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• Victor Reyes

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Universidad Autónoma del Estado de México Plantel “Ignacio Ramírez Calzada” Academia de Matemáticas Núcleo de formación: Matemáticas

Apuntes de Cálculo Diferencial para la asesoría en el área de matemáticas

M. en A. Bernabé Gustavo Quintana Galindo.

JUNIO 2009

INDICE.

Apuntes de Cálculo Diferencial PRESENTACIÒN…………………………………………………………………………………… ………………...3 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN………………………………………………………………………………………..5 LÍMITES LATERALES………………………………………………………………………………………… …….8 TEOREMAS PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES…………………………………………………………..…10 LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS……………………………………………………………………………… …13 LÍMITES INFINITOS……………………………………………………………………………………….. ……..15 EL NÚMERO e………………………………………………………………………………………………………. 17 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN……………………………………………………………………………18 PUNTOS DE DISCONTINUIDAD EN FUNCIONES ALGEBRAICAS RACIONALES……………….21 CONTINUIDAD

EN

UN

INTERVALO…………………………………………………………………………..23 INCREMENTOS…………………………………………………………………………………… …………………25 LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN………………………………………………………………………………27 TEOREMAS PARA EL CÁLCULO DE DERIVADAS………………………………………………………….29 DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS………………………………….31 DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS………………………………….33

M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo

Página 2

Apuntes de Cálculo Diferencial DERIVADA DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS……………………………………………………………….35 DERIVADA DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES………………………………………………………37 DERIVACIÓN LOGARÍTMICA……………………………………………. ………………………………………39 DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIÓN……………………………………………………………….41 DERIVACIÓN DE FUNCIONES IMPLÍCITAS……………………………………………………………….42 ECUACIÓN DE LAS RECTAS TANGENTE Y NORMAL A UNA CURVA…………………. …………..44 MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN………………………………………………………………….46 PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS……………………………………………..49 DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN………………………………………………………………………………52 LA INTEGRAL INDEFINIDA………………………………………………………………………………………53 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN…………………………………………………………………………..54 FÓRMULAS FUNDAMENTALES DE INTEGRACIÓN………………. ………………………………………54 GLOSARIO………………………………………………………………………………………… …………………..55 BIBLIOGRAFIA……………………………………………………………………………………… ………………..57

PRESENTACION

M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo

Página 3

Apuntes de Cálculo Diferencial Los presentes Apuntes

de Cálculo Diferencial pretenden

apoyar los objetivos de aprendizaje y contenidos de esta asignatura presentando conceptos y definiciones, así como ejercicios resueltos y proponiendo al alumno ejercicios por resolver de uso más frecuente en los temas a tratar. El alumno al hacer uso frecuente de estos apuntes encuentra un apoyo

académico, ya que los conceptos y ejemplos

presentados le permitirán hacer más comprensibles

e

interesantes la resolución de los ejercicios en el la aplicación a los

diferentes

tipos

de

problemas.

Los

conceptos

y

definiciones que contiene y los ejercicios que resuelva le proveerán

de

un

conocimiento

básico

del

Cálculo,

comprendiendo la materia de un modo más completo. Los apuntes

contienen conceptos y ejemplos

de funciones,

límites, derivadas y ecuaciones de las rectas tangente y normal a una curva, así como aplicación de los conocimientos adquiridos en la resolución de problemas prácticos. De esta manera, se pretende apoyar la asesoría a los estudiantes

e

ir

consolidando

materiales

de

sustento

académico para el Núcleo de Formación de Matemáticas, por lo que estos apuntes se entregan a los alumnos al inicio del semestre haciendo una revisión personalizada como parte de la clase o en el cubículo como asesoría disciplinaría.

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Apuntes de Cálculo Diferencial Con la elaboración y uso de este material por parte del alumno se busca desarrollar el razonamiento y la habilidad matemática en el alumno y ampliar la comprensión y utilización del lenguaje básico de las ciencias, lo cual es el propósito del programa de esta asignatura.

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Apuntes de Cálculo Diferencial TEMA No. 1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.

El concepto de límite de una función es una de las ideas fundamentales que distinguen al cálculo de otras áreas de las matemáticas como el álgebra o la geometría. Debe advertirse al estudiante que la noción de límite no se llega a dominar fácilmente. En efecto, es frecuentemente necesario para el principiante estudiar la definición muchas veces, mirándola desde varios puntos de vista, antes de que su significado se aclare. A pesar de la complejidad de la definición, es fácil adquirir intuición para los límites. En el cálculo y sus aplicaciones a menudo nos interesamos por los valores f(x) de una función f cuando está muy cerca de un número a, pero no es necesariamente igual a a. De hecho, en muchos casos el número a no está en el dominio de f; esto es f(a) no está definido. Vagamente hablando, nos hacemos la siguiente pregunta: ¿Si x se



acerca más y más a a (pero x a), f(x) se acerca también cada vez más a algún número L? Si la respuesta es sí decimos que el límite de f(x), cuando x tiende a a, es igual a L. y escribimos lim f ( x)  L xa

Consideremos el caso de un físico que desea hacer mediciones de los efectos del vacío en un experimento, cuando la presión del aire es cero. Como es imposible lograr un vacío perfecto en un laboratorio, una manera natural de abordar el problema es medir dicha cantidad a presiones cada vez más pequeñas. Si al acercarse a cero la presión, las mediciones correspondientes se acercan a un número L, entonces puede suponerse que la medición en el vació sería también L. Nótese que en este experimento la presión x nunca es igual a cero; sin embargo los equipos para hacer vació pueden lograr presiones muy cercanas a cero.

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Apuntes de Cálculo Diferencial Consideremos que x tiende a 3,podemos considerar valores a la izquierda como 2.5,2.8,2.9,2.99,2.999,2.9999 y desde la derecha 3.5,3.2,3.1,3.01,3.001. Nótese que a la variable x primero se le asignaron valores sucesivamente cada vez más cercanos a 3 desde la izquierda y desde la derecha pero ninguno igual a 3 Concepto de límite de una función: El límite de una función real de variable real con regla de correspondencia y = f (x) cuando la variable independiente x tiende a un valor fijo a, es el valor L hacia el cual tiende la función, se denota:

lim f ( x)  L x a

Que se lee: el límite de f(x) cuando x tiende a a es igual a L. Significa que cuando x está muy cerca de a, la función y = f(x) está muy cerca de L. Para interpretar geométricamente el valor de un límite, se traza la gráfica de la función, entonces, cuando x está muy cerca de a, f(x) está muy cerca de L, por lo cual L es el valor del límite. 2

Ejemplo 1: Obtener el valor del límite

lim ( x +2) x→ 1

En este caso, como x tiende a uno, se le asignan a x valores sucesivamente cada vez más cercanos a uno, tanto menores como mayores y se valúa la función en cada valor asignado a x. El valor hacia el cual tienda la función cuando x esté muy cerca de 1 corresponderá al valor del límite.

