• Author / Uploaded
• luisa

• Categories
• Derivado
• Pendiente
• Ecuación diferencial parcial
• Línea (geometría)
• Tangente

Citation preview

Aplicaciones de las Derivadas Parciales Universidad Tecnológica de El Salvador

MARCO TEÓRICO:

Definición formal de Derivada Parcial: Las derivadas parciales están definidas como el límite donde Rn

subconjunto abierto de f

parcial de xi

variable

y

en el punto

f :U →R

U es un

una función. Definimos derivada

a=(a 1,. .. , an)∈U

con respecto a la i-ésima

como:

Cuando todas las derivadas parciales existen en el punto

a , la función no

necesariamente es continua en ese punto. Sin embargo, si todas las derivadas parciales existen alrededor de a y son continuas, entonces la función además de ser continua es diferenciable cuando tiende a f es una función

a . En este caso,

C1.

Concepto de Derivada Parcial:

f

Cuando

sea una función de dos variables “ x ” y “ y ”, y si hacemos

variar únicamente a donde

k

x , cuando

derivada en

x , resumiendo:

a , la derivada de

derivada parcial de

1

permanezca fija, en ejemplo

y=k ,

es una constas. Entonces vemos una función de una sola variable,

que en este caso sería

f x (a , k ).

y

f

a

con respecto a

x,k g( x)=f ¿ ). Cuando g tenga

en esta situación es denominada x

en

(a , k )

y se denota por

Aplicaciones de las Derivadas Parciales Universidad Tecnológica de El Salvador

Veamos:

f x (a , k )=g ’ (a)donde g( x)=f (x , k )

E1:

Por la definición de una derivada, tendríamos:

g ’( x ) =

lim

( g ( a+h )−g(a) ) h

h→0

Y, por lo tanto, la E1 (ecuación 1) se convierte en:

f x (a , k ) lim

E2:

h →0

f ( a+ h ,k )−f ( a , k ) h

Cuando la derivada parcial de f es con respecto a y en (a , k ), denotada por f y (a , k ) , se obtiene dejando x fija (x=a) y calculando la derivada ordinaria en k de la función

E3:

Al variar el punto dos variables.

E4:

2

g( y )=f (a , y)

f y (a , k )lim h →0

f ( a , k +h ) −f ( a , k ) h

(a , k ) , en E2 y E3, f y f se transforman en funciones de x y

Aplicaciones de las Derivadas Parciales Universidad Tecnológica de El Salvador

Si f es una función de dos variables, sus derivadas parciales son las funciones fx y fy definidas por:

f x (x , y ) lim

f ( x+ h , y ) −f ( x , y ) h

f y ( x , y) lim

f ( x , y+ h )−f ( x , y ) h

h →0

h→ 0

Aparte de estas notaciones que hemos visto, hay otras más para derivadas parciales. Por ejemplo, cambiando f x por f 1 o D1 f (para indicar derivación con respecto a la primera variable) o también podemos ver

∂ f /∂ x

para referirse a las derivadas parciales. Veamos mayor detalle en el siguiente cuadro:

f x ( x , y )=f x =

∂f ∂ ∂z = f ( x , y )= =f 1=D1 f =D x f ∂x ∂x ∂x

f y ( x , y ) =f y =

∂f ∂ ∂z = f ( x , y )= =f 2=D2 f =D y f ∂y ∂y ∂y

Para calcular derivadas parciales, todo lo que tenemos que hacer es recordar de la E1 que la derivada parcial con respecto a x , es precisamente la derivada ordinaria de la función conservar regla:

3

g

de una sola variable que obtenemos al

y fija. Entonces para calcular derivadas obtenemos la siguiente

Aplicaciones de las Derivadas Parciales Universidad Tecnológica de El Salvador

f x , considere y como constante y derive

1. Para hallar

f (x, y)

con

f (x , y )

con

constante y derivando con respecto a

x ,

x .

respecto a

f y , considere x como constante y derive

2. Para hallar

y .

respecto a

Ejemplo 1: Hallar y evaluar las derivadas parciales. Si

3

2

3

f ( x , y )=x + x y – 2 y

2

, encuentre

y

Solución: conservando

f x (3,2)

y f y (5,2)

tenemos:

f x (x , y )=3 x 2+ 2 x y3 f x ( 3, 2 )=3 ( 3 )2 +2 ( 3 ) ( 2 )2=27+24=51

Ahora, conservando

x

constante y derivando con respeto a

obtenemos: 2

2

f y ( x , y ) =3 x y −4 y 2

2

f y ( 5, 2 )=3 ( 5 ) ( 2 ) −4 ( 2 ) =300−8=292

Ejemplo 2: Hallar y evaluar las derivadas parciales.

