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UNIDAD 6 ANUALIDADES (Monto, renta, tiempo y tasa de interés) ANUALIDADES CIERTAS ORDINARIAS O VENCIDAS Conceptos generales acerca de anualidades Una anualidad es una serie de pagos periódicos liquidados a intervalos iguales de tiempo y generalmente del mismo monto, que se efectúan mientras persista cierta situación. En su origen, la palabra “anualidad” se restringía a pagos anuales, pero en la práctica se ha extendido hasta incluir pagos en periodos menores de un año, como por ejemplo los pagos semestrales, trimestrales, mensuales, etc. P= Valor Presente

R=$ Renta

R=$ Renta

R=Renta

R= $Renta

R= $ Renta

S=Monto

HOY 1 año

2

3

4

5

6

FECHA FOCAL

Clasificación general de las anualidades En términos generales, las anualidades pueden clasificarse en ciertas y contingentes. Las anualidades ciertas son aquellas en que los pagos son hechos periódicamente, independientemente de cualquier evento fortuito, como por ejemplo, pagos de rentas, hipotecas, abonos, etc. Las anualidades contingentes o eventuales son aquellas en las que los pagos dependen de la ocurrencia de alguna eventualidad; es decir, que interviene el elemento probabilidad para que se conserve cierta condición establecida, como por ejemplo los pagos que recibe un pensionado o el pago de las primas de un seguro de vida, que están condicionadas a la sobrevivencia de los sujetos. Clasificación de las anualidades ciertas a) Anualidades a plazo fijo, como por ejemplo los pagos efectuados en la compra de un coche. b) Rentas perpetuas, de duración ilimitada, como por ejemplo algunas rentas con fines filantrópicos. Definiciones importantes a) Renta: valor de cada pago periódico b) Renta anual: suma de todos los pagos hechos durante un año c) Plazo de la anualidad: tiempo que transcurre entre el comienzo del primer periodo de la renta y el final del último periódico d) Intervalo de pago o periodo: tiempo transcurrido entre cada pago sucesivo de una anualidad e) Tasa de una anualidad: tasa de interés para calcular el importe del pago correspondiente a un periodo de renta. Obsérvese que a menudo es de tipo nominal.

Subdivisión de las anualidades ciertas según la fecha de pago Las anualidades ciertas, según la fecha en la cual tiene lugar el pago, pueden dividirse en: a) Anualidades ordinarias o vencidas. Consisten en una serie de pagos periódicos, los cuales son efectuados al final de cada intervalo de pago. b) Anualidades anticipadas. Consisten en una seria de pagos periódicos, los cuales son efectuados al comienzo de cada intervalo. c) Anualidades diferidas. Consisten en una serie de pagos periódicos, los cuales son efectuados, no en el momento presente, sino en una fecha futura, es decir en forma diferida. d) Rentas perpetuas. Consisten en una seria de pagos periódicos que han de efectuarse en forma indefinida; esto es, que nunca se terminan de realizar los pagos. Monto de anualidades ciertas ordinarias a una tasa efectiva de interés El monto de una anualidad cierta ordinaria es el valor acumulado de una serie de pagos periódicos efectuados al final de cada intervalo de pago, cuya fecha de valuación se considera al término del plazo de la nulidad.

Calculo del monto (deducción de formula) Supongamos que se tiene una anualidad, de la cual se efectúan pagos periódicos de $1.00 (un peso), al final de cada uno de n periodos anuales, efectuados por una tasa de interés efectiva anual i. El monto de la anualidad al final del año n se denota por Sn i, y puede considerarse como una ecuación de valor, cuya fecha de valuación se efectúa al final del año n. El valor acumulado al final del año n del primer pago de $1.00 efectuado al final del primer año, es (1+ i)𝑛−1. El valor acumulado del segundo pago de $1.00 efectuado al final del segundo año es (1+ i)𝑛−2 .

Se continúa de la misma manera, hasta encontrar que el monto o valor acumulado del pago de $1.00 hecho al final del año n es solamente de $1.00 S=R[

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝑖

]

EJEMPLOS 1. Durante los próximos 4 años, una persona depositara $15 000.00, al final de cada año en una cuenta de

ahorro la cual paga el 8% anual efectivo. ¿Cuánto dinero tendrá en su cuenta inmediatamente después de haber hecho el cuarto depósito?

