• Author / Uploaded
• Kristian Rock Andree

Citation preview

Aplicaciones De Las Derivadas Parciales

[ 1 ] Las derivadas parciales tienen múltiples aplicaciones en muchas ramas de la ciencia; dentro de las aplicaciones matemáticas una de las más importantes es a máximos y mínimos. Como no todas las funciones de varias variables se pueden graficar solo se analizará si una función presenta extremos y/o puntos de ensilladura. Al igual que para funciones de una sola variable para determinar la presencia de extremos se deberá hallar primero los puntos críticos de la función (igualando la primera derivada a cero) para luego mediante criterios de derivadas determinar si existe máximo o mínimo (criterio de la Segunda Derivada). Para analizar funciones de varias variables se utilizaran los siguientes procesos: • Análisis del Hessiano, si la función es de dos variables. • Autovalores del Hessiano, si la función es de tres o más variables. Para funciones sujetas a restricciones se analizará de la misma forma pero creando una nueva funciones mediante el uso de los multiplicadores de Lagrange. Definición 1: Dada la función, los puntos donde todas las derivadas parciales de primer orden de la función son ceros o no existen se llaman puntos estacionarios o puntos críticos de la función. Puntos Críticos: Para determinar los puntos críticos que presenta una función de varios variables se debe formar un sistema de ecuaciones igualando todas las primeras derivadas de la función a cero. Ejemplo 1 Calcule el incremento aproximado del volumen de un pistón cilíndrico circular recto si su altura aumenta de 10 [cm] a 10,5[cm] y su radio aumenta de 5 [cm] a 5,3 [cm]. ¿Cuánto es el nuevo volumen aproximado? h:10 cm→10,5 cm r:5 cm→5,3 cm Sabemos que el volumen del cilindro circular recto viene dado por: V=πr2h Por lo tanto: dV=∂V∂rdr+∂V∂hdh dV=2πhrdr+πr2dh dV=πr2hdr+rdh dV=πr2h±0,3+r±0,5 dV=π5210±0,3+5±0,5=42,5π [cm]3 Vfinal=V+dV=292,5π [cm]3

Aplicaciones de las derivadas parciales en la economía.

[ 2 ] Magnitudes marginales En economía es frecuente referirse a la derivada de una magnitud añadiéndole a esta el calificativo “marginal”. Por ejemplo, si C(x, y) es una función de costes, donde x e y son las cantidades producidas de dos artículos, la derivada

∂C ∂x Es el coste marginal respecto de x, es decir, el (incremento del) coste que ocasionaría aumentar en una unidad la producción del primer artículo. Igualmente, si B(t) son beneficios de una empresa en un tiempo t, entonces el beneficio marginal es

dB dt Que se interpreta como el beneficio que se obtiene al pasar una unidad (marginal) de tiempo. Si U(x, y) es la utilidad que obtiene un consumidor al adquirir cantidades x e y de dos productos A y B, entonces la utilidad marginal respecto de y es la derivada

∂U ∂y Es decir, (el incremento de) la utilidad que obtendría el consumidor al gastar una unidad monetaria más en el producto B, etc. Es importante señalar que éstas y todas las interpretaciones particulares del adjetivo “marginal” en su uso en economía son casos particulares de la interpretación general de las derivadas parciales. A menudo se usa la palabra “acumulado” por oposición a “marginal”. Por ejemplo, si decimos que el beneficio acumulado por una empresa en un tiempo t (expresado en años) es

B (t)=50000 ln(1+ t)∈ Esto significa que en su primer año obtuvo B(1) = 34657 C, en los dos primeros años B(2) = 54930 C (con lo que el beneficio acumulado durante el segundo año únicamente fue de B(2)−B(1) = 20273 C, etc. Por otra parte, el beneficio marginal será

Bm (t)=

50000 ∈ 1+t año

Lo cual significa que la empresa comenzó acumulando beneficios a un ritmo de Bm(0) = 50000 C /año, pero al final de su primer año la tasa de incremento de los Beneficios se había reducido a Bm(1) = 25000 C /año, etc. Es frecuente que no se Especifique si una función corresponde a cantidades acumuladas o marginales, pues esto puede deducirse de las unidades: si nos hablan de unos beneficios de 5000t C hay que entender que son beneficios acumulados, pero si nos dicen 5000t C /año entonces han de ser beneficios marginales. En general, las unidades de una derivada

∂f ∂x

Son unidades de f/unidad de x. Por ejemplo, un coste marginal o una utilidad marginal se expresa en unidades monetarias/unidad de producto, etc.

Interpretación geométrica de la derivada parcial [ 3] Recordemos que la gráfica de superficie

. Si

, entonces el punto

sobre la superficie

. El plano vertical

superficie

en la curva

superficie

sobre el plano

(es decir,

Observe que la curva

está interseca a la

es la traza de la

. De manera semejante, el plano

vertical interseca a la superficie curvas pasan por el punto .

en la curva

La curva

de

en el punto

es la gráfica de la función

así que la pendiente de su tangente punto

. Ambas

es la gráfica de la función

manera que la pendiente de su recta tangente es

representa una

en el

es

Figura 1: derivada parcial en P respecto a x

Figura 1: derivada parcial en P respecto a y

Por consiguiente, las derivadas parciales y pueden interpretarse geométricamente como las pendientes de las rectas

tangentes a las curvas

y

en el punto

, respectivamente.

Ejemplo Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva que se obtiene de la intersección del paraboloide cuando

y el plano

,

.

En este caso la pendiente de la recta tangente está dada por

con lo cual, la recta es : punto

, pero pasa por el

y así

En la figura 1 se muestra la recta tangente

y

la parábola Las ecuaciones paramétricas de la recta tangente son:

La gráfica del paraboloide, la parábola y la recta tangente se muestran en la figura 2.

Figura 3: Tangente en P

Interpretación física de las derivadas parciales.

Figura 4: Tangente en P

Bibliografía [1] BUENAS TAREAS. (13 de Diciembre de 2010). Buenas Tareas. Obtenido de Buenas Tareas: http://www.buenastareas.com/ensayos/Ejemplos-DeDerivadas-Parciales-Aplicadas-a/1299587.html [2] F, W. M. (26 de Marzo de 2011). Cálculo Superior. Obtenido de Cálculo Superior: http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursoslinea/SUPERIOR/t3-DerivadaParcial/node2.html [3] Liern, V. (16 de OCTUBRE de 2001). UNIVERSDAD DE VALENCIA. Obtenido de UNIVERSDAD DE VALENCIA: http://www.uv.es/vbolos/docencia/mi/matematicas_para_la_economia_y_la_e mpresa.pdf [4] Gayé, J. B. (1998). Formalismo y Métodos de la Termodinamica . Barcelona: Editorial Reverté.