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UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCO ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

Calculo II

UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCO APLICACIÓN DEL CALCULO INTEGRAL EN LA INGENIERIA CIVIL

Docente :

Ignacio Velázquez Hacha

Carrera :

Ingeniería Civil

Curso

:

Calculo ll

Alumno

:

Luis Mario Quispe Chacón

Código

:

014100116-F

LUIS MARIO QUISPE CHACON Cód.: 014100116-F

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Calculo II

Cusco – Perú

ÍNDICE 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Introducción Objetivos Marco teórico Aplicaciones de mínimos y máximos Aplicaciones en la ingeniería Planteamiento del problema Conclusiones Bibliografía

INTRODUCCION En este documento se presentan los resultados de una investigación realizada con la finalidad de encontrar la utilidad del cálculo integral en la carrera de ingeniería civil. Se partió de la hipótesis de que “el cálculo integral es muy poco utilizado en la carrera”, siguiendo con una investigación documental sobre las aplicaciones a LUIS MARIO QUISPE CHACON Cód.: 014100116-F

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diversas áreas de Ingeniería civil como el análisis estructural lo que llevó a un cambio de la hipótesis inicial por la siguiente: “El cálculo integral es una herramienta muy útil en la carrera de ingeniería civil”. La ingeniería es la profesión que aplica conocimientos y experiencias para que mediante diseños, modelos y técnicas se resuelvan problemas que afectan a la humanidad. Ingeniería es el arte de tomar una serie de decisiones importantes, dado un conjunto de datos incompletos e inexactos, con el fin de obtener para un cierto problema, de entre las posibles soluciones, aquella que funcione de manera más satisfactoria.

OBJETIVOS: 

Hacer de conocimiento general que el cálculo integral es de amplia aplicación en la carrera ya que con ella es que hacemos el análisis



estructural de cada obra que realizaremos. Reconocer y comprobar la aplicación de los fundamentos básicos de la ingeniería dentro del análisis de estructuras como subdiciplina de la ingeniería civil.

MARCO TEORICO LUIS MARIO QUISPE CHACON Cód.: 014100116-F

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Es común en todas las ramas de la ingeniería el uso del cálculo integral y diferencial, ya que su uso facilita la comprensión de fenómenos que necesitan una determinación numérica, ya sea para el cálculo de áreas, velocidades, resistencia y fuerzas distribuidas. La Ingeniería civil como rama de la ingeniería, también usa con frecuencia el cálculo, sin lugar a dudas para obtener un análisis estructural adecuado, que se considera una subdiciplina dentro de la ingeniería civil. Este proyecto pretende demostrar como esa disciplina usa los fundamentos del cálculo que aprendimos durante el curso de Cálculo integral y diferencial de una variable, además de su aplicación en el análisis de estructuras.

CALCULO INTEGRAL El cálculo integral se basa en el proceso inverso de la derivación, llamado integración. Dada una función f, se busca otra función F tal que su derivada es F' = f; F es la integral, primitiva o antiderivada de f, lo que se escribe F(x) = f(x)dx o simplemente F = f dx (esta notación se explica más adelante). Las tablas de derivadas se pueden utilizar para la integración: como la derivada de x2 es 2x, la integral de 2x es x2. Si F es la integral de f, la forma más general de la integral de f es F + c, en donde c es una constante cualquiera llamada constante de integración; esto es debido a que la derivada de una constante es 0 por lo que (F + c)' = F' + c' = f + 0 = f. Por ejemplo, 2xdx = x2 + c. Las reglas básicas de integración de funciones compuestas son similares a las de la diferenciación. La integral de la suma (o diferencia) es igual a la suma (o diferencia) de sus integrales, y lo mismo ocurre con la multiplicación por una constante. Así, la integral de x = ½·2x es ½x2, y de forma similar xm dx = xm+1/(m + 1) para cualquier m -1 (no se incluye el caso de m = -1 para evitar la división por 0; el logaritmo neperiano ln|x| es la integral de x-1 = 1/x para cualquier x 0). La integración suele ser más difícil que la diferenciación, pero muchas de las funciones más corrientes se pueden integrar utilizando éstas y otras reglas (ver la tabla).