1er año S=$15,000 (1+.08)^3 = $18,895.68 2do año S= $15,000(1+.08)^2 = $17,496 3er año S= $15,000 (1+.08)^1 = $16200 4to año S = $15,000 Total= $67,591.68 o directamente con fórmula O de manera directa (1 + .08)4 − 1

S = 15000 [

.08

]= 67 591.68

2. Calcular en monto acumulado que se obtiene invirtiendo $2 500.00 al final de cada uno de los próximos diez años, si el dinero trabaja al 5% anual efectivo. (1 + .05)10 − 1

S = 2500 [

.05

]= 31 444.73

EJERCICIOS 1. Calcular el monto que tendrá una persona al final de 8 años, si se ha estado invirtiendo anualmente $25 000.00 a una tasa de interés efectiva del 8% anual. S= $265,915.69 2. Calcular el monto acumulado que se obtiene invirtiendo $40 000.00anuales durante 3 años, si el dinero trabaja al 5% anual efectivo. S= $126,100 Calculo de la renta anual Para determinar la renta que debe pagarse anualmente para acumula, al final de n años, cierta suma de dinero colocada a una tasa efectiva de interés, es necesario despejar el valor de la renta R de las formulas del monto: 1) S= R Sn i Al despejar R, 𝑆

R = 𝑆𝑛

𝑖 (1 + 𝑖)𝑛−1

2) S = R [

𝑖

Al despejar R,

]

𝑆𝑖

R = ( 1+𝑖)𝑛 −1

EJEMPLOS

1. Una persona desea acumular $30 000.00 dentro de cuatro años para adquirir una motocicleta. ¿Cuánto deberá depositar al final de cada año, si el banco le otorga un interés efectivo del 8%?

2. Determínese la renta anual necesaria para acumular $45 000.00 al final de 5 años, si la tasa efectiva de interés es del 12% anual.

EJERCICIOS 1. Una persona necesita acumular $22 500 dentro de tres años para saldar una deuda. ¿Cuánto deberá depositar al final de cada año en un banco que le otorga una tasa de interés efectiva del 6.5% anual? R=$7,032.95

2. Determine la renta anual necesaria para acumular $1 800.00 al final de 10 años, si la tasa efectiva es del 12% anual. R= $102.57 Calculo del tiempo Para determinar el número de años requeridos para que una renta anual acumule cierta cantidad a una tasa de interés anual, es necesario despejar el valor del tiempo n, de las formulas del monto:

𝑆𝑖

n=

log( 𝑅 +1) log(1 +𝑖)

EJEMPLOS 1. ¿Cuántos pagos anuales completos de $1 896.70 deben cubrirse con objeto de acumular al 6% anual la cantidad de $25 000.00?

2. El presidente de la Compañía “Z” desea crear un fondo de pensiones para sus empleados por un millón de pesos. Para ello autoriza el pago de $15 000.00 al fondo al final de cada año; si el fondo paga el 5% de interés, ¿Cuánto tiempo se necesitara para acumular un millón de pesos?

EJERCICIOS

1. ¿Cuántos pagos anuales completos de $4 041.00 deben hacerse para acumular $40 000.00 si el dinero se invierte a una tasa de interés del 6% anual efectiva? n= 8 pagos 2. ¿Por cuánto tiempo se necesitan invertir $2 500.00 anualmente a fin de acumular $25 000.00 si la tasa de interés es del 9% anual efectiva? n=7.45 años

Calculo de la tasa de interés

i=

S R

EJEMPLOS

1. ¿A qué tasa de interés anual efectiva deben invertirse $12 000.00 anuales con objeto de acumular un monto de $94 000.00 al finalizar 7 años?

4% es la tasa de interés más aproximado

2. Al final de cada año, y por un lapso de 10, se impusieron $40 000.00 con los que se formo un monto de $575 000.00. ¿A qué tasa efectiva se efectuó la operación?

la tasa más aproximada es 8% EJERCICIOS

1. ¿A qué tasa efectiva de interés se requiere invertir $1 000.00 anuales para acumular $11 463.88 al final de 10 años? i=3% 2. ¿Qué tasa de interés anual efectiva nos debe conceder un banco, para que mediante 5 pagos anuales de $18 000.00 acumulemos $100 000.00? i=5%