4

y ,

Aplicaciones de las Derivadas Parciales Universidad Tecnológica de El Salvador

Si

f (x , y )=xe

x2y

, encuentre

fx

y

fx

, y evaluar cada una en el punto

(1, ln 2).

y

Solución: conservando

constante y derivando con respecto a

x ,

tenemos: f x (x , y )=xe x 2 y (2 xy )+e x 2 y f x ( 1, ln 2 )=eln 2 ( 2 ln2 ) +e ln 2=4 ln 2+2

Ahora, conservando

x

constante y derivando con respeto a

y ,

obtenemos: f y ( x , y ) =e ln 2 y ( x 2 )=x 3 e x 2 y f y ( 1, ln 2 )=e ln 2=2

Las derivadas parciales de una función de dos variables,

z=f (x , y ),

tienen

una interpretación geométrica que más adelante profundizamos, pero en este ejemplo; Si y= y 0 , entonces z=f (x , y 0) representan la curva intersección de la superficie

z=f ( x , y )

figura a continuación:

5

con el plano

y= y 0 , como se muestra en la

Aplicaciones de las Derivadas Parciales Universidad Tecnológica de El Salvador

Interpretación geométrica de las Derivadas Parciales: Cuando se trata de funciones de una sola variable, la derivada de

Y =f (x)

proporciona la pendiente de la recta tangente al grafico de

Y =f (x) .

misma manera, sí se tiene la función de dos variables

Z =f ( x , y),

De la la

derivada parcial da la pendiente de una recta tangente a la superficie Z =f ( x , y).

Cuando se tiene la función decir,

y=c ,

Z =f ( x , y)

y se considera a y constante, es

entonces la derivada parcial de Z respecto a x proporciona la

pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la superficie Z =f ( x , y) con el plano y=c . Por otra parte, si la que se considera constante es x, es decir,

x=c , entonces la derivada parcial de Z respecto a y

proporciona la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la superficie Z =f ( x , y) con el plano x=c .

Ilustración 1

6

Aplicaciones de las Derivadas Parciales Universidad Tecnológica de El Salvador

La derivada parcial de f respecto a x, evaluada en

(x 0, c ),

da la pendiente

de la recta tangente T1, en el punto P1.

O sea que:

La ecuación de la recta tangente T1 se puede escribir, entonces, de la siguiente manera:

Ilustración 2

7

Aplicaciones de las Derivadas Parciales Universidad Tecnológica de El Salvador

La derivada parcial de f respecto a y evaluada en

(c , y 0), da la pendiente de

la recta tangente T2, en el punto P2. Es decir:

La ecuación de la recta tangente T2 se puede escribir como:

Ejemplo: Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la superficie f (x , y )=4−x ²− y ³, con el plano y=1, en el punto (1, 1, 2)

Solución:

8

Aplicaciones de las Derivadas Parciales Universidad Tecnológica de El Salvador

f (x , y )=4−x ²− y ³

Ejemplo: Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la superficie Z =xy ²+ x ³ y , con el plano x=2 , en el punto (2, 1, 10). Solución: Z =xy ²+ x ³ y

Al evaluar en (2, 1), se tiene que la pendiente

s 2(2)(1)+2³=12

La ecuación de la recta tangente resulta ser:

Derivadas parciales de una función de tres o más variables:

El concepto de derivada parcial puede extenderse de manera natural a funciones de tres o más variables. Por ejemplo, si k =f ( x , y , z ), existen tres derivadas parciales. Para definir la derivada parcial de k con respecto a

9

x ,

Aplicaciones de las Derivadas Parciales Universidad Tecnológica de El Salvador

se consideran

y

z

y

constantes y se deriva con respecto a

hallar las derivadas parciales de z

k

con respecto a

y

x . Para

y con respecto a

se usa el mismo proceso.

