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UNIVERSIDAD DE CUENCA

FACULTAD DE CIENCIAS DE LA HOSPITALIDAD LICENCIATURA EN HOTELERÍA

SEGUNDO “A”

AUTORES:

Andrés Hurtado Jenny morocho Jessica Ordoñez

ASIGNATURA: Matemática Financiera

DOCENTE: ING. Juan Pablo Padilla

TEMA: Anualidades simples ciertas, Ordinarias e inmediatas

Cuenca, 25 de mayo de 2017

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ÍNDICE

INTRODUCCIÓN .................................................................................................................................. 3 OBJETIVOS ........................................................................................................................................... 4 OBJETIVO GENERAL ...................................................................................................................... 4 OBJETIVOS ESPECÍFICOS.............................................................................................................. 4 DESARROLLO ...................................................................................................................................... 4 GENERALIDADES ................................................................................................................... 4

1.

Anualidad ........................................................................................................................................ 4 Términos empleados cuando se trata de anualidades ...................................................................... 5 ANUALIDADES SIMPLES CIERTAS, ORDINARIAS E INMEDIATAS ............................. 5

2.

A)

CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE.............................................................................. 6

B)

CÁLCULO DEL VALOR FUTURO ................................................................................. 6

C)

CÁLCULO DE LA RENTA O ANUALIDAD .................................................................. 7

D)

CÁLCULO DEL TIEMPO O PLAZO DE UNA ANUALIDAD ....................................... 8

E) CALCULO DE LA TASA DE INTERES ................................................................................. 9 CONCLUSIONES ................................................................................................................................ 11 BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................................................. 11 ANEXOS .............................................................................................................................................. 12 3.

EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................................. 12

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INTRODUCCIÓN En matemáticas el concepto de anualidad es de gran importancia ya que es muy frecuente que las transacciones comerciales impliquen una serie de pagos hechos a intervalos iguales de tiempo, en vez de un pago final único, con base al interés compuesto. Aunque se llaman anualidades esto no significa que los pagos tengan que ser anualmente, pueden ser mensuales, semestrales, trimestrales o al tiempo que se plantea en la negociación. Dentro de esta investigación se abordará el tema de anualidades simples ciertas ordinarias e inmediatas conocidas también como anualidades vencidas, esto se debe a que la renta o el pago periódico se realiza al final de cada periodo. Durante el desarrollo se identificara las variables que integran la formula básica que permite dar solución a los diversos problemas que enfrentan las personas y empresas en el desarrollo de la actividad financiera cuando interviene este tipo de operaciones. Se resolverán problemas que tiene que ver con la determinación del valor futuro, cuando se conocen todas las demás variables, así como también para el cálculo del valor presente, que tenga que ver con la determinación del tiempo o plazo de una anualidad también cuando se necesita conocer la tasa de interés necesario para acumular cierta cantidad de dinero en un periodo

de

tiempo

dado

y

con

montos

de

pagos

fijos

establecidos.

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OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL Identificar, definir y explicar las anualidades simples, ciertas y ordinarias inmediatas.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS 

Interpretar planteamientos de anualidades de este tipo.



Resolver problemas con este tipo de anualidad y encontrar el valor futuro, valor presente, la tasa de interés, el tiempo de pago, según sea el caso.

DESARROLLO ANUALIDADES SIMPLES, CIERTAS, ORDINARIAS E INMEDIATAS 1. GENERALIDADES Anualidad Concepto: Las anualidades son una serie pagos iguales a intervalos de tiempo iguales. El término parece significar que los pagos se hacen anuales, esto no necesariamente tiene que ser así, pueden ser trimestrales, mensuales, quincenales, diarios, etc. En anualidades los pagos iguales significan pagos constantes.

Para considerarse anualidad deben cumplir las siguientes condiciones: a. Todos los pagos son de igual valor. b. Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo. c. Todos los pagos son llevados al principio o al final de la serie a la misma tasa. d. El número de pagos debe ser igual al número de periodos.

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Términos empleados cuando se trata de anualidades a) Renta: Es el nombre que se la da al pago periódico que se hace. b) Período de pago: Tiempo que transcurre entre un pago y otro.

Ilustración 1 Interpretación gráfica de periodo de pago

c) Plazo de una anualidad: Intervalo de tiempo que transcurre entre el inicio del primer periodo de pagos y el final del último.

Ilustración 2 Interpretación gráfica de plazo de una anualidad

d) Tasa de una anualidad: Es el tipo de interés fijado, puede ser nominal o efectiva.

