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ECUACIONES DIFERENCIALES UNIDAD DOS ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Presentado a: Francisco Javier Castellanos Tutor(a)

Entregado por: Leidy Tatiana Castro Rodriguez Código: 1024577380

Grupo: 302

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, INGENIERÍAS Y TECNOLOGÍAS CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES FECHA 12 de Octubre 2019

EJERCICIOS INDIVIDUALES A continuación, se definen los 3 Tipos de ejercicios para presentar en el Paso 3.

TIPO DE EJERCICIOS 1 –ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS. Dar solución a las siguientes ecuaciones diferenciales de orden superior homogéneas (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del paso, debe indicando la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado) ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Leidy Castro

𝑏. PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA b.

15 ´´ y 6

− 10y ´ +

25 6

y=0

RAZÓN O EXPLICACIÓN Forma original de la ecuación Nota: Se identifica que tiene la forma lineal de segundo orden

5 ´´ 25 y − 10y ´ + y = 0 2 6

Para una ecuación ay ´´ + 𝑏y ´ + 𝑐𝑦 = 0 asumo la forma 𝑒 ɣt

5 25 ((𝑒 ɣt ))´´ − 10((𝑒 ɣt ))´ + 𝑒 ɣt = 0 2 6 5ɣ2 25 𝑒 ɣt ( − 10ɣ + ) = 0 2 6 ɣ=

Simplifico la expresión y resuelvo

6 + √21 6 − √21 ,ɣ = 3 3 c1𝑒

6+√21 𝑡 3

+c2𝑒

6+√21 )𝑡 3

y = c1𝑒 (

6−√21 𝑡 3

+ 𝑐2𝑒 (

6−√21 )𝑡 3

Para dos raíces reales ɣ1 ≠ ɣ2 la solución general toma la forma: y = c1𝑒 ɣ1t + 𝑐2𝑒 ɣ2t R// Finalmente simplifico

EJERCICIOS 2 – ECUACIONES DIFERENCIALES NO HOMOGÉNEAS Solucionar las siguientes Ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de Homogéneas (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del paso, debe indicando la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado)

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Leidy Castro

𝑏. PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA 𝑏.

3

9

𝑦 ´´ + 2 𝑦 ´ + 3𝑦 = sin 𝑒 𝑥 2

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Forma original de la ecuación Nota: Se identifica que tiene la forma lineal de segundo orden no homogénea

3 ´´ 9 ´ 𝑦 + 𝑦 + 3𝑦 = 0 2 2

𝑦 = c1 𝑒 2𝑥 + 𝑐2 𝑒 𝑥 sin(𝑒 𝑥 ) − 𝑒 𝑥 cos(𝑒 𝑥 ) − 𝑒 2𝑥 𝑆𝑖(𝑒 𝑥 ) − 2𝑒 𝑥 𝐶𝑖(𝑒 𝑥 ) 𝑦𝑝 = 3 𝑦 = c1 𝑒 2𝑥 + 𝑐2 𝑒 𝑥 sin(𝑒 𝑥 ) − 𝑒 𝑥 cos(𝑒 𝑥 ) − 𝑒 2𝑥 𝑆𝑖(𝑒 𝑥 ) − 2𝑒 𝑥 𝐶𝑖(𝑒 𝑥 ) + 3

La solución general para 𝑎(𝑥)𝑦 ´´ + 𝑏(𝑥)𝑦 ´ + 𝑐(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥)se puede escribir como 𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝. Entonces hallo 𝑦ℎ Ahora hallo 𝑦𝑝 que satisfaga 3𝑦 = sin( 𝑒 𝑥 )

3 2

9

𝑦 ´´ + 2 𝑦 ´ +

R// La solución general 𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝 es

EJERCICIOS 3 - ECUACIÓN DE CAUCHY - EULER. De acuerdo al texto anterior soluciona las siguientes Ecuaciones de Cauchy Euler (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del paso, debe indicando la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado) ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Leidy Castro

b. PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA b.

1 3 ´´´ 𝑥 𝑦 2

3 2

− 𝑥 2 𝑦 ´´ + 3𝑥𝑦 ´ − 3𝑦 = 0

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Forma original de la ecuación Nota: Se identifica que tiene la forma lineal de tercer orden

1 3 𝑟 3 𝑥 ((𝑥 ))´´´ − 𝑥 2 ((𝑥 𝑟 ))´´ + 3𝑥𝑦((𝑥 𝑟 ))´ − 3𝑥 𝑟 = 0 2 2

𝑥𝑟 (

𝑟 3 − 6𝑟 2 + 11𝑟 − 6 )=0 2 𝑟=1 𝑟=2 𝑟=3

𝑦 = 𝑐1𝑥 + 𝑐2𝑥 2 + 𝑐𝑥 3

Re escribo la ecuación con 𝑦 = 𝑥 𝑟

Simplifico la expresión 𝑟 3 −6𝑟 2 +11𝑟−6 ) 2

Resuelvo 𝑥 𝑟 (

=0

R// La solución general toma la forma:

