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APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Escuela profesional de Ingeniería Civil

UNIVERSIDAD CIENTÍFICA DEL PERÚ - TARAPOTO Facultad de Ciencias e Ingeniería Escuela Profesional de Ingeniería Civil

CURSO

:

ECUACIONES DIFERENCIALES

PROFESOR

:

ING. LUIS ARMANDO CUZCO TRIGOZO

CICLO

:

V

TEMA

:

APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN LA SOLUCIÓN DE INGENIERÍA CIVIL

PROBLEMAS

DE

LA

INTEGRANTES: GONZALES TARRILLO LUIS MIGUEL CORDOVA CORDOVA ISIDRO MENDOZA RIVERA SALLY MAYLIN RIOS FLORES ANDREA

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INDICE

 Introducción …………………………………………………………… 3  Objetivos

…………………………………………………………… 4

 Flexión de una Viga en Voladizo …………………………………... 5  Estudio de una Viga en Voladizo ………………………………….. 8  Calculo Numérico......................................................................…. 12  Aproximación de Pequeñas Flexiones ……….………………….. 16  Límite de Pequeñas Flexiones ……………………………………. 17  Ejemplos …………………………………………………………….... 18  Conclusiones …………………………………………………………. 20  Recomendaciones …………………………………………………... 21  Bibliografía ……………………………………………………………. 22

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INTRODUCCIÓN Las ecuaciones diferenciales son una parte muy importante del análisis matemático y modelan innumerables procesos de la vida real. Una ecuación diferencial es una relación, válida en cierto intervalo, entre una variable y sus derivadas sucesivas. Su resolución permite estudiar las características de los sistemas que modelan y una misma ecuación puede describir procesos correspondientes a diversas disciplinas. Las ecuaciones diferenciales tienen numerosas aplicaciones a la ciencia y a la ingeniería, de modo que los esfuerzos de los científicos se dirigieron en un principio, a la búsqueda de métodos de resolución y de expresión de las soluciones en forma adecuada; de este modo, los primeros métodos de resolución fueron los algebraicos y los numéricos. Los primeros permiten expresar la solución en forma exacta, como y = f (x), una función de la variable independiente, y los segundos tienen como objetivo calcular valores que toma la solución en una serie de puntos. Al conjunto de estos valores se lo denomina cálculos numéricos. La estimación de los valores en puntos intermedios puede obtenerse por interpolación. La gran mayoría de las ecuaciones diferenciales no puede ser resuelta satisfactoriamente en forma exacta. Por otra parte, la implementación de técnicas numéricas eficientes requiere previamente el estudio cualitativo de las soluciones. Asimismo, los métodos numéricos, si bien son eficaces para aportar una solución aproximada de algún problema específico, no resultan adecuados para la discusión global del conjunto de todas las soluciones. Las ecuaciones diferenciales constituyen una mínima parte de los programas de cálculo en carreras de ingeniería, y su enseñanza se limita, en muchos casos, al marco algebraico. Numerosas investigaciones ponen de manifiesto que esta manera de enseñarlas no contribuye significativamente a la comprensión de estos objetos matemáticos y por ende se observa en los estudiantes una falta de motivación para su estudio. Este trabajo intenta mostrar, como aplicamos las ecuaciones diferenciales en solucionar problemas en la ingeniería civil, los alumnos de carreras de ingeniería por conocimientos básicos debe saber en que instantes usarlos y resolver las ecuaciones diferenciales dando resultados exactos y precisos.

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OBJETIVOS GENERALES: El objetivo de este informe es el proporcionar una introducción a las ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones para los estudiantes de ingeniería, ciencias y matemáticas.

ESPECIFICOS: Para alcanzar este propósito, se planteó los siguientes objetivos específicos: 1. Demostrar como las ecuaciones diferenciales pueden ser útiles en la solución de varios tipos de problemas y mostrar al estudiante como traducir un problema a una ecuación para facilitarlo y encontrar la respuesta al problema. 2. Motivar a los estudiantes de modo que se consiga un entendimiento de los temas y que se desarrolle un interés. 3. Proporcionar relativamente métodos de resolver ecuaciones diferenciales que pueden aplicarse a un grupo de problemas. 4. Proporcionar al estudiante que desee investigar métodos e ideas más avanzadas, o problemas y técnicas más complicados, una oportunidad para que lo haga. 5. Unificar la presentación a través de un enfoque ordenado y lógico, haciendo énfasis en conceptos generales y/o específicos.

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MARCO TEORICO

APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES EN INGENIERÍA CIVI Las ecuaciones diferenciales son muy interesantes en cuanto a la posibilidad que presentan para indagar sobre variedad de problemas de las ciencias físicas, biológicas y sociales. A partir de la formulación matemática de distintas situaciones se describen procesos reales aproximados. Dentro de los diversos campos de acción de la ingeniería civil, una de las múltiples aplicaciones de ecuaciones diferenciales está relacionada con el estudio de las flexiones, un ejemplo es: I.

FLEXION DE UNA VIGA EN VOLADIZO PARA PEQUEÑAS FLEXIONES:

Una viga o una barra delgada son sólidos homogéneos e isótropos cuya longitud es grande comparada con las dimensiones de su sección trasversal.

Cuando una viga flexiona debido a las fuerzas exteriores que se aplican, existen algunas partes de la viga que se acortan y hay otras zonas que se alargan. Pero hay una línea, denominada eje neutro, que no se acorta ni se alarga. Este eje se encuentra en el centro de gravedad de la sección trasversal. Se usará una barra empotrada de un determinado material, de longitud L, de anchura a y de espesor b. Se fijará uno de sus extremos y se aplicará una fuerza en su extremo libre. Mediremos el desplazamiento del extremo libre y (L) o flecha en función de la fuerza aplicada F, comprobando su relación de proporcionalidad, mientras que la flexión de la barra sea pequeña.

A continuación, examinaremos la teoría de la flexión de una viga en voladizo en detalle, calculando el desplazamiento de su extremo libre cuando se aplica una fuerza en dicho extremo que produce una flexión considerable.

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Este ejemplo, nos permite practicar con procedimientos numéricos aplicados al Cálculo de la raíz de una ecuación. Integral definida.

Supongamos que: La barra tiene una longitud L mucho mayor que las dimensiones de su sección trasversal, y que la deformación debida a su propio peso es despreciable. Que la sección de la barra no cambia cuando se dobla. Cuando el espesor de la barra es pequeño comparado con el radio de curvatura, la sección trasversal cambia muy poco. En estas condiciones es aplicable la ecuación de Euler-Bernoulli que relaciona el momento flector M de la fuerza aplicada y el radio de curvatura ρ de la barra deformada

El radio de curvatura de una función y(x) es

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Para pequeñas pendientes

𝑑𝑦

( ) 2 ≈ 0. Si despreciamos el peso de la 𝑑𝑥

propia barra, el momento de la fuerza F aplicada en el extremo libre, respecto del punto P (x, y) es 𝑀 = 𝐹 (𝑋𝑓 − 𝑥 ) ≈ 𝐹 (𝐿 − 𝑥 )

Que integramos dos veces con las siguientes condiciones iníciales x=0, y=0 𝑑𝑦 𝑑𝑥

= 0.

El desplazamiento Yf del extremo libre x=L es proporcional a la fuerza F aplicada

 Y es el módulo de Young del material.  I se denomina momento de inercia de la sección trasversal respecto de la fibra neutra

Se considera que la aproximación de pequeñas flexiones: el desplazamiento y del extremo libre de la barra, es proporcional a la fuerza F aplicada, produce resultados aceptables hasta un cierto valor del parámetro a dimensional α