2. ANUALIDADES SIMPLES CIERTAS, ORDINARIAS E INMEDIATAS 2.1 LAS ANUALIDADES SON

Simples: Cuando el periodo de pago coincide con el de capitalización de los intereses. Ciertas: Cuando se conoce la fecha inicial y terminal. Ordinarias: Cuando se paga al final del periodo Inmediatas: El primer pago se da al inicio o al fin de cada periodo.

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CONCEPTO: La renta o el pago periódico se realizan al final de cada periodo

Este tipo de anualidades es el más frecuente y por esto, cuando dice simplemente anualidad, se supone que se trata de una anualidad simple cierta ordinaria e inmediata. (Portus, 1997, p .144) Este tipo de anualidad también conocida como anualidad ordinaria o vencida.

SIMBOLOGÍA UTILIZADA A: Pago periódico de una anualidad o renta. i: Tasa efectiva por periodo de capitalización n: Número de periodos de pago F: Monto de una anualidad o su valor futuro. P: Valor actual o presente de una anualidad.

A) CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE Es aquella cantidad P de dinero con sus intereses compuestos que, en el tiempo de la anualidad, proporcionara un valor futuro equivalente al de la anualidad. FÓRMULA:

𝟏 − (𝟏 + 𝒊)−𝒏 𝑷=𝑨 𝒊 B) CÁLCULO DEL VALOR FUTURO Los pagos efectuados al final de cada periodo ganan interés compuesto, hasta la fecha final. Para calcular el valor futuro de una serie de pagos, el pago periódico, la tasa y el tiempo, utilizaremos la siguiente formula:

(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏 𝑭=𝑨 𝒊 EJEMPLO:

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Hallar el monto y el valor presente actual de una anualidad de $ 10 000 cada trimestre durante 5 años y 6 meses al 12% capitalizable trimestralmente. DATOS:

A= 10 000 n= 5 x 4 + 2 =22 trimestres 0,12 i= = 0,03 trimestral 4 F= ? VALOR FUTURO Para calcular el monto se aplica la formula

𝑭=𝑨

(𝟏+𝒊)𝒏 −𝟏 𝒊

Se toma como fecha focal el término de la anualidad y se aplica la formula indicada. 𝑭 = 10 000

(1 + 0.03)22 − 1 0,03

𝑭 = 10 000 R///

(10609) − 1 0,03

F= 305 367,80

(Los intereses crecen en función del tiempo y se acumulan al capital)

VALOR PRESENTE 𝟏 − (𝟏 + 𝒊)−𝒏 𝑷=𝑨 𝒊 1 − (1 + 0,03)−22 𝑃 = 10 000 0,03 𝑃 = 10 000 R//

1 − 0,521893 0,03

P= 159 369, 17

C) CÁLCULO DE LA RENTA O ANUALIDAD

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Es frecuente la necesidad de conocer el importe de pagos periódicos. Se pueden plantear dos problemas, según se conozca el valor futuro o el valor presente de acuerdo a como se plantee en el problema. EJEMPLO: Un comerciante vende herramientas en $65 000 precio de contado para promover sus ventas, idea el siguiente plan a plazos con cargo del 1% mensual de intereses. Cuota inicial de 12000 y el saldo en 18 abonos mensuales. ¿Cuál es el valor de las mensualidades? DATOS: P=65000 – 12000 = 53000 i = 1%= 0,01 n = 18 A=?

𝑷=𝑨

𝟏 − (𝟏 + 𝒊)−𝒏 𝒊

53000= A

1−(1+0,01)−18 0,01

53000 (0,01)= A ⌈1 − (1,01)−18 ⌉ 530=A (0,163982) 530 =𝐴 0,163982685 R// =A

3232,04

D) CÁLCULO DEL TIEMPO O PLAZO DE UNA ANUALIDAD Conocidos el valor futuro o el valor presente de una anualidad, la renta o anualidad y la tasa de interés, se puede calcular el tiempo o plazo de una anualidad. EJEMPLO:

¿Cuántos pagos semestrales de $600 deberán hacerse para cancelar una deuda de $4500 al 7% de interés capitalizable semestralmente? DATOS: En este caso utilizaremos la fórmula del valor presente reemplazando los datos para despejarla y encontrar los pagos semestrales.

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A=600

𝑷=𝑨

P=4500 i = 7% / 2 = 0,035 semestres

𝟏 − (𝟏 − 𝒊)−𝒏 𝒊

4500 = 600

n=?

