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SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN GENERAL DE BACHILLERATO PREPARATORIA FEDERAL POR COOPERACIÓN “RICARDO FLORES MAGÓN” CLAVE: 20SBC2181V

APUNTES DE CALCULO DIFERENCIAL

NOMBRE DEL ALUMNO

GRADO

GRUPO

Callejón “Los Sánchez” S/N, Barrio Agua Blanca, Santos Reyes Nopala, Oax., C. P. 71960 954 58 6 01 51 Titular: Ing. Doroteo Morales Sánchez.

954 130 32 47 [email protected] www.facebook.com/teomorales @teo_ms

PROGRAMA DE ESTUDIOS. Bloque I.- Argumentas el estudio del cálculo mediante el análisis de su evolución, sus modelos matemáticos y su relación con hechos reales. 1.1. Antecedentes y aplicaciones del Cálculo. 1.1.1. Los problemas que dieron origen al cálculo. 1.1.2. El problema de las tangentes. 1.1.3. Problemas de máximos y mínimos. 1.1.4. Problemas de integración. 1.1.5. Personajes y contribuciones en la antigüedad. 1.1.6. Personajes y contribuciones en los siglos XVI-XVII. 1.1.7. El cálculo según Newton. 1.1.8. El cálculo según Leibnitz. 1.1.9. El siglo XVII y la disputa por la creación del cálculo. 1.1.10. Aportes en los siglos XVIII y XIX. 1.1.11. Siglo XX y nuestros días. 1.1.13. Conclusiones. Bloque II.- Resuelves problemas de límites en situaciones de carácter económico, administrativo, natural y social. 2.1. Los límites: su interpretación en una tabla, en una gráfica y su aplicación en funciones algebraicas. 2.1.1. Noción intuitiva de límite y límites laterales. 2.1.2. Definición informal de límite. 2.1.3. Los límites y su interpretación gráfica. 2.2. El cálculo de límites en funciones algebraicas: polinomiales y racionales. 2.2.1. Propiedades de los límites. 2.2.2. Límite de un polinomio. 2.2.3. Límite de una función racional. 2.2.4. Límites laterales. 2.2.5. Límites infinitos y límites en el infinito. 2.2.6. Teorema de continuidad de una función. 2.2.7. Condiciones de continuidad. 2.2.8. Teorema del valor intermedio y de valores extremos. Bloque III.- Calculas, interpretas y analizas razones de cambio en fenómenos naturales, sociales, económicos y administrativos. 3.1. La derivada. 3.1.1. Interpretación geométrica de la derivada. 3.2. El problema de la recta tangente. 3.2.1. Definición de la recta tangente. 3.3. La derivada de una función. 3.3.1. Definición de la derivada de una función. 3.4. Razón de cambio promedio e instantánea. 3.4.1. Definición de velocidad media. 3.4.2. Definición de velocidad instantánea. 3.4.3. Definición de aceleración. 3.5. Reglas de derivación. 3.5.1. Reglas básicas. 3.5.2. Regla de las potencias. 3.5.3. Regla del producto. 3.5.4. Regla del cociente. 3.5.5. Regla de la cadena. 3.5.6. Regla general de las potencias. 3.6. Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas. 3.7. Derivadas de funciones trigonométricas directas e inversas. Bloque IV.- Calculas e interpretas máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización. 4.1. Producciones, máximos y mínimos. 4.1.2. Extremos en un intervalo. 4.1.3. Teorema de los valores extremos. 4.1.4. Teorema del punto crítico. 4.1.5. Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos. 4.2. Variaciones en las producciones, máximos y mínimos relativos. 4.2.1. Problemas de aplicación de máximos y mínimos. 4.2.2. Funciones crecientes y decrecientes. 4.3. Cálculo de valores máximos y mínimos con el criterio de la segunda derivada. 4.4. Concavidad y puntos de inflexión. 4.5. Aplicaciones en las ciencias naturales, económico-administrativas y sociales.

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INTRODUCCION. El Cálculo Diferencial e Integral es una herramienta matemática que surgió en el siglo XVII para resolver algunos problemas de geometría y de física. El problema de hallar una recta tangente a la gráfica de una función en un punto dado y la necesidad de explicar racionalmente los fenómenos de la astronomía o la relación entre distancia, tiempo, velocidad y aceleración, estimularon la invención y el desarrollo de los métodos del Cálculo. Sobresalieron entre sus iniciadores John Wallis, profesor de la Universidad de Oxford e Isaac Barrow, profesor de Newton en la Universidad de Cambridge, Inglaterra. Pero un método general de diferenciación e integración fue descubierto solo hacia 1665 por el Inglés Isaac Newton y posteriormente por Gottfried Wilhelm Von Leibniz, nacido en Leipziy, Alemania, por lo que a ellos se les atribuye la invención del Cálculo. En la actualidad el Cálculo se aplica al estudio de problemas de diversas áreas de la actividad humana y de la naturaleza: la economía, la industria, la física, la química, la biología, para determinar los valores máximos y mínimos de funciones, optimizar la producción y las ganancias o minimizar costos de operación y riesgos. En esta asignatura estudiarás una parte del Cálculo conocida como Cálculo Diferencial. Para abordar estos contenidos es necesario que apliques los conocimientos que adquiriste de álgebra, geometría, trigonometría y geometría analítica. La asignatura de Cálculo Diferencial, tiene como finalidad analizar cualitativa y cuantitativamente la razón de cambio instantáneo y promedio, lo que permitirá dar soluciones a problemas del contexto real del estudiante al facilitarle la formulación de modelos matemáticos de problemas financieros, económicos, químicos, ecológicos, físicos y geométricos. Una segunda finalidad es la resolución de problemas de optimización. Actualmente la enseñanza del Cálculo Diferencial se caracteriza por ser abstracta, consiste en aprender de manera mecánica a resolver límites de funciones algebraicas, trascendentes y la obtención de sus derivadas, el contexto real en el que se desenvuelve el estudiante influía poco en la resolución de problemas. Ahora se pretende dar un nuevo enfoque en el cual el alumno comience a construir sus propios conceptos a partir de la resolución e interpretación de los cambios en el medio ambiente inmediato en el cual se encuentra inmerso, en el estudio de la producción de las diferentes empresas de su localidad, en la producción agrícola y en situaciones sociales. El Cálculo Diferencial es una asignatura completa que integra los contenidos de Álgebra, Geometría, Trigonometría y Geometría Analítica; el alumno debe de comprender que el estudio de ésta permite modelar el mundo real e interpretar diversos fenómenos relacionados con el tiempo y la optimización, el uso de la tecnología facilitará el planteamiento de modelos y estudiar sus variaciones de una forma dinámica, para el planteamiento de problemas, su resolución, análisis y toma de decisiones en situaciones de su vida familiar, social, escolar y laboral.

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Bloque I.- argumentas el estudio del cálculo mediante el análisis de su evolución, sus modelos matemáticos y su relación con hechos reales 1.1. Antecedentes y aplicaciones del Cálculo. El Cálculo cristaliza conceptos y métodos que la humanidad estuvo tratando de dominar por más de veinte siglos. Una larga lista de personas trabajaron con los métodos "infinitesimales" pero hubo que esperar hasta el siglo XVII para tener la madurez social, científica y matemática que permitiría construir el Cálculo que utilizamos en nuestros días. Sus aplicaciones son difíciles de cuantificar porque toda la matemática moderna, de una u otra forma, ha recibido su influencia; y las diferentes partes del andamiaje matemático interactúan constantemente con las ciencias naturales y la tecnología moderna. Newton y Leibniz son considerados los inventores del cálculo pero solo representan un eslabón en una larga cadena iniciada muchos siglos antes. A continuación se resumen algunos hechos y aportaciones de personajes que hicieron posible el nacimiento del Cálculo. 1.1.2. Los problemas que dieron origen al cálculo. La situación de los problemas matemáticos a mediados del siglo XVII era aproximadamente la siguiente: además de tener readquiridos los resultados y métodos de la matemática griega, el desarrollo de la geometría analítica (el método de las coordenadas) habría permitido plantear y resolver algunos problemas relacionados con curvas, de las cuales se conocían muchos tipos. Por otra parte, la física proporcionaba un punto de vista cinemático: una curva podía interpretarse como la trayectoria de un punto material móvil. En sus comienzos el cálculo fue desarrollado para estudiar cuatro problemas científicos y matemáticos:  Encontrar la tangente a una curva en un punto.  Encontrar el valor máximo o mínimo de una cantidad.  Encontrar la longitud de una curva, el área de una región y el volumen de un sólido.  Dada una fórmula de la distancia recorrida por un cuerpo en cualquier tiempo conocido, encontrar la velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier instante. Recíprocamente, dada una fórmula en la que se especifique la aceleración o la velocidad en cualquier instante, encontrar la distancia recorrida por el cuerpo en un período de tiempo conocido. En parte estos problemas fueron analizados por las mentes más brillantes de este siglo, concluyendo en la obra cumbre del filósofo-matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz y el físico-matemático inglés Issac Newton: la creación del cálculo. Se sabe que los dos trabajaron en forma casi simultánea pero sus enfoques fueron diferentes. La aparición del análisis infinitesimal fue la culminación de un largo proceso, cuya esencia matemática interna consistió en la acumulación y asimilación teórica de los elementos del cálculo diferencial e integral y la teoría de las series. Para el desarrollo de este proceso se contaba con: el álgebra; las técnicas de cálculo; introducción a las matemáticas variables; el método de coordenadas; ideas infinitesimales clásicas, especialmente de Arquímedes; problemas de cuadraturas; búsqueda de tangentes. Las causas que motivaron este proceso fueron, en primer término, las exigencias de la mecánica, la astronomía y la física. En la resolución de problemas de este género, en la búsqueda de problemas generales de resolución y en la creación del análisis infinitesimal tomaron parte muchos científicos: Kepler, Galileo, Cavalieri, Torricelli, Pascal, Wallis, Roberval, Fermat, Descartes, Barrow, Euler, Newton y Leibniz, entre otros. 1.1.3. El problema de las tangentes. Es el problema de hallar la ecuación de la tangente a una curva dada, en un punto. Su origen es geométrico y técnico. Geométricamente, proviene del tiempo de los antiguos griegos, que obtuvieron las tangentes de algunas curvas. Por otra parte, era necesario resolver este problema para el diseño de lentes ópticas (una cuestión importante en la época de la que hablamos, el siglo XVII). También desde un punto de vista físico tenía su relevancia, por cuanto era importante conocer la dirección instantánea de un movimiento curvo. Apolonio (190 a.C.).- Construyó las tangentes a las cónicas. Arquímedes (287-212 a.C.) hizo lo propio para las espirales. Sin embargo, el punto de vista griego era estático": la tangente era la recta que cortaba a la curva en un solo punto, dejándola a un lado". No había, pues, proceso de paso al límite. 4

Fermat (1601-1665).- Obtuvo un método para hallar la tangente a una curva definida por un polinomio: , método que, en realidad, no hacia ninguna referencia al paso al límite, sino que se apoyaba en el siguiente razonamiento: si f(x) es un polinomio, entonces f(x+h)-f(x) es un polinomio en h divisible por h, de modo que se hace la división y se eliminan los términos en h, y se obtiene así la ecuación de la recta tangente. Descartes (1596-1650).- Afirma que el problema geométrico que más desea solucionar es el de las tangentes. Su procedimiento es todavía menos infinitesimal que el de Fermat y consiste en trazar la circunferencia con centro en el corte de la normal a la curva (en el punto que se considere) con el eje de abscisas y que pase por el punto en cuestión. Se impone la condición de que la circunferencia no corte a la curva en ningún otro punto y de esta manera se tiene como tangente la de la circunferencia en este punto. Este método es útil para curvas y = f(x) tales que (f(x))2 sea un polinomio sencillo. Con él se retorna a la situación griega, completamente estática". Tanto este método como el anterior fueron mejorados con posterioridad. Barrow (1630-1677).- Utiliza la idea de que la tangente es el límite de las secantes para aplicar el método de Fermat a curvas dadas en forma implícita: f(x; y) = 0. Ya se verá más adelante que, no obstante, Barrow seguía con la idea griega de que la tangente era la recta que cortaba a la curva en un solo punto. Por otro lado, en esos mismos años (hacia 1650), se consiguió determinar la tangente a algunas curvas por métodos cinemáticos". Para ello se daba la curva en forma paramétrica (con parámetro el tiempo) y se interpretaba la velocidad como la suma (vectorial) de las velocidades según los ejes. Era, pues, necesario que los dos movimientos tuvieran “buenas" velocidades. De este modo se determinó la tangente a la cicloide, a la parábola y a la elipse. 1.1.4. Problemas de máximos y mínimos. Un problema importante relacionado con el origen del Cálculo es encontrar máximos y mínimos de una función. Por ejemplo, Euclides probó que entre todos los rectángulos de igual perímetro, el cuadrado es el que tiene el área mayor. Fermat (que nació en 1601) abordó el problema de un modo diferente y se interesó por la tangente a una curva y la relación de esta tangente con el máximo (o mínimo) de una función. Antes que Fermat, Kepler (1571-1630) fue consciente de esta relación, aunque no en el sentido de funciones y derivadas, quien tuvo que diseñar cubas de vino de manera que tuvieran la máxima capacidad, lo cual motivó su estudio sobre la cuestión. Escribió "Nova Stereometria doliorum vinariorum" (1615) un libro sobre el volumen de los barriles de vino y de otros cuerpos. Encontró que el paralelepípedo de base cuadrada y volumen máximo inscrito en una esfera es el cubo (lo obtuvo midiendo muchas formas distintas). Lo esencialmente importante es su comentario de que, al acercarse al valor máximo, para un cambio fijo en las dimensiones, el volumen crece cada vez más lentamente. La lectura actual de este hecho es que la derivada se anula en un máximo relativo. Fermat parece que da un método de hallar extremos por medio de lo que él denomina “pseudoigualdades”. Afirma que en un punto se alcanza un máximo si para un incremento infinitesimal de la variable la función no varía. La esencia es semejante a la ya comentada sobre el problema de la tangente. 1.1.5. Problemas de integración. Son los problemas de determinar longitudes de curvas, áreas encerradas por curvas, centroides, etc. Y también problemas dinámicos, como hallar el espacio recorrido por un móvil conocida la expresión de su velocidad, o el espacio recorrido por un cuerpo sometido a la atracción gravitatoria de otro cuerpo puntual. Los griegos, sobre todo Arquímedes, habían resuelto algunos casos particulares del cálculo de áreas y volúmenes por el método llamado “exhaustivo" o “método de llenado": se supone que el área encerrada por una curva existe y se halla una sucesión de polígonos regulares inscritos en la curva, cuya suma de áreas se aproxime a la deseada. Estos métodos y los resultados de Arquímedes se conocieron en Europa en el siglo XVI. Se mejoraron y aplicaron a gran variedad de problemas sin temor al paso al límite, ni al infinito ni a los números irracionales. Ello produjo una amalgama de procedimientos, con una base muy pobre, pero muy poderosos. Algunos de ellos son los que, a continuación, se describen de forma rápida: Kepler (1571-1630).- Estudió la manera de hallar el volumen de cuerpos de revolución, descomponiéndolos en partes indivisibles de la forma adecuada a cada problema. Así determino el volumen de más de noventa cuerpos diferentes. 5