X

f ( x )=x 2 +2

2

f ( x )=x +2

0.5 2.25 0.8 2.64 0.9 2.81 0.99 2.98 0.999 2.998 x 1.5 M. en A. B. Gustavo 1.2 Quintana Galindo 1.1 1.01 1.001 En ambas tablas, cuando los valores de x se acercan

4.25 3.44 3.21 3.0201 3.002001

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Apuntes de Cálculo Diferencial cada vez más a 1, la función se acerca cada vez más a 3, por lo tanto el límite de la función es igual a 3, esto es x2 (¿+2)=3 lim ¿ x →1

Resumen: El limite de una función es que cuando x está muy cerca de un valor a localizado en el eje x, la función y=f ( x ) está muy cerca de un valor L localizado en el eje y. Ejercicios de reforzamiento: Obtenga el valor de los siguientes límites, para lo cual construya una tabla en donde asigne valores cercanos al valor hacia el cual tiende la variable x:

1.-

x3 (¿−1) lim ¿ x →1

2.-

3.-

lim (4−2 x) x→ 0

2 x2 (¿−3 x + 4) lim ¿ x→ 1

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Apuntes de Cálculo Diferencial

TEMA No.2. LÍMITES LATERALES

El asignar valores sucesivamente cada vez más cercanos al valor hacia el cual tiende x, tanto con valores menores como con valores mayores, se denomina: cálculo de un límite mediante sus límites laterales. El límite en el cual se asignan valores sucesivamente cada vez más cercanos al valor hacia el cual tiende x, pero menores, se denomina límite lateral por la izquierda. El límite lateral por la izquierda de una función f(x) cuando x tiende a un valor fijo a, se representa por: lim f ( x )

x a

El límite en el cual se asignan valores sucesivamente cada vez más cercanos al valor hacia el cual tiende x, pero mayores, se denomina límite lateral por la derecha. M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo

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Apuntes de Cálculo Diferencial El límite lateral por la derecha de una función f(x) cuando x un valor fijo a, se representa por:

tiende a

lim f ( x )

x a 

TEOREMA

El límite de una función existe, sí y sólo sí, sus límites laterales existen y son iguales, esto es: lim f ( x) x a

existe



lim f ( x)  lim f ( x)

x a 

xa

Del teorema anterior se deduce que para calcular el límite de una función, primero se deben obtener sus límites laterales y a partir de ellos, se determina el valor del límite. Ejemplo 1: Calcular el límite por la izquierda de la siguiente función: f ( x )=√ 5−x cuando x tiende a 5. En este caso se obtiene el límite de la función elaborando la siguiente tabla: −¿ x → 5¿

f ( x )=√ 5−x

4.5 0.7071 4.8 0.4472 4.9 0.3162 4.99 0.1000 4.999 0.0316 Cuando los valores de x se acercan cada vez más a 5 por la izquierda, la función se acerca cada vez más a 0, esto es, cuando −¿ x → 5¿ , entonces f ( x ) → 0 y por lo tanto: x → 5−¿ √ 5−x lim ¿ ¿

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Apuntes de Cálculo Diferencial

Resumen: El asignar valores sucesivamente cada vez más cercanos al valor hacia el cual tiende x, tanto con valores menores como con valores mayores, se denomina: cálculo de un límite mediante sus límites laterales.

Ejercicios de reforzamiento: 1.-Calcular el límite por la izquierda de la siguiente función: f ( x )=3 x 2+ 5 cuando x tiende a 2.

2.- Calcular el límite de la siguiente función utilizando límites laterales: lim g( x) x→ 2

si

√ x para x ¿ 2

g ( x ) =¿ x

2

para x

≤

2

TEMA No.3. TEOREMAS PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES

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Apuntes de Cálculo Diferencial Una forma directa para calcular el límite de una función, es mediante el uso de teoremas, los más importantes son los siguientes: lim k  k

1.

x a

donde k es un número real (una constante)

lim x  a

2.

x a

lim kx  ka

3.

x a

donde k es un número real (una constante).

lim x n  a n x a

4. lim  f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x) x a

x a

5. reales.

xa

donde f (x) y g (x) son funciones

lim  f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)

6.

xa

lim

x a

xa

x a

f ( x) f ( x) lim  x a g ( x ) lim g ( x) x a

7.



lim  f ( x) n  lim f ( x) x a

x a

donde g (x)





0.

n

8.

Ejemplo 1: Calcular el valor del límite:

2 x2 (¿−5 x +3) lim ¿ x →2

Utilizando el teorema 5

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Apuntes de Cálculo Diferencial 2 x2 2 x2 (¿)−lim ( 5 x ) + lim (3) x →2

x →2

(¿−5 x+ 3)=lim ¿ x→ 2

lim ¿ x→ 2

Utilizando los teoremas 3,4 y 1 ¿ 2(2)2 −5 ( 2 )+3 Simplificando, se tiene el valor del límite. =1

Ejemplo 2: Obtener el valor del límite

x2 (¿+2)(3 x −1) lim ¿ x→ 1

Se pide obtener el límite de un producto de dos funciones, entonces x2 x2 (¿+2) lim (3 x−1) x →1

(¿+2) ( 3 x−1 )=lim ¿ x→1

lim ¿ x →1

= (1+2) (3-1) =3 2

Ejemplo 3: Obtener el valor del límite

2 x +3 x−1 lim 4 x +5 x→ 0

Aplicando el teorema número 7, se tiene: lim

x→ 0

2 x 2 +3 x−1 0+0−1 −1 = = 4 x +5 0+5 5

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Apuntes de Cálculo Diferencial

lim

Ejemplo 4: Determinar el valor del límite

x →−2

x 2 +4 x + 4 2 x +8 x+12

Factorizando tanto el numerador como el denominador de la función, 0 porque al calcular directamente el límite resulta la indeterminación 0 .

lim

x →−2

( x+ 2 ) ( x+ 2) x 2 +4 x + 4 = lim 2 x +8 x+12 x →−2 ( x+ 6 ) ( x+ 2)

Simplificando (x+ 2) x →−2 (x+6)

¿ lim

Aplicando los teoremas correspondientes: −2+2 = −2+6

Ejemplo 5: Calcular el valor del límite:

=

0 4

=0

lim

x−1 √ x−1

x→ 1

La simplificación de una expresión que contiene radicales, se hace racionalizando. En este caso se debe racionalizar el denominador de la función multiplicando y dividiendo por el conjugado del denominador que es: √ x +1.

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Apuntes de Cálculo Diferencial lim

x→ 1

x−1 =lim √ x−1 x→ 1

[ √ ][ √√ ] x−1 x−1

x+ 1 x+ 1

Efectuando la multiplicación, en el denominador se tienen dos binomios conjugados, cuyo producto resulta una diferencia de cuadrados. =

Simplificando:

=

lim

( x−1 ) ( √ x+ 1)

x→ 1

lim

x→ 1

2

( √ x ) −( 1 )2 ( x−1 ) ( √ x+ 1) x−1

Aplicando los correspondientes teoremas de límites: =2

Resumen: Para el cálculo directo de límites de funciones se aplican los teoremas correspondientes aplicando los productos notables para factorización así como procesos como racionalización. Ejercicios de reforzamiento: Calcular los siguientes límites.

1.-

2 x2 (¿−3 x +1) lim ¿ x →2

2.-

3.-

4.-

lim √3 4 x+11 x→4

lim

x 2+ 2 x−8 2 2 x −4

lim

3 x −6 √ 3 x −√ 6

x→ 2

x→ 2

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Apuntes de Cálculo Diferencial TEMA No.4. LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS

En esta sección desarrollaremos fórmulas para los límites de las funciones trigonométricas, supondremos que cada variable representa un número real o la medida en radianes de un ángulo y en algunos casos se expresará como una función con ciertas variables. El límite de una función trigonométrica se obtiene utilizando los siguientes teoremas, en los cuales se considera que u = f (x).

lim sen u  sen  u 

1.

lim cos u  cos  u 

2.

lim sen u  0 u 0

3.

lim cos u  1 u 0

4.

lim

u 0

5.

sen u 1 u

Con estos teoremas es posible obtener el límite de funciones trigonométricas. Cuando la función dada es diferente de la función seno y coseno, primero se aplican identidades trigonométricas y después el teorema correspondiente. Entre las identidades más usuales para el cálculo de límites, se tienen las siguientes:

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Apuntes de Cálculo Diferencial tan u 

sen u cos u

cot u 

cos u sen u

sec u 

1 cos u

csc u 

1 sen u

Ejemplo 1: Calcular el límite trigonométrico

lim cos 3 x x→ 0

El argumento de la función es 3x, entonces haciendo u=3x, cuando x → 0 , tambièn 3x → 0 , esto es, el lìmite se puede escribir lim cos 3 x 3 x →0

Aplicando el teorema

lim cos u=1

se tiene el valor del límite, esto es:

u→0

lim cos 3 x =1 x→ 0

Ejemplo 2: Calcular el valor del siguiente límite 2 sen 8 x lim x x→ 0

[

]

En este tipo de límites se debe multiplicar por la fracción

8 8

para

igualar el argumento con el denominador y aplicar el teorema correspondiente. lim

x→ 0

[

2 sen 8 x x

]

[ ][

8 lim = x→ 0 8

2 sen 8 x x

]

Factorizando y efectuando productos.

