espacios generados por los siguientes conjuntos son los dados: {x2 + 1, x2 − 1, x + 6} es R2 [x]. 

4.4.1.

2 1 0 0

       0 0 3 −1 0 0 , , , es M2×2 (R). 2 1 0 0 3 1

Dependencia e Independencia Lineal.

Definici´ on 4.4.1. Sea V un espacio vectorial sobre un campo K. Se dice que los vectores v1 , ..., vm ∈ V son linealmente dependientes sobre K, o simplemente dependientes, si existen escalares a1 , ..., am ∈ K, no todos 0, tales que a1 v1 + a2 v2 + ... + am vm = 0V En caso contrario se dice que los vectores son linealmente independientes sobre K, o simplemente independientes. Teorema 4.4.1. Sea V un espacio vectorial y sean {v1 , v2 , ..., vn } ⊂ V, entonces: Si 0 es uno de los vectores v1 , ..., vm , los vectores deben ser linealmente dependientes. Cualquier vector no nulo v es por s´ı solo linealmente independiente. Si dos de los vectores son iguales, o si uno es un m´ ultiplo escalar de otro, los vectores son linealmente dependientes. Si un conjunto S de vectores es linealmente independiente, necesariamente lo es cualquier subconjunto de S. Ejercicios 1. Determine cu´al de los siguientes conjuntos es linealmente dependiente o independiente: u=(1,-1,0), v=(1,3,-1) y w=(5,3,-2) u=x, v = x2 + x, w = x2 .

4.5. PRODUCTO INTERNO.

75

        2 1 −4 −2 1 2 0 4 u= , v= , w= , x= . 0 −1 0 2 −1 0 1 3 2. Determine cu´al de los siguientes conjuntos es l. i. 

   0 s1 = , . 1     1 1 s2 = , . −1 1       1 0 1 s3 = , , 0 1 1 1 0

s4 = {x, x + 1, x2 , x2 − x + 1} Teorema 4.4.2. Para un conjunto no vac´ıo de vectores S = {u1 , u2 , ..., un } en un espacio V, las siguientes afirmaciones son verdaderas Si S contiene un subconjunto l. d, entonces S por s´ı mismo es l. d. Si S es l. i. entonces cualquier subconjunto de S es l. i.

4.5.

Producto Interno.

Definici´ on 4.5.1. Un producto interno en un espacio vectorial real (o complejo) V es una funci´on que mapea cada par ordenado de vectores (x, y) a un escalar real (o complejo) < x|y > tal que las siguientes cuatro propiedades se cumplan: 1. < x|y > es real con < x|x >≥ 0, y < x|x >= 0 si y solo si x = 0. 2. < x|αy >= α < x|y >. 3. < x|y + z >=< x|y > + < x|z >. 4. < x|y >=< y|x > para espacios reales.

CAP´ITULO 4. ESPACIOS VECTORIALES

76

4.5.1.

Normas

Definici´ on 4.5.2. Si V es un espacio vectorial con producto interno , entonces p kvk = < v|v > define una norma en V. Teorema 4.5.1. Si V es un espacio vectorial con producto interno, y si

p definimos ∗ = < ∗|∗ > , entonces k < x|y > k ≤ kxk ∗ kyk. la igualdad se cumple si y solo si y=αx con α =

. kxk2

Preguntas Calcule los productos de los vectores dados en cada espacio vectorial, con la f´ormula dada interno.  para elproducto   2 0 3 −7 1.- M2×2 (R), , con < A, B >= tr (At · B) . 3 −4 2 1 P 2.- R3 , (1, 3, 8), (2, −4, −9)con < A, B ≥ ai bi .

4.6.

Base Ortonormal y proceso de Ortonormalizaci´ on de Grahm-Schmidt

Definici´ on 4.6.1 (Base Ortogonal). Sea V un espacio vectorial con producto interno y sea w = {v1 , v2 , ..., , vn } una base de V , entonces decimos que w es una base ortogonal si se cumple que < vi , vj >= 0 para cada pareja diferente de elementos de w. Definici´ on 4.6.2 (Bases Ortonormal). Sea V un espacio vectorial con producto interno y sea w = {v1 , v2 , . . . , vn } un base de V , entonces decimos que w es una base ortonormal si se cumple que 1. < vi , vj >= 0 para cada pareja diferente de elementos de w. 2. kvj k = 1 para cada vector de la base.