Galileo (1564-1642).- Justificó que el espacio recorrido por un móvil era igual al _área comprendida entre la curva de la velocidad y el eje del tiempo. Esta idea es muy importante, dado que unificaba dos problemas de orígenes bien diferentes: la longitud de una curva y el área bajo otra. Cavalieri (1598-1647).- Un alumno de Galileo, utilizo de manera sistemática técnicas infinitesimales para resolver este tipo de problemas. Comparo las áreas (o volúmenes) de los indivisibles" que forman una figura con los que forman otra, deduciendo que si aquellas se hallaban en una determinada relación, también lo estaban en esa misma las de las figuras correspondientes. Además, Cavalieri descompuso las figuras en indivisibles de magnitud inferior. Así, para calcular volúmenes, cortaba los cuerpos y medía las áreas de las secciones. Esto suponía una ruptura con los procedimientos previos de los griegos y de Kepler. El llamado teorema de Cavalieri fue enunciado de la siguiente forma: si dos cuerpos solidos tienen la misma altura y al hacer secciones paralelas a la base las áreas de las secciones están siempre en una proporción fija, entonces en esa misma proporción están los volúmenes". Su justificación la hizo transformando un sólido en otro mediante la transformación de las secciones a lo largo de la altura. Este resultado fue expuesto en 1635 en su libro Geometría de los indivisibles. Otro de sus resultados fue la fórmula que hoy se escribe en la forma: y que obtuvo n estudiando el cuerpo engendrado al girar la curva de ecuación y = x en torno al eje de abscisas. Evidentemente, el resultado general lo conjeturó, tras haberlo demostrado para valores pequeños de n. Los problemas de hallar el área entre un arco de curva y el eje de abscisas se denominaron problemas de cuadratura y fueron arduamente trabajados. Para llegar a probar la expresión de la integral anterior, fue necesario obtener previamente que (donde k es un número natural), lo que dio lugar a trabajos de Fermat, Pascal y del mismo Cavalieri. También se consiguió calcular esa integral en el caso en que el exponente es un número racional. El trabajo principal es de Wallis (1616-1703), que lo probó para n = 1/q. El resultado general es de Fermat y también de Torricelli (1608-1647), que era otro discípulo de Galileo. Neil (1637-1670).- Rectifica la parábola semicúbica y2 = x3, Wreu (1632-1723) rectifica la cicloide, Fermat hace lo propio con otras varias y Gregory (1638-1675) da en 1668 un método general para rectificar curvas. Los primeros resultados se obtuvieron inscribiendo polígonos, aumentando el número de lados y disminuyendo así la longitud de éstos; aunque se ayudaban con curvas auxiliares y métodos esféricos para calcular las sumas que se obtenían. 1.1.6. Personajes y contribuciones en la antigüedad. El trabajo prehelénico de los Egipcios y Babilonios, aunque tuvo una ausencia de generalidad y atención a las características esenciales sobre la naturaleza lógica del pensamiento matemático y su necesidad de pruebas deductivas, logró un acervo tal de cálculos y procedimientos concretos, que tuvo sin duda, una clara influencia en los trabajos iniciales de los filósofos y matemáticos griegos: Tales de Mileto.- Fue quien inicialmente introdujo los métodos deductivos, no exentos de cierto empirismo y falta de generalidad, a través de procesos sistemáticos de abstracción, que ciertamente fueron la base para los Pitagóricos. Para ellos la perfecta consonancia de la realidad observada con la naturaleza de los conocimientos matemáticos les llevaron a pensar que las matemáticas estaban en la realidad última, en la esencia del universo y por lo tanto, “un entendimiento de los principios matemáticos debía preceder cualquier interpretación válida de la naturaleza”. “Todo es número”. “Dios es un Geómetra”. Zenón de Elea (490 - 430 a.C.).- Los sofismas de Zenón constituyen la huella más vieja que se conserva del pensamiento infinitesimal desarrollado muchos siglos después. Demócrito (460-370 a.C.).- No se hicieron esperar los problemas que implicaban el concepto de límites, por lo que, grandes pensadores como Demócrito, intentan darles respuesta con la unificación de las matemáticas y la teoría filosófica del atomismo. Considerando de esta forma la primera concepción del método a límite.

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Eudoxo de Cnido (408-355 a.C.).- Trabajó enormemente en la resolución y demostración de distintos problemas, como en la trisección de un ángulo, y en la cuadratura de áreas acotadas por una curva. Esto conllevó al avance en el cálculo del número pi y a la creación del método de exahución (predecesor del cálculo de límites). Arquímedes de Siracusa (287 - 212 a.C.).- Fue uno de los más grandes pensadores de la antigüedad y uno de los matemáticos más originales de todos los tiempos. Fue autor de innumerables inventos como el tornillo sin fin, el engranaje con ruedas dentadas, el uso de la palanca en catapultas militares, el espejo ustorio. Creo un novedoso método teórico para el cálculo de áreas y volúmenes basado en secciones infinitesimales. Estos trabajos fueron retomados por Newton y Leibniz casi 2000 años después en el desarrollo del Cálculo. No hubo más progresos hasta el siglo XVI cuando la mecánica empezó a llevar a los matemáticos a examinar problemas como el de los centros de gravedad. Luca Valerio (1552-1618) publicó “De Quadratura Parabolae” en Roma (1606) que continuaba los métodos griegos para atacar este tipo de problemas de calcular áreas. 1.1.7. Personajes y contribuciones en los siglos XVI-XVII. Una época de avances hacia la formulación posterior del Cálculo como estudio de la variación, una época en la que se enfrentó la necesidad de herramientas matemáticas que no tenían más fundamento que la geometría arquimediana para tratar con los inconmensurables; método cuya visión de rigor había obstaculizado trabajar más libremente con los infinitésimos, relacionados a la variación y al continuo. Johannes Kepler (1571-1630).- Nació en Leonberg, Sacro Imperio Romano, hoy Alemania. En su trabajo sobre el movimiento planetario, tuvo que encontrar el área de sectores de una elipse; para ello su método consistió en determinar las áreas como sumas de líneas. En cambio, en su trabajo Nueva Geometría Sólida de los Barriles de Vino calculó en forma exacta o aproximada el volumen de más de 90 sólidos de revolución, considerando el sólido compuesto de infinitos cuerpos infinitesimales de volúmenes conocidos. Bonaventura Cavalieri (1598-1647).- Publicó su “Geometria Indivisibilis Continuorum Nova” en 1635 donde expone el principio que lleva ese nombre. Su método consiste en comparar proporcionalmente los indivisibles de volúmenes o áreas de cuerpos o figuras por encontrar, con los respectivos indivisibles de figuras o cuerpos cuyas áreas o volúmenes se conocen. Se puede referir este procedimiento en forma general como un método de “Suma de potencias de líneas”. Pierre de Fermat (1601-1665).- Los primeros conceptos profundos en el orden de lo infinitesimal se debe a estudios casi simultáneos de Fermat, Roberval y Torricelli, sobre todo a Fermat. Éste con su estudio sobre las tangentes y sus trabajos sobre máximos y mínimos, problema que abordó del mismo modo que se hace hoy día en el cálculo. Con esto se dijo que Fermat es inventor del cálculo diferencial. Uno de los más grandes matemáticos del siglo XVIII, Lagrange, así lo aceptó. Gilles Persone de Roberval (1602- 1675).- Cálculo de tangentes como vectores de “velocidad instantánea”. Definió que área del Cicloide es 3 veces la del círculo que la genera. Evangelista Torricelli (1608-1647).- Tempranamente hizo uso de los métodos infinitesimales y determinó el punto en el plano de un triángulo, tal que la suma de sus distancias de los vértices es la mínima (conocida como el centro isogónico). John Wallis (1616-1703).- Escribió su Arithmetica Infinitorum en 1655. Abordó sistemáticamente, por primera vez, la cuadratura de las curvas de la forma 𝑦 = 𝑥 𝑘 donde k no es necesariamente un entero positivo. Su trabajo en la determinación de los límites implicados fue empírico. Tuvo una influencia decisiva en los primeros desarrollos del trabajo matemático de Newton. Isaac Barrow (1630-1677).- Maestro de Newton. Competente en árabe y griego, mejoró traducciones de textos griegos. Punto de vista conservador en matemáticas. Sus “Lectiones Geométriae”, publicadas en 1670, incluyen los procedimientos infinitesimales conocidos por él. La mayoría de los problemas presentados tratan tangentes y cuadraturas desde un punto de vista clásico (geométrico en lugar de analítico). Incluye su método del “triángulo característico” en el que implícitamente se toma a la recta tangente como la posición límite de la secante. En su obra aparece localizado el Teorema Fundamental del Cálculo en el sentido de presentar el carácter inverso entre problemas de tangentes y áreas, en un sentido estrictamente geométrico, no como un algoritmo de cómputo. 7

Johann Bernoulli (1654-1807).- La familia Bernoulli, de Basilea, Suiza, produjo 8 matemáticos importantes en 3 generaciones. El nombre de Johann Bernoulli está relacionado con el marqués de L’ Hópital, matemático aficionado, quien lo contrató como profesor. En 1696, L’ Hópital publicó, sin nombre de autor, el primer libro de texto de cálculo infinitesimal. En ediciones posteriores figuraba el nombre de L’ Hópital como autor. Posteriormente al haberse encontrado correspondencia entre maestro y discípulo se supo que ese famoso libro era una copia de las enseñanzas de Bernoulli. 1.1.8. El cálculo según Newton. Isaac Newton (1643–1727), fué un físico, filósofo, teólogo, inventor, alquimista y matemático inglés, autor de los Philosophiae naturalis principia mathematica, más conocidos como los Principia, donde describió la ley de la gravitación universal y estableció las bases de la mecánica clásica mediante las leyes que llevan su nombre. Entre sus otros descubrimientos científicos destacan los trabajos sobre la naturaleza de la luz y la óptica (que se presentan principalmente en su obra Opticks) y el desarrollo del cálculo matemático. De 1667 a 1669 emprendió investigaciones sobre óptica y fue elegido fellow del Trinity College. En 1669, su mentor, Isaac Barrow, renunció a su Cátedra Lucasiana de matemática, puesto en el que Newton le sucedería hasta 1696. El mismo año envió a John Collins, por medio de Barrow, su Analysis per aequationes número terminorum infinitos. Para Newton, este manuscrito representa la introducción a un potente método general, que desarrollaría más tarde: su cálculo diferencial e integral. En 1666 introdujo las “fluxiones", que es lo que hoy se conoce con el nombre de derivadas. Newton imaginaba una curva como una ecuación f(x, y) = 0, donde “x” e “y” eran funciones del tiempo; es decir, partía de la imagen cinemática de curva como trayectoria de un móvil. La velocidad en cada punto tenía como componentes las velocidades según las direcciones de los ejes, “x” e “y”; funciones que el denominaba fluxiones. Para hallar la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto calculaba el cociente 𝑦̅/𝑥̅ . (Hay que señalar que esta notación es posterior, Newton la usó hacia 1690). De esta manera, calculaba las tangentes fácilmente. Seguidamente se propuso el problema inverso: conocido el cociente 𝑓(𝑥) = 𝑦̅/𝑥̅ como hallar “y” en función de “x”. Newton estudió casos particulares de la función f y de las variables que en ella intervienen. Es lo que hoy se conoce como resolución de ecuaciones diferenciales o antidiferenciación. Newton afirmaba que de esta manera se podían resolver todos los problemas, lo cual da idea de su visión de futuro, aun cuando el solo pudiera resolver casos particulares. Para estudiar el cálculo del área bajo una curva por métodos de antidiferenciacion, primero investigo la variación del área al variar la abscisa. Así obtuvo el teorema fundamental del cálculo (exactamente igual a como hoy se enseña, con funciones continuas y usando la propiedad de aditividad del área). Debe señalarse que para Newton todas las funciones eran continuas, ya que se trataba de las trayectorias de movimientos continuos (que era el concepto que en su tiempo se tenía de continuidad). Newton desarrollo métodos de derivación e integración, en particular, la regla de la cadena y el método de sustitución, así como la propiedad de linealidad y construyó, además, tablas de derivadas e integrales. Al abordar los problemas de máximos y mínimos, llego de inmediato a la conclusión de que la derivada es nula en un extremo. Aquí se dio cuenta de que no siempre la variable va a ser el tiempo, cosa que comenta: “el tiempo se puede sustituir por otra variable (fluente) que fluya con continuidad". Sobre el problema de rectificación de curvas, Newton dio las formulas integrales que se explican en los cursos de cálculo, y las aplicó a muchos casos concretos. Como ya se ha comentado, el trabajo de Newton no acaba aquí. En realidad se puede decir que partió de una visión de la naturaleza y construyó el cálculo infinitesimal como una necesidad para explicar y desarrollar esa visión. A este respecto hay que añadir que, desde luego, no era indiferente a los problemas matemáticos de su tiempo, pero tampoco a todos los demás, y a todos dedicó parte de sus energías.

