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“AÑO DE LA LUCHA CONTRA LA CORRUPCIÓN E IMPUNIDAD” UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA AMZONÍA PERUANA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y NEGOCIOS

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CURSO: MATEMÁTICA IV

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DOCENTE: VICTOR LINARES

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NIVEL: 2°

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CICLO: 4°

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INTEGRANTES: G-1 1. 2. 3. 4.

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BARDALES GIL, ANA PAULA DÁVILA JIPA, DANIELA MARCEDES SULLON TORRES, ADRIANA LUCERO VASQUEZ ORBE, MARIA ALEJANDRA

TEMA: Ecuaciones Bernaulli. Aplicaciones a la economía. Ecuación soluble respecto a una variable. Ecuaciones de Clairaut. Ecuaciones Lineales de segundo orden.

IQUITOS-PERU 2019

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ÍNDICE 1.

Carátula...............................................................................................................1

2.

Índice...................................................................................................................2

3.

Dedicatoria..........................................................................................................3

4.

Agradecimiento...................................................................................................4

5.

Introducción........................................................................................................5

6.

Conceptos Previos...............................................................................................6

7.

Ecuación de Bernoulli..........................................................................................7

8.

Ecuación de Clairaut………………………………………………………………………………….…..11

9.

Conclusión…………………………………………………………………………………………………….16

10.

Webgrafía…………………………………………………………………………………………………....17

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DEDICATORIA Este trabajo se lo dedicamos a Dios y a nuestros Padres por el deseo de superación y amor que nos brindan cada día en que han sabido guiar nuestras vida por el sendero de la verdad a fin de poder honrar a nuestra familia con los conocimientos adquiridos, brindándonos el futuro de su esfuerzo y sacrificio por ofrecernos un mañana mejor.

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AGRADECIMIENTO Primero y antes que nada, dar gracias a Dios, por estar con nosotras en cada paso que damos, por fortalecer nuestro corazón e iluminar nuestra mente y por haber puesto en nuestro camino a aquellas personas que son nuestro soporte y compañía durante el periodo de estudio.

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INTRODUCCION Para aprender ecuaciones diferenciales o cualquier materia, es importante que te formes estructuras mentales mediante pasos definidos que te permitan mediante la repetición y/o otras técnicas de estudio llegar a dominar los temas aprendidos. Según el experto en aprendizaje acelerado Scott Young, en su videocurso Holistic Learning, la memoria a largo plazo se puede fácilmente activar mediante la utilización de metáforas}}, al relacionar por ejemplo fórmulas con imágenes exageradas del mundo real que nos sean fácil de recordar por su contenido chusco o exagerado. Un ejemplo sacado del curso: Learning how to learn de la Dra. Barbara Oakley, es el realcionar la popular fórmula de latexF=m∗a Donde se relacionan las letras de la fórmula con la imagen para recordarla, por ejemplo, el anglisismo: Flying Mule Adept (en inglés) contine las letras F, M y A, que conforman la fórmula: f=m∗a En nuestro trabajo, uno de los objetivos es estructurar la información en pasos (de hecho, utilizamos 4 pasos) para que la creación de estructuras mentales, mediante cualquier técnica de estudio (como las de crear metáforas) sea más asequible. En la siguiente metodología se incluyen fórmulas en los pasos que puedes recordar mediante la utilización de metáforas. Te lo dejo a tu imaginación, diviértete creándolas.

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CONCEPTOS PREVIOS En este trabajo nos moveremos entre términos tales como “ecuación diferencial” o “solución singular”, por lo que es conveniente realizar una definición previa de los mismos. Ecuación diferencial. Una ecuación diferencial es una ecuación en que involucra una función incógnita desconocida junto con sus derivadas. Según el tipo de derivadas se dividen en: · Ecuaciones diferenciales ordinarias: La incógnita es una función de una variable y = f(x). · Ecuaciones en derivadas parciales: Aquellas que contienen derivadas respectos a dos o más variables . Orden de una ecuación diferencial. Se llama orden de la ecuación al orden de la derivada más alta que aparece en la ecuación. . Tipos de soluciones. Una solución de una ecuación diferencial es una función que al reemplazar a la variable dependiente, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación. Hay tres tipos de soluciones: · Solución General: Una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes esenciales. Una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc. · Solución Particular: Un caso particular de la solución general, en donde la/s constante/s recibe un valor específico. · Solución Singular: Una función que verifica la ecuación, pero que no es un caso particular de la solución general.