1 − (1 − 0,035)−𝑛 0,035

0,035(4500)=600 [1 − (1,035)−𝑛 ] 157,5 600

-1= −1,035−𝑛

-0,7375= −1,035−𝑛

se eliminan los signos

Log 0,7375= - n Log 1,035 Log 0,7375 Log 1,035

=-n

-8,851= - n Entonces

se eliminan los signos

n= 8,851 R//

E) CALCULO DE LA TASA DE INTERES El cálculo de la tasa de interés por periodos de pago (i) se puede calcular de dos modos; a partir de la fórmula del valor futuro (F) o a partir de la fórmula del valor presente (P) en una anualidad en el cual se conozcan las demás variables renta o anualidad (A) y plazo de una anualidad(n). EJEMPLO:

Cierta maquina se puede comprar $4590 al contado o $450 de cuota inicial y 18 cuotas mensuales de $280 c/u. Calcular la tasa nominal de interés cargado. DATOS: 𝑷=𝑨

P=4590-450=4140 n =18

𝟏 − (𝟏 − 𝒊)−𝒏 𝒊

4140 = 280

A= 280

4140

i =?

280

=

[1−(1+𝑖)−18 ] 𝑖

1−(1+𝑖)−18

14,785=

𝑖 1−(1+𝑖)−18 𝑖

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Para encontrar la tasa de interés (i) utilizaremos tanteo. TANTEO 1% 2,2%

1 − (1 + 𝑖)−18 𝑖

16,39 14,73

1 − (1 + 0,022)−18 0,022 14,73 R//

se busca un aproximado

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CONCLUSIONES Andrés: Es de vital importancia el conocimiento sobre éste tema, ya que cualquier persona en algún momento de su vida ya sea al comprar una casa, o un auto, o la renta de algún bien inmueble, tendrá que pagar algún tipo de anualidad; por ello es conveniente para los intereses personales el conocer cómo es que se determinan, y de esta manera no estar sujetos a engaños por parte de la empresa o la persona que reciba el dinero de esas anualidades. Jenny: Las anualidades constituyen un eje transversal en el campo financiero ya que hay un sinnúmero de transacciones que requieres calcular plazos o pagos de renta, he aquí la importancia de manejar las fórmulas que se emplean y que están desarrollados a lo largo de este trabajo. Jessica: Las anualidades son utilizadas para analizar el monto total de cierta cantidad a largo tiempo mediante los periodos que su característica es que se su valor es igual para todos los periodos.

BIBLIOGRAFÍA



Portus, L., (1997), Matemáticas financieras. Anualidades simples ciertas ordinarias inmediatas, Santa fe de Bogotá D.C., Colombia: McGraw-Hill Interamericana, S.A.



Cissell, C., s.f, Matemáticas financieras. Anualidades, México DF, México: McGrawHill Interamericana, S.A.



De la Cueva, B, s.f, Matemáticas financieras. Anualidades, México, Porrúa, S. A.



Mora, A, (2009), Matemáticas financieras. Anualidades, México DF, México, Alfaomega, S.A.

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ANEXOS 3. EJERCICIOS PROPUESTOS Estos ejercicios son propuestos para que se sean realizados por el aula de clase para el mejor entendimiento del tema. 1) Una mina en explotación tiene una producción anual de $8.000.000y se estima que se agotará en 10 años. Hallar el valor presente de la producción, si el rendimiento del dinero es del 8%. 2) Calcular el valor futuro y presente de $4.000 durante 6 años al 7.3% capitalizable anualmente 3) Un refrigerador se compra pagando $1.000 de contado y $3.000 mensuales durante 2 años. ¿Cuál es el precio equivalente es efectivo si el interés es del 12% convertible mensualmente? 4) ¿Qué cantidad se acumularía durante 6 años y 3 meses si se depositaran 150.000 al final de cada mes en una cuenta la cual paga 6% anual convertible mensualmente? 5) El papa de un niño de 10 años empieza a ahorrar para que su hija pueda estudiar una carrera universitaria. Planea depositar 200.000 en una cuenta de ahorros al final de cada mes durante los próximos 8 años, si la tasa de interés del 27%. ¿Cuál será el monto de la cuenta al cabo de 8 años? ¿Cuánto por concepto de interés? 6) Raquel desea jubilarse en este año y cree que necesitara $5.000 cada mes durante los siguientes 15 años. Su banco le paga el 22% compuesto mensualmente. ¿Cuánto dinero debe tener depositado para poder retirar la cantidad especificada cada mes?