[ ( 2 ) ( 8) ] = lim x→ 0

[

sen 8 x 8x

]

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Apuntes de Cálculo Diferencial Aplicando el teorema

lim

u→0

sen u =1 u

= (2) (8) (1)= 16 Resumen: En los límites de funciones trigonométricas directas supondremos que cada variable representa un número real o la medida en radianes de un ángulo y en algunos casos se expresará como una función con ciertas variables. Ejercicios de reforzamiento. Calcular el valor de los siguientes límites. 1.-

lim

2.-

lim

x→ 3

x→ 0

[

sen(x−3) 3 x−9

[

3 sec x csc x

]

] TEMA No. 5 LÍMITES INFINITOS

DEFINICIÓN 1

( x  )

Se dice que x tiende a más infinito si a partir de un número real cualquiera, éste y todos los que le siguen son mayores que cualquier número real dado. DEFINICIÓN 2

( x  )

Se dice que x tiende a menos infinito si a partir de un número real cualquiera, éste y todos los que le siguen son menores que cualquier número real dado. M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo

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Apuntes de Cálculo Diferencial DEFINICIÓN 3

( x  )

Se dice que x tiende a infinito

( x  )

sí

( x  )

ó

.

DEFINICIÓN 4

xa

Se dice que una función tiende a más infinito cuando , si cada vez que a “x” se le asignan valores cercanos a a, los valores de la función son cada vez más grandes que cualquier número real dado, esto es: lim f ( x)   x a

DEFINICIÓN 5

xa

Se dice que una función tiende a menos infinito cuando , si cuando a “x” se le asignan valores cada vez más cercanos a a , los valores de la función son cada vez menores que cualquier número real dado, esto es: lim f ( x)   x a

DEFINICIÓN 6

Se dice que L es el límite de una función f(x) cuando la variable x tiende a más infinito, si cuando a x se le asignan valores cada vez mayores, los valores de la función son cada vez más cercanos a un número real L, esto es: lim f ( x)  L

x  

DEFINICIÓN 7

Se dice que L es el límite de una función f(x) cuando la variable x tiende a menos infinito, si cuando a x se le asignan valores cada vez menores, los valores de la función son cada vez más cercanos a un número real L, esto es: M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo

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Apuntes de Cálculo Diferencial lim f ( x)  L

x  

Resumen: en los límites infinitos se considera que la variable x toma valores que tienden a + ∝ y hacia - ∝

TEMA No.6. EL NÚMERO e

El número e llamado Número de Euler, esta definido por los siguientes límites, donde u es una función de x

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Apuntes de Cálculo Diferencial 1

e  lim (1  u ) u u 0

e  lim (1 

ó

u 

1 u

)u

El conocimiento del número e es indispensable para el cálculo de límites, derivadas e integrales de funciones logarítmicas y exponenciales. El sistema de logaritmos que tiene como base al número e recibe el nombre de sistema de logaritmos naturales o neperianos, se denota por ln. El número e tiende al valor 2.71828.... Resumen: el numero e se presenta como un límite, y este número es la base de los logaritmos naturales.

TEMA No.7. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN.

Una función es continua cuando se representa su gráfica como una línea continua sin presentar interrupciones ni saltos. El concepto de

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Apuntes de Cálculo Diferencial continuidad debe de cumplir con algunos requisitos que se proponen en la siguiente definición. DEFINICIÓN.

Se dice que una función real de variable real con regla de correspondencia Y = f(x), es continua en un punto de abscisa x = a, cuando cumple la condición siguiente, llamada condición de continuidad. f (a)  lim f ( x) x a

Cuando esta condición no se cumple, entonces la función es discontinua en x=a. En este caso, el punto de abscisa “a” se denomina punto de discontinuidad de la función. Existen tres tipos de discontinuidad de una función: 1. Discontinuidad evitable o restringible. 2. Discontinuidad infinita o asintótica. 3. Discontinuidad de salto. Estos tipos de discontinuidad se pueden identificar de acuerdo a las siguientes características: 1. Se presenta una discontinuidad evitable, cuando la función no está definida en el punto, pero el límite en ese punto si existe. 2. Se presenta una discontinuidad infinita, cuando la función no está definida en el punto y tampoco existe el límite en ese punto. 3. Se presenta una discontinuidad de salto, cuando la función está definida en el punto, pero el límite en ese punto no existe. La condición de continuidad, en algunos textos se analiza por separado, esto es, primero se valúa la función en la abscisa del punto indicado, después se calcula el límite de la función y por último se comparan los dos valores obtenidos. Ejemplo 1: Analice la continuidad de la siguiente función en el punto indicado, en caso de que la función sea discontinua, indicar a que tipo de discontinuidad pertenece. y=2 x−7 en

x= 3

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Página 22

Apuntes de Cálculo Diferencial Analizando la condición de continuidad por separado se tiene: a) b)

f ( 3 ) =2 ( 3 )−7=−1 lim ( 2 x−7 ) =−1

El cual pertenece a los nùmeros reales.

x→ 3

Como f (3) =

El cual pertenece a los nùmeros reales.

lim (2 x −7) x→ 3

Se cumple la condición de continuidad, entonces la función dada es continua en x=3. Gráfica. Se trata de una función lineal de primer grado, tabulamos en el intervalo (-1,6). y=2 x−7

x -1 0 1 2 3 4 5 6

-9 -7 -5 -3 -1 1 3 5

Ejemplo 2: Analice la continuidad de la siguiente función en el punto indicado, en caso de que la función sea discontinua, indique a que tipo de discontinuidad pertenece. 3x-1 y=¿ 4

si

x≤2

si

x> 2

en x=2.

Analizando la condición de continuidad: a) Para evaluar f (2), se considera la parte de la función que está definida para x=2, esto es la función lineal. Entonces: f ( 2 )=3 ( 2 ) −1=5

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Página 23

Apuntes de Cálculo Diferencial lim f ( x )

b)

Aquì por tratarse de una funciòn definida en dos

x→ 2

secciones, el lìmite se calcula mediante los lìmites laterales. El límite por la izquierda es: f ( x )= lim ¿ −¿

x→ 2 3 x−1=5 −¿

x→2 ¿ lim ¿ ¿

El límite por la derecha es: x → 2+¿ 4=4 lim ¿ ¿

Como los límites laterales son diferentes, entonces el límite de la función f(x) no existe, esto es: lim f ( x ) =∄ x→ 2

Entonces f (2)

≠ lim f ( x) x→2

por no existir límite.

Por lo tanto la función f(x) es discontinua en x=2 porque no se cumple la condición de continuidad. Se presenta una discontinuidad de salto. Se deja al alumno la elaboración de la gráfica. Resumen: una función se considera continua cuando se representa su gráfica como una línea continua sin presentar interrupciones ni saltos.