´ DE GRAHM-SCHMIDT77 4.6. BASE ORTONORMAL Y PROCESO DE ORTONORMALIZACION

4.6.1.

Algoritmo de Grahm-Schmidt

Definici´ on 4.6.3. Sea {v1 , v2 , ..., vm } una base de un espacio vectorial V Paso 1: Elecci´ on de primer vector unitario v1 u1 = . |v1 | Paso 2: Elecci´ on del segundo vector ortogonal a u1 . v20 = v2 − (v2 · u1 ) u1 Paso 3: Elecci´ on del segundo vector unitario u2 =

v20 . |v20 |

0 Paso 4: Continuaci´ on del proceso para calcular el vector Vk+1 0 vk+1 = vk+1 − (vk+1 · u1 ) u1 − (vk+1 · u2 ) u2 − ... − (vk+1 · uk ) uk

Paso 5: Normalizaci´ on v0 . uk+1 = k+1 0 vk+1 Ejemplos Vamos a aplicar el proceso de Grahm-Schmidt en el espacio vectorial V = R3 con la base S = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} : Paso 1: u1 = || vv11k =

(1,1,1) k(1,1,1)k

=

(1,1,1) √ 3

=



√1 , √1 , √1 3 3 3



Paso 2: v20 = v2 − (v2 · u1 ) u1 h  i   √1 , √1 , √1 = (0, 1, 1) − (0, 1, 1) · √13 , √13 , √13 3 3 3    √1 , √1 , √1 = (0, 1, 1) − 0 + √13 + √13 3 3 3 2 2 2 , , 3 3 3

= (0, 1, 1) − =

−2 1 1 , , 3 3 3




.




CAP´ITULO 4. ESPACIOS VECTORIALES

78 Paso 03: v u2 = v20 | 2| −2 1 1 ( 3 ,3,3) = −2 k( 3 , 13 , 13 )k ,1,1 ( −2 3 3 3) = √ 6/9

=

,1,1 ( −2 3 3 3) √ 2/3

 q  = − 23 , √16 , √16

Paso 4 v30 = v3 − (v3 · u1 ) u1 − (v3 · u2 ) u2 h  i   h  q i  q 2 √1 √1 √1 , √1 , √1 − (0, 0, 1) · − = (0, 0, 1)− (0, 0, 1) · √13 , √13 , √13 , , − 23 , √16 3 3 3 3 6 6    q    2 √1 √1 √1 , √1 , √1 √1 − − = (0, 0, 1) − √13 , , 3 3 3 3 6 6 6 = (0, 0, 1) − = 0, − 12 , 12

1 1 1 , , 3 3 3




− − 13 , 16 , 16







Paso 05: v u3 = v30 | 3| (0,− 1 , 1 ) = 0,− 21 , 21 k( 2 2 )k (0,− 1 , 1 ) = √21 2  2  −1 √1 √ = 0, 2 , 2

la base ortonormal obtenida n Concluimos  que  q   o es: 1 1 1 2 1 1 −1 1 √ ,√ , √ , − 3 , √6 , √6 , 0, √2 , √2 3 3 3

´ 4.7. PRACTICAS

4.6.2.

79

Ejercicios

3 1.- Encuentre una base ortonormal   para el conjunto  de vectores en R  x  que est´a sobre el plano π =  y  : 2x − y + 3z = 0 .   z 3 2.- Construya  una  base  ortonormal   para R comenzando con la base 0 1   1 {v1 , v2 , v3 } =  1  ,  1  ,  0  .   0 1 1 3.- Construya una base ortonormal para el conjunto de vectores formado por las soluciones del sistema x − 3y + z = 0 −2x + 2y − 3z = 0 4x − 8y + 5z = 0

4.7.

Pr´ acticas

4.7.1.

Pr´ actica 1

Complete la siguiente tabla con la informaci´on que se solicita en cada espacio vectorial R2

Mm×n (R)

¿C´omo se llaman? Suma Mult por Esc.

R[x] Polinomios



 0 ··· 0  .. . .  . .  0 ··· 0

Neutro Aditivo (0V ) Inversos Aditivos Conmutativa Distrib. por la izq. ¿C´omo se ven ?