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Una aplicación bien conocida de la integración es el cálculo de áreas. Sea A el área de la región delimitada por la curva de una función y = f(x) y por el eje x, para a x b. Para simplificar, se asume que f(x) 0 entre a y b. Para cada x a, sea L(x) el área de la región a la izquierda de la x, así es que hay que hallar A = L(b). Primero se deriva L(x). Si h es una pequeña variación en la x, la región por debajo de la curva entre x y x + h es aproximadamente un rectángulo de altura f(x) y anchura h (véase figura 3); el correspondiente incremento k = L(x + h) L(x) es por tanto, aproximadamente, f(x)h, por lo que k/h es, aproximadamente, f(x). Cuando h 0 estas aproximaciones tienden hacia los valores exactos, así es que k/h f(x) y por tanto L'(x) = f(x), es decir, L es la integral de f. Si se conoce una integral F de f entonces L = F + c para cierta constante c. Se sabe que L(a) = 0 (pues el área a la izquierda de la x es cero si x = a), con lo que c = -F(a) y por tanto L(x) = F(x) - F(a) para todas las x a. El área buscada, A = L(b) = F(b) - F(a), se escribe. Éste es el teorema fundamental del cálculo, que se cumple siempre que f sea continua entre a y b, y se tenga en cuenta que el área de las regiones por debajo del eje x es negativa, pues f(x) < 0. (Continuidad significa que f(x) f(x0) si x x0, de manera que f es una curva sin ninguna interrupción). El área es una integral definida de f que es un número, mientras que la integral indefinida f(x)dx es una función F(x) (en realidad, una familia de funciones F(x) + c). El símbolo (una S del siglo XVII) representa la suma de las áreas f(x)dx de un número infinito de rectángulos de altura f(x) y anchura infinitesimal dx; o mejor dicho, el límite de la suma de un número finito de rectángulos cuando sus anchuras tienden hacia 0.

APLICACIONES DE CALCULO INTEGRAL EN LA INGENIERÍA CIVIL LUIS MARIO QUISPE CHACON Cód.: 014100116-F

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El uso del cálculo integral en la ingeniería civil es muy amplio, sin embargo, en los últimos tiempos todo se ha ido mecanizando y la mayoría de aplicaciones del cálculo integral en la carrera de ingeniería civil se hace con software que nos simplifican mucho las cosas, pero que en algunas ocasiones no sabemos de dónde vienen. Por ello que resalto el empleo de cálculo integral en ingeniería civil ya que existe el método de doble integración para encontrar deflexiones en una viga, el cual indica que la doble integral de la ecuación de momento, o la triple integral de la ecuación de cortante te entregan las deflexiones e a lo largo de una viga, claro que a esa integral aún hay que dividirla entre la inercia del área transversal y el módulo de elasticidad del material, con esto se pueden determinar las áreas de vigas para obtener una deflexión “Y” en el punto “X”, y dimensionar el área o escoger el material que se empleara en la construcción del mismo. Con estas fórmulas se llega a la fórmula de las flechas máximas en vigas, cuando estas tienen cargas repartidas, pero si se requiere encontrar la deflexión en un punto “x” de la viga esta se obtiene por el método de doble integración. También varias cuestiones de análisis estructural provienen de integrales, como el esfuerzo, incluso la inercia y los momentos se pueden resolver por métodos que incluyen integrales.