PASO 4 PRESENTACIÓN DE APORTES A LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA PLANTEADO EJERCICIO 4. SITUACIÓN PROBLEMA A partir de la situación problema planteada el grupo debe realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden seleccionando la respuesta correcta de las 4 alternativas. Leidy Castro

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

𝑑2𝜃 + 10𝜃 = 0 𝑑𝑡 2

La ecuación del movimiento de un péndulo con longitud 1 𝑚 es

𝑑2 𝜃 𝑑𝑡 2

+ 10𝜃 = 0: Si para 𝑡 = 0 , 𝜃 =

0,2 𝑟𝑎𝑑 y la velocidad angular inicial

𝑑𝜃 𝑑𝑡

=1

𝑟𝑎𝑑 𝑠

, Al

determine 𝜃 en función de t para el movimiento se tiene 𝑟 2 +10=0

La ecuación asociada que tenemos con soluciones

r= +/−√10i

𝜃(𝑡) = 𝐶1 𝑠𝑒𝑛 ( √10 𝑡) + 𝐶2 cos(√10 𝑡) 𝜃 ´(𝑡) =

𝑑𝜃 = √10 𝐶1 𝑐𝑜𝑠 ( √10 𝑡) 𝑑𝑡 − √10 𝐶2 sen(√10 𝑡)

𝜃´´(𝑡) = 𝑑2 𝜃 𝑑𝑡2 = −10 𝐶1 𝑠𝑒𝑛 (√10 𝑡)

Solución homogénea con raíces imaginarias Derivamos la expresión para tener la velocidad angular Derivamos la expresión para tener la aceleración angular

− 10 𝐶2 cos(√10 𝑡)

𝜃𝑜 = 𝜃(0) = 𝐶1 𝑠𝑒𝑛 (√10 0) + 𝐶2 cos(√10 0)

Si tenemos el ángulo inicial 𝜃𝑜 para t =0

𝐶2 = 𝜃𝑜

𝜃´𝑜 = 𝜃´(0) = √10 𝐶1 cos(√10 0)

Si tenemos la velocidad angular inicial 𝜃𝑜 para t =0

− √10 𝐶2 𝑠𝑒𝑛 (√10 0)

𝜃´𝑜 = √10 𝐶1 1 𝐶1 = ( ) 𝜃´𝑜 √10

𝜃(𝑡) = (

1

√10

) 𝜃´𝑜 𝑠𝑒𝑛 (√10 𝑡) + 𝜃´𝑜 cos( √10 𝑡) 𝜃𝑜 = 0.2 𝑟𝑎𝑑 𝜃´𝑜 = 1

𝐶1 = (

1 1

√10 ( 𝑠 )

Sustituimos ambas contantes de la función de desplazamiento y tenemos que: Los parámetros iniciales son:

𝑟𝑎𝑑 𝑠

)∗1

𝑟𝑎𝑑 𝑠

= 0.31 𝑟𝑎𝑑

𝐶2 = 0.2 𝑟𝑎𝑑

𝜃(𝑡) = (0.31) 𝑠𝑒𝑛 (√10 ∗ 𝑡) + (0.2) cos(√10 ∗ 𝑡) Se utilizaron las condiciones iniciales y se obtuvo: 𝑏. 𝜃(𝑡) = 0,2 cos √10𝑡 +

1 √10

sin √10𝑡

R//

PASO 5 EJERCICIO 5. ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA SITUACIÓN PLANTEADA. Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada: Situación Se conecta en serie un resistor de 12 Ω, un capacitor de 0.1 F, un inductor de 2 H y una fuente de voltaje V = 20 V, formando un circuito RLC. Sí inicialmente se encuentra descargado el capacitor y no circula corriente por el circuito. Determinar las expresiones para la carga y la corriente:

EJERCICIO Y SOLUCIÓN PLANTEADA GUIA Solución planteada: La figura representa un edificio de dos pisos. Las masas de los pisos son 𝑚1 y 𝑚2 . Cada piso se apoya en seis columnas. Cuando el suelo se mueve horizontalmente debido a un temblor, los pisos también se mueven así, y las columnas actúan como resortes y se oponen a este movimiento. Las rigideces horizontales totales de cada conjunto de seis columnas son 𝑘1 y 𝑘2 . El movimiento horizontal del suelo es 𝑦. Para el caso en que las masas son idénticas (𝑚1 = 𝑚2 = 𝑚) y las rigideces son idénticas (𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘) obtenga un modelo de ecuación del edificio y encuentre su solución homogénea. Se tiene la siguiente situación:

OBSERVACIONES, ANEXOS, MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN PLANTEADA Datos del enunciado: R= 12 Ω C= 0.1 F L= 2 H V = 20 V La ecuación característica es 𝑟 2 + 6𝑟 + 5 = 0