−(a, b) = (−a, −b)

p 0 + p 1 x + p 2 x2 + · · · + p n xn

80

CAP´ITULO 4. ESPACIOS VECTORIALES

Cap´ıtulo 5 Transformaciones Lineales 5.1.

Definicion

Definici´ on 5.1.1. Sean U y V espacios vectoriales sobre un campo F. Una transformaci´on lineal de U sobre V est´a definida como una funci´on lineal T que mapea a U sobre V. Es decir, T (x + y) = T (x) + T (y) y T (αx) = αT (x) o bien equivalentemente T (αx + βy) = αT (x) + βT (y) Un operador lineal sobre U es una transformaci´on lineal de U en s´ı mismo. Ejemplos Las siguientes transformaciones son lineales: Proyecci´on: L : R3 → R3 definida como L(x, y, z) = (x, y, 0) Dilataci´on: L : R3 → R3 definida como L(u) = ru, r > 1. 81

CAP´ITULO 5. TRANSFORMACIONES LINEALES

82 Contracci´on:

L : R3 → R3 definida como L(u) = ru, 0 < r < 1. Reflexi´on: L : R2 → R2 definida como L(x, y) = (x, −y) Rotaci´on: L : R2 → R2 definida como  L(u) =

Cos θ −Sen θ Sen θ Cos θ



Ejercicios 1.- Encuentre las f´ormulas de las transformaciones lineales que transforman el vector dado en el vector se˜ nalado: (2, 4, −3) −→ (6, 12, −9) (2, 0, −3) −→ (1, 0, −1,5) (1, 1) −→ (−1, 1) (2, −1, 4) −→ (0, −1, 4) (1, 1) −→ (−2, 2) 2.- Representemos por Rn [x] al espacio vectorial de todos los polinomios de grado ≤ n. Sea L : R1 [x] → R2 [x], definida como L[p(t)] = tp(t) + t2 ¿L es una transformaci´on lineal?

5.1. DEFINICION

5.1.1.

83

Propiedades de las transformaciones Lineales

Definici´ on 5.1.2. Una transformaci´on lineal L : V → W es uno a uno (o inyectiva) si para todo v1 , v2 en V, v1 6= v2 implica que L(v1 ) 6= L(v2 ). Definici´ on 5.1.3. Una transformaci´on Lineal L : V → W es suprayectiva (o sobre) si todo w ∈ W es la imagen de, al menos, un v ∈ V Definici´ on 5.1.4. Una transformaci´on que es inyectiva y suprayectiva se dice que es una biyecci´on (o biyectiva). Estas funciones siempre son invertibles. Definici´ on 5.1.5. Dos espacios vectoriales U y V sobre un campo K, son isomorfos si existe una aplicaci´on lineal biyectiva F : V → U. La aplicaci´on F se denomina entonces isomorfismo entre V y U. Ejercicio 1.- Sea L : Mmn → Mnm , definida como L(A) = AT ¿Es L una transformaci´on lineal? ¿Es 1-1? ¿Es sobre? ¿Es isomorfismo? Proposici´ on 5.1.1. Sea T : V → W una transformaci´on lineal inyectiva y sea {v1 , ..., vn } un conjunto de vectores l. i. de V, entonces {T (v1 ), ..., T (vn )} es un conjunto de vectores l. i. en W. Ejemplo 1 Consideremos la transformaci´on lineal T : R2 → R2 dada por T (v) = Av T donde   3 5 A= 2 4 y los vectores linealmente independientes {(1, 0), (0, 1)}. Entonces el conjunto resultante de aplicar la transformaci´on es un conjunto l. i. Ejemplo 2 Consideremos la transformaci´on Proyecci´on: L : R3 → R2