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1.1.9. El cálculo según Leibnitz. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), nació en Leipzig, Alemania; fue diplomático, lingüista, filósofo y matemático. Empezó a estudiar matemáticas cuando tenía 26 años. Realizó importantes contribuciones a la lógica simbólica, a la filosofía, perfeccionó la máquina de calcular inventada por Pascal; pero su mayor fama se debe a la invención, igual que Newton, del cálculo. El punto de partida de Leibnitz es distinto al de Newton. Este parte de ideas físicas, mientras que aquél lo hace de ideas filosóficas, tratando de buscar un lenguaje universal y quizás, su mayor contribución al cálculo sea precisamente dicho lenguaje, que aún es usado. Leibnitz creó un lenguaje mediante el cual, por sencillas manipulaciones, se obtienen fórmulas que resultan ser las verdaderas y que, naturalmente, hay que comprobar. Ya ha sido comentado que Newton no publicó sus trabajos sobre el cálculo hasta muy posteriormente. En el caso de Leibnitz la situacion es peor todavía, puesto que, prácticamente, ni siquiera lo escribió en forma ordenada, salvo pequeñas contribuciones. Su Historia y origen del cálculo Diferencial fue escrito mucho más tarde de su creación. Así solo se tienen muchos papeles en los que iba anotando sus ideas y resultados. Sus primeros estudios matemáticos datan de 1666 y versan sobre progresiones aritméticas de orden superior, en concreto, sobre como la suma de las diferencias está relacionada con los términos de la sucesión. De hecho, este es el origen de su desarrollo del cálculo: obtener y calcular sumas. Hacia 1673 está convencido de la importancia del problema de las tangentes y del problema inverso, sobre el cual tiene la certeza de que consiste en hallar áreas y volúmenes. Su primer trabajo sobre el cálculo de áreas lo efectúa integrando las funciones polinómicas, de las cuales da las reglas de integración; queda claro que entiende la integral como el área bajo la curva y ésta como límite de infinitésimos. Además va cambiando la notación continuamente, en busca de la mejor, que es la que hoy en día se usa. Interpreta la derivada como el cociente de los infinitésimos 𝑑𝑦⁄𝑑𝑥, aunque es incapaz de aclarar qué son dichos ifnitésimos. Incluso, en algún momento, llega a escribir que no cree en ellos, a pesar de haber escrito abundantes paginas tratando de justicarlos y explicarlos. Al igual que Newton, resuelve en uno solo todos los problemas que estaban abiertos: tangentes, integración y máximos y mínimos. Además es consciente de que el cálculo infinitesimal es una ruptura con todo lo precedente, en el sentido de que es un paso adelante sin retorno. 1.1.10. El siglo XVII y la disputa por la creación del cálculo. Resulta muy interesante la larga y lamentable polémica desatada a raíz de la prioridad en el descubrimiento. Al principio la disputa se realizó en el marco de la cortesía pero al cabo de tres décadas comenzó a ser ofensiva hasta que en el siglo XVIII se convirtieron en mutuas acusaciones de plagio. La polémica se tornó cada vez mayor y finalmente se convirtió en una rivalidad entre los matemáticos británicos y los continentales. Aunque Newton y Leibniz se les atribuyen la invención del cálculo de manera simultánea, los dos lo conceptualizaron de forma distinta:  Los trabajos de Newton están motivados por sus propias investigaciones físicas "cantidades que fluyen".  Leibniz conserva un carácter más geométrico y trata a la derivada como un cociente incremental, y no como una velocidad. La discusión siguió hasta mucho después de la muerte de los dos grandes protagonistas y, afortunadamente, hoy ha perdido interés y la posteridad ha distribuido equitativamente las glorias. Hoy está claro que ambos descubrieron este cálculo en forma independiente y casi simultánea entre 1670 y 1677, aunque fueron publicados unos cuantos años más tarde. La difusión de las nuevas ideas fue muy lenta y al principio sus aplicaciones escasas. Los nuevos métodos tuvieron cada vez más éxito y permitieron resolver con facilidad muchos problemas. Los nuevos logros fueron sometidos a severas críticas, la justificación y las explicaciones lógicas y rigurosas de los procedimientos empleados no se dieron hasta avanzado el siglo XIX, cuando aparecieron otros matemáticos, más preocupados por la presentación final de los métodos que por su utilización en la resolución de problemas concretos. 9

1.1.11. Aportes en los siglos XVIII y XIX. El concepto de Cálculo y sus ramificaciones se introdujo en el siglo XVIII, con el gran desarrollo que obtuvo el análisis matemático, creando ramas como el cálculo diferencial, integral y de variaciones. Los fundamentos de la matemática fueron completamente transformados durante el siglo XIX, sobre todo por el matemático inglés Boole en su libro Investigación sobre las leyes del pensamiento (1854). Leonard Euler (1707-1783).- Alumno de J. Bernoulli. Sin duda alguna el matemático más sobresaliente del siglo XVIII, a él se debe en gran medida, después de Newton y Leibniz, el desarrollo del cálculo. Con la publicación de su famoso libro “Introducción al análisis de las magnitudes infinitamente pequeñas” en 1748. 𝑖 A Euler se debe la notación de función mediante el símbolo f(x); también la expresión 𝑒 𝜋 + 1 = 0 que deslumbró a los matemáticos de la época. Escribió más de 860 obras originales. Jean le Rond D’ Alembert (1717-1783), Joseph-Louis LaGrange (1736-1813), Pierre Simón de Laplace (1749-1827), Carl Friedrich Gauss (1777-1855).- Se postularon los fundamentos de las matemáticas modernas. Avances en la resolución de ecuaciones. En cálculo, hicieron de esta época la de mayor riqueza para esta parte de las matemáticas. Entre los grandes desarrollos de esta época se puede mencionar, la resolución de ecuaciones algebraicas radicales, el desarrollo del concepto de grupo, avances en los fundamentos de la geometría hiperbólica no euclidiana, además de la realización una muy profunda reconstrucción sobre la base de la creada teoría de límites y la teoría del número real. Se separaron y crearon varias ramas de las matemáticas como ecuaciones diferenciales, la teoría de funciones de variable real y la teoría de funciones de variable compleja. En relación con el análisis matemático en este siglo, se fundamentó en un conjunto de procedimientos y métodos de solución de numerosos problemas que crecía rápidamente. Todos estos métodos aún podían dividirse en tres grandes grupos, constituidos en el cálculo diferencial, el cálculo integral y la teoría de ecuaciones diferenciales. Con estos fundamentos se llegó a lo que se conoce como teoría de límites y de funciones, que fueron el tema central en este siglo. Bernard Bolzano (1781-1848).- Es el pionero en el análisis de funciones, en sus trabajos estudió del criterio de convergencia de sucesiones y dio una definición rigurosa de continuidad de funciones. Estudió profundamente las propiedades de las funciones continuas y demostró en relación con éstas una serie de notables teoremas, destacando el denominado teorema de Bolzano: una función continua toma todos los valores comprendidos entre su máximo y su mínimo. Augustin-Louis Cauchy (1789-1857).- Matemático francés, impulsor del Cálculo Diferencial e Integral, autor de La Teoría de las Funciones de las Variables Complejas, se basó en el método de los límites; las definiciones de "función de función" y la de "función compuesta" se deben a él. El concepto de función continua fue introducido por primera vez por él en 1821. Bernhard Riemann (1826 – 1866).- La tesis con la cual se doctoró en 1857, Fundamentos de una teoría general de las funciones de una variable compleja, es de trascendental importancia para el cálculo, pues en tal Memoria se señala como una función viene definida por sus puntos singulares y valores en los límites. Sus Memorias sobre representación de una función por serie trigonométrica y sobre funciones abelianas (publicada esta última en el Journal de Crelle), son también de importancia considerable. Su método de Integración de ecuaciones diferenciales es de gran relevancia, sobre todo por las aplicaciones cotidianas que tiene, como lo es la hidrodinámica. 1.1.12. Siglo XX y hasta nuestros días. El aporte realizado por Lebesgue referido a la integración y a la teoría de la medida y las modificaciones y generalizaciones realizadas por matemáticos que lo sucedieron. Algunos matemáticos que hicieron aportes importantes al cálculo, en el recién pasado siglo XX, se enlistan a continuación. Henri Léon Lebesgue (1875-1941).- Matemático francés. Profesor en las universidades de Rennes, Nancy y París y miembro de la Academia de Ciencias. Estudió las series geométricas y la teoría de funciones de variable real y dio una nueva definición de la integral definida (integral de Lebesgue) a partir de las sucesiones. Escribió Lecciones sobre la integración y la obtención de funciones primitivas. David Hilbert (1862-1943).- Su obra es fundamental en la mayoría de sectores de las matemáticas y de la física matemática. Muchos de sus trabajos sirvieron de fundamento para áreas de investigación 10

autónomas. En 1900, Hilbert presentó una lista muy completa e influyente de 23 problemas matemáticos no resueltos. Se le considera el fundador y más importante representante de la línea del Formalismo en la matemática. Levantó la exigencia de establecer la matemática como un sistema axiomático completo que fuese desmostrable y carente de contradicciones. Este afán se conoce como programa de Hilbert. John Von Neumann (1903-1957).- Fué un matemático de origen austrohúngaro. Realizó notables contribuciones en muchas ramas de las matemáticas. Von Neumann desarrolló la teoría del álgebra de operadores limitados en espacios de Hilbert, cuyos objetos fueron denominados más tarde álgebras de von Neumann y que actualmente encuentran aplicación en la teoría cuántica de campos y en la estadística de partículas. Von Neumann fue consultor para problemas de balística del ejército y la marina de EE.UU. y colaboró en el Proyecto Manhattan. Contribuyó de manera decisiva al desarrollo de las primeras computadoras electrónicas. André Weil (1906-1998).- Fué un matemático francés. El énfasis central de su trabajo estuvo puesto en áreas de la geometría algebraica y la teoría de números, entre las que encontró sorprendentes vinculaciones. Weil demostró la hipótesis de Riemann para curvas sobre campos finitos. Formuló las conjeturas de Weil, que llevan su nombre y que influyeron en la formulación de la conjetura de Taniyama-Shimura, que relaciona curvas elípticas con formas modulares, resuelta totalmente en 2001 y con unas implicaciones muy profundas en matemáticas. Andrew Wiles (1953- ).- Es considerado uno de los matemáticos más importantes del presente. En 1984 demostró, en conjunto con el matemático estadounidense Barry Mazur la hipótesis central de la teoría de Iwasawa acerca de los números racionales, la que luego amplió también para todo cuerpo real total. En 1995 logró en conjunto con uno de sus estudiantes la demostración del último teorema de Fermat. A partir de este momento se denomina también como teorema de Fermat-Wiles. El avance originado por la invención de la computadora digital programable dio un gran impulso a ciertas ramas de la matemática, como el análisis numérico y las matemáticas finitas, y generó nuevas áreas de investigación matemática como el estudio de los algoritmos. 1.1.13. Conclusiones. El progreso de las ideas no se da en el tiempo a través de una trayectoria perfectamente delineada y preconcebida; existen muchos elementos que en la construcción son desechados, reformulados o agregados. Las concepciones filosóficas sobre la realidad, el papel de la ciencia, y en especial las concepciones sobre las características que debe reunir el conocimiento matemático para ser considerado como conocimiento científico, determinaron los enfoques realizados en cada época. El impacto que tuvieron los personajes y las contribuciones consignadas en la historia difícilmente puede ser comprendida cabalmente si estas consideraciones no se toman en cuenta. Dada que la historia del cálculo, comienza desde los inicios de la historia del hombre, cuando este vio la necesidad de contar, ya que han sido muchos los grandes matemáticos que han influido en el desarrollo que actualmente posee el cálculo, igualmente que han sido muchas las culturas que han influido en sus avances, donde las matemáticas, actualmente son la base de todas las ciencias que maneja el hombre, debido a que su campo de acción cubre la totalidad de los conocimientos científicos. Trayendo así el desarrollo y uso del cálculo ha tenido efectos muy importantes en casi todas las áreas de la vida moderna: es fundamento para el cálculo numérico aplicado en casi todos los campos técnicos y/o científicos cuya principal característica es la continuidad de sus elementos, en especial en la física. Prácticamente todos los desarrollos técnicos modernos como la construcción, aviación, transporte, meteorología, etc. hacen uso del cálculo. Muchas fórmulas algebraicas se usan hoy en día en balística, calefacción, refrigeración, etc.; donde se demuestra que tan importante es el cálculo hoy en día. Finalmente resumimos muy esquemáticamente los puntos clave en el desarrollo posterior del cálculo.  El descubrimiento en 1715 por Brook Taylor de las llamadas series de Taylor, que se convirtieron en una herramienta básica para el desarrollo del cálculo y la resolución de ecuaciones diferenciales.  El extraordinario trabajo, tanto por su asombrosa amplitud como por sus notables descubrimientos, de Leonhard Euler (1707 - 1783) que, sin duda, es la figura principal de las matemáticas en el siglo XVIII. En sus tres grandes tratados, escritos en latín, Introductio in analysin infinitorum (1748), Institutiones calculi diferentiales (1755) e Institutiones calculi integralis (1768), Euler dio al cálculo la forma que conservó hasta 11

el primer tercio del siglo XIX. El cálculo, que inicialmente era un cálculo de variables o, más exactamente, de cantidades geométricas variables, y de ecuaciones, se fue transformando, por influencia de Euler, en un cálculo de funciones.  La propuesta de Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813) de fundamentar el cálculo sobre un álgebra formal de series de potencias. Si bien la idea de Lagrange de evitar el uso de límites no era acertada, su propuesta, concretada en su obra Théorie des fonctions analytiques (1797), tuvo el efecto de liberar el concepto de derivada de sus significaciones más tradicionales. De hecho, la terminología “función derivada”, así como la notación f ´(x) para representar la derivada de una función f, fueron introducidas por Lagrange en dicho texto. A partir de este momento la derivada deja de ser algo de naturaleza imprecisa (fluxión o cociente diferencial) y empieza a ser considerada simplemente como una función.  Los problemas planteados por las series de Fourier. Dichas series hacen sus primeras apariciones a mitad del siglo XVIII en relación con el problema de la cuerda vibrante, y nacen oficialmente en el trabajo de Joseph Fourier (1768 - 1830) Théorie analytique de la chaleur (1822). Tales series plantean problemas relacionados con las ideas centrales del análisis: el concepto de función, el significado de la integral y los procesos de convergencia.  El proceso de “algebraización del análisis” que tiene lugar en los dos últimos tercios del siglo XIX y que culmina con la fundamentación del análisis sobre el concepto de límite (Bolzano, Cauchy, Weierstrass) y la teoría de los números reales (Dedekind, Cantor).

12

Bloque II.- Resuelves problemas de límites en situaciones de carácter económico, administrativo, natural y social. 2.1. Los límites: su interpretación en una tabla, en una gráfica y su aplicación en funciones algebraicas. Los temas tratados hasta ahora, constituyen lo que se conoce como: precálculo; es decir, proporcionan las herramientas básicas para el cálculo, pero no son cálculo. Nuestro propósito ahora, es establecer, inicialmente de una manera intuitiva por medio de ejemplos, y posteriormente presentar la definición precisa, del concepto más importante del cálculo, como es el concepto de Límite. De hecho algunos autores, definen el cálculo como el estudio de los límites. El límite de una función está íntimamente unido a su representación gráfica y a la interpretación de la misma debido a que lo que nos indica es el comportamiento o tendencia de la gráfica. Por esta razón, el concepto de límite es básico en el Análisis Matemático. 2.1.1. Noción intuitiva de límite y límites laterales. Supongamos que se nos pide esbozar la gráfica de la función f dada por: 𝑓(𝑥) =

𝑥3 − 1 𝑥−1

Para evaluarla podemos usar todos los valores de x distintos de 1, dado que su dominio es: {𝑥 ≠ 1}. Sin embargo, en x = 1 no tenemos muy claro qué cabe esperar. Para tener una idea del comportamiento de la gráfica de f en las proximidades de x = 1, usamos dos conjuntos de valores de x, uno que se acerque hacia 1 por la izquierda y otro por la derecha, como se ve en la siguiente tabla: x f(x)

0.5 0.75 0.9 0.99 0.999 1.750 2.313 2.710 2.970 2.997

1 ?