f ( x +∆ x , y , z )−f ( x , y , z ) ∂k =f x ( x , y , z )= lim ∂x ∆x ∆ x →0

(

)

f ( x , y + ∆ y , z )−f (x , y , z) ∂k =f y ( x , y , z )= lim ∂y ∆y ∆ x →0

(

f ( x , y , z+ ∆ z )−f ( x , y , z) ∂k =f z ( x , y , z )= lim ∂z ∆z ∆x → 0

(

En general, si

k =f ( x 1 , x 2 … .. x n ),

hay

n

)

) derivadas parciales denotadas

por: ∂k =f ( x , x , … .. x n ) , c=1,2, … .. n ∂ x c xc 1 2

Ejemplo: Hallar las derivadas parciales. a) Para hallar la derivada parcial de z , se consideran

x y

y

f (x , y , z )=xy + y z2 + xz con respecto a

constantes y se obtiene:

∂ [ xy + y z 2+xz ]=2 yz + x ∂z

10

Aplicaciones de las Derivadas Parciales Universidad Tecnológica de El Salvador

b) Para hallar la derivada parcial de z , se consideran

x y

y

f ( x , y , z )=z sen ( x y2 +2 z )

con respecto a

constantes. Entonces, usando la regla del

producto, se obtiene: ∂ [ z sen ( x y 2 +2 z ) ]=( z ) ∂∂z [ sen ( x y 2 +2 z ) ]+ sen ( x y 2+2 z ) ∂∂z [ z ] ∂z ¿ ( z ) [ cos ( x y 2 +2 z ) ] (2)+ sen ( x y 2 +2 z ) ¿ 2 z cos ( x y 2+2 z ) + sen ( x y 2 +2 z ) c) Para calcular la derivada parcial de

k , se consideran

[

x ,

y

y

z

f (x , y , z , k )=(x + y + z )/w

con respecto a

constantes y se obtiene.

]

∂ x+ y+ z x + y + z = ∂k k k2

Derivadas parciales de orden superior:

Las derivadas parciales de la función

Z =f ( x , y)

pueden ser, a su vez,

derivadas y se obtienen, entonces, las derivadas parciales de 2º orden. La derivada parcial de

Si se tiene que

Z =f ( x , y),

de la siguiente manera:

11

fx con respecto a

y

se denota así:

las derivadas parciales de 2º orden se denotan

Aplicaciones de las Derivadas Parciales Universidad Tecnológica de El Salvador

Ejemplo: Para

f ( x , y )=7 x  – 3 x  y ³,+ y , encontrar todas las segundas

derivadas parciales. Solución:

Podemos observar que

fxy – fyx ;

esto se cumplirá siempre que las derivadas

parciales de segundo orden sean continuas.

12

Aplicaciones de las Derivadas Parciales Universidad Tecnológica de El Salvador

Ejemplo: Calcular las segundas derivadas parciales de

f ( x , y )=sen ( x ²+ y ²).

Solución:

Ejemplo: Para la función

f ( x , y )=cos x / y hallar

fxx fxy

Regla De La Cadena:

En varias ocasiones una función lo es de dos o más variables, las cuales a su vez dependen de una tercera variable. Para encontrar la razón de cambio de la función respecto a esta ultima variable, se utiliza la regla de la cadena. Por ejemplo, la producción de una fábrica depende del capital invertido y del tamaño de la fuerza de trabajo, pero ambos se modifican en el tiempo. Por esta razón, la producción depende, en última instancia, del tiempo.

13

Aplicaciones de las Derivadas Parciales Universidad Tecnológica de El Salvador

Si se tiene la función de dos variables

Z =f ( x , y),

son, su vez, funciones que dependen de la variable de

de tal manera que

x

y

t , entonces la derivada

z respecto a t se obtiene de la manera siguiente:

Ejemplo: Sí

Z =3 x 2−2 y 3 , donde

cadena para encontrar

x=t y =sen t , hacer uso de la regla de la

dz /dt .

Solución:

Ejemplo: dw /dt

Solución:

14

Sea

2

2

2

3

w=( ln x )cos( y z ), con x=t +1, y=e t , z=t .