CAP´ITULO 5. TRANSFORMACIONES LINEALES

84

definida como L(x, y, z) = (x, y) ¿Entonces el conjunto de vectores {L(3, 1, 1), L(2, 4, 2), L(1, 1, 3)} es un conjunto de vectores l. i.? Teorema 5.1.2. Si L : V → W es una transformaci´on lineal, entonces L(c1 v1 + c2 v2 + ... + ck vk ) = c1 L(v1 ) + c2 L(v2 ) + ... + ck L(vk ) Teorema 5.1.3. Sea L : V → W una transformaci´on lineal. Entonces: L(0V ) = 0W . L(u − v) = L(u) − L(v). Corolario 5.1.4. Sea T : V → W una funci´on. Si T (0V ) 6= 0W , entonces T no es una transformaci´on lineal. Teorema 5.1.5. Sea L : V → W una transformaci´on lineal de un espacio vectorial V de dimensi´on n en un espacio vectorial W. Adem´as, sea S = {v1 , ..., vn } una base de V. Si u es cualquier vector en V, entonces L(u) queda completamente determinada por {L(v1 ), ..., L(vn )}. Ejemplos Sea L : Q1 → Q2 una transformaci´on lineal para la cual sabemos que L(t + 1) = t2 − 1;

y

L(t − 1) = t2 + t

¿A que es igual L(7t + 3)? ¿A que es igual L(at + b)?

5.2.

El Kernel y la Imagen

Definici´ on 5.2.1. Sea L : V → W una transformaci´on lineal. El n´ ucleo (o kernel) de L, o n´ ucleo(L) es el subconjunto de V que consta de todos los vectores v tales que L(v) = 0. Es decir ker(L) = {v ∈ V | L(v) = 0}

5.2. EL KERNEL Y LA IMAGEN

85

Definici´ on 5.2.2. Si L : V → W es una transformaci´on lineal, definimos la im´agen de V bajo L como el conjunto de vectores w ∈ W tales que existe un v ∈ V que cumple que L(v) = w. Es decir Im(L) = {w ∈ W | L(v) = w para alg´ un v ∈ V } Este conjunto se representa por Im(L). Ejercicios 1.- Sea L : R2 → R2 definida como L(x, y) = (x + y, x − y). ¿El L uno a uno? ¿Cu´al es el kernel de L? 2.- Sea L : R3 → R2 dada por L(x, y, z) = (x, y) ¿Es L uno a uno? ¿Cual es el kernel de L? ¿Cu´al es la im´agen de L? Teorema 5.2.1. Sea T : U → W una transformaci´on lineal, entonces el Kernel de T (Ker(T )) y la imagen de T (Im(T )) forman subespacios vectoriales de U y W respectivamente Teorema 5.2.2. Sea T : U → W una transformaci´on lineal, entonces el Kernel de T (Ker(T )) y la imagen de T (Im(T )) forman subespacios vectoriales de U y W respectivamente Teorema 5.2.3. Supongamos que v1 , v2 , ..., vn generan un espacio vectorial V y que F : V → U es lineal. Entonces F (v1 ), F (v2 ), ..., F (vn ) generan a Im(F ). Ejercicio 1.- Sea L : R3 → R3 definida como      a1 1 0 1 a1 L a2  = 1 1 2 a2  a3 2 1 3 a3

CAP´ITULO 5. TRANSFORMACIONES LINEALES

86 ¿L es sobre?

¿L es uno a uno? ¿Determine el kernel de L? una base del kernel. ¿Determine una base para Im(L)? Determine una base para la imagen de la transformaci´on. Teorema 5.2.4. Sea V de dimensi´on finita y sea F : V → W una aplicaci´on lineal. Entonces dim(V ) = dim(Ker(F )) + dim(Im(F )). Nota 5.2.5. Sea F : V → U una transformaci´on lineal. Se define el Rango de F como la dimensi´on de su imagen y la nulidad de F como la dimensi´on de su n´ ucleo. Definici´ on 5.2.3. Definimos el rango de una matriz cuadrada A como el n´ umero de pivotes que posee en la forma escalonada, y la nulidad de la matriz como n − rango, donde n es la dimensi´on de la matriz Ejemplo Sea T : R4 → R3 la transformaci´on definida por T (x, y, s, t) = (x − y + s + t, x + 2s − t, x + y + 3s − 3t) Encontremos una base y la dimensi´on de la imagen de T : T (1, 0, 0, 0) = (1, 1, 1) T (0, 0, 1, 0) = (1, 2, 3) T (0, 1, 0, 0) = (−1, 0, 1) T (0, 0, 0, 1) = (1, −1, −3) Necesitamos encontrar vectores l. i. que generen al espacio vectorial dado por estos vectores Para conseguir este prop´osito, construimos la matriz cuyas filas son estos vectores imagen y la reducimos a su forma escalonada reducida:     1 1 1 1 1 1   −1 0 1   ∼ 0 1 2   1 0 0 0 2 3 0 0 0 1 −1 −3 De este modo (1, 1, 1), (0, 1, 2) constituyen una base de Im(T ), luego dim(Im(T )) = 2, o en otras palabras, rango(t) = 2.