1.001 1.01 1.1 1.25 1.5 3.003 3.030 3.310 3.813 4.750

Al marcar estos puntos, resulta que la gráfica de f es una parábola con un hueco en el punto (1, 3), tal como indica la gráfica siguiente. Aunque x no puede ser 1, podemos ir tan cerca como queramos de 1 y, como consecuencia, f(x) se hace tan próximo como queramos a 3. Usando notación de límites, decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a 1 es 3, y escribimos simbólicamente: lim 𝑓(𝑥) = 3. 𝑥→1

x -3 -2 -1 -0.5 0 0.5 0.75 0.9 1 1.1 1.25 1.5 2

8

f(x) 7 3 1 0.75 1 1.750 2.313 2.710 ? 3.310 3.813 4.750 7

7 6 5 4

(1, 3)

3 2 1 0 -4

-3

-2

-1

-1

0

1

2

3

Esta discusión conduce a la siguiente definición informal de límite. 2.1.2. Definición informal de límite. Sí f(x) se hace arbitrariamente próximo a un único número L cuando x se aproxima hacia c por ambos lados, decimos que el límite de f(x), cuando x tiende a c, es L, y escribimos: lim 𝑓(𝑥) = 𝐿

𝑥→𝑐

13

De aquí en adelante cuando escribamos: lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 sobreentenderemos dos cosas: que existe el límite y que 𝑥→𝑐

el límite es L. Algunas funciones no tienen un mismo limite cuando x → c, sino dos límites diferentes. En otras palabras, si el límite de una función existe, es único. Para muchas funciones podremos estimar el valor del límite L usando una calculadora para evaluar la función en varios puntos muy próximos a c. 𝑥 Ejemplo1. Evaluar 𝑓(𝑥) = en varios puntos próximos a x = 0 y usar el resultado para estimar el límite. √𝑥 + 1 − 1 Para solucionar este caso construimos la siguiente tabla, usando valores de x que se acerquen a 0 por la izquierda y por la derecha. x f(x)

-0.5

x -1 -0.5 -0.25 -0.1 0 0.1 0.25 0.5 2

f(x)

-0.25

-0.1

-0.01

-0.001

0

0.001

0.01

0.1

0.25

0.5

4 3 2 1 0 -2

-1

0

1

2

3

-1

En el ejemplo anterior, debemos notar que la función no está definida en x=0, a pesar de lo cual f(x) parece aproximarse a un límite cuando x → 0. Esto sucede a menudo y es importante darse cuenta de que la existencia o no existencia de f(x) en x = c no afecta la existencia del límite de f(x) cuando x tiende a c. 1; 𝑥 ≠ 2 0; 𝑥 = 2 Para este caso construiremos la gráfica de la función, para hallar el límite. Ejemplo2. Hallar el límite, cuando x tiende a 2, de la función: 𝑓(𝑥) = {

3

x -1 0 1 1.5 1.9

f(x) 2 1 0 -2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-1

2 2.1 2.5 3 4 5

Se hizo notar que el límite de f(x) cuando x → c no depende del valor de f en x = c. Sin embargo si se da la circunstancia de que el límite es precisamente f(c), entonces decimos que el límite se puede calcular por sustitución directa. Esto es: lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐) 𝑥→𝑐

14

Las funciones que poseen un buen comportamiento en c se dice que son continuas en c; esto se examinará más adelante. Una importante aplicación de la sustitución directa se plantea en el siguiente teorema: Teorema.- Sea c un número real y f(x) = g(x) para todos los x ≠ c en un intervalo abierto que contiene a c. Si el límite de g(x) cuando x → c existe, entonces también existe el límite de f(x) y además: lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑔(𝑥)

𝑥→𝑐

𝑥→𝑐

Ejemplo3. Determinar el límite por sustitución directa de la función equivalente. Factorizando el numerador de f(x) tenemos:

𝑓(𝑥) =

(𝑥 − 1)(𝑥 2 + 𝑥 + 1) 𝑥3 − 1 𝑥 3 − 13 = = = 𝑥2 + 𝑥 + 1 𝑥−1 𝑥−1 𝑥−1

→

𝑥3 − 1 𝑥 −, 1hallando otra función g(x)

𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑥 + 1

Por tanto, en todos los puntos distintos de x = 1 las funciones f y g son iguales. Eso se muestra en la gráfica siguiente: Observemos que en esta grafica no hay hueco en la gráfica de la función polinómica y por lo tanto aplicando el Teorema anterior concluímos que el límite de f(x) cuando x tiende a 1 es simplemente: lim

x3 −1

𝑥→1 x−1

= lim x 2 + x + 1 = (1)2 + (1) + 1 = 3 x→1

3

𝑓(𝑥) =

𝑥 −1 𝑥−1

8

8

7

7

6

6

5

5

-4

-3

-2

-1

4

𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑥 + 1

4 3

3

2

2

1

1

0

0

-1

0

1

2

-4

3

-3

-2

-1

-1

0

1

2

3

Esta discusión nos lleva a la siguiente estrategia para hallar límites: 1. Aprender a reconocer qué limites se pueden calcular por sustitución directa. 2. Si el límite f(x) cuando x → c no se puede evaluar por sustitución directa, inténtese encontrar una función g(x) que coincida con f en todos los x salvo en x = c. (Encuéntrese g(x) de manera que su límite pueda calcularse por sustitución directa.) 3. Aplicar el Teorema mencionado anteriormente para llegar a la conclusión de que: lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑐)

𝑥→𝑐

𝑥→𝑐

Ejemplo4. Determinar los siguientes límites, hallando una función g(x) equivalente y usar ésta para encontrar el límite. 𝑥2 + 𝑥 − 6 𝑥→−3 𝑥+3

𝑎) lim

15

𝑏) lim

𝑥→1 𝑥 3

𝑐) lim

𝑥→−1

𝑥−1 − 𝑥2 + 𝑥 − 1

2𝑥 2 − 𝑥 − 3 𝑥+1

Ejemplo 7. Calcular los siguientes límites, hallando una función equivalente; haciendo una racionalización de la función original. 𝑎) lim

√𝑥 + 1 − 1 𝑥

𝑏) lim

√𝑥 + 1 − 2 𝑥−3

𝑐) lim

√3 + 𝑥 − √3 𝑥

𝑥→0

𝑥→3

𝑥→0

16

2.2. El cálculo de límites en funciones algebraicas: polinomiales y racionales. Analizaremos ahora el límite de algunas funciones algebraicas básicas como las que se enuncian en el siguiente teorema. Si b y c son números reales y n un entero (positivo si c = 0), entonces se cumple que: lim 𝑏 = 𝑏

lim 𝑥 𝑛 = 𝑐 𝑛

lim 𝑥 = 𝑐

𝑥→𝑐

𝑥→𝑐

𝑥→𝑐

Ejemplo. Calcular los siguientes límites. 𝑎) lim 3 = 𝑥→2

𝑏) lim 𝑥 = 𝑥→1

𝑐) lim 𝑥 2 = 𝑥→2

2.2.1. Propiedades de los límites. Si b y c son números reales, n un entero positivo y f, g funciones que tienen límite cuando x  c, entonces son ciertas las siguientes propiedades: 1. Múltiplo escalar: 2. Suma o diferencia: 3. Producto:

lim[𝑏(𝑓(𝑥))] = 𝑏 [lim 𝑓(𝑥)]

𝑥→𝑐

𝑥→𝑐

lim[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = lim 𝑓(𝑥) ± lim 𝑔(𝑥)

𝑥→𝑐

𝑥→𝑐

𝑥→𝑐

lim[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = [lim 𝑓(𝑥)] [lim 𝑔(𝑥)]

𝑥→𝑐

𝑥→𝑐

𝑥→𝑐

lim 𝑓(𝑥)

4. Cociente:

𝑓(𝑥) 𝑥→𝑐 = 𝑥→𝑐 𝑔(𝑥) lim 𝑔(𝑥) lim

𝑥→𝑐

5. Potencia:

lim[𝑓(𝑥)]𝑛 = [lim 𝑓(𝑥)]

𝑥→𝑐

𝑛

𝑥→𝑐

2.2.2. Límite de un polinomio. Si p es un polinomio y c es un número real, entonces: lim 𝑝(𝑥) = 𝑝(𝑐)

𝑥→𝑐

Ejemplo. Hallar el límite del siguiente polinomio. lim (4𝑥 2 + 3) = 𝑥→2

2.2.3. Límite de una función racional. Si r es una función racional dada por r ( x)  p( x) / q( x) y c es un número real tal que q(c)  0 , entonces: 𝑝(𝑐) lim 𝑟(𝑥) = 𝑟(𝑐) = 𝑥→𝑐 𝑞(𝑐) Ejemplo. Determinar el límite siguiente. 𝑥2 + 𝑥 + 2 lim = 𝑥→1 𝑥+1

17

2.2.4. Límites laterales. Un límite puede no existir debido a que la función en cuestión tiende a valores distintos por la derecha y por la izquierda de c. Con el fin de investigar más a fondo este fenómeno, es preciso fijarse de antemano en un tipo diferente de «límite», llamado límite lateral. Por ejemplo, cuando hablamos del límite por la derecha, queremos decir que x se aproxima hacia c por valores mayores que el propio c. Denotamos esa situación por:

Análogamente, limite por la izquierda significa que x se acerca a c por valores menores que c. Esto se denota a su vez por:

Los límites laterales resultan útiles a la hora de calcular límites de funciones que contienen radicales. Por ejemplo, si n es un entero par, entonces:

Ejemplo1. Calcular el límite de 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1 cuando x tiende a 1 por la derecha. x 1 2 3 4 5

f(x) 0 1 1.4 1.7 2

3 2 1 0

-1

0

1

2

3

4

5

6

-1

Otra utilidad de los límites laterales consiste en investigar el comportamiento de funciones paso (o escalón). Un ejemplo típico de estas funciones es la llamada función parte entera, denotada por ⟦𝑥⟧ que se define como: ⟦𝑥⟧ = 𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑛 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑛 ≤ 𝑥 Ejemplo2. Hallar el límite de 𝑓(𝑥) = ⟦𝑥⟧ cuando x tiende a O por la izquierda y cuando tiende a O por la derecha. x -1 -0.5 -0.1 0 0.5 0.9 1 1.5 1.9

f(x) -1 -1 -1 0 0 0 1 1 1

2 1 0

-2

-1

0

1

2

3

-1 -2

En la gráfica anterior, se observa que la función parte entera tiende hacia números diferentes según vayamos por la izquierda o por la derecha hacia 0. En casos como este decimos que no existe el límite (bilateral). El siguiente teorema insiste en este aspecto. Teorema.- Si f es una función y si c y L son números reales, el límite de f(x) cuando x tiende hacia c es L si y sólo sí. lim− 𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑦 lim+ 𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑥→𝑐

𝑥→𝑐

Este teorema es particularmente apropiado para verificar que un límite no existe, como se muestra en el siguiente ejemplo. 18

Ejemplo3. Calcular x -1.5 -1 -0.5 0 0.5 0.9 1 1.25 1.5 1.75

f(x) 0.4 -1 -0.9 0 0.9 1.1 0 1.1 2.5 4.1

2𝑥 − 𝑥 3 ; 𝑥 < 1 donde: 𝑓(𝑥) = { lim 𝑓(𝑥) 2𝑥 2 − 2; 𝑥 ≥ 1 𝑥→1 5

Como f está definida de manera distinta para x < 1 que para x ≥ 1, consideramos los siguientes límites laterales.

4 3 2

lim 𝑓(𝑥) =

𝑥→1−

1

lim 𝑓(𝑥) =

0 -3

-2

-1

𝑥→1+

0

1

2

3

-1

Al ser distintos estos dos límites laterales, concluimos que el límite de f(x) cuando x 1 no existe.

-2 -3

2.2.5. Límites infinitos y límites en el infinito. El concepto de "infinito" ha inspirado y hechizado a los matemáticos desde tiempo inmemorial. Los problemas y paradojas más profundos de las matemáticas a menudo van unidos a esta palabra. Aunque el progreso puede estimarse en función de la comprensión del concepto de infinito. Hemos usado ya los símbolos ∞ y -∞ en nuestra notación para ciertos intervalos. Así, (3, ∞) es nuestra manera de designar el conjunto de todos los números reales mayores que 3. Hay que aclarar que nunca nos hemos referido a ∞ como un número. Por ejemplo, nunca lo hemos sumado o dividido con números. Usaremos los símbolos ∞ y -∞ en una nueva forma en este tema, pero seguirán sin representar números. Límites infinitos. Aquí analizaremos otra causa importante de la inexistencia del límite. Empezaremos por un ejemplo. Sea la función: 7 3 x f(x) 𝑓(𝑥) = 6 𝑥−2 -4 -0.5 -3 -2 -1 0 1 1.5

-0.6 -0.8 -1 -1.5 -3 -6

2.5 3 4 5 6

6 3 1.5 1 0.8

5 4 3 2 1 -5

-4

-3

-2

0 -1 0 -1

1

2

3

4

5

6

7

-2 -3 -4 -5 -6 -7

La gráfica y la tabla anteriores nos dicen que la función f(x) decrece sin tope cuando x tiende a 2 por la izquierda, y crece sin tope cuando x tiende a 2 por la derecha. Simbólicamente, escribimos 3 3 lim− =∞ 𝑦 lim− = −∞ 𝑥2 𝑥 − 2 𝑥2 𝑥 − 2 19

En general, los tipos de límites en los que f(x) crece o decrece sin tope cuando x tiende a e se llaman limites infinitos. Definición de límites infinitos. La afirmación lim 𝑓(𝑥) = ∞ significa que f(x) crece sin tope cuando x tiende a c. 𝑥𝑐

La afirmación lim 𝑓(𝑥) = −∞ significa que f(x) decrece sin tope cuando x tiende a c. 𝑥𝑐

∞ significa que el límite existe. Por el contrario, nos explica cómo falla El signo de igualdad en lim 𝑓(𝑥) =no 𝑥𝑐 la existencia del límite, poniendo de manifiesto el comportamiento no acotado de f(x) cuando x tiende a c. Así pues, al decir “el límite de f(x) es infinito cuando x tiende a c”, queremos decir de hecho que “el límite no existe y f tiene una discontinuidad infinita en x = c”. Los límites infinitos por la izquierda y por la derecha se definen análogamente. Los cuatro posibles límites laterales infinitos son:

Si f(x)  ∞ (o si f(x)  -∞) por la izquierda o por la derecha, decimos que f tiene en x = c una discontinuidad infinita. Ejemplo. Usando las gráficas, hallar el límite de cada función cuando x  1 por ambos lados. 5

x f(x) -2 -0.3 -1 -0.5 0 -1 0.5 -2 0.75 -4 1.25 4 1.5 2 2 1 3 0.5 4 0.3

lim−

𝑥1

4 3 2 1 0 -3 -2 -1-1 0

1

2

3

4

5

1 𝑓(𝑥) = 𝑥−1

-2 -3 -4 -5

1 = 𝑥−1

lim+

𝑥1

3

𝑓(𝑥) = −

2

1 𝑥−1

1 -3

1.25 -4 1.5 -2 2 -1 3 -0.5 4 -0.3

1 lim− − = 𝑥 1 𝑥−1

-2

1.5 2 3 4

4 1 0.3 0.1

5 4 3

1

2

3

4

-2 -3 -4

5

x -2 -1 0 0.5

f(x) -0.1 -0.3 -1 -4

1.5 2 3 4

-4 -1 -0.3 -0.1

1 lim+ − = 𝑥1 𝑥−1

1 (𝑥 − 1)2

1 -3

-2

0 -1-1 0

1

2

3

4

5

-2

lim−

1 = (𝑥 − 1)2

lim+

1 = (𝑥 − 1)2

𝑥1

2 1 -3

-2

0 -1 0 -1

𝑓(𝑥) = −

1

2

1 (𝑥 − 1)2

3

4

5

-2 -3 -4 -5

lim− −

1 = (𝑥 − 1)2

lim+ −

1 = (𝑥 − 1)2

𝑥1

-5

𝑓(𝑥) =

2

𝑥1

4

0 -1-1 0

f(x) 0.1 0.3 1 4

1 = 𝑥−1

5

x f(x) -2 0.3 -1 0.5 0 1 0.5 2.0 0.75 4

x -2 -1 0 0.5

𝑥1

20

Límites en el infinito. En este tema analizaremos con más detalle el comportamiento de funciones en intervalos infinitos. Consideremos la gráfica de: 3𝑥 2 4 x f(x) 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 +1 3 -4 2.8 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

2.7 2.4 1.5 0 1.5 2.4 2.7 2.8

2 1 -5

-4

-3

-2

0 -1-1 0

1

2

3

4

5

-2

La siguiente tabla sugiere que el valor de f(x) tiende a 3 cuando x crece sin cota (x  ∞). Análogamente, f(x) tiende a 3 para x - ∞. Denotaremos esos límites en el infinito por: lim 𝑓(𝑥) = 3

𝑥→−∞

lim 𝑓(𝑥) = 3

𝑥→∞

Decir que una afirmación es cierta cuando x crece sin cota (o sin límite) significa que para cualquier número (grande) real M, la afirmación es válida en todo x del intervalo {x > M}. La siguiente definición utiliza esta noción. Definición de límites en el infinito. La afirmación significa que para cada  > 0 existe un M > 0 tal que │f(x) - L│  siempre que x > M. La afirmación

significa que para cada  > 0 existe un N  0 tal que │f(x) - L│  siempre que x  N.