Encontrar

Aplicaciones de las Derivadas Parciales Universidad Tecnológica de El Salvador

Ejemplo: Un supermercado vende café molido a x colones la libra y café granulado a y colones la libra. Actualmente la demanda mensual de café molido es:

D(x , y )=1600−6 x 4 /3 +10 y 3/ 2 Libras



Dentro de t meses, el supermercado venderá la libra de café molido a: x=26.55+0.15 √ t



y

Colones

el café granulado a: y=35.1+0.1 t

Colones

¿A qué ritmo estará cambiando la demanda del café molido dentro de 9 meses? Solución:

15

Aplicaciones de las Derivadas Parciales Universidad Tecnológica de El Salvador

Para

t=9

x=26.55+0.15 √ 9=27

se tiene

y=35.1+0.1(9)=36

Por lo tanto, al sustituir valores resulta:

Derivación Implícita:

Sea

F( x , y)=0

una ecuación que define a y como función implícita de

Al usar la regla de la cadena, para derivar

Al despejar resulta:

16

F

con respecto a

x.

x , se tiene:

Aplicaciones de las Derivadas Parciales Universidad Tecnológica de El Salvador

Si

F( x , y , z )=0

derivar F

define implícitamente a z

respecto a

x

como función de

(y constante)

De la misma manera:

Ejemplo: Si Solución:

17

y

e sen x+ 3 xy =1, Encontrar

dy /dx .

x

y

, al

Aplicaciones de las Derivadas Parciales Universidad Tecnológica de El Salvador

Ecuaciones diferenciales en Derivadas Parciales:

Ecuaciones lineales Veamos ecuaciones lineales en dos variables:

A

∂2 u ∂2 u ∂2 u ∂u ∂u + B +C +D +E + Fu=G 2 2 ∂ xdy ∂x ∂y ∂x ∂y

En donde

A ,B,C,….G

son funciones de

x

y

y . Cuando

G( x , y )=0

, se dice que la ecuación es homogénea; contrariamente estamos con ecuaciones no homogéneas.

Solución por integración

Cuando se integra una derivada parcial aparece una función arbitraria en lugar de una constante de integración. Por ejemplo, la solución de u=f ( y ) ,

donde

f

∂u =0 ∂x

es

es una función diferenciable (admite derivadas

parciales en cualquier dirección y puede aproximarse al menos hasta primer orden por una aplicación afín).

Ejemplo: Resolver:

18

∂ u2 − y 2=e x 2 ∂x

Aplicaciones de las Derivadas Parciales Universidad Tecnológica de El Salvador

Solución: resolvemos la ecuación como lo haríamos para una ecuación diferencial no homogénea lineal de segundo orden, esto es, primero resolver en este caso: ∂ u2 2 − y =0 2 ∂x Tratando a y como constante, tenemos que: uc =f ( y ) e xy+ g ( y ) e−xy Para encontrar una solución particular usamos coeficientes indeterminados y suponemos que: u p= A ( y)e

x

Sustituyendo esta última función en la ecuación dada, resulta: x

2

x

A e − y A e =e

Y por tanto, xy

x

A ( y )=1/(1− y 2).

u=f ( y ) e + g ( y ) e

−xy

+

Luego, una solución de la ecuación es:

ex 2 1− y

Separación de variables

En derivadas parciales lineal homogénea, es posible obtener soluciones particulares en forma de producto. u ( x , y )= X ( x ) Y ( y )

El uso del producto, llamado método de separación de variables, permite reducir la ecuación diferencial en derivadas parciales a varias ecuaciones diferenciales ordinaria. Con este propósito, hacemos notar que:

19

Aplicaciones de las Derivadas Parciales Universidad Tecnológica de El Salvador

∂u ∂u ' =X Y , =XY ' ∂y ∂y Y ∂2 u ∂2u '' =X Y , 2 =XY ' ' ∂ x2 ∂y

En donde las primeras indican diferenciales

ordinarias. Ejemplo: Hallar soluciones en forma de producto de la ecuación:

Solución: Si u= X (x)Y ( y ), entonces se transforma en:

Después de dividir ambos miembros entre

4 XY , se logra separar las

variables:

Puesto que el lado izquierdo de esta ecuación es independiente de y idéntico a lado derecho, el cual es independiente de

y

es

x , concluimos que

ambos miembros deben ser iguales a una constante. En la práctica en conveniente

escribir

esta

constante

Distinguimos los casos siguientes.