(𝑟 + 1) (𝑟 + 5) = 0 Las raíces son entonces r1=−1 y r2=−5 la solución general es: 𝑞(𝑡) = 𝑐1𝑒 −𝑡 + 𝑐2𝑒 −5𝑡 La carga es 𝑄(𝑡) = 2 + 𝑐1𝑒 −𝑡 +𝑐2𝑒 −5𝑡 Derivando tenemos la corriente:

I(𝑡)=-𝑐1𝑒 −𝑡 + 𝑐2𝑒 −5𝑡 Obtenemos las ecuaciones dadas de usar las condiciones iniciales Q(0)=0 y I(0)=0 Para la que se plantean las siguientes ecuaciones diferenciales por tratarse de dos masas y teniendo en cuenta las Leyes de Newton: 𝑚𝑥1̈ + 2𝑘𝑥1 − 𝑘𝑥2 = 𝑘𝑦 𝑚𝑥2̈ − 𝑘𝑥1 + 𝑘𝑥2 = 0

𝑥2̈ + 𝛼𝑥1 − 𝛼𝑥2 = 0

(2)

Ahora sustituyendo 𝑥2̈ de la ecuación (2) y 𝑥2 de la ecuación (1) se obtiene: 2

𝑑 𝑥1 𝑑 𝑥1 𝑑 𝑦 + 3𝛼 2 + 𝛼 2 𝑥1 = 𝛼 2 𝑦 + 𝛼 2 4 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Esta es la ecuación deseada; cuyo polinomio característico es: 𝛽 4 + 3𝛼𝛽 2 + 𝛼 2 = 0. Como no hay ningún término en 𝛽 3 ni 𝛽, esta ecuación es cuadrática en 𝛽 2 y se puede usar la fórmula cuadrática: 𝛽2 =

−3𝛼 ± √9𝛼 2 − 4𝛼 2 −3 ± √5 =( )𝛼 2 2

Entonces, las raíces características son: 𝑘 𝛽 = ±0,618𝑖√ 𝑚

−5𝑐2 + 𝑐2 = −2 4𝑐2 = 2

𝑑4 𝑥1 𝑑2 𝑥1 𝑑2 𝑥2 𝑑2 𝑦 + 2𝛼 − 𝛼 = − 𝛼 𝑑𝑡 4 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2

2

De la segunda ecuación tenemos 𝑐1 − 5𝑐2 al usar

(1)

Ahora para tener una ecuación en términos sólo de 𝑥1 se diferencia la ecuación (1) dos veces para obtener:

4

−𝑐1 − 5𝑐2 = 0

este resultado en la primera ecuación:

Dividiendo la ecuación entre 𝑚 y asumiendo 𝑘 𝛼 = 𝑚 el resultado es: 𝑥1̈ − 2𝛼𝑥1 + 𝛼𝑥2 = 𝛼𝑦

2 + 𝑐1 + 𝑐2 = 0

𝑐2 =

1 5 𝑦 𝑐1 = − 2 2

La carga sobre el capacitor es 5 2

1 2

𝑄(𝑡) = 2 − 𝑒 −𝑡 + 𝑒 −5𝑡 𝐶 La corriente que circula sobre el circuito está dada por: 5 5 𝐼(𝑡) = 𝑒 −𝑡 − 𝑒 −5𝑡 𝐴 2 2

𝑘 𝛽 = ±1,618𝑖√ 𝑚 Como estas raíces son imaginarias, la solución homogénea tiene la forma: 𝑚 𝑡 𝑘

𝑥1 (𝑡) = 𝐶1 sin 0,618√

𝑚 𝑡 𝑘 𝑚 + 𝐶3 sin 1,618√ 𝑡 𝑘 𝑚 + 𝐶4 cos 1,618√ 𝑡 𝑘 + 𝐶2 cos 0,618√

La solución frecuencias 𝑘 𝑚

0,618√

contiene en

y − 1,618√

oscilaciones radianes

con de

𝑘 𝑚

PASO 8 TABLA ENLACES VIDEOS EXPLICATIVOS Nombre Estudiante

Ejercicios sustentados

Leidy Tatiana Castro b de todos los tipos de ejercicios. Rodriguez Ecuación diferencial homogénea

Enlace video explicativo En proceso

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS  Cristigo92 (2014). Solución de ecuaciones diferenciales con raíces imaginarias en la auxiliar. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=ctFUnV2-b90  Khan Academy (2019). La ecuación de corriente y voltaje de un inductor en acción. Recuperado de https://es.khanacademy.org/science/electrical-engineering/ee-circuit-analysistopic/ee-natural-and-forced-response/a/wmc-inductor-in-action

 TareasPlus (2011). Solución ecuación diferencian de segundo orden. Recuperado de http://youtube.com/watch?v=H8DeLKy6c68

 MateFacil (2017). Ecuación diferencial de Cauchy Euler EJERCICIO RESUELTO. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=wrsnwGH_6UA&t=342s