Cuando escribimos significa que el límite existe y es igual al número L. La definición de un límite en el infinito se ilustra en la figura anterior. Notemos en ella que para un número positivo dado , existe un número positivo M tal que, a la derecha de x = M, la gráfica de f está entre las rectas horizontales dadas por y = L ± . La gráfica de f se aproxima a la recta y = L cuando x crece sin tope. Decimos que la recta y = L es una asíntota horizontal de la gráfica de f. Otro teorema importante para los límites en el infinito es el que se enuncia enseguida: 𝑐 Teorema.- Si r es positivo y racional y c cualquier número real, entonces: lim 𝑟 = 0 𝑥→∞ 𝑥 𝑐 r Además, si x está definido cuando x < 0, entonces: lim 𝑟 = 0 𝑥→−∞ 𝑥 21

Ejemplo1. Hallar los siguientes límites: 2 𝑎) lim (5 − 2 ) = 𝑥→∞ 𝑥 2𝑥 − 1 𝑏) lim ( )= 𝑥→∞ 𝑥 + 1 Podemos observar que en este caso al sustituir directamente el límite en la función, tanto el numerador como el denominador tienden a infinito cuando x tiende a infinito. Para eliminar esa dificultad, dividimos numerador y denominador por x, tras lo cual se procede así: 2𝑥 − 1 lim ( )= 𝑥→∞ 𝑥 + 1 Por tanto, la recta y = 2 es asíntota horizontal por la derecha. Tomando el límite para x -∞, podemos ver que y = 2 también es asíntota horizontal por la izquierda, como se muestra en la siguiente gráfica. En el ejemplo 2, nuestro primer intento de evaluar el límite ha desembocado en la forma indeterminada ∞/∞. Hemos sido capaces de superar la dificultad reescribiendo la expresión dada en otra forma equivalente; concretamente, dividiendo numerador y denominador por x. En general, sugerimos dividir por la potencia más alta de x en el denominador, como ilustra el siguiente ejemplo. x -6 -5 -4 -3 -2 -1.5

f(x) 2.6 2.8 3 3.5 5 8

-0.5 0 1 2 3 4 5

-4 -1 0.5 1 1.3 1.4 1.5

9 8 7 6 5 4 3 2 1

-7

-6

-5

-4

-3

-2

0 -1-1 0

1

2

3

4

5

6

-2 -3 -4 -5

Ejemplo2. Hallar los límites siguientes: a)

2𝑥 + 5 = 𝑥→−∞ 3𝑥 2 + 1

b)

2𝑥 2 + 5 = 𝑥→−∞ 3𝑥 2 + 1

c)

2𝑥 3 + 5 = 𝑥→−∞ 3𝑥 2 + 1

lim

lim

lim

22

Comparando las tres funciones racionales del Ejemplo2. En a) el grado del numerador es menor que el del denominador y el límite de la función es cero. En b) los grados son iguales y el límite es sencillamente el cociente de los dos coeficientes dominantes 2 y 3. Finalmente, en c) el grado del numerador es mayor que el del denominador y no existe el límite. Esto parece razonable si nos damos cuenta de que para grandes valores de x el término con mayor potencia de x es el que domina. Por ejemplo, el límite, cuando x tiende a infinito, de:

1 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 +1

x -3 -2 -1 0 1 2 3

f(x) 0.1 0.2 0.5 1 0.5 0.2 0.1

2 1 0 -4

-3

-2

-1

-1

0

1

2

3

4

-2

es cero, puesto que el denominador excede en potencia al numerador, como se muestra en la gráfica anterior. En este caso vemos la función tiende hacia la misma asíntota horizontal por la izquierda y por la derecha esto es: lim 𝑓(𝑥) = 0 = lim 𝑓(𝑥) 𝑥−∞

𝑥∞

Siempre ocurre así con funciones racionales. Sin embargo, funciones no racionales pueden tener asíntotas horizontales distintas a la izquierda y a la derecha, como ilustra el ejemplo siguiente. Ejemplo4. Hallar los siguientes límites: En este caso para x > 0, tenemos 𝑥 = √𝑥 2 . Por tanto, dividiendo numerador y denominador por x se obtiene:

Para x < 0, tenemos 𝑥 = −√𝑥 2 . Por consiguiente, dividiendo arriba y abajo por x vemos que:

23

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

f(x) -2.4 -2.5 -2.7 -2.9 -2 0.6 1.3 1.6 1.7 1.8 1.9

es asíntota horiz. 3

por la derecha

2 1 -5

-4

-3

-2

0 -1 0 -1

1

2

3

4

5

6

7

-2 -3 es asíntota horiz.

-4

por la izquierda

2.2.6. Teorema de continuidad de una función. El término continuo tiene el mismo sentido en matemáticas que en el lenguaje cotidiano. Decir que una función f es continua en x = c significa que su gráfica no sufre interrupción en c, que ni se rompe ni tiene saltos o huecos. Por ejemplo, la figura siguiente, muestra tres valores de x en los que f no es continua.

En los demás puntos del intervalo (a, b) la gráfica no se interrumpe y decimos que f es continua en ellos. Así pues, la continuidad de una función en x = c se destruye por alguna de estas causas: 1. La función no está definida en x = c. 2. El límite de f(x) en x = c no existe. 3. El límite de f(x) en x = c existe, pero no coincide con f(c). 2.2.7. Condiciones de continuidad. Continuidad en un punto.- Una función f se dice que es continua en c si se verifican las condiciones siguientes: 1.- f(c) está definido

2.-lim 𝑓(𝑥) existe 𝑥𝑐

3.-lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐) 𝑥𝑐

Continuidad en un intervalo abierto.- Una función f se dice que es continua en un intervalo (a, b) si lo es en todos los puntos de ese intervalo. Se dice que f es discontinua en c si f está definida en un intervalo abierto que contiene a c (excepto quizás en c) y f no es continua en c. Las discontinuidades caen en dos categorías: evitables y no evitables. Se dice que una discontinuidad en x = c es evitable si f puede hacerse continua redefiniéndola en x = c. Así, en la siguiente figura, la función f tiene dos discontinuidades evitables y una no evitable. Si f es continua en toda la recta real (- ∞, ∞) diremos a veces por brevedad que es una función continua. 24

Ejemplo1. Determinar si las siguientes funciones son continuas en el intervalo dado. x -4 -3 -2 -1 -0.5 -0.25

f(x) -0.25 -0.33 -0.5 -1 -2 -4

1 𝑎) 𝑓(𝑥) = , (0, 1) 𝑥

5 4

𝑓(𝑥) =

3

1 𝑥

2 1 0

0.25 0.5 1 2 3 4

4 2 1 0.5 0.33 0.25

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -3 -4 -5

5

x -4 -3 -2 -1 0 0.9

f(x) -3 -2 -1 0 1 1.9

1.1 2 3

2.1 3 4

x

f(x)

-2

-6

-1

0

-0.5

0.4

0

0

0.5

-0.4

1

0

2

6

5

-1

𝑓(𝑥) =

𝑏) 𝑓(𝑥) =

𝑥2 − 1 4 𝑥−1 3

𝑥2 − 1 , (0, 2) 𝑥−1

2 1 0 -5

-4

-3

-2

-1

-1

0

1

2

3

4

-2 -3 -4 7

𝑐) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥, (−∞, ∞)

6

𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥

5 4 3 2 1 0 -4

-3

-2

-1

-1

0

1

2

3

4

-2 -3 -4 -5 -6 -7

Continuidad en un intervalo cerrado.- Una función es continua en el intervalo cerrado [a, b] si es continua en el intervalo abierto (a, b) y además: lim+ 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) 𝑦 lim− 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑏) 𝑥→𝑎

𝑥→𝑏

La función f se dice que es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b. Definiciones análogas cubren el caso de intervalos semiabiertos de la forma (a, b] o [a, b), o intervalos infinitos. 25

Ejemplo2. Discutir la continuidad de las siguientes funciones: x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

f(x) 0 1 1.4 1.7 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

a) 𝑓(𝑥) = √𝑥

4 3 2 1 -2

0 -1 0 -1

1

2

3

4

5

6

8

9

10

-2

3 − 𝑥; −2 ≤ 𝑥 ≤ 1 b) 𝑓(𝑥) = { 2 𝑥 − 1; 1 < 𝑥 ≤ 3

9

x -2 -1 0 1 2 3

7

8

f(x) 5 4 3 2 3 8

7 6 5 4 3 2 1 0 -3

-2

-1

-1

0

1

2

3

4

Ejemplo3. Hallar los intervalos en los que las tres funciones siguientes son continuas. 4

x -2 -1.75 -1 0 1 1.75 2

f(x) 0 1 1.7 2 1.7 1 0

x -1.95 -1.9 -1.75 -1 0 1 1.75 1.9 1.95

f(x) 2.3 1.6 1 0.6 0.5 0.6 1 1.6 2.3

a) 𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥 2

3 2 1 0 -3

-2

-1

0

1

2

3

-1 -2

4

b) 𝑓(𝑥) =

3

1 √4 − 𝑥 2

2 1 0 -3

-2

-1

0

1

2

3

-1 -2

26

x -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2

f(x) 3 0 0.8 1 0.8 0 3

4

c) 𝑓(𝑥) = |𝑥 2 − 1|

3 2 1 0 -3

-2

-1

0

1

2

3

-1 -2

Ejercicios propuestos Bloque II. Instrucciones: Resolver los ejercicios que se indican en la sección y páginas correspondientes, del Libro de: Roland E. Larson, Robert P. Hostetler. Cálculo y Geometría Analítica. Vol. 1. Sexta edición. Ed. McGraw-Hill. SEC.

PAG.

1.2

63

EJERC. 7 14

76

-0.0625 = -1/16 lim 𝑓(𝑥) = 3

𝑥→1

43

2𝑥 2 − 𝑥 − 3 = −5 𝑥→−1 𝑥+1 3/2

45

√3/6

38 1.3

RESPUESTAS

8 10 89

lim

lim 𝑓(𝑥) = 2

𝑥→2+

lim 𝑓(𝑥) = 2

𝑥→2−

lim 𝑓(𝑥) = 0

𝑥→−1+

13

No existe el límite

25

3

68

[-3, ∞)

70

(0, ∞)

lim 𝑓(𝑥) = 2

𝑥→−1−

lim 𝑓(𝑥) = 2

𝑥→2

lim 𝑓(𝑥) = No existe

𝑥→−1

1.4

91 5 98 7 1.5

lim 𝑓(𝑥) = −∞

𝑥→−3+

lim 𝑓(𝑥) = −∞

𝑥→−3+

35

-∞

36

1 lim− (𝑥 2 − ) = ∞ 𝑥→0 𝑥

99

lim 𝑓(𝑥) = ∞

𝑥→−3−

lim 𝑓(𝑥) = ∞

𝑥→−3−

NOTA: Respaldar respuestas con procedimientos algebraicos o con gráficas, donde sea necesario.

27

BLOQUE III.- Calculas, interpretas y analizas razones de cambio en fenómenos naturales, sociales, económicos y administrativos. 3.1. La derivada. El cálculo nació a partir de cuatro problemas sobre los que los matemáticos europeos trabajaron durante el siglo XVII. 1. El problema de la recta tangente. 2. El problema de la velocidad y la aceleración. 3. El problema de los máximos y mínimos. 4. El problema del área. Cada uno de ellos requiere la noción de límite y es por sí solo suficiente para introducir el cálculo. Aunque soluciones parciales al problema las fueron dando Pierre de Fermat (1601-1655), René Descartes (1596-1650), Christian Huygens (1629-1695), e Isaac Barrow (1630-1677), se atribuye la primera solución general a Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Leibniz (1646-1716). La obra de Newton sobre este problema surgió de su interés por la óptica y la refracción de la luz. 3.2. El problema de la recta tangente. Para un círculo, podemos caracterizar la recta tangente en un punto P como la recta perpendicular a la recta radial que pasa por P. Ver figura siguiente:

Sin embargo, para una curva arbitraria el problema se torna más difícil; como por ejemplo definir las rectas tangentes que muestran en la siguiente figura.

Esencialmente, el problema de hallar la recta tangente en un punto P se reduce al de hallar su pendiente. Y ésta puede aproximarse mediante rectas que pasen por P y por otro punto de la curva, a las que llamaremos rectas secantes.

Si (𝑐, 𝑓(𝑐)) es el punto de tangencia y (𝑐 + ∆𝑥, 𝑓(𝑐 + ∆𝑥)) es otro punto de la gráfica de f, la pendiente de la recta secante que pasa por ambos puntos es: 𝑚𝑠𝑒𝑐 =

𝑓(𝑐 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑐) 𝑓(𝑐 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑐) = (𝑐 + ∆𝑥) − 𝑐 ∆𝑥 28

El miembro de la derecha de esta ecuación se llama cociente incremental. El denominador ∆x se llama incremento de x, y el numerador ∆y = f(c + ∆x) − f(c) incremento de y. El atractivo de este proceso es que obtendremos cada vez mejores aproximaciones a la pendiente de la tangente sin más que acercar el otro punto al de tangencia, como se ve en la siguiente figura:

c  x,

f (c  x) y

c,

f (c)

y

y

x x x Definición de la recta tangente. Si f está definida en un intervalo que contiene a c y existe el límite entonces: ∆𝑦 𝑓(𝑐 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑐) = lim ∆𝑥→0 ∆𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥

𝑚 = lim

llamaremos a la recta que pasa por (𝑐, 𝑓(𝑐)) con pendiente m la recta tangente a la gráfica de f en el punto (𝑐, 𝑓(𝑐)). A menudo hablaremos de la pendiente de la tangente a la gráfica de f en (𝑐, 𝑓(𝑐)) simplemente como la pendiente de la gráfica de f en x = c. Ejemplo1. Hallar la pendiente de f(x) = 2x - 3 en el punto (2, 1).