20

real

como

2

2

λ , o bien como−λ .

Aplicaciones de las Derivadas Parciales Universidad Tecnológica de El Salvador

Principios de superposición. Si

u 1, u 2 … .u k ,

son soluciones de ecuación diferencial parcial lineal

homogénea, entonces la combinación lineal

21

Aplicaciones de las Derivadas Parciales Universidad Tecnológica de El Salvador

U=c1 u1 +c 2 u 2+ ….+ c k u k ,

Donde

c i , i=1,2, …. , k son

los

constantes,

también es una solución. Al tener un conjunto infinito

u 1,u 2, u 3 …. De soluciones de una función lineal

homogénea, aun se tiene otra solución u formando la serie infinita. ∞

u=∑ uk k=1

Aplicaciones más comunes de las Derivadas Parciales:

Productividad Marginal

La productividad de cierto artículo que fabrica una empresa se relaciona principalmente con dos factores: el monto del capital invertido y la mano de obra empleada en la fabricación del artículo.

Sean:

Q

la producción total del artículo (número de unidades/unidad de

K

el monto del capital invertido en la planta productiva ($).

L

el número de unidades de mano de obra (en horas-hombre o en $

tiempo).

por salarios pagados). Se establece entonces una función de dos variables: función de producción, donde

K

y

L

Q(K , L) ,

llamada

son los insumos de producción,

Q ( K ; L)  8 L  4 K  3LK  L2  2 K 2

como por ejemplo: Productividad marginal del capital: Es la derivada parcial de K

respecto a

22

, es decir

Q K

Q con

, y significa el incremento en la producción

Aplicaciones de las Derivadas Parciales Universidad Tecnológica de El Salvador

debido, al incremento de una unidad de capital invertido en la planta productiva, manteniendo fija la inversión en mano de obra. Productividad marginal de la mano de obra: Es la derivada parcial de

Q

Q L

con respecto a L, , y significa el incremento en la producción debido al incremento de una unidad de mano de obra, manteniendo fija la inversión del capital de la planta productiva.

Q( K ; L )  8L  4 K  3LK  L2  2 K 2

Ejemplo:

Para

la

función

,

calcular las productividades marginales del capital y de la mano de obra para L=3 y K=5.

Solución: Q  4  3L  4 K  4  3(3)  4(5)  4  9  20  7 K

unidades / unidad adicional de capital. Q  8  3K  2 L  8  3(5)  2(3)  8  15  6  17 L

unidades / unidad adicional de mano de obra.

Función de producción de Cobb Douglass: Es una función de la forma Q( K , L)  cLa K b

, donde a, b y c son constantes positivas y se cumple que:

a b 1

Q( K , L)  30 K 0.6 L0.4

Ejemplo:

, calcular las productividades marginales del capital y de la mano de obra para L=35 y K=220 . Solución:  L0.4  Q  L  30 L0.4 (0.6) K 0.4  18 L0.4 K 0.4  18  0.4  18   K  K  K 

23

0.4

35    18   220 

0.4

 8.63

Aplicaciones de las Derivadas Parciales Universidad Tecnológica de El Salvador

unidades / unidad adicional de capital.  K 0.6 Q  K  30k 0.6 (0.4) L0.6  12 K 0.6 L0.6  12  0.6   12   L L  L  

0.6

 220   12  35  

0.6

 36.16

unidades / unidad adicional de mano de obra.

Demandas marginales

Ciertos productos en el mercado se relacionan entre sí, de tal manera que al variar el precio de uno de ellos se afecta la demanda del otro. p1

Sean

p2

x1

,

los precios unitarios de los artículos y x1  f ( p1 , p2 )

x2

,

sus demandas

x2  f ( p1 , p2 )

respectivas. Entonces y son sus ecuaciones de demanda. De estas ecuaciones se pueden obtener cuatro derivadas parciales: x1 p1

,

x1 p2

x2 p1

,

x2 p2

,

.

Demanda marginal del artículo 1, con respecto a su precio: Es la derivada x1 p1

parcial

.