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1. ECUACIÓN DE BERNOULLI 1.1. Definición Una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse en la forma. La ecuación diferencial de Bernoulli es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, formulada por Jacob Bernoulli. Esta ecuación fue transformada, por Gottfried Leibniz en 1693 y por Johann Bernoulli en 1697, en una ecuación diferencial lineal de primer orden, mediante la sustitución , que se caracteriza por adoptar la forma:

Donde y son funciones reales y continuas en un intervalo es una constante real diferente de y se conoce como ecuación de Bernoulli.

y

Observación: cuando , la ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación separable y cuando se trata de una ecuación lineal. 1.2. Teorema La ecuación de Bernoulli

se reduce a una ecuación lineal de primer orden haciendo la sustitución

.

Demostración: Al dividir la ecuación 1.12 por

, resulta (1.13)

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Usando la regla de la cadena, calculemos

a partir de la sustitución

Sustituyendo en la ecuación 1.13, esta se transforma en

la cual es una ecuación diferencial lineal de primer orden, como se quería. Ejemplo: Resuelva la ecuación

Solución :

Ésta es una ecuación de Bernoulli con

,

y

. Para

resolverla primero dividamos por

Ahora efectuemos la transformación ecuación se transforma en

. Puesto que

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, la

Simplificando obtenemos la ecuación lineal

Cuya solución es

y al sustituir

se obtiene la solución de la ecuación original

Observación: en esta solución no está incluida la solución durante el proceso de dividir por

, que se perdió

. Es decir, se trata de una solución singular.

Ejemplo: Compruebe que la ecuación diferencial

se transforma en una ecuación de Bernoulli al hacer Solución : Como

Sustituyendo obtenemos

la cual es una ecuación de Bernoulli.

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.

1.3. Metodología de 4 pasos para resolver ecuaciones diferenciales de Bernoulli I. Escribimos la forma estándar de una ED lineal y verificamos si es de Bernoulli, es decir que tenga la forma siguiente: dydx+P(x)y=f(x)yn II. Convertimos la ED de Bernoulli en una ED lineal mediante la sustitución: u=y1−n y despejamos y para encontrar mediante la regla de la cadena dydx, es decir, si: y(u(x)), entonces: dydx=dydu∗dudx. (OJO: el despeje de y se obtiene mediante elevar a u y y a una potencia cuyo valor esta dado por el recíproco del exponente actual, es decir, si: u=y1−n ⇒ y=u11−n). III. Sustituímos los valores obtenidos para dydx e y en la ecuación original y desarrollamos para buscar poner la nueva ED es la forma estándar de una ED lineal: dydx+P(x)y=f(x) IV. Resolvemos la ED que ahora es lineal, mediante los cuatro pasos usuales para resolver ED lineales.

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2. ECUACIÓN DE CLAIRAUT Esta ecuación llamada así en honor al matemático frances Alexis Clairaut quien fue el primero en estudiarla se resuelve mediante una sustitución simple p=dy/dx donde p es una función a encontrar para sustituir en la ecuación original y resolverla. Lo interesante de esta ecuación diferencial es que tiene una familia de soluciones (solución general) y una solución singular (solución que no pertenece a la familia de soluciones). Se plantea la solución a la ecuación general y se tiene un ejemplo resuelto de un caso particular una ecuación diferencial especial conocida como la ecuación diferencial de Clairaut. Esta ecuación es llamada así en honor al matemático francés Alexis Clairaut quien fue el primero en estudiar este tipo de ecuación diferencial, esta ecuación tiene la siguiente forma: y(x)= x(dy/dx)+f(dy/dx), podemos observar que en esta ecuación es una ecuación diferencial lineal. Para resolver esta ecuación realizaremos la siguiente sustitución, vamos a decir que p=dy/dx por lo que la ecuación de Clairaut adquiere la siguiente forma: y=xp+f(p), una vez tengamos expresada la ecuación en estos términos se procede a derivar a ambos lados de la ecuación con respecto a x, la derivada con respecto a x de la ecuación queda entonces como: dy/dx=x(dp/dx)+p+f’(p)(dp/dx), vemos que en esta ecuación volvemos a tener el término dy/dx y habíamos dicho que este término era igual a p, si volvemos a reemplazar la ecuación adquiere la siguiente forma: p= xp’+p+f’(p)p’, que es lo mismo que 0=xp’+f’(x)p’, si sacamos factor común a p’ tenemos:p’[x+f’(x)]=0. Si tenemos un producto que es igual a cero, cada uno de los factores puede ser igual a cero, entonces decimos que p’=0 ó que [x+f’(p)]=0, vemos que si p’=0, p necesariamente debe ser una constante c, es decir p=c debido a que si la derivada de p es igual a cero p necesariamente debe ser una constante. Teniendo en cuenta lo anterior vemos que si reemplazamos este resultado, obtenemos la solución general de la ecuación diferencial, entonces: y=cx+f(c). Cuando utilizamos la otra condición, es decir cuando [x+f’(p)]=0 obtenemos la solución particular de la ecuación diferencial, esta solución es diferente para cada problema ya que como se ve depende de la función de p, es decir depende de que valor adquiera f(p).