Ejemplo2. Hallar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de muestra en la figura de la izquierda. :

f(x) = x2 + 1 en los puntos (0,1) y (-1, 2), que

29

3.3. La derivada de una función. Hemos llegado a un punto crucial. El límite utilizado para definir la pendiente de la tangente se usa también para definir una de las dos operaciones fundamentales del cálculo: la derivada. Definición de la derivada de una función. Suponiendo que el límite existe, la derivada de f en x viene dada por: 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) ∆𝑥→0 ∆𝑥

𝑓´(𝑥) = lim

El proceso de cálculo de la derivada de una función se llama derivación. Una función se dice que es derivable en x si existe su derivada en x, y derivab1e en un intervalo abierto (a, b) si lo es en todos los puntos de ese intervalo. Además de f ´(x), leído “f prima de x”, otras notaciones comunes para la derivada de y = f(x) son:

La notación dy/dx se lee “derivada de y respecto de x”. En notación de límites, se tiene:

Ejemplo. Hallar la derivada de las siguientes funciones por el proceso de límite. a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 2𝑥

b)

c)

f ( x) 

1 x2

𝑓(𝑥) = √𝑥

30

3.4. Razón de cambio promedio e instantánea. Hemos visto cómo utilizar la derivada para calcular pendientes, Ahora nos ocuparemos de otra de sus aplicaciones: hallar la razón (o ritmo) de cambio de una magnitud respecto de otra, Es una cuestión que aparece en multitud de problemas prácticos, Unos pocos ejemplos son crecimiento de poblaciones, ritmos de producción, flujos de agua, velocidad y aceleración, etc. Una aplicación común de las razones de cambio ocurre en la descripción del movimiento por una recta, lo que se conoce como movimiento rectilíneo. Suele usarse una recta horizontal o vertical, con un cierto origen, para representar la línea de movimiento. El movimiento hacia la derecha (o hacia arriba) se considera en dirección positiva; el movimiento hacia la izquierda (o hacia abajo) se considera en dirección negativa. La función s que da la posición (respecto del origen) del móvil como función del tiempo t se llama función de posición. Si sobre un cierto lapso de tiempo Δt el objeto cambia su posición una cantidad, entonces el cambio en distancia se denota por: ∆𝑠 = 𝑠(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑠(𝑡) Por la formula bien conocida: 𝑣 = 𝑑/𝑡; la razón media de cambio de la distancia respecto al tiempo viene dada por: ∆𝑠 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 = = ∆𝑡 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 Definición de velocidad media. Si s(t) da la posición en el tiempo t de un objeto que se mueve por una recta, la velocidad media del objeto en el intervalo [t, t+Δt] viene dada por: ∆𝑠 𝑠(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑠(𝑡) 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 = = ∆𝑡 ∆𝑡 Ejemplo1. Se deja caer desde 100 pies de altura un objeto, su altura en el instante t viene dada por la función de posición 𝑠(𝑡) = −16𝑡 2 + 100, con s medida en pies y t en segundos. Hallar la razón media de cambio de la altura en los intervalos: a) [1, 2], b) [1, 1.5], c) [1, 1.1]. 𝑣𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 =

∆𝑠 𝑠(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑠(𝑡) = = ∆𝑡 ∆𝑡

Utilizando el resultado anterior, podemos encontrar las velocidades medias en los intervalos propuestos como se muestra a continuación: a) 𝑣𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎[1,2] = b) 𝑣𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎[1,1.5] = c) 𝑣𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎[1,1.1] = 31

Supongamos que en el ejemplo anterior, queremos hallar la velocidad en un cierto instante, digamos t = 1. La llamaremos velocidad instantánea o simplemente velocidad del objeto cuando t = 1. Igual que aproximábamos la pendiente de la tangente mediante secantes, la velocidad en t = 1 se puede aproximar calculando la velocidad media en pequeños intervalos [1, t+Δt], como muestra en la siguiente tabla: t

0.5

0.9

0.99

0.999

0.9999

∆𝑠 ∆𝑡

-24

-30.4

-31.84

-31.984

-31.9984

1

1.0001

1.001

1.01

1.1

1.5

-32.0016

-32.016

-32.16

-33.6

-40

A la vista de la tabla, parece razonable concluir que la velocidad cuando t = 1 es -32 ft/s. Verificaremos esta conclusión tras introducir la siguiente definición. Definición de velocidad instantánea. Si s(t) es la función de posición de un objeto en movimiento rectilíneo, la velocidad del objeto en el instante t viene dada por: 𝑠(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑠(𝑡) 𝑣(𝑡) = 𝑠´(𝑡) = lim ∆𝑡→0 ∆𝑡 Ejemplo2. Hallar la velocidad en t = 1 y t = 2 de un objeto en caída libre cuya función de posición es: 𝑠(𝑡) = −16𝑡 2 + 100, con s medida en pies y t en segundos. Según la definición de la derivada mediante límite, vemos que la función que se obtiene es: 𝑠(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑠(𝑡) 𝑣(𝑡) = 𝑠´(𝑡) = lim = ∆𝑡→0 ∆𝑡

Así como, la función velocidad se obtiene derivando la función posición, la función aceleración se obtiene derivando la función velocidad. Definición de aceleración. Si s(t) es la función de posición de un objeto en movimiento rectilíneo, su aceleración en el instante t viene dada por: 𝑣(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑣(𝑡) 𝑎(𝑡) = 𝑣´(𝑡) = lim ∆𝑡→0 ∆𝑡 32

Ejemplo3. Calcular la aceleración de un objeto en caída libre cuya función de posición es: 𝑠(𝑡) = −16𝑡 2 + 100. Del ejemplo anterior sabemos que: 𝑣(𝑡) = −32𝑡, por lo tanto: 𝑣(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑣(𝑡) = ∆𝑡→0 ∆𝑡

𝑎(𝑡) = 𝑣´(𝑡) = lim

La aceleración hallada en el ejemplo anterior se llama aceleración debida a la gravedad, denotada por g, su valor exacto depende del lugar de la Tierra donde se mida. El valor estándar de g es -32.174 ft/s2 (es decir, -9.81 m/s2). En general, la posición de un objeto en caída libre (despreciando la resistencia del aire) bajo la influencia de la gravedad puede representarse por la ecuación. 1 𝑠(𝑡) = 𝑔𝑡 2 + 𝑣0 𝑡 + 𝑠0 2 donde 𝑠0 es la altura inicial del objeto y 𝑣0 la velocidad inicial con que se suelta. Considerando el valor g = -32 ft/s2 para la aceleración debida a la gravedad, tenemos como función de posición: 𝑠(𝑡) = −16𝑡 2 + 𝑣0 𝑡 + 𝑠0 Si consideramos el valor g = -9.81 m/s2 para la aceleración debida a la gravedad, entonces la función de posición es: 49 𝑠(𝑡) = − 𝑡 2 + 𝑣0 𝑡 + 𝑠0 10 Hay que recordar que para objetos en movimiento vertical consideramos la velocidad positiva si el objeto sube, y negativa si baja. 80t Ejemplo4. Supuesto que la velocidad en m/s de un automóvil que arranca del reposo viene dada por: v (t )  t 5 hallar su aceleración cuando t = 0, 5, 10 y 60 segundos.

33

Ejemplo5. Se lanza un proyectil hacia arriba desde la superficie de la tierra con velocidad inicial de 384 ft/s. Hallar: a) Su velocidad tras 10 y 15 segundos. b) El tiempo que tarda subiendo. c) La altura total que alcanza.

La aceleración determinada anteriormente se obtiene de la función aceleración, derivando dos veces. 𝑠(𝑡)

Función posición

𝑣(𝑡) = 𝑠´(𝑡)

Función velocidad

𝑎(𝑡) = 𝑣´(𝑡) = 𝑠´´(𝑡)

Función aceleración

Decimos que a(t) es la segunda derivada de s(t) y la denotaremos por s´´(t). La segunda derivada es un ejemplo de derivada de orden superior. Podemos definir derivadas de cualquier orden entero positivo. Así, la tercera derivada es la derivada de la segunda derivada. Denotaremos las derivadas de orden superior así: Primera derivada

y´

f´(x)

Segunda derivada

y´´

f´´(x)

n-ésima derivada

yn

f (n)(x)

𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑2𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑛 𝑦 𝑑𝑥

𝑑[𝑓(𝑥)] 𝑑𝑥 2 [𝑓(𝑥)] 𝑑 𝑑𝑥 2 𝑑 𝑛 [𝑓(𝑥)] 𝑑𝑥 𝑛

𝐷𝑥 (𝑦) 𝐷𝑥 2 (𝑦) 𝐷𝑥 𝑛 (𝑦)

Interpretación geométrica de la derivada. Si la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) es derivable en x, su derivada: 𝑑𝑦 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) = 𝑓´(𝑥) = lim ; denota a la vez: ∆𝑥→0 𝑑𝑥 ∆𝑥 1. La pendiente de la gráfica de f en x. 2. La razón instantánea de cambio en y con respecto a x.

34

3.5. Reglas de derivación. En temas anteriores hemos utilizado la definición por límites para hallar derivadas. En este tema estudiaremos varias “reglas de derivación” que permitirán hallar derivadas sin recurrir a la definición. Regla de la constante. La derivada de una constante es cero. 𝑑 [𝑐] = 0 𝑑𝑥 Regla del múltiplo constante. Si f es una función derivable y c un número real, entonces: 𝑑 [𝑐𝑓(𝑥)] = 𝑐𝑓´(𝑥) 𝑑𝑥 Regla de la suma y la diferencia La derivada de una suma o diferencia de dos funciones derivables es la suma o diferencia de sus derivadas. 𝑑 [𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = 𝑓´(𝑥) ± 𝑔´(𝑥) 𝑑𝑥 Regla de las potencias. Si n es un número racional, entonces: 𝑑 𝑛 𝑑 [𝑥 ] = 𝑛𝑥 𝑛−1 ; en el caso particular de que 𝑛 = 1, se tiene: [𝑥] = 1 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Ejemplo. Derivar las siguientes funciones, aplicando las reglas básicas de derivación. a) 𝑓(𝑥) = −3 b) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3

c) y 

1 x2

d) f ( x) 

e) y  

2 3 x

x4  3x 3  2 x 2

Regla del producto. El producto de dos funciones derivables f y g es a su vez derivable. Además, la derivada de (f)(g) es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda más la segunda por la derivada de la primera. 𝑑 [𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = 𝑓(𝑥)𝑔´(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑓´(𝑥) 𝑑𝑥 35

Ejemplo. Derivar las siguientes funciones, aplicando la regla del producto. a) 𝑓(𝑥) = (3𝑥 − 2𝑥 2 )(5 + 4𝑥)

b) 𝑦 = (𝑥 3 − 3𝑥)(2𝑥 2 + 3𝑥 + 5)

1

c) 𝑓(𝑥) = (1 + 𝑥) (√𝑥 − 1)

Regla del cociente. El cociente f /g de dos funciones derivables f y g es también derivable en todos los valores de x para los que g(x) ≠ 0. Además, la derivada de f /g es igual al denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador, dividido todo ello por el cuadrado del denominador. 𝑑 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)𝑓´(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔´(𝑥) [ ]= [𝑔(𝑥)]2 𝑑𝑥 𝑔(𝑥) Ejemplo. Hallar la derivada de las siguientes funciones, aplicando la regla del cociente. 5x  2 a) y  2 x 1

b) f ( x) 

c) y 

x 3  3x  2 x 2 1

3 1 x x5

Regla de la cadena. Si Mary puede mecanografiar dos veces más rápido que David y éste puede mecanografiar tres veces más rápido que Pedro, entonces Mary puede mecanografiar (2)(3)=6 veces más rápido que Pedro, simbólicamente esto se puede representar como sigue: y → Mary u → David x → Pedro 𝑑𝑦 = 2; número de veces en que escribe más rápido Mary con respecto a David. 𝑑𝑢 𝑑𝑢 = 3; número de veces en que escribe más rápido David con respecto a Pedro. 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 6; número de veces en que escribe más rápido Mary con respecto a Pedro. 𝑑𝑥 36

Básicamente la regla de la cadena dice que si “y” cambia

dy du veces más rápido “u”, y “u” cambia veces du dx

 dy  du  más rápido que “x”, entonces “y” cambia    veces más rápido que “x”. En otras palabras, la razón de  du  dx  cambio de “y” con respecto a “x” es igual al producto de la razón de cambio de “y” con respecto a “u” por la de “u” con respecto a “x”; por lo cual escribimos:

𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢 = ( )( ) 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 Definición de la regla de la cadena. Si y = f(u) es función derivable de u y u = g(x) es función derivable de x, entonces 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥)) es función derivable de x, por tanto: 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢 = ( )( ) 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥

ó

𝑑 [𝑓(𝑔(𝑥))] = 𝑓´(𝑔(𝑥)) 𝑔´(𝑥) 𝑑𝑥

Ejemplo. Determinar la derivada usando la regla de la cadena. a) 𝑦 = (𝑥 2 + 1)3

3

b) 𝑦 = √9𝑥 2 + 4

Las funciones del ejemplo anterior son los tipos más frecuentes de funciones compuestas, 𝑦 = [𝑢(𝑥)]𝑛 . La regla de derivación para tales funciones potencia se llama regla general de las potencias y es un caso particular de la regla de la cadena. Regla general de las potencias. Si 𝑦 = [𝑢(𝑥)]𝑛 , donde u es una función derivable de x y n es un número racional, entonces: 𝑑𝑦 𝑑𝑢 = 𝑛[𝑢(𝑥)]𝑛−1 𝑑𝑥 𝑑𝑥

ó

𝑑 𝑛 [𝑢 ] = 𝑛𝑢𝑛−1 𝑢´ 𝑑𝑥

Ejemplo. Derivar las siguientes funciones aplicando la regla general de las potencias. a)

𝑓(𝑥) = (3𝑥 − 2𝑥 2 )3

b) 𝑓(𝑥) = [(𝑥 − 2)(𝑥 + 4)]2

c)

𝑦 = 𝑥 2 √1 − 𝑥 2

d)

 3x  1  y  2   x 3

2

37

3.6. Derivada de la función exponencial natural de base e. Uno de los rasgos más intrigantes, y más útiles, de la función exponencial natural es que su derivada es ella misma. Este resultado se enuncia en el próximo teorema. Sea u una función derivable de x, entonces: 𝑑(𝑒 𝑥 ) = 𝑒𝑥 𝑑𝑥