Demanda marginal del artículo 1, con respecto al precio del 2: Es la x1 p2

derivada parcial

.

Las definiciones son similares para las otras dos derivadas parciales.

x1 p1

x2 p2

En lo general las derivadas parciales y son negativas, porque al aumentar su precio disminuye su demanda. Sin embargo las derivadas 24

Aplicaciones de las Derivadas Parciales Universidad Tecnológica de El Salvador x1 p2

x2 p1

parciales y , que se llaman demandas marginales cruzadas, pueden ser positivas o negativas dependiendo de la interacción de los productos. Por ejemplo al aumentar el precio de la carne de cerdo, sin cambiar el precio de la carne de res, la demanda de carne de cerdo baja y se incrementa la demanda de la carne de res. Así mismo si se incrementa el precio de la carne de res, sin cambiar el precio de la carne de cerdo, la demanda de carne de res baja y se x1 0 p2

x2 0 p1

incrementa la demanda de la carne de cerdo; aquí y . Sin embargo, por ejemplo, al aumentar el precio de las cámaras fotográficas (no digitales), la demanda de película fotográfica baja y viceversa; aquí las dos x1 0 p2

derivadas parciales son negativas, es decir

x2 0 p1

y

.

x1 0 p2

x2 0 p1

Artículos competitivos o sustitutos: Cuando

x1 0 p2

Artículos complementarios: Cuando

y

.

x2 0 p1

y

.

Ejemplo: Calcular las demandas marginales cruzadas para las siguientes x1  140  3 p1  0.4 p2

ecuaciones de demanda de dos productos del mercado:

y

x2  210  4 p1  0.3 p2

. A continuación decir si se trata de productos competitivos o complementarios.

x1  0.4  0 p2

x2  4  0 p1

Solución: y . Puesto que ambas derivadas son negativas, se trata de productos complementarios.

25

Aplicaciones de las Derivadas Parciales Universidad Tecnológica de El Salvador

OBJETIVOS:

Específicos:

1. Conocer la Definición de Derivadas Parciales y sus aplicaciones en entornos de la vida cotidiana con énfasis en matemáticas de Ingeniería. 2. Facilitar la utilización de Derivadas Parciales en problemas matemáticos de más de una variable para problemas de Ingeniería. Generales:

1. Comprender el uso general de las Derivadas Parciales y su forma de aplicación en procesos matemáticos con funciones cambiantes de más de una variable, ya sean problemas lineales o no-lineales de Ingeniería.

26

Aplicaciones de las Derivadas Parciales Universidad Tecnológica de El Salvador

2. Determinar y entender el uso del concepto básico de Derivadas Parciales y su utilización como herramienta facilitadora en la solución de problemas que requieren un nivel matemático en el que se involucran funciones de más de una variable con procesos especiales en las que también se pueden manejar con constantes.

INTRODUCCIÓN:

El siguiente trabajo bibliográfico reúne una muestra general de la Definición de Derivadas Parciales, su aplicación, su Interpretación Geométrica y la alusión del uso de Derivadas Parciales de una función de dos, tres o “n” variables en algunos casos matemáticos de ingeniería. Las Derivadas Parciales son utilizadas en ingeniería para determinar la velocidad o el ritmo de cambio de una función de varias variables respecto a una de sus variables independientes, es decir, la derivada de una función de dos variables, mide la rapidez de cambio de una de ellas llamada “variable dependiente” en relación con la denominada “variable independiente”. Podemos adelantara que las derivadas parciales son útiles para al análisis real multi-variable de vectores en dos o más dimensiones (calculo vectorial). y geometría con los números reales, los vectores, sus funciones, además de los números complejos; que en este trabajo preferimos no tocar (geometría diferencial).

27

Aplicaciones de las Derivadas Parciales Universidad Tecnológica de El Salvador

Para resolver problema de Derivadas Parciales utilizaremos las técnicas básicas de Derivación, técnicas algebraicas y otros mecanismos matemáticos que facilitan la resolución de cualquier ejercicio, sin mencionar que se tendrán que hacer recordatorios de matemática iniciales. Para el mejor desempeño en la realización de este tipo de problemas se recomienda practicar constantemente con ejercicios aumentando gradualmente la dificultad y realizar.