FUNCIONES DE CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD El método de la integración, que se usa para deducir la ecuación de la elástica para una viga o un eje, es adecuado si la carga o el momento interno se pueden expresar como función continua en toda la longitud de la viga. Sin embargo, si sobre la viga actúan varias cargas distintas, el método se vuelve de aplicación más tediosa, porque se deben plantear distintas funciones de carga o de momento, para cada región de la viga además para para integrar más funciones se requiere la evaluación de constantes de integración usando condiciones de la frontera y/o condiciones de continuidad. Por ejemplo la viga requiere plantear cuatro funciones de momento, las cuales describen el momento en las regiones AB, BC, CD Y DE. Al aplicar la relación entre momentos y curvaturas, el d2v/dx2 =M, e integrar dos veces cada ecuación de momentos, se deben evaluar ochos constantes de integración, las cuales involucran el empleo de dos condiciones de la frontera que requieren que el desplazamiento sea cero en los punto A y E, más seis condiciones de continuidad, para pendiente y desplazamiento en los puntos B, C, D. LUIS MARIO QUISPE CHACON Cód.: 014100116-F

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SEA LA FORMULA A PARTIR DE LA CARGA DE LA VGA, w=w(x), o del momento interno de la viga, M= M(x). Si la ecuación de w se sustituye en EId4v/dx4 = -w(x), y se integra 4 veces, o bien si la ecuación de M se sustituye en EId2v/dx2 = -w(x), y se integra dos veces, se determinaran las constantes de integración solo a partir de las condiciones en la frontera. Como no intervendrán las ecuaciones de continuidad, el análisis se simplifica mucho.

MÉTODO DE DOBLE INTEGRACIÓN Es el más general para determinar deflexiones. Se puede usar para resolver casi cualquier combinación de cargas y condiciones de apoyo en vigas estáticamente determinadas e indeterminadas. Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y momento flector y obtener posteriormente las ecuaciones de la pendiente y deflexión de una viga por medio del cálculo integral. El método de doble integración produce ecuaciones para la pendiente la deflexión en toda la viga y permite la determinación directa del punto de máxima deflexión. Recordando la ecuación diferencial de la elástica:

Podemos entonces multiplicar ambos miembros de la ecuación por el módulo de rigidez e integrar respecto a ‘x’. Planteamos: El producto ‘E•I’ se conoce como la rigidez a flexión y en caso de que varíe a lo largo de la viga, como es el caso de una viga de sección transversal variable, debe expresarse en función de ‘x’ antes de integrar la ecuación diferencial. Sin embargo, para una viga prismática, que es el caso considerado, la rigidez a la flexión es constante. LUIS MARIO QUISPE CHACON Cód.: 014100116-F

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Donde ‘C1’ es una constante de integración que depende de las condiciones de frontera, como se explicará más adelante. Como la variación de las deflexiones es muy pequeña, es satisfactoria la aproximación:

De modo que con la expresión anterior se puede determinar la inclinación De la recta tangente a la curva de la elástica para cualquier longitud ‘x’ de la viga.

Integrando nuevamente en ambos lados de la expresión anterior tenemos:

Mediante esta expresión podemos conseguir la deflexión para cualquier distancia ‘x’ medida desde un extremo de la viga. El término ‘C2’ es una constante de integración que, al igual que ‘C1 ’, depende de las condiciones de frontera. Para poder establecer sus valores, deben conocerse la deflexión y/o el ángulo de deflexión en algún(os) punto(s) de la viga. Generalmente, es en los apoyos donde podemos recoger esta información. En el caso de vigas simplemente apoyadas y vigas empotradas en un extremo, por ejemplo, tenemos las siguientes condiciones:

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CALCULO DE LAS DEFORMACIONES POR EL METODO DE LA DOBLE INTEGRACION Las rotaciones θ y las deflexiones “y” de una viga pueden calcularse integrando las ecuaciones:

