• Author / Uploaded
• rulvillo

Citation preview

Problema 9. Un rio tiene las dos orillas paralelas. Desde los puntos P y Q de una orilla se observa un punto N de la orilla opuesta. Si las visuales forman con la dirección de la orilla unos ángulos de 40 grados y 50 grados, respectivamente y la distancia entre los puntos P y Q es de 30m, determinar el ancho del rio.

Q 40°

x

30° C

50°

N

y

P Podemos observar que los dos triángulos pequeños hacen uno grande, y los 30m es la hipotenusa del grande. Entonces podemos sacar el cateto opuesto

𝑆𝑒𝑛 40° =

𝑥 30 𝑚

𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 40° 𝑥 30 𝑚 𝑥 = 0,64 𝑥 30𝑚 𝑥 = 19,2 𝑚 19,2 es el cateto opuesto del triángulo grande del ángulo 40°, este mismo 19,2 es la hipotenusa del triángulo pequeño de la izquierda del ángulo 50° ahora necesitamos sacar el cateto opuesto de 50°, que es el ancho del rio.

𝑆𝑒𝑛 50° =

𝑦 19,2

𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 50° 𝑥 19,2 𝑚 𝑦 = 0,77 𝑥 19,2 𝑚

y = 14,78 m El ancho del rio es: 14.78 m

Problema 10. Encuentre el valor de x que satisface la siguiente ecuación trigonométrica para ángulos entre 0°≤ x ≤ 360°.

cos(2 ×) + cos(2 ×) + 1 = 0

Movemos los términos que no contengan 𝑐𝑜𝑠 (2𝑥) al lado derecho. cos(2 ×) = − cos(×) − 1 Movemos los términos que no contengan 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) al lado derecho de la ecuación. cos(×) = − cos(2 ×) − 1 Movemos los términos que contengan x al lado izquierdo. cos(×) + 𝑐𝑜𝑠 2 (×) − 𝑠𝑖𝑛2 (×) = −1

Reemplazamos 𝑠𝑖𝑛2 (×)𝑐𝑜𝑛 1 − 𝑐𝑜𝑠 2 (×). 𝑐𝑜𝑠(×) + 𝑐𝑜𝑠 2 (×) − (1 − 𝑐𝑜𝑠 2 (×)) = −1

Simplificamos − (1 − 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥)) 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) + 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) − 1 + 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) = − 1

Sumamos 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) y 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) para obtener 2 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥). 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) + 2 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) − 1 + 1 = 0

Sumamos −1 y 1 para obtener 0. 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) + 2 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) + 0 = 0

Sumamos 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) + 2 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) y 0 para obtener 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) + 2 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥). 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) + 2 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) = 0

Se Factoriza 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) fuera de 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) + 2 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥). 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) (1 + 2𝑐𝑜𝑠 (𝑥)) = 0

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a 0, la expresión completa será igual a 0. 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) = 0 1 + 2 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) = 0 Iguala el primer factor a 0 y se resuelve. ×=

𝜋 ± 𝜋𝑛 2

Iguala el primer factor a 0 y también se resuelve. ×=

2𝜋 4𝜋 ± 2𝜋𝑛; ± 2𝜋𝑛 3 3

La solución final son todos los valores que hacen 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) (1 + 2𝑐𝑜𝑠 (𝑥)) = 0 verdadero. 𝑥 =

𝜋 2𝜋 4𝜋 ± 𝜋𝑛, ± 2𝜋𝑛, ± 2𝜋𝑛 2 3 3