CONCLUSIÓN:

Las Aplicaciones de las Derivadas Parciales se extienden en el mundo de las matemáticas, tomando gran importancia y aprecio en la resolución de problemas complejos de ingeniería y otras ramas de la ciencia; ya que han venido facilitando el proceso a través de los tiempos que incluyen procesos muy comunes como el cálculo y la geométrica en diversas formas. Concluimos resumiendo que: las funciones con varias variables tienen también derivadas. Sea z=f ( x , y ), es decir, z es función de x y y . Si se mantiene constante temporalmente, z es una función de x , con lo que al diferenciar se obtiene la derivada parcial ∂ z /∂ x=∂ f /∂ x ; o de la misma

28

Aplicaciones de las Derivadas Parciales Universidad Tecnológica de El Salvador

manera, si se toma la x como constante y se diferencia con respecto de y se obtiene δz /δy=∂ f /∂ y . Las derivadas parciales se pueden calcular para funciones con más de dos variables, considerando que todas las variables (menos una) son constantes y derivando con respecto a ésta. Utilizando este procedimiento es posible calcular derivadas parciales de orden superior. Por ejemplo, si

z=x 2−xy +3 y 2

se tiene que

∂ z /∂ y =−x +6 y . Geométricamente, una ecuación

∂ z /δx=2 x− y

z=f ( x , y )

superficie en un espacio tridimensional; si los ejes x y y y el eje z es vertical, entonces ∂ z /∂ x y ∂ z /∂ y gradientes de dicha superficie en el punto x

y

y que

define una

son horizontales representan los

( x , y , z) en la dirección de los ejes

y , respectivamente.

Recordemos que las derivadas parciales son importantes en las matemáticas aplicadas, pues existen funciones que dependen de diversas variables, como el espacio y el tiempo; que con el uso de otras herramientas matematices complicarían el proceso dificultando el obtener respuestas concretas y útiles para aplicaciones además de académicas, laborales o experimentales.

BIBLIOGRAFÍA:

Libros. 

29

Titulo: Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones. Autor: Dennis G. Zill. Edición: Segunda. Páginas Nº: 428 – 445

Aplicaciones de las Derivadas Parciales Universidad Tecnológica de El Salvador



Titulo: Matemática 2 Ciencias Económicas y Administración. Autor: Raúl Aguilar Liborio. Edición: Primera. Paginas Nº: 101-117



Titulo: Cálculo Trascendentes Tempranas. Autor: James Stewart. Edición: Cuarta. Paginas Nº: 895-900



Titulo: Calculo II de varias variables. Autor: Ron Larson, Robert P. Hostetler y Bruce H. Edwards. Edición: Octava. Paginas Nº: 906-910

Documentos Pdf. de internet. 

Tema: Diferenciación de funciones de varias variables Distribuido por: Análisis Matemático II. Curso 2008/2009. Diplomatura en Estadística/Ing. Tec. en Inf. de Gestión. Universidad de Jaén Paginas Nº: 1-12

Sitios web de internet. 

CIDSE (Centro de Investigación y Desarrollo de Software Educativo) URL: http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/t3DerivadaParcial/node1.html Autor: Walter Mora F y Geovanni Figueroa M. Tema: Cálculo Superior, Derivadas Parciales.

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES.

ÍNDICE:

Contenido Marco Teórico. 30

Página s 1-22

Aplicaciones de las Derivadas Parciales Universidad Tecnológica de El Salvador

Definición formal de derivada parcial. Concepto de Derivada Parcial. Interpretación geométrica de las derivadas parciales. Derivadas parciales de una función de tres o más variables. Derivadas parciales de orden superior. Regla de la cadena. Derivación implícita. Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Aplicaciones más comunes de derivadas parciales.

1 1- 4 5-7 7-9 9-11 11-13 14-15 15-19 19-22

Objetivos. Introducción. Conclusión. Bibliografía.

23 24 25 26

FACULTAD DE INFORMÁTICA Y CIENCIAS APLICADAS

TEMA: Aplicaciones de las Derivadas Parciales

MATERIA: 31

Aplicaciones de las Derivadas Parciales Universidad Tecnológica de El Salvador

Matemáticas IV

Nota del autor: usar con confidencialidad.

32