Ejercicios de reforzamiento. Analice la continuidad de las siguientes funciones en el punto indicado y trace la gráfica, en caso de que la función sea discontinua, indique a que tipo de discontinuidad pertenece. 1.-

y=3 x 2−2 en x=3

2.- y=

x 2+3 x x

en x=

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Página 24

Apuntes de Cálculo Diferencial

TEMA No. 8. PUNTOS DE DISCONTINUIDAD EN FUNCIONES ALGEBRAICAS RACIONALES.

En una función algebraica racional con regla de correspondencia de la f ( x) y g ( x) forma , donde f(x) y g(x) son funciones polinomiales, los puntos en los cuales la función g(x) es igual a cero, son puntos de discontinuidad porque la división entre cero no está definida. Para encontrar las abscisas de los puntos de discontinuidad de una función algebraica racional se resuelve la ecuación obtenida al igualar con cero el denominador. Ejemplo 1: Encuentre los puntos de discontinuidad de la función: 3x f ( x )= 2 x −2 x Igualando con cero el denominador x 2−2 x =0 Resolviendo la ecuación por factorización: x ( x−2 ) =0

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Apuntes de Cálculo Diferencial x=0 x−2=0 x=2

Por lo tanto, la función es discontinua en x=0 y en x=2. Calculando el límite de la función en estos dos puntos a) Para x=0 lim

x→ 0

3x 3x lim x −2 x = x→ 0 x (x−2) 2

¿ lim

x→ 0

3 x−2

=

−3 2

3 La función f(x) presenta una discontinuidad evitable en el punto (0,- 2 ) porque la funciòn no esta definida en x=0, pero su límite en ese punto si existe. b) Para el segundo valor x=2, se tiene lim

x→ 2

3x 3 = x −2 x 0 =No existe el lìmite. 2

Entonces la función f(x) presenta una discontinuidad infinita en el punto de abscisa x=2. La gráfica de la función es: Resumen: Los puntos de discontinuidad son aquellos donde la gráfica presenta alguna asíntota o una región donde no existe la curva de una manera continua. Ejercicios de reforzamiento. Halle los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones, trace la gráfica e indique el tipo de discontinuidad que se presenta. 1.-

f ( x )=

3 x−6 x−2

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Apuntes de Cálculo Diferencial 2.-

f ( x )=

3x x +5 x +6 2

TEMA No. 9. CONTINUIDAD EN UN INTERVALO.

Si una función es continua en cada punto de un intervalo dado, es continua sobre el intervalo. Si una función no es continua en a, se dice que es discontinua o que tiene una discontinuidad en a. DEFINICIÓN 1.

Una función real de variable real con regla de correspondencia y = f (x) , es continua en el intervalo ( a, b ), sí y sólo sí es continua en todos los puntos con abscisa dada por los números comprendidos dentro del intervalo abierto ( a, b ) Lo cual implica que no tiene puntos de discontinuidad en todas las abscisas de los puntos que pertenecen a dicho intervalo. M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo

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Apuntes de Cálculo Diferencial DEFINICIÓN 2.

Una función real de variable real con regla de correspondencia y = f(x) ,  a, b es continua en el intervalo , sí y sólo sí cumple con las siguientes condiciones. 1.-Que f(x) no tenga puntos de discontinuidad en (a, b). lim f ( x)  f (a)

2.-Que

xa 

lim f ( x)  f (b)

3.-Que

x b 

Ejemplo 1: Analice la continuidad de la función intervalo

[ −5,5 ]

f ( x )=√ 25−x2

en el

y trace la gràfica.

Analizando las tres condiciones de continuidad para un intervalo cerrado se tiene: 1.- En el intervalo abierto

(−5,5 )

la funciòn es continua, puesto que

existe para todos los valores del intervalo, esto es, la función no presenta puntos de discontinuidad en el intervalo abierto (−5,5 ) .

2.-

x →−5+¿ √25−x 2=0 lim ¿ ¿

f (−5 )= √25−(−5)2

Como

x →−5+¿ √25−x 2=f (−5) lim ¿

Cumple con la segunda condiciòn de

¿

continuidad.

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Página 28

Apuntes de Cálculo Diferencial x → 5−¿ √ 25−x 2 =0 lim ¿

3.-

¿

f ( 5 ) =√25−(5)2=0

Como

x → 5−¿ √ 25−x 2=f (5) lim ¿

Cumple con la tercera condiciòn de

¿

continuidad. Por lo tanto la función es continua en el intervalo cerrado

[ −5,5 ] .

Resumen: si una función es continua en cada punto de un intervalo dado, se dice que es continua sobre el intervalo. Ejercicios de reforzamiento. Analice la continuidad de las siguientes funciones en el intervalo indicado y trace la gráfica. 1.-

f ( x )=2 x 2−4

2.-

f ( x )=√ 2−x en [ −2,2 ]

[ 0,4 ]

en

TEMA No. 10. INCREMENTOS. M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo

Página 29

Apuntes de Cálculo Diferencial

INCREMENTO DE UNA VARIABLE.

Si a la variable independiente x se le asigna un valor inicial x 1 , y después un valor final x 2 , entonces, se llama incremento de la variable x x a la diferencia del valor final con el valor inicial y se denota por (se lee: delta x ). Esto es:  x  x 2 x

1

INCREMENTO DE UNA FUNCIÓN.

Dada una función real de variable real con regla de correspondencia y=f(x) , si x varia de x 1 a x2 entonces al valor de la función en x 1 se llama valor inicial de la función f(x 1) y al valor de la función en x 2 se llama valor final de la función f(x2). Se llama incremento de la función f(x) a la diferencia del valor final con f (x) el valor inicial y se denota por . Esto es: f ( x)  f ( x 2 )  f ( x1 )

En general para cualquier x que pertenece al dominio de la función, se considera: f ( x)  f ( x  x)  f ( x)

Ejemplo 1: Determinar el cociente ∆ f (x ) ∆x

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Página 30

Apuntes de Cálculo Diferencial Para la siguiente función:

f ( x )=3 x 2+ 2 x−1

El incremento de la función se obtiene con:

∆ f ( x )=f ( x+ ∆ x )−f ( x) ,

entonces ∆ f ( x )=3 ( x+ ∆ x)2 +2 ( x+ ∆ x ) −1−( 3 x 2 +2 x−1) ¿ 3 ( x2 +2 x ∆ x+ ∆ x2 ) +2 x +2 ∆ x−1−3 x 2−2 x+1 2

2

2

¿ 3 x +6 x ∆ x+ 3 ∆ x +2 x+ 2 ∆ x −1−3 x −2 x +1 2

¿ 6 x ∆ x +3 ∆ x +2 ∆ x ¿(6 x +3 ∆ x +2) ∆ x

Dividiendo entre

∆x

y simplificando, se tiene el cociente de

incrementos ∆ f (x ) (6 x+ 3 ∆ x+ 2) ∆ x = =6 x+3 ∆ x +2 ∆x ∆x Resumen: si a la variable x se le hace un incremento

∆x

entonces la

función f(x) presenta un incremento proporcional al realizado en el eje x. Ejercicios de reforzamiento. Determine el cociente

1.-

f ( x )=3 x 3−4 x 2+ x−5

2.-

f ( x )=√ 2 x+1

∆ f (x ) ∆x

para las siguientes funciones:

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Página 31

Apuntes de Cálculo Diferencial

TEMA No 11. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

La derivada de una función es una de las herramientas más poderosas en las matemáticas. En efecto, es indispensable para las investigaciones no elementales tanto en las ciencias naturales como en las ciencias sociales y las humanidades. DEFINICIÓN.