5.3. EJERCICIOS

87

Nota 5.2.6. Tarea 1: Completar el proceso anterior para llevar la matriz original a la forma escalonada. Tarea 2: Encontrar una base y la dimensi´on de Ker(T ).

5.3.

Ejercicios

ejercicios 1. Escoja dos matrices cuadradas A1 y A2 de dimensi´on 3. Tales que A1 sea no singular y A2 sea singular. 2. Defina dos transformaciones T1 y T2 ambas de R3 → R3 , dadas por Ti (v) = Ai v T . 3. Determine si las transformaciones son inyectivas y suprayectivas (para cada caso.) 4. Determine bases para Ker(Ti ) e Im(Ti ) para i = 1, 2. ¿Cuales son las dimensiones?

5.4.

Matrices y Transformaciones Lineales

Supongamos que {v1 , ..., vn } es una base de un espacio vectolrial V sobre un cuerpo K, y para v ∈ V supongamos que v = a1 v1 + ... + an vn Entonces el vector vector coordenado de v relativo a la base S, se denota y define como   a1  ..  [v]s =  .  = [a1 , ..., an ]T an Sea T uhn operador lineal en un espacio vectorial V sobre un cuerpo K y supongamos que S = {u1 , ..., un } es una base de V. Ahora T (u1 ), ..., T (un )

CAP´ITULO 5. TRANSFORMACIONES LINEALES

88

son vectores en V por lo tanto cada uno de ellos es combinaci´on lineal de los vectores de la base S, digamos T (u1 ) = a11 u1 + ... + a1n un .. . T (un ) = an1 u1 + ... + ann un Definici´ on 5.4.1. La transpuesta de la matriz de los coeficientes anterior, denotada por ms (T ) o [T ]s , se denomina la representaci´on matricial de T relativa a la base S, es decir   a11 a12 ... a1n  a21 a22 ... a2n    [T ]s =  .. . . . ..   . .  an1 an2 ... ann Ejemplos Sea V el espacio vectorial de los polinomios en t sobre R de grado ≤ 3 y D : V → V el operador de derivaci´on. Calculemos la matriz de D en la base {1, t, t2 , t3 }. Consideremos el operador lineal F : R2 → R2 definido por F (x, y) = (4x − 2y, 2x + y) y las bases de R2 : S = {u1 = (1, 1), u2 = (−1, 0)},

E = {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)}

Calculemos la representaci´on matricial de F. Teorema 5.4.1. Sean S = {u1 , ..., un } una base de V y T un operador lineal en V. Entonces, para todo vector v ∈ V, [T ]s [v]s = [T (v)]s . Esto es, si multiplicamos el vector coordenado de v por la representaci´on matricial de T, conseguimos el vector coordenado de T (v). Teorema 5.4.2. Sean S = {u1 , ..., un } una base de un espacio vectorial V sobre K y M el ´algebra de Matrices n-cuadradas sobre K. En tal caso, la aplicaci´on m : A(V ) → M definida por m(T ) = [T ]s es un isomorfismo entre espacios vectoriales. Es decir, para todo par de operaciones F, G ∈ A(V ) y todo k ∈ K tenemos:

5.5. CAMBIO DE BASE

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m(F + G) = m(F ) + m(G) o sea [F + G]s = [F ]s + [G]s m(kF ) = km(F ), o sea [kF ] = k[F ] m es inyectiva y suprayectiva.

5.5.

Cambio de Base

Definici´ on 5.5.1. Sean S = {u1 , ..., un } una base de V y S 0 = {v1 , ..., vn } otra base. Supongamos que para i = 1, 2, ..., n vi = ai1 u1 + ai2 u2 + ... + ain un La transpuesta P de la matriz de coeficientes precedente se llama matriz de cambio de base (o matriz de transici´on) desde la antigua base S hasta la nueva base S 0 .