→

𝑑(𝑒 𝑢 ) 𝑑𝑢 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Ejemplo. Hallar la derivada de las siguientes funciones exponenciales de base e. a) 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 b) 𝑓(𝑥) = 𝑒 2𝑥 1

c) 𝑦 = 𝑒 𝑥 d) 𝑦 = (3𝑥 + 1)𝑒 −3𝑥

e) 𝑦 =

𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥

3.7. Derivada de la función logaritmo natural. Si u es una función derivable de x, entonces: 𝑑(𝑙𝑛𝑥) 1 = 𝑑𝑥 𝑥

→

𝑑(𝑙𝑛𝑢) 1 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑢 𝑑𝑥

Ejemplo. Derivar las siguientes funciones logarítmicas. a) 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥 4 b) 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑙𝑛𝑥 c) 𝑓(𝑥) = ln(𝑙𝑛𝑥)

𝑑) 𝑦 = 𝑙𝑛

𝑥2 1 + 𝑥2

e) 𝑦 = 𝑙𝑛√3 − 2𝑥 2

38

3.8. Derivadas de funciones trigonométricas directas e inversas. Derivadas de funciones trigonométricas directas. Suponiendo que u es una función derivable de x entonces: 𝑑[𝑠𝑒𝑛 𝑥] 𝑑[𝑠𝑒𝑛 𝑢] 𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑[𝑐𝑜𝑠 𝑥] 𝑑[𝑐𝑜𝑠 𝑢] 𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 = −sen 𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑[𝑡𝑎𝑛 𝑥] 𝑑[𝑡𝑎𝑛 𝑢] 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑[𝑐𝑠𝑐 𝑥] 𝑑[𝑐𝑠𝑐 𝑢] 𝑑𝑢 = −c𝑠𝑐 𝑥 𝑐𝑡𝑔 𝑥 = −c𝑠𝑐 𝑢 𝑐𝑡𝑔 𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑[𝑠𝑒𝑐 𝑥] 𝑑[𝑠𝑒𝑐 𝑢] 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 𝑢 𝑡𝑎𝑛 𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑[𝑐𝑡𝑔 𝑥] 𝑑[𝑐𝑡𝑔 𝑢] 𝑑𝑢 = −c𝑠𝑐 2 𝑥 = −c𝑠𝑐 2 𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Ejemplo. Derivar las siguientes funciones trigonométricas directas. 𝑐𝑜𝑠𝑥 a) 𝑓(𝑥) = 5 b) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 4 c) 𝑦 = 𝑐𝑡𝑔2 4𝑥

d) 𝑦 =

2 √𝑠𝑒𝑐 𝑥

e) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛

f) 𝑦 =

2−𝑥 2+𝑥

1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥

g) 𝑓(𝑥) =

𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥

h) 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 i) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛2 𝑥

39

Derivadas de funciones trigonométricas inversas. Si u es una función derivable de x entonces se tiene: 𝑑[𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥] 1 = 𝑑𝑥 √1 − 𝑥 2 𝑑[𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝑥] 1 =− 𝑑𝑥 √1 − 𝑥 2

𝑑[𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑢] 1 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 √1 − 𝑢2 𝑑𝑥 𝑑[𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝑢] 1 𝑑𝑢 =− 𝑑𝑥 √1 − 𝑢2 𝑑𝑥

𝑑[𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛 𝑥] 1 = 𝑑𝑥 1 + 𝑥2 𝑑[𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑠𝑐 𝑥] 1 =− 𝑑𝑥 𝑥√𝑥 2 − 1 𝑑[𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑐 𝑥] 1 = 𝑑𝑥 𝑥√𝑥 2 − 1

𝑑[𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛 𝑢] 1 𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥 1 + 𝑢 𝑑𝑥 𝑑[𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑠𝑐 𝑢] 1 𝑑𝑢 =− 𝑑𝑥 𝑢√𝑢2 − 1 𝑑𝑥 𝑑[𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑐 𝑢] 1 𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥 𝑢√𝑢 − 1 𝑑𝑥

𝑑[𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑡𝑔 𝑥] 1 =− 𝑑𝑥 1 + 𝑥2

𝑑[𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑡𝑔 𝑢] 1 𝑑𝑢 =− 𝑑𝑥 1 + 𝑢2 𝑑𝑥

Ejemplo. Determinar las derivadas de las siguientes funciones trigonométricas inversas. a) 𝑦 = 𝑥 2 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛 𝑥

b) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 2

c) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑡𝑔√1 + 𝑥 2

d) 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑐

3−𝑥 𝑥

e) 𝑦 = 𝑥 2 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 2𝑥

f) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑡𝑔

1+𝑥 1−𝑥

40

Resumen de fórmulas de derivación. 𝑑 [𝑐] = 0 𝑑𝑥

𝑑[𝑠𝑒𝑛 𝑢] 𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑑 [𝑐𝑓(𝑥)] = 𝑐𝑓´(𝑥) 𝑑𝑥

𝑑[𝑐𝑜𝑠 𝑢] 𝑑𝑢 = −sen 𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑑 [𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = 𝑓´(𝑥) ± 𝑔´(𝑥) 𝑑𝑥

𝑑[𝑡𝑎𝑛 𝑢] 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑑 𝑛 [𝑥 ] = 𝑛𝑥 𝑛−1 𝑑𝑥

𝑑[𝑐𝑠𝑐 𝑢] 𝑑𝑢 = −c𝑠𝑐 𝑢 𝑐𝑡𝑔 𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑑 [𝑥] = 1 𝑑𝑥

𝑑[𝑠𝑒𝑐 𝑢] 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐 𝑢 𝑡𝑎𝑛 𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑑 [𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = 𝑓(𝑥)𝑔´(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑓´(𝑥) 𝑑𝑥

𝑑[𝑐𝑡𝑔 𝑢] 𝑑𝑢 = −c𝑠𝑐 2 𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑑 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)𝑓´(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔´(𝑥) [ ]= [𝑔(𝑥)]2 𝑑𝑥 𝑔(𝑥)

𝑑[𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑢] 1 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 √1 − 𝑢2 𝑑𝑥

𝑑𝑦 𝑑𝑢 = 𝑛[𝑢(𝑥)]𝑛−1 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑑[𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝑢] 1 𝑑𝑢 =− 𝑑𝑥 √1 − 𝑢2 𝑑𝑥

𝑑(𝑒 𝑢 ) 𝑑𝑢 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑑[𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛 𝑢] 1 𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥 1 + 𝑢 𝑑𝑥

𝑑(𝑙𝑛𝑢) 1 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑢 𝑑𝑥

𝑑[𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑠𝑐 𝑢] 1 𝑑𝑢 =− 𝑑𝑥 𝑢√𝑢2 − 1 𝑑𝑥 𝑑[𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑐 𝑢] 1 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑢√𝑢2 − 1 𝑑𝑥 𝑑[𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑡𝑔 𝑢] 1 𝑑𝑢 =− 2 𝑑𝑥 1 + 𝑢 𝑑𝑥

41

Ejercicios propuestos bloque III. 1. Hallar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de 𝑓(𝑥) = √𝑥 en los puntos (1, 1) y (4, 2). Graficar.

1

1

2

4

Respuesta: 𝑚(1,1) = , 𝑚(4,2) =

2. Dada la función 𝑓(𝑥) =

2 , 𝑥

calcular la pendiente de la recta tangente en el punto (1, 2). Graficar. Respuesta: 𝑚 = −2

3. Hallar la derivada de las siguientes funciones por el proceso de límite. 1 1 a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 12𝑥, Respuesta: 𝑓´(𝑥) = 3𝑥 2 − 12 b) 𝑓(𝑥) = 𝑥−1, Respuesta: 𝑓´(𝑥) = − (𝑥−1)2 1

c) 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 4, Respuesta: 𝑓´(𝑥) = 2 √𝑥−4 4. Se deja caer una moneda desde lo alto de un edificio de 1,362 pies de altura. Hallar: a) Su velocidad media en el intervalo [1, 2]. 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 𝑣𝑚 = −48 𝑓𝑡/𝑠. b) Sus velocidades instantáneas cuando t = 1 y t = 2. 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠: 𝑣(1) = −32 𝑓𝑡/𝑠, 𝑣(2) = −64 𝑓𝑡/𝑠. c) El tiempo que tarda en llegar al suelo. 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 9.23 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠. d) La velocidad que lleva al impactar el suelo. Respuesta: 𝑣(𝑡) = −295.24 𝑓𝑡/𝑠. 5. Se lanza un proyectil hacia arriba desde la superficie terrestre con una velocidad inicial de 120 m/s. Calcular: a) Su velocidad instantánea a los 5 y 10 segundos. Respuestas: 𝑣(5) = 71 𝑚/𝑠, 𝑣(10) = 22 𝑚/𝑠 b) Su velocidad instantánea tras recorrer 500 metros. Respuesta: 𝑣(5) = 67.864 𝑚/𝑠 c) El tiempo total que tarda en volver a caer al suelo. Respuesta: 24.5 segundos. 6. Se deja caer una piedra desde 100 metros de altura. Un segundo más tarde, se deja caer otra piedra desde 75 metros de altura. ¿Cuál llega antes al suelo? Respuesta: La piedra que cae desde 100 metros de altura.

7. ¿Cuál es la mínima velocidad inicial requerida para que una piedra lanzada hacia arriba alcance la copa de un árbol de 49 pies de altura? Respuesta: 56 ft/s.

8. Derivar las siguientes funciones, aplicando las reglas básicas. 𝑑𝑦 4 3 3 𝑏) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 4 − 2𝑥 2 + 8 𝑎) 𝑦 = √𝑥 4 + 5 = √𝑥 𝑑𝑥 3 2 1 1 √𝑥 𝑐) 𝑦 = − 𝑦´ = + 2 4 √𝑥 𝑥 √𝑥 √𝑥 9. Derivar los siguientes productos o cocientes, aplicando la regla correspondiente. 𝑥2 + 𝑥 − 1 𝑥2 + 1 𝑥+1 𝑎) 𝑓(𝑥) = 𝑓´(𝑥) = − 𝑏) 𝑦 = ( ) (2𝑥 − 5) 2 2 2 (𝑥 − 1) 𝑥 −1 𝑥+2 𝑐) 𝑓(𝑥) = (3𝑥 2 + 7)(𝑥 2 − 2𝑥 + 3) 𝑓´(𝑥) = 2(6𝑥 3 − 9𝑥 2 + 16𝑥 − 7)

𝑓´(𝑥) = 12𝑥 3 − 4𝑥

𝑑𝑦 2𝑥 2 + 8𝑥 − 1 = (𝑥 + 2)2 𝑑𝑥

10. Aplicar la regla de la cadena o regla general de las potencias para derivar las siguientes funciones. 𝑎) 𝑦 = (2𝑥 − 7)3 𝑦´ = 6(2𝑥 − 7)2 𝑏) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 (𝑥 − 2)4 𝑓´(𝑥) = 2𝑥(𝑥 − 2)3 (3𝑥 − 2) 𝑥 𝑑𝑦 1 𝑐) 𝑦 = = √𝑥 2 + 1 𝑑𝑥 √(𝑥 2 + 1)3 11. Hallar la derivada de las siguientes funciones exponencial y logaritmo natural. 2 2 𝑏) 𝑦 = (𝑒 −𝑥 + 𝑒 𝑥 )3 𝑦´ = 3(𝑒 −𝑥 + 𝑒 𝑥 )2 (𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 ) 𝑎) 𝑓(𝑥) = 𝑒 −2𝑥+𝑥 𝑓´(𝑥) = 2(𝑥 − 1)𝑒 −2𝑥+𝑥 2 𝑑𝑦 −2(𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 ) 𝑑𝑦 4(ln 𝑥)3 4 𝑐) 𝑦 = 𝑥 = (𝑙𝑛 𝑑) 𝑦 = 𝑥) = (𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 )2 𝑒 + 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑥 2 𝑑𝑦 2𝑥 − 1 𝑥 1 − 𝑥2 𝑒) 𝑦 = 𝑙𝑛 (𝑥 √𝑥 2 − 1) = 𝑓) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 ( ) 𝑓´(𝑥) = 𝑑𝑥 𝑥(𝑥 2 − 1) 𝑥2 + 1 𝑥(𝑥 2 + 1) 12. Determinar la derivada de las funciones trigonométricas directas e inversas que se indican a continuación. 𝑎) 𝑓(𝑥) = −𝑐𝑠𝑐 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑓´(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑡𝑔2 𝑥 𝑏) 𝑦 = 𝑥 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 2𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑦´ = 𝑥 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 4 3 2 𝑐) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 5𝑥 𝑦´ = −20𝑐𝑜𝑠 5𝑥 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 𝑑) 𝑓(𝑥) = 2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (𝑥 − 1) 𝑓´(𝑥) = √2𝑥 − 𝑥 2 𝑥 𝑑𝑦 3 𝑓) 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 + √1 − 𝑥 2 𝑓´(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒) 𝑦 = 3 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 =− 2 2 𝑑𝑥 √4 − 𝑥

42

Bloque IV.- Calculas e interpretas máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización. A menudo la vida nos enfrenta con el problema de encontrar el mejor modo de hacer algo. Por ejemplo, un agricultor quiere escoger la mezcla de cultivos que sea la más apropiada para obtener el mayor aprovechamiento. Un médico desea escoger y aplicar la menor dosis de una droga que curará cierta enfermedad. Un fabricante desea minimizar el costo de distribución de productos. Algunas veces, en problemas de esta naturaleza puede formularse, de tal manera que involucre maximizar o minimizar, una función sobre un conjunto específico. Si es así, los métodos de cálculo proveen una poderosa herramienta para resolver el problema, que es lo que se verá en este bloque. 4.1. Producciones, máximos y mínimos. Supongamos que nos dan una función f y un dominio [𝑎, 𝑏] como se muestra en la figura. Nuestro primer trabajo es decir si f puede poseer un valor máximo o un mínimo en el dominio [𝑎, 𝑏]. Suponiendo que tales valores existen, queremos determinar los valores máximos y mínimos. y = f(x)

a

b

Para la cuestión de existencia ¿tiene f un máximo o un mínimo en [𝑎, 𝑏]?, la respuesta depende del dominio, esto es, del conjunto de valores incluidos en [𝑎, 𝑏]. Veremos algunos teoremas que responde a las pregunta para algunos de los problemas que se presenten en la práctica. Teorema de existencia de máximos y mínimos. Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b] entonces f tiene ahí un valor máximo y un mínimo. 4.2. Extremos en un intervalo. En el cálculo se dedica gran esfuerzo a la determinación del comportamiento de una función en un intervalo, es decir a cuestiones como: ¿Tiene un valor máximo o mínimo? ¿Dónde es creciente o decreciente la función?. En este tema y en el resto del curso se contestaran este tipo de preguntas gracias a la derivada. Veremos además por qué tales preguntas son importantes en las aplicaciones. Comenzamos con los máximos y mínimos de una función en un intervalo. Definición de extremos. Sea f definida en un intervalo I, conteniendo c. 1.

f(c) es el mínimo de f en I si f(c) ≤ f(x) para todo x en I.

2.

f(c) es el máximo de f en I si f(c) ≥ f(x) para todo x en I.