La derivada de una función real de variable real continua, se obtiene como el límite del cociente del incremento de la función entre el incremento de la variable independiente, cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero, esto es: f ( x)  lim

x 0

Derivada de

f ( x) x

También la derivada de una función se expresa como:

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Página 32

Apuntes de Cálculo Diferencial f ( x)  lim

x 0

Derivada de

f ( x  x)  f ( x) x

A efecto de simplificar la notación, es común representar a mediante la letra h, con lo cual se tiene: f ( x)  lim

h 0

Derivada de

x

f ( x  h)  f ( x ) h

NOTACIÓN.

La derivada de una función real de variable real con regla de y  f (x) correspondencia se denota de las siguientes seis formas:

D x f (x ) D x y f ' ( x) ,

,

,

df ( x) dy dx dx Y’, ,

La derivada de una función en cualquiera de sus puntos, geométricamente representa la pendiente de las rectas tangentes a la curva en esos puntos. Esto es

mT  D x f (x) Ejemplo 1: Obtener la derivada de la siguiente función: f ( x )=4 x 2+2 x−3 Aplicando la definición de derivada: f ( x +h )−f ( x) Dx f ( x )=lim h h→ 0 Resulta 4 (x +h)2+ 2 ( x +h )−3−(4 x 2 +2 x−3) ¿ lim h h→0

¿ lim

h→0

4 ( x2 +2 xh+h2 ) +2 x +2 h−3−4 x 2−2 x +3 h

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Página 33

Apuntes de Cálculo Diferencial

¿ lim

h→0

4 x 2 +8 xh+ 4 h2 +2 x+2 h−3−4 x 2−2 x+3 h

Simplificando: 8 xh+4 h2 +2 h ¿ lim h h→0 Realizando la división 8 x+ 4 h+ 2 (¿) ¿ lim ¿ h→0

Finalmente, calculando el límite cuando

h →0

se tiene la derivada de

la función Dx f ( x )=8 x +2 Resumen: La derivada de una función real de variable real continua, se obtiene como el límite del cociente del incremento de la función entre el incremento de la variable independiente, cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero. Ejercicios de reforzamiento. Utilizando la definición, calcular la derivada de las siguientes funciones. 1.-

f ( x )=5−2 x +5 x 2

2.-

f ( x )=

2x 3 x+1

TEMA No. 12. TEOREMAS PARA EL CÀLCULO DE DERIVADAS.

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Página 34

Apuntes de Cálculo Diferencial f Una forma más simple que la aplicación de la definición para calcular la derivada de una función real de variable real, es mediante el uso de teoremas, los cuales se obtienen a partir de la definición.

Dx k  0 1.-

donde k es un número real (Constante).

Dx x  1 2.-

Dx kx  k 3.-

donde k es un número real (Constante).

Dx x

n

 nx

n 1

4.-

donde n



R.

Sí f (x) y g(x) son dos funciones reales de variable real continuas:

Sí f(x) y g(x) son dos funciones continuas, se tienen los siguientes teoremas para el cálculo de derivadas. 6.

Derivada de un producto.

Dx  f ( x )  g ( x )   f ( x ) Dx g ( x )  g ( x ) Dx f ( x )

7. Derivada de un cociente.

D

x

g ( x ) Dx f ( x )  f ( x) Dx g ( x)  f ( x)   g ( x)    g ( x ) 2   donde g(x)

8.



0

Derivada de una función elevada a una potencia.

Dx  f ( x) 

n

 n  f ( x)

n 1

Dx f ( x )

Este teorema generalmente se expresa como :

Dx u

n

nu

n 1

Dx u donde u es una función de x.

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Página 35

Apuntes de Cálculo Diferencial Ejemplo 1: Obtenga la derivada de la función

f ( x )=6 x 4 +5 x 3−7 x 2 +8 x−7

Aplicando los teoremas correspondientes Dx f ( x )=D x ( 6 x 4 ) + D x ( 5 x 3 ) −Dx ( 7 x2 ) + D x ( 8 x )−D x (7) Dx f ( x )=24 x 3 +15 x 2−14 x+ 8

Ejemplo 2: Obtenga la derivada de

f ( x )=

3 3 7 − 4+ 3 5 x 2x x

Transformando la función a la forma de potencia f ( x )=3 x−5−

3 x −4 +7 x−3 2

Aplicando teoremas y simplificando Dx f ( x )=−15 x−6 + D x f ( x )=

12 x −5 −21 x−4 2

−15 6 21 + − x 6 x5 x 4

Resumen: para obtener la derivada de una función algebraica de manera directa se aplican los teoremas respectivos, sin necesidad de desarrollar la definición de derivada. Ejercicios de reforzamiento. Calcular la derivada de las siguientes funciones: 1.-

f ( x )=2 x 3−3 √ 2 x +

2.-

f ( x )=

7 −2 x2

6 x4 3 x2 +2 x−3

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Página 36

Apuntes de Cálculo Diferencial 3.-

f ( x )=(3 x +7) √ x +2

TEMA No. 13. DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS.

Hemos descrito una función algebraica y expresábamos que una función que no es algebraica es llamada función trascendente. En esta parte estudiaremos el cálculo de aquellas funciones trascendentes comúnmente llamadas funciones trascendentes elementales. Estas incluyen las funciones trigonométricas, las trigonométricas inversas, las logarítmicas y las exponenciales La derivada de las seis funciones trigonométricas directas se obtienen aplicando los siguientes teoremas: Considerando que u es una función continua de x, esto es: u = f (x) Dx sen u  cos u Dx u 1.

Dx cos u   sen u Dx u 2.

Dx tan u  sec

2

u Dx u

3.

Dx cot u   csc

2

u Dx u

4.

Dx sec u  sec u tan u Dx u 5.

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Página 37

Apuntes de Cálculo Diferencial Dx csc u   csc u cot u Dx u 6.

Ejemplo 1: Calcular la derivada de la función

Considerando

2

u= 2 x +3 x−1

2 x2 (¿+3 x−1) f ( x )=tan ¿

y que la derivada es de la forma

2

Dx tan u=sec u D x u , entonces Dx f ( x )=sec 2 ( 2 x 2+ 3 x−1 ) D x (2 x 2 +3 x−1) Calculando la derivada indicada y reordenando los términos, se tiene la derivada de la función. ¿ ( 4 x +3 ) sec 2(2 x 2+ 3 x −1) Resumen: Para obtener la derivada directamente de las funciones trigonométricas se aplican los teoremas respectivos haciendo la consideración del valor que toma la función u.

Ejercicios de reforzamiento. Obtenga la derivada de las siguientes funciones: 1.-

f ( x )=sec √1−3 x 2

2.-

f ( x )=4 tan 7 x−2 sec 5 x

3.-

f ( x )=

2

3 x +1 cos 2 x3

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Página 38

Apuntes de Cálculo Diferencial

TEMA No. 14. DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS.

Para calcular la derivada de las funciones trigonométricas inversas, se aplican los siguientes teoremas. Considerando que u es una función continua de x, esto es: u = f (x). Dx arc sen u 

1 1 u

2

Dx u

1.

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Página 39

Apuntes de Cálculo Diferencial 1

Dx arc cos u  

1 u

2

Dx u

2.

Dx arc tan u 

1 1 u

2

Dx u

3.

Dx arc cot u  

1 1 u

2

Dx u

4.

Dx arc sec u 

1 u u 2 1

Dx u

5.

Dx arc csc u  

1 u u 2 1

Dx u

6.

