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• Cristian Preciado

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APORTES FORO TRABAJO COLABORATIVO CALCULO 2 LORENA ITURRIAGO CARRASCAL POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO EJERCICIO 1 1. Una empresa de teléfonos presenta la siguiente situación: en la figura se muestra un alambre de teléfono que cuelga entre dos postes en 𝑥 = −𝑏 𝑦 𝑥 = 𝑏. El alambre toma 𝑥 la forma de una catenaria con ecuación 𝑦 = 𝑐 + 𝑎 𝑐𝑜𝑠ℎ( 𝑎 ). Halle la ecuación que describe longitud del alambre:

Tenga en cuenta: que 𝑐𝑜𝑠ℎ es el coseno hiperbólico y tenga en cuenta la simetría. Con el objetivo de calcular la ecuación que describe la longitud del alambre se inicia utilizando la fórmula para calcular la longitud de una curva o de un arco: 𝑏

𝐿 = ∫ √1 + (𝑦 , )2 𝑑𝑥 𝑎

Para este ejercicio se necesita la derivada de la función inicial de la catenaria formada 𝑥 por el alambre dada en el enunciado 𝑦 = 𝑐 + 𝑎 𝑐𝑜𝑠ℎ( 𝑎 ) y tenemos los limites de integración que en este caso son 𝑥 = −𝑏 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑥 = 𝑏. 𝑏

𝑦 , = ∫ 𝑐 + acosh( −𝑏 ,

𝑦 = 𝑐 + acosh( 𝑏

∫ 𝑐=0 −𝑏

𝑏

𝑥 ) 𝑎

𝑥 ) 𝑎

𝑥 𝑥 ) = 𝑠𝑒𝑛ℎ( ) 𝑎 𝑎 −𝑏 𝑥 𝑦 , = 0 + 𝑠𝑒𝑛ℎ( ) 𝑎 𝑥 , 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛ℎ( ) 𝑎 ∫ acosh(

Como ya se tiene la derivada de la función inicial, se procede a reemplazar en la fórmula de la longitud del arco de la siguiente forma:

𝑏

𝐿 = ∫ √1 + (𝑠𝑒𝑛ℎ( −𝑏

𝑥 2 )) 𝑑𝑥 𝑎

Para resolver esta integral definida se inicia aplicando integración por sustitución con 𝑥 la siguiente relación: 𝑢 = 𝑎 𝑏

𝐿 = ∫ 𝑎 √1 + 𝑠𝑒𝑛ℎ2 (𝑢) 𝑑𝑢 −𝑏

Se procede a sacar la constante con la siguiente ecuación: 𝑎. 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏

𝐿 = 𝑎 . ∫ √1 + 𝑠𝑒𝑛ℎ2 (𝑢) 𝑑𝑢 −𝑏

Se utiliza la siguiente identidad: 𝑠𝑒𝑛ℎ2 (𝑥) = −1 + 𝑐𝑜𝑠ℎ2 (𝑥) para resolver la parte interna de la raíz. 𝑏

𝐿 = 𝑎 . ∫ √1 − 1+𝑐𝑜𝑠ℎ2 (𝑢) 𝑑𝑢 −𝑏

Simplificando se obtiene: 𝑏

𝐿 = 𝑎 . ∫ √𝑐𝑜𝑠ℎ2 (𝑢) 𝑑𝑢 −𝑏

Teniendo en cuenta que 𝑐𝑜𝑠ℎ2 (𝑢) ≥ 0 entonces: 𝑏

𝐿 = 𝑎 . ∫ 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑢) 𝑑𝑢 −𝑏

Se aplica la siguiente regla de integración conocida: ∫ cosh(𝑢)𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛ℎ(ℎ) 𝐿 = 𝑎 . 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑢) 𝑥

Como se sabe que 𝑢 = 𝑎 entonces reemplazamos la función 𝑏

𝐿 = ∫ 𝑎 . 𝑠𝑒𝑛ℎ ( −𝑏

𝑥 )+𝑐 𝑎

Se calculan los límites de la derivada 𝑥 = −𝑏 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑥 = 𝑏: 𝑙𝑖𝑚𝑥→ −𝑏 = −asenh( 𝑙𝑖𝑚𝑥→ 𝑏 = asenh(

𝑏 ) 𝑎

𝑏 ) 𝑎

𝑏 𝑏 ) − (− asenh ( )) 𝑎 𝑎 𝑏 L = 2 asenh( ) 𝑎

asenh (