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Suponga que es una función real. Si tangente a la gráfica de la función en este punto está dada por

la recta

Observe que esta ecuación es una familia de curvas uniparamétricas con parámetro . Entonces podemos encontrar una ecuación diferencial cuya solución general sea esta familia de curvas. Si cerca de , entonces tangente como

y

tiene una inversa

y podemos reescribir la ecuación de la recta

La cual es la ecuación diferencial buscada. A este tipo de ecuaciones se les conoce como ecuaciones de Clairaut. 2.1.

Definición [Ecuación de Clairaut]

Una ecuación diferencial de primer orden escribirse en la forma

se conoce como ecuación de Clairaut . Donde continuamente diferenciable.

que puede

es una función

La ecuación de Clairaut, llamada así por su inventor, el físico francés AlexisClaude Clairaut, es una ecuación diferencial de la forma:

y = xy’ + g(y’) donde g(x) es una función continuamente diferenciable. El interés que presenta este tipo de ecuación se debe al hecho de que tiene como solución a una familia de rectas. Además, la envolvente, es decir, la curva cuyas tangentes están dadas por la familia, también es solución, en este caso una solución singular, de la ecuación de Clairaut. Ésta fue una de las primeras ocasiones en la historia en que este tipo de solución (la solución singular) se puso de relieve.

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2.2. Teorema[Solución de la ecuación de Clairaut] Una ecuación de Clairaut (1.18)

donde es una función derivable, tiene como solución general como solución singular

y

Demostración Para resolver la ecuación 1.18 hacemos la sustitución

para obtener

(1.19)

Derivando ambos lados respecto a

de donde obtenemos que

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Surgen dos casos Caso 1: Si , entonces

y sustituyendo en la ecuación 1.19 obtenemos la

solución general

.

Observe que la solución general se obtiene simplemente sustituyendo en la ecuación 1.18

por .

Cso 2: Si

, entonces

y sustituyendo en la ecuación 1.19

, es decir

Estas son las ecuaciones paramétricas de una curva donde es el parámetro. Observe que esta solución no es un caso particular de la solución general, por lo que se trata de una solución singular.

Ejemplo: Resuelva la ecuación diferencial

Solución: La solución general es la familia de rectas la solución singular está dada por

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y como

Observe que estas son las ecuaciones paramétricas de una círculo de radio 2, . En la figura 1.2 se muestra la familia de rectas tangentes y la envolvente

Figura 1.2: Envolvente

.

y rectas tangentes

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CONCLUSIÓN ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS EN LA ECONOMÍA

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El uso de las ecuaciones diferenciales facilita la modelización e interpretación de numerosos problemas económicos, como aquellos relacionados con la oferta y demanda, en problemas de índole financieros; también nos ayudan a determinar las condiciones de estabilidad dinámica en modelos microeconómicos de equilibrios de mercado o nos permiten, trazar la trayectoria de tiempo de crecimiento en diversas condiciones macroeconómicas, etc. Con ánimo de mostrar cómo los modelos basados en ecuaciones diferenciales son empleados hoy día en la investigación económica.

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WEBGRAFÍA Método de los 4 pasos para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden. https://ecuaciondiferencialejerciciosresueltos.com/ecuaciones-diferenciales-debernoulli https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuación_diferencial_de_Bernoulli https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursoslinea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap2-geo/node17.html http://www.ecuacionesdiferenciales.jcbmat.com/id228.htm http://www.ecuacionesdiferenciales.jcbmat.com/id228.htm https://www.academia.edu/34521000/Aplicaciones_a_la_econom%C3%ADa_de_l as_ecuaciones_infinitesimales_y_recurrentes.Universidad_Nacional_de_Educaci %C3%B3n_a_Distancia_Centro_Asociado_de_Tortosa_Tortosa_2014 Dennis G. Zill, Capítulo 2.5, Ejercicios 2.5, Problema 15

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ANEXOS 1.1 RESOLVER LA SIGUIENTE

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