Ejemplo 1: Calcular la derivada de la función

Si u=

2 x 3 +5

tiene D x f ( x )=

y utilizando el teorema

f ( x )=arc sen ( 2 x 3+5 )

D x arc sen u=

1 Dxu √1−u2

se

1 D x (2 x 3 +5) 3 2 √1−(2 x + 5)

Derivando la función indicada, se tiene la derivada de la función. 6x Dx f ( x )= √1−(2 x 3+ 5)2 Resumen: para obtener la derivada de las funciones trigonométricas inversas se aplican los teoremas correspondientes haciendo las consideraciones de los valores que toma la función u. Ejercicios de reforzamiento. Derive las siguientes funciones: M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo

Página 40

Apuntes de Cálculo Diferencial 1.-

f ( x )=arc sen(2 x 2 +5)

2.-

x−1 arc csc √ ¿ f ( x )=( sen 3 x 2) ¿

3.-

f ( x )=

arc tan7 x cot 5 x

TEMA No. 15. DERIVADA DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS.

M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo

Página 41

Apuntes de Cálculo Diferencial Para calcular la derivada de una función logarítmica, se aplican los teoremas siguientes: Considerando que u es una función continua de x, esto es u = f (x). Dx log

a

u

1 log a e Dx u u

1.

Dx ln u 

2.

1 Dx u u

Ejemplo1: Calcule la derivada de la función

Considerando u=

5 x2 +3 x−4

Aplicando el teorema

D x f ( x )=

5 x2 ( ¿+3 x−4) f ( x )=log 3 ¿

1 Dx log a u= log a e D x u u

se tiene:

1 2 log 3 e Dx (5 x +3 x−4) 5 x +3 x−4 2

Calculando la derivada indicada, se tiene la derivada de la función. ¿

10 x+ 3 log 3 e 5 x 2+ 3 x −4

Ejemplo 2: Hallar la derivada de la función

Considerando u=

cos 3 x

Aplicando el teorema

cos 3 x 2 (¿) f ( x )=ln ¿

2

1 Dx ln u= D x u u

M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo

y simplificando, se tiene:

Página 42

Apuntes de Cálculo Diferencial cos 3 x2 1 D x f ( x )= Dx ¿ ), calculando la derivada indicada. cos 3 x 2

¿

1 (−sen 3 x 2 D x ( 3 x 2 )) 2 cos 3 x

=

−6 x sen 3 x 2 cos 3 x2

= −6 x tan 3 x

2

Resumen: las funciones logarítmicas que consideran al logaritmo vulgar y al logaritmo natural se pueden derivar aplicando los teoremas correspondientes y considerando los valores que toma la función u. Ejercicios de reforzamiento. Calcule la derivada de las siguientes funciones:

1.-

2 x5 (¿+7) f ( x )=log 3 ¿

2.-

f ( x )=tan ⁡( log5 x 4 )

3.-

f ( x )=

ln(sen 5 x ) cot ⁡(2 x +3)

M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo

Página 43

Apuntes de Cálculo Diferencial

TEMA No. 16. DERIVADA DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES.

Para calcular la derivada de una función exponencial, se aplican los siguientes teoremas. Considerando que u es una función continua de x, esto es, u = f (x). u

Dx a

a

u

ln a Dx u

1.

donde a u

Dx e

e

u

D

x

es una constante.

u

2. 2

Ejemplo 1: Obtener la derivada de la función

f ( x )=5 x +2 x−5

2 Considerando u= x +2 x−5

Aplicando el teorema

Dx au=au ln a Dx u

, se tiene:

2

Dx f ( x )=5 x +2 x−5 ln 5 D x ( x 2+2 x−5) Calculando la derivada indicada M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo

Página 44

Apuntes de Cálculo Diferencial 2

¿ 5x + 2 x−5 ln 5( 2 x +2) Reordenando los términos, se tiene la derivada de la función: ¿(2 x+ 2)5 x +2 x−5 ln 5 2

Ejemplo 2: Calcule la derivada de la función

g ( x ) =e sen 3 x

Considerando u= sen 3x Aplicando el teorema

Dx e u=e u D x u

, se tiene:

Dx g ( x )=e sen 3 x D x (sen 3 x ) Calculando la derivada indicada 3x cos ¿ 3 Dx g ( x )=e sen 3 x ¿ Reordenando los términos, se tiene la derivada de la función ¿ 3 e sen 3 x cos 3 x

Resumen: las funciones exponenciales en las cuales una constante o el número e son elevadas a una potencia que es una función de la variable independiente x tienen su derivada, la cual se obtiene mediante la aplicación de sus respectivas formulas. Ejercicios de reforzamiento. Calcule la derivada de las siguientes funciones: 2 x + x−1 1.- h ( x )=4 3

2.-

h ( x )=e arc tan √ 3 x

M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo

Página 45

Apuntes de Cálculo Diferencial

TEMA No. 17. DERIVACIÓN LOGARÍTMICA.

Encontrar la derivada de una expresión que es un producto, un cociente o una potencia resulta más fácil si se usan logaritmos y sus propiedades para derivar. Es un proceso que principalmente se utiliza para calcular la derivada de una función elevada a otra función y para efectuar la demostración de teoremas para el cálculo de derivadas. El método de derivación logarítmica consiste en lo siguiente: 1. Se iguala la función con y.

M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo

Página 46

Apuntes de Cálculo Diferencial 2. Se aplica el logaritmo natural en ambos miembros de la igualdad. 3. Se aplican las propiedades de los logaritmos para simplificar la expresión. 4. Se derivan con respecto a la variable independiente ambos lados de la igualdad. 5. Se despeja Dxy, que es la derivada que se está calculando. 6. Se substituye la función y = f(x) en el segundo miembro de la igualdad. 7. Se efectúan operaciones en el segundo miembro de la igualdad y se realizan las simplificaciones correspondientes, obteniéndose la derivada de la función dada. Las propiedades de los logaritmos que se utilizan en este proceso son: 1.- ln AB= ln A+ln B A =ln A−ln B B

2.-

ln

3.-

ln A =n ln A

n

f ( x ) = ( 4 x 2+ 3 )

Ejemplo 1: Obtener la derivada de la función Igualando la función con

sen 5 x

y

y=(4 x 2 +3)sen 5 x Aplicando el logaritmo natural ln y=ln(4 x2 +3)sen 5 x Aplicando la propiedad de los logaritmos:

M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo

n

ln A =n ln A

Página 47

Apuntes de Cálculo Diferencial 4 x2 (¿¿+ 3) y=( sen 5 x ) ln ¿ ln ¿ x

Derivando con respecto a

los dos miembros de la igualdad

4 x2 4 x2 (¿+3) Dx (sen 5 x) (¿+3)+ln ¿ 1 D y=( sen 5 x ) Dx ln ¿ y x 2

4x (¿+3)cos 5 x (5) 2 D x ( 4 x +3 ) ¿ ( sen 5 x ) + ln ¿ 2 4 x +3

4 x2 (¿+3)cos 5 x 8x ¿ ( sen 5 x ) 2 +5 ln ¿ 4 x +3 4 x2 (¿+3)cos 5 x 8 x sen 5 x ¿ +5 ln¿ 4 x 2 +3 Despejando

Dx y

4 x2 (¿+3)cos 5 x 8 x sen 5 x +5 ln¿ 4 x2 +3 D x y= y ¿

Sustituyendo

2

sen 5 x

y ¿(4 x +3)

Dx (4 x 2+3) sen5 x =(4 x 2+ 3) sen 5 x

[

8 x sen 5 x +5 ln ( 4 x 2+3 ) cos 5 x 2 4 x +3

]

Efectuando la multiplicación, se tiene la derivada de la función M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo

Página 48

Apuntes de Cálculo Diferencial 4 x2 (¿+3)cos 5 x 8 x sen 5 x ¿( 4 x 2+3) sen5 x +(4 x 2+ 3) sen5 x 5 ln ¿ 2 4 x +3 Resumen: la derivación logarítmica es un proceso que principalmente se utiliza para calcular la derivada de una función elevada a otra función aplicando las propiedades de los logaritmos. Ejercicios de reforzamiento. Utilizando el proceso de derivación logarítmica, obtenga la derivada de las siguientes funciones. 1.-

f ( x ) ¿ (7 x 2+3 x )sec8 x

2.-

3x arc sec¿ ¿ ¿ f ( x ) =¿ TEMA No.18. DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIÓN.

