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Fundación Universitaria Konrad Lorenz. Acosta, César. Integrales Múltiples

APLICACIONES DE LAS INTEGRALES MÚLTIPLES Acosta, César. [email protected] FUNDACIÓN UNIVERSITARIA KONRAD LORENZ

cca Resumen- Este documento está encaminado a la resolución de un problema extraído del libro de James Stewart 6ta edición sobre aplicaciones de integrales dobles {login1,login2, …}@xxx.yy.zz Nombre Institución

I.

Formulación del problema

Al estudiar la diseminación de una epidemia, se supone que la probabilidad de que un individuo infectado contagie la enfermedad a un individuo no infectado, es una función de la distancia entre ellos. Considere una ciudad circular de radio 10 millas en los que la población está distribuida normalmente. Para un individuo infectado en un punto fijo A(X0, Y0), suponga que la función de probabilidad esta dada por:

Donde d(P, A) denota la distancia entre P y A. a) Suponga que la exposición de la persona a la enfermedad es la suma de las probabilidades de adquirir la enfermedad de todos los miembros de la población. Suponga que las personas infectadas están distribuidas de manera uniforme por toda la ciudad, con K individuos infectados por milla cuadrada. Encuentra una integral doble que represente la exposición de la persona que reside en A. b) Evalúe la integral para el caso en el que A es el centro de la ciudad y para el caso en el que A se localiza en el borde de la ciudad. ¿Dónde preferiría vivir? Función de probabilidad para un individuo:

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II.

Desarrollo de la solución

a) Integral doble para una persona que reside en A, como se muestra en la figura 1

A r=10millas

Donde k es el número de individuos infectados.

En una milla cuadrada hay k individuos infectados. El radio del círculo se define como π . La ciudad tiene radio 10 millas.

Fig. 1

Por lo tanto hay 100kπ individuos infectados. Integral doble en coordenadas cartesianas para la exposición de una persona que reside en A.

Por conveniencia para resolver la integral convertimos los límites de integración a coordenadas polares. El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensionales en el cual cada punto o posición del plano se determina por un ángulo y una distancia. De manera más precisa, todo punto del plano corresponde a un par de coordenadas (r, θ) donde r es la distancia del punto al origen o polo y θ es el ángulo positivo en sentido antihorario medido desde el eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano). La distancia se conoce como la «coordenada radial» mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar».[1]

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Integral doble en coordenadas polares para la exposición de una persona que reside en A. En el centro de la ciudad.

Procedemos a la resolución de la integral doble:

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A en el borde de la ciudad como se observa en la figura 2 La ecuación general de la forma polar para la circunferencia es r=2cos . Para nuestro caso r=20cos

A

p r=10 millas

r

Fig. 2 Procedemos a desarrollar la integral doble:

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=

Al comparar el resultado de las dos integrales, la que evaluamos en el centro de la ciudad y la que evaluamos en el borde, vemos que en el centro tenemos un valor de: tenemos un valor de en la frontera de la ciudad.

, y en el borde

. Por lo tanto si me preguntan donde viviría, compraría mi apartamento

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REFERENCIAS

[1] http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares#C.C3.ADrculo

Cálculo multivariable / James Stewart