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Al llevar a cabo estas integraciones aparecen constantes de integración que deben determinarse a partir de las llamadas condiciones de frontera, que vienen siendo valores de las deformaciones que dependen de las condiciones de apoyo de la viga, y de condiciones de continuidad de la viga. Por ejemplo, en un comportamiento la rotación de la viga y su deflexión deben ser nulas; en un apoyo libre, pueden haber rotación pero no deflexión; en una viga simétrica en carga y geometría, la rotación al centro del claro debe ser nula. Las condiciones de continuidad se establecen considerando que la curva elástica debe ser continua, a menos que haya circunstancias especiales que permitan una discontinuidad en deflexión o rotación; por ejemplo, una articulación intermedia permite una discontinuidad en rotación. En fin, estas condiciones de frontera o de continuidad deben ser determinadas en cada caso particular. El trazo aproximado de la viga deformada o curva elástica resulta útil para hacer esta determinación. En cuanto al momento M que aparece en las ecuaciones anteriores y que como se ha dicho generalmente es una función de “x”, debe revisarse el intervalo de validez de las funciones. En los puntos de aplicación de cargas concentradas cambian las ecuaciones correspondientes al momento. El trazo de los diagramas de momento flexionante ayuda también para llevar a cabo esta revisión. CONVENCION DE SIGNOS En la figura se lustra la convención de signos, congruente con la convección para momento flexionante y con la deducción de las ecuaciones 3.17 y 3.18 de la sección anterior. Los momentos que se muestran en la figura 3.4-a son positivos y hacen que la viga se deforme con una concavidad hacia arriba. Los ejes de coordenadas indicados en la figura 3.4-b son positivos y coinciden con los de la figura 3.3-a. En el tramo de ,a viga A-B de la figura 3.4-b crecen los valores de “Y” y de “X”, poe ende tanto dy como dx son positivos. Por lo tanto las deflexiones “Y” serán positivas hacia arriba y las rotaciones θ serán positivas cuando el giro sea antihorario, según se muestra en la figura.

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PLANTEMAMIENTO DEL PROBLEMA

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CONCLUSIONES ● El cálculo integral es una herramienta indispensable en todas las ingenierías. ● El estudio de cálculo permite el desarrollo de una visión más amplia en los alumnos de ingeniería. LUIS MARIO QUISPE CHACON Cód.: 014100116-F

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● El cálculo integral sirve como herramienta para agilizar procesos de cálculos de deflexión en vigas y columnas para su posterior aplicación a problemas del mundo real. ● El Ingeniero civil debe tener la capacidad de análisis de problemas y las herramientas necesarias para resolverlos. ● La importancia de Ciencias Básicas son la base para poder interpretar, entender, modelar problemas reales. ● Tener bases sólidas de matemáticas, física y química entre otras materias permitirá un mejor desempeño como ingenieros. ● Es imprescindible conocer el cálculo para poder tener bases para resolver los futuros problemas que se presenten, ya sea dentro de la facultad o en el área laboral.

● El cálculo integral es necesario conocerlo para entender el cómo funcionan algunos software de computadora, los cuales calculan deflexiones de vigas y columnas.

● El ingeniero no debe quedarse simplemente con los conceptos teóricos aprendidos en clase, sino que también ampliarlos para encontrar aplicaciones en las cuales les pueda ser útil.

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Bibliografía blogspot. (marzo de 2007). Obtenido de blogspot: http://ricardovazcalculo.blogspot.com/ ingenierocivilinfo. (octubre de 2010). Obtenido de ingenierocivilinfo: http://www.ingenierocivilinfo.com/2010/10/propiedades-del-acero.html apuntesingenierocivil.blogspot. (marzo de 2011). Obtenido de apuntesingenierocivil.blogspot.: http://apuntesingenierocivil.blogspot.com/2011/03/limites-de-atterbergensayo-limite.html viceacad. (octubre de 2012). Obtenido de viceacad: http://www.ing.unal.edu.co/viceacad_/images/stories/viceacad/programas/t utorias/Ejercicios_Ing_Civil_-_2012-1.pdf Nash, W. (2007). Resistencia de materiales. Mexico D.F: Mc Graw-Hill. Singer, F. (2006). Resistencia de materiales. California: Harpes & Raw. young, S. T. (2003). Elementos de resistencia de materiales. Buenos Aires: Montaner y Simon.

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