Al derivar una función real de variable real continua, se obtiene como resultado una nueva función, la cual se puede derivar nuevamente. A la derivada de la derivada de una función se le llama segunda derivada y se denota por: 2

D x f ( x)

d 2 f ( x) D x y dx 2 2

d2y dx 2

f ‘’(x)

Análogamente, la derivada de la segunda derivada, se llama tercera derivada de la función y se denota por Dx3f(x), etcétera.

M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo

Página 49

Apuntes de Cálculo Diferencial Las derivadas obtenidas a partir de la segunda, se llaman derivadas de orden superior o derivadas sucesivas, siendo la primera derivada la ordinaria. Ejemplo 1: Obtener la cuarta derivada de la función: f ( x )=7 x 5 +6 x 4−4 x 3+ 3 x 2−8 x +1 La primera derivada de la función es: Dx f ( x )=35 x 4 +24 x 3−12 x 2+ 6 x −8 La segunda derivada 2 3 2 Dx f ( x )=140 x +72 x −24 x +6 La tercera derivada D3x f ( x )=420 x 2 +144 x−24 Finalmente la cuarta derivada D4x f ( x )=840 x +144 Resumen: las derivadas sucesivas de una función se obtienen derivando a la primera derivada, a la segunda, a la tercera y así sucesivamente hasta obtener la derivada deseada. Ejercicios de reforzamiento. 1.- Halle la segunda derivada de la siguiente función 2.- Obtenga la quinta derivada de la función

f ( x )=√ 3 x 2−2 x

f ( x )=sen(4 x−7)

TEMA No. 19. DERIVACIÓN DE FUNCIONES IMPLÍCITAS.

La mayoría de las funciones que hemos considerado han estado especificadas mediante una fórmula para f(x). Para tales funciones la derivada se obtiene por aplicación directa de los teoremas apropiados sobre derivadas. M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo

Página 50

Apuntes de Cálculo Diferencial Una función real de variable real es implícita cuando su regla de correspondencia es de la forma f (x, y) = 0, esto es, cuando ninguna variable está despejada en términos de la otra. La derivada de una función implícita de la forma f (x, y) =0 se puede determinar con respecto a la variable independiente x o con respecto a la variable dependiente y mediante el proceso denominado derivación implícita. En el presente texto sólo se describe el procedimiento para obtener mediante derivación implícita, la derivada con respecto a la variable independiente x , en la cual, se deriva la regla de correspondencia con respecto a x , teniendo en cuenta que y es la variable dependiente y que Dxy = y’ es la derivada buscada. En general, para obtener la derivada implícita con respecto a x de una función f  x, y   0 , se aplica el siguiente procedimiento: 1. Se derivan todos los términos de la función con respecto a x. 2. Se efectúan las operaciones indicadas. 3. Utilizando las propiedades de la igualdad, se transforma la ecuación en otra equivalente de tal manera que en el primer miembro se tengan los términos que contengan a y’. 4. Se factoriza y ‘. 5. Se despeja y ‘, que es la derivada que se desea obtener. Ejemplo 1: Derivar implícitamente con respecto a 2 2 2 2 x y −x y−x=3 y + xy

x

la función

Derivando con respecto Dx ( x 2 y 2 )−D x ( x2 y )−D x ( x )=D x ( 3 y 2 ) + D x ( xy) Calculando las derivadas que aparecen indicadas x 2 2 y y ' +2 x y 2−( x 2 y ' +2 xy )−1=6 y y ' + x y ' + y M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo

Página 51

Apuntes de Cálculo Diferencial Para despejar y’ primero se aplica la propiedad distributiva y después se agrupan en el primer miembro lo términos que contienen a la derivada de y 2 x 2 y y ' −x 2 y ' −6 y y ' −x y ' = y +1−2 x y 2 +2 xy Factorizando la derivada de y y ' ( 2 x 2 y− x2−6 y−x )= y +1−2 x y 2+ 2 xy Finalmente, despejando respecto a x, esto es: y +1−2 x y 2+ 2 xy ' y= 2 2 2 x y −x −6 y−x

y’

se tiene la derivada de la función con

Resumen: la derivación implícita se aplica para aquellas funciones que se presentan de manera implícita es decir que están dadas de la forma f(x, y)=0 Ejercicios de reforzamiento. Derive con respecto a x las siguientes funciones 1.-

3 x 4 +2 y 3 = y 2+ cos xy

2.-

ln xy =e + arc tan x

2

xy

TEMA No. 20. ECUACIÓN DE LAS RECTAS TANGENTE Y NORMAL A UNA CURVA.

M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo

Página 52

Apuntes de Cálculo Diferencial

Una de las aplicaciones de la derivada, que tienen una utilidad inmediata, y que se apoya en la definición e interpretación geométrica de la derivada de una función real de variable real continua, consiste en la obtención de la ecuación de la recta tangente y normal en un punto determinado de la curva. Si una función real de variable real con regla de correspondencia y =  f(x) es continua y tiene derivada en x = x0 , esto es, f ‘(x0) R, entonces, la función f(x) tienen una recta tangente en el punto ( x0 ,f(x0) ) , cuya pendiente es m=f’(x0) y su ecuación en la forma punto pendiente es:

y  f ( x0 )  f ' ( x 0 )( x  x0 )

Una recta normal a la curva en un punto dado, es la recta perpendicular a la recta tangente en ese mismo punto denominado punto de tangencia. Es necesario recordar que si m 1 es la pendiente de una recta y m 2 la pendiente de otra recta perpendicular a la primera, entonces se cumple m1 m2  1 que , conocida como condición de perpendicularidad. Por lo tanto, la recta normal a la curva en el punto de tangencia (x0, 1 mn   f ' ( x0 ) f(x0)) con pendiente , tiene por ecuación:

y  f ( x0 )  

1 ( x  x0 ) f ' ( x0 )

Ejemplo 1: Obtener la ecuación de la recta tangente y normal a la 2 curva f ( x )=2 x +3 x−2 en el punto de abscisa x=1.

M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo

Página 53

Apuntes de Cálculo Diferencial La ordenada del punto de tangencia, se calcula sustituyendo x=1 en la ecuación de la curva. f ( 1 )=2( 1)2 +3 ( 1 )−2 ¿3

Entonces el punto de tangencia es P (1,3) La pendiente de la recta tangente, se obtiene derivando y valuando la función en la abscisa del punto de tangencia. La derivada de la función es: f ( x)' =4 x+3 El valor de la pendiente de la recta en el punto de tangencia es: m=f ' ( 1) ¿ 4 ( 1 ) +3=7 La ecuación de la recta tangente es: y−f ( x 0) =f ' ( x 0 ) ( x−x 0 ) Sustituyendo los valores y simplificando se tiene la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto P (1,3). y−3=7(x−1) 7 x− y−4=0

La ecuación de la recta normal es: −1 y−f ( x 0) = ' ( x− x0 ) f ( x0 ) Sustituyendo los valores y simplificando se tiene la ecuación de la recta normal a la curva en el punto P (1,3). −1 y−3= ( x−1 ) 7 x+ 7 y−22=0

Resumen: Una de las aplicaciones de la derivada, consiste en la obtención de la ecuación de la recta tangente y normal en un punto determinado de la curva, así como de la pendiente de ambas rectas con lo cual se puede trazar la gráfica. Ejercicios de reforzamiento.