El mínimo y el máximo de una función en un intervalo se llaman valores extremos o extremos de la función en ese intervalo. El máximo y el mínimo de una función en un intervalo se llaman a veces máximo absoluto y mínimo absoluto en ese intervalo, respectivamente. Una función no tiene necesariamente un máximo o un mínimo en un intervalo. Por ejemplo en las gráficas siguientes se muestran tres posibilidades. Comparando la primera gráfica con la segunda vemos que la función f ( x)  x  1 tiene máximo y mínimo en el intervalo cerrado [-1, 2], pero no tiene máximo en el intervalo abierto (-1, 2). Además, en la tercera gráfica vemos que una discontinuidad (en x = 0) puede afectar a la existencia de un extremo en el intervalo. Esto sugiere el siguiente teorema, que impone condiciones que garantizan la existencia de un máximo y de un mínimo de la función en un intervalo. 2

43

f ( x)  x 2  1

f ( x)  x 2  1

6

6

Máximo

5

-2

4

3

3

2

2

1

1

-1

0

1

]

2

-2

f es continua [-1, 2] es cerrado

Mínimo 3

6

-2

(

-1

Máximo

5 4 3 2 1

0 -1

𝑥 2 + 1; 𝑥 ≠ 0 2; 𝑥=0

No hay máximo

5

4

[0

-1

𝑓(𝑥) = {

0

1

)

2

Mínimo 3

[

-2

-1

-2

f es continua (-1, 2) es abierto

0 -1

0

1

]

2

No hay 3 mínimo

-2

f es discontinua [-1, 2] es cerrado

De los casos anteriores se puede deducir que los extremos ocurren en ocasiones en puntos interiores del intervalo y otras veces en puntos terminales. 4.3. Teorema de los valores extremos. Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f tiene un máximo y también un mínimo en ese intervalo. El teorema del valor extremo, al igual que el del valor intermedio, es un teorema de existencia, ya que asegura que existen valores máximo y mínimo, pero no dice cómo hallarlos. Extremos relativos. En la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 2 se tiene un máximo relativo en el punto (0,0) y un mínimo relativo en el punto (2, -4). De manera coloquial se puede decir que un máximo relativo ocurre en una “cima” de la gráfica y un mínimo relativo en un “valle”. Tales cimas y valles pueden aparecer de dos formas. Si son redondeados y suaves, la gráfica tiene en ellos tangente horizontal. Si son abruptos y angulosos, la gráfica representa una función que no es derivable en ese punto de cima o valle. Definición de extremos relativos. 1. Si existe un intervalo abierto que contiene a c y en el que f(c) es máximo, entonces f(c) se llama un máximo relativo de f. 2. Si existe un intervalo abierto que contiene a c y en el que f(c) es mínimo, entonces f(c) se llama minimo relativo de f.

En el siguiente ejemplo se examina las derivadas de funciones en extremos relativos dados. Ejemplo.- Calcular la derivada en el extremo relativo que se indica en la figura de la derecha.

44

Nótese que en este ejemplo la derivada en el extremo relativo es nula. Los valores de x en esos puntos especiales se llaman números críticos. La siguiente figura ilustra los dos tipos de números críticos.

4.4. Teorema de los valores críticos. Sea f definida en c. Si 𝑓´(𝑐) = 0 o si 𝑓´(𝑥) no está definida en c, se dice que c es un número crítico de f. Teorema. Los extremos relativos solo ocurren en los números críticos. Si f tiene un máximo relativo o un mínimo relativo en x=c, entonces c es un número critico de f. Búsqueda de extremos en un intervalo cerrado. El Teorema anterior afirma que los extremos relativos sólo pueden ocurrir en los números críticos de la función. Por lo cual, podemos seguir esta estrategia en la búsqueda de extremos en un intervalo cerrado. Estrategia para localizar extremos relativos en un intervalo cerrado. Para hallar los extremos relativos de una función continua f en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏], debe procederse así: 1. Hallar los números críticos de f en [𝑎, 𝑏]. 2. Evaluar f en cada número critico de (𝑎, 𝑏). 3. Evaluar f en a y en b. 4. El más grande de todos esos valores es el máximo; el más pequeño es el mínimo. En los próximos ejemplos usaremos esta estrategia. La búsqueda de los números críticos es tan sólo una parte del proceso. La parte restante consiste en evaluar la función en los números críticos y en los puntos terminales. Ejemplo 1. Hallar los extremos de 𝑓(𝑥) = 3𝑥 4 − 4𝑥 3 en el intervalo [−1, 2]. Para hallar los números criticos de f hay que buscar los valores de x en los que 𝑓´(𝑥) = 0 y aquellos en los que 𝑓´(𝑥) no esta definida.

Como 𝑓´(𝑥) está definida en todo x, concluimos que éstos son los únicos números críticos de f. Evaluando f en ellos y en los puntos terminales de [-l, 2] vemos que el máximo es f(2) = 16 y el mínimo es f(l) = -l. El número crítico x = 0 no da ni máximo ni mínimo relativo; que significa que los números críticos de una función no siempre corresponden a extremos relativos. 45

Punto terminal izquierdo 𝑓(−1) = 7

Numero crítico 𝑓(0) = 0

Numero crítico 𝑓(1) = −1 Mínimo

Punto terminal derecho 𝑓(2) = 16 Máximo

3

Ejemplo 2. Hallar los extremos de 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3√𝑥 2 en el intervalo [-l, 3]

De esa derivada se deduce que f tiene dos números críticos en el intervalo [-1, 3]. El número 1 es crítico porque 𝑓´(1) = 0, y el número 0 porque 𝑓´(0) no está definida. Evaluando f en esos dos puntos y en los puntos terminales del intervalo, concluimos que el mínimo es f(-l) = -5 y el máximo f(0) = 0, como se muestra en la gráfica anterior. Punto terminal izquierdo 𝑓(−1) = −5 Mínimo

Numero crítico 𝑓(0) = 0 Máximo

Numero crítico 𝑓(1) = −1

Punto terminal derecho 3 𝑓(3) = 6 − 3√9 ≈ −0.24

4.5. Funciones crecientes y decrecientes. Una función f es creciente en un intervalo si para cualquier par de números x1, x2 del intervalo, xl < x2 implica f(x1) < f (x2). Una función f es decreciente en un intervalo si para cualquier par de números x1, x2 del intervalo, x1 < x2 implica f (x1) > f (x2). Una función es creciente si, al movernos por el eje x hacia la derecha la gráfica asciende, y decreciente si desciende. Así, la función de la gráfica siguiente, es decreciente en (-∞, a), constante en (a, b) y creciente en (b, ∞). Como establece el próximo teorema, derivada positiva implica función creciente, derivada negativa implica función decreciente, y derivada nula en todo un intervalo implica función constante sobre ese intervalo. Teorema.- Criterio de crecimiento y decrecimiento. Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). 1. Si 𝑓´(𝑥) > 0 para todo x en (𝑎, 𝑏), f es creciente en [a, b]. 2. Si 𝑓´(𝑥) < 0 para todo x en (𝑎, 𝑏), f es decreciente en [a, b]. 3. Si 𝑓´(𝑥) = 0 para todo x en (𝑎, 𝑏), f es constante en [a, b]. 3

Ejemplo.- Hallar los intervalos abiertos en los que 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 2 𝑥 2 es creciente o decreciente. Nótese que f es continua en toda la recta real. Con el fin de hallar los números críticos de f, igualamos a cero su derivada. Derivar 𝑓´(𝑥) = 3𝑥 2 − 3𝑥 Hacer 𝑓´(𝑥) = 0 3𝑥 2 − 3𝑥 = 0 Factorizar y resolver 3𝑥(𝑥 − 1) = 0 Números críticos 𝑥 = 0, 𝑥 = 1 46

Como 𝑓´(𝑥) está definida en todos los puntos, los únicos números críticos son x = 0 y x = l. La tabla siguiente muestra valores de prueba en los intervalos determinados por ellos.

Así pues, f es creciente en (-∞, 0) y (l, ∞) y decreciente en (0, 1), como confirma la gráfica siguiente: El ejemplo anterior enseña cómo buscar los intervalos donde una función es creciente o decreciente. Sus pasos se enuncian en la siguiente estrategia. Estrategia para hallar los intervalos donde una función es creciente o decreciente. Sea f continua en (a, b). Para hallar los intervalos abiertos donde f es creciente o decreciente, seguir los pasos que se indican: 1. Localizar los números críticos de f en (a, b). 2. Evaluar el signo de 𝑓´(𝑥) en cada uno de los intervalos que esos números críticos determinan sobre la recta real. 3. Usar el Teorema anterior, para decidir si f crece o decrece en cada intervalo. Esta estrategia es válida también si el intervalo (a, b) se sustituye por un intervalo de la forma (-∞, b), (a, ∞), o (-∞, ∞). Una función es estrictamente monótona en un intervalo si es creciente o decreciente en todo el intervalo. Por ejemplo, f (x) = x3 es estrictamente monótona en toda la recta real, ya que es creciente en todos sus puntos, como en la gráfica de arriba. La función de la gráfica de la derecha, no es estrictamente monótona en toda la recta real, ya que es constante en el intervalo [0, l]. 4.6. Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos. Si una función tiene un crecimiento, seguido de un decrecimiento, o viceversa entonces hay un máximo o un mínimo. Así, la función 𝑓(𝑥) = 3 𝑥 3 − 2 𝑥 2 , cuya gráfica se muestra a continuación: Esta función tiene un máximo relativo en el punto (0, 0) porque es creciente inmediatamente a la izquierda de x = 0 y decreciente inmediatamente a la derecha. Análogamente, f tiene un mínimo relativo en el punto (1, -1/2) porque f es decreciente inmediatamente a la izquierda de x = l y creciente inmediatamente a su derecha. El próximo teorema enuncia de modo explícito esta observación. Teorema.- El criterio de la primera derivada. Sea c un número crítico de una función f continua en un intervalo abierto I que contiene a c. Si f es derivable en ese intervalo, excepto quizás en c, entonces f(c) puede clasificarse así: l. Si 𝑓´(𝑥) cambia en c de negativa a positiva, f(c) es un mínimo relativo de f. 2. Si 𝑓´(𝑥) cambia en c de positiva a negativa, f(c) es un máximo relativo de f. 47

Para demostrar este teorema, supongamos que 𝑓´(𝑥) cambia de negativa a positiva en c, como se muestra en la primer figura de las cuatro que se muestran a continuación. Entonces existen a y b en I tales que:

En la figura superior izquierda f decrece en (a, c) y crece en (c, b). Por tanto, f(c) es un mínimo de f en el intervalo abierto (a, b) y, por consiguiente, un mínimo relativo de f. En los demás casos se demuestra de forma similar. 3

Ejemplo1. Aplicando el criterio de la primera derivada, hallar los extremos relativos de 𝑓(𝑥) = √(𝑥 2 − 4)2 .

Observemos que f es continua en toda la recta real. Su derivada es cero en 𝑥 = 0 y no está definida 𝑥 = 2. Así pues, los números críticos son 𝑥 = −2, 𝑥 = 0 y 𝑥 = 2. La siguiente tabla el comportamiento de la función, en valores prueba en intervalos determinados por dichos valores críticos.

El criterio de la primera derivada asegura que f tiene un mínimo relativo en el punto (-2, 0) un máximo relativo 3 en el punto (0, √16) y otro mínimo relativo en el punto (2, 0).

48

𝑥 4 +1

Ejemplo2. Hallar los extremos relativos de 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 , aplicando el criterio de la primera derivada. Dado que 𝑓´(𝑥) es cero en 𝑥 = ±1. Además, como x = 0 no está en el dominio de f, hay que añadir este valor a los números críticos para delimitar los intervalos prueba.

La tabla siguiente, resume valores prueba en los intervalos determinados por los numeros críticos.

Aplicando e] criterio de la primera derivada concluimos que f tiene un mínimo relativo en el punto (-1, 2) y otro en (1, 2). 4.7. Problemas de aplicación de máximos y mínimos. Una de las aplicaciones más frecuentes del Cálculo consiste en la determinación de valores máximos o mínimos. Téngase en cuenta cuántas veces hablamos de máximo beneficio, mínimo costo, voltaje máximo, forma óptima, tamaño mínimo, máxima resistencia o máxima distancia. Antes de entrar en la resolución de este tipo de problemas, veamos un ejemplo. Ejemplo1. Un fabricante desea diseñar una caja abierta con base cuadrada y un área de 108 pulgadas cuadradas de superficie, como indica en la figura. ¿Qué dimensiones producen la caja de máximo volumen?

49

Estrategia para resolver problemas de máximos y mínimos. 1. Asignar símbolos a todas las magnitudes a determinar. 2. Escribir una ecuación primaria para la magnitud que se debe maximizar o minimizar. 3. Reducir la ecuación primaria a una ecuación con solo una variable independiente. Eso puede exigir utilizar ecuaciones secundarias que relacionen las variables independientes de la ecuación primaria. 4. Determinar el dominio de la ecuación primaria. Esto es, hallar los valores para los que el problema planteado tiene sentido. 5. Determinar el máximo o mínimo, mediante alguna técnica vista en los temas anteriores. Ejemplo 2. Dos postes, de 12 y 28 pies de altura, distan 30 pies entre ellos. Hay que conectarlos mediante un cable que esté atado en algún punto del suelo entre ellos. ¿En qué punto ha de amarrarse al suelo con el fin de utilizar la menor cantidad de cable que sea posible?

Ejemplo 3. Con cuatro pies de alambre se desean construir un círculo y un cuadrado. ¿Cuánto alambre hay que emplear en cada figura para lograr que entre ambas encierren el área máxima posible?

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Ejercicios propuestos bloque IV. Instrucciones: Resolver los ejercicios que se indican en la sección y páginas correspondientes, del Libro de: Roland E. Larson, Robert P. Hostetler. Cálculo y Geometría Analítica. Vol. 1. Sexta edición. Ed. McGraw-Hill. SEC.

PAG.

3.1

183

3.1

3.3

3.3

184

201

202

EJERC. 1

𝑓´(0) = 0

3

𝑓´(4) = 0

5

𝑓´(−2) = 𝑁𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜

7

𝑥 = 0, 𝑥 = 2

9

𝑡 = 8/3, 𝑡 = 4

19

Mínimo: (0, 0), Máximo: (-1, 5)

25

Mínimo: (1/6, √3/2), Máximo: (0, 1)

3

Creciente: (-∞, -2) y (2, ∞), Decreciente: (-2, 2)

5

Creciente: (-∞, 0), Decreciente: (0, ∞)

15

Número crítico: x=0, Creciente: (-∞, ∞), No tiene extremos

19 23 27

3.7

243

3.7

244

RESPUESTAS

Número crítico: x=0, Discontinuidades: x= -3, 3 Creciente: (-∞, -3) y (-3, 0), Decreciente: (0, 3) y (3, ∞) Máximo relativo: (0, 0) Número crítico: x=1, Creciente: (1, ∞), Decreciente: (-∞, 1) Máximo relativo: (1, 0) Números críticos: x= -3, 1, Discontinuidad: x= -1 Creciente: (-∞, -3) y (1, ∞), Decreciente: (-3, -1) y (-1, 1) Máximo relativo: (-3, -8), Mínimo relativo: (1, 0)

21

2.24 x 4.48 pies

25

Ancho: 3.536, Largo: 7.071

31

18 x 18 x 36 pulgadas

NOTA: Respaldar respuestas con procedimientos algebraicos o con gráficas, donde sea necesario.

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