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Apuntes de Cálculo Diferencial 1.- Obtenga la ecuación de la recta tangente a la curva

y=2 x 2−4 x +8

con ángulo de inclinación de 135º.

2.- Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva

3

y=x −5 x +2

que tiene pendiente m=5.

TEMA No. 21. MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN.

Función creciente: una función real de variable real continua en el intervalo abierto (a, b), se dice que es creciente en ese intervalo, sí y sólo sí: f ( x1 )  f ( x 2 )

para

x1  x 2

definidos en el intervalo.

Función decreciente: una función real de variable real continua en el intervalo abierto (a, b), se dice que es decreciente en ese intervalo, sí y sólo sí: f ( x1 )  f ( x 2 )

para

x1  x 2

definidos en el intervalo.

Punto máximo de una función: el punto máximo de una función, es el punto en el cual la función cambia de creciente a decreciente. Punto mínimo de una función: el punto mínimo de una función, es el punto en el cual la función cambia de decreciente a creciente.

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Apuntes de Cálculo Diferencial Para determinar los puntos máximos y mínimos, de una función, así como los intervalos donde es creciente y decreciente, se emplea el siguiente procedimiento: 1. Se obtiene la derivada de la función. 2. Se iguala con cero la derivada de la función. f ' ( x)  0

3. Se resuelve la ecuación

.

La solución de esta ecuación corresponde a las abscisas de los puntos llamados puntos críticos, que pueden ser los puntos máximos o mínimos, aunque no necesariamente. 4. Se obtiene la segunda derivada de la función. 5. Se valúa la segunda derivada de la función en cada uno de los punto críticos

x0 , Y f (x)

f (x)

tiene un máximo en x0, sí f’’(x0) < 0.

tiene un mínimo en x0 , sí f’’(x0) > 0. 6. Se obtiene la ordenada de los puntos máximos y mínimos sustituyendo el valor de x0 en la función original. 7. Se traza la gráfica de la función. 8. Se establecen los intervalos donde la función es creciente y decreciente. Ejemplo 1: Obtener los puntos máximos y mínimos de la función f ( x )=x 3−12 x+ 2 Así como los intervalos en los cuales es creciente y decreciente, trazar también la gráfica. Derivando la función f ' ( x )=3 x2 −12 Igualando con cero la primera derivada 2 3 x −12=0

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Apuntes de Cálculo Diferencial Simplificando y resolviendo la ecuación, se tiene la abscisa del punto crítico 2 3 x =12 2

x =4 x=± √ 4 x 1=−2 x 2=2 Calculando la segunda derivada de la función f ' ' ( x )=6 x

Valuando la segunda derivada de la función en los puntos críticos X

f ' ' ( x )=6 x

-2

6(-2)=-12

f ' ' ( x ) 0 entonces se tiene un mìnimo en x=2

2

Valuando los puntos críticos en la función original, se tiene el valor de su ordenada x -2 2

f ( x )=x 3−12 x+ 2 (−2)3−12 (−2 )+ 2=18

Se tiene un máximo en (-2,18)

(2)3 −12 ( 2 ) +2=−14

Se tiene un mínimo en (2,-14)

A partir de la gráfica, se determinan los intervalos donde la función es creciente y decreciente. La función es creciente en: La función es decreciente en:

x ∈ (−∝ ,2 ) y en x ∈(2, ∝)

x ∈(−2,2)

Se propone al alumno la elaboración de la gráfica.

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Apuntes de Cálculo Diferencial Resumen: mediante la aplicación de derivadas es posible obtener la abscisa de los puntos máximos y mínimos de la gráfica de una función, así como las coordenadas de estos puntos. También se obtienen los intervalos donde es creciente y decreciente. Ejercicios de reforzamiento. Trazar la gráfica de las siguientes funciones determinando sus puntos máximos y mínimos, así como los intervalos en los cuales es creciente y decreciente. 1.-

f ( x )=x 3−6 x 2 +3 x+10

2.-

f ( x )=3−8 x−x 2

TEMA No. 22. PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS.

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Apuntes de Cálculo Diferencial

La teoría que desarrollamos para encontrar los valores extremos de funciones puede aplicarse en algunos problemas prácticos. Estos problemas pueden describirse oralmente o enunciarse por medio de palabras escritas como se hace en los libros de texto. Para resolverlos, es necesario traducir los enunciados verbales al lenguaje de las matemáticas introduciendo para ello fórmulas, funciones y ecuaciones. Como los tipos de aplicaciones son muchos y muy variados, es difícil dar reglas específicas para hallar las soluciones. Algunos problemas de planteo en los cuales la solución es un máximo o un mínimo, pueden resolverse con la teoría que se ha desarrollado hasta el momento. La aplicación principal se presenta en problemas de optimización, en los cuales se pide obtener uno o varios valores máximos o mínimos. No existe un método general que se pueda aplicar para resolver todos los problemas de este tipo, pero se recomienda realizar lo siguiente: 1. Leer varias veces el problema hasta entenderlo totalmente. Aquí se deben identificar tres elementos: - Los datos del problema. - Las condiciones o restricciones del problema. - Lo que se pide obtener en el problema. 2. Asignar las variables con las cuales se planteará y resolverá el problema, de ser posible realizar un dibujo lo más apegado posible al problema. 3. Establecer la función objetivo en términos de las variables propuestas. Esta es la función que se debe maximizar o minimizar según corresponda. Aquí la función objetivo puede ser una función con varias variables. 4. Establecer una ecuación para cada una de las condiciones o restricciones del problema, esto es, transformar el lenguaje común a lenguaje algebraico. M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo

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Apuntes de Cálculo Diferencial 5. Despejar una variable en cada una de las ecuaciones y sustituirla en la función objetivo de tal manera que se tenga una función con una sola variable. 6. Determinar los valores máximos o mínimos de la función según corresponda. 7. Con los valores problema.

obtenidos, establecer las conclusiones

8. Si es posible, con los resultados obtenidos, comprobación con el enunciado del problema.

realizar

del una

Ejemplo 1: Se desea construir una caja sin tapa, con base rectangular, a partir de una pieza rectangular de cartón de 16 cm de ancho y 21 cm de largo, recortando un cuadrado de cada esquina y doblando sus lados. Encuentre el lado del cuadrado para el cual se obtiene una caja de volumen máximo. Comenzamos por considerar el cartón de 21 cm de largo por 16 cm de ancho en donde usamos la letra x para denotar la longitud del lado del cuadrado que debe recortarse en cada esquina. Nuestro objetivo es lograr que la caja así construida tenga el máximo volumen posible. El volumen V de la caja esta dado por V =x ( 16−2 x )( 21−2 x )=2( 168 x−37 x 2 +2 x3 ) Esta ecuación expresa a respecto a x obtenemos D x V =2 ( 168−74 x+6 x 2 )

V

como una función de

x. Derivando con

¿ 4 ( 3 x 2−37 x +84 ) ¿ 4 ( 3 x−28 )( x−3 )

Por lo tanto los números críticos posibles son 28 3

28 3

y

3, pero como

se encuentra fuera del dominio de x, el único número crítico es 3.

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Apuntes de Cálculo Diferencial La segunda derivada de V está dado por 2

Dx V =2 (−74 +12 x ) =4 ( 6 x−37 ) Sustituyendo 3 en lugar de x, 2

Dx V =4 ( 18−37 )=−76