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ANUALIDADES VENCIDAS Estas anualidades se caracterizan porque los pagos se realizan al final de cada periodo. “el valor de una anualidad calculada al término es el monto de ella. El valor de la anualidad calculado a su comercio es su valor actual o presente.” MONTO DE ANULIDAD Para el cálculo del monto de una anualidad y el valor actual de una anualidad ordinaria simple, utilizaremos las siguientes formulas.

( 1+i ) ᶯ −1 ⦌ i S=R ¿

“MONTO”

“VALOR ACTUAL”

1−( 1+ i ) ­ᶯ ⦌ i A=R ¿ DONDE: S= Monto de una anualidad o Suma de todas sus rentas. R= Pago periódico de una Anualidad I= Tasa de interés por periodo de capitalización n= Números de periodos de pago. A= Valor actual de una anualidad o suma de los valores actuales de las Rentas. APLICACIÓN Sea una anualidad o renta de $10000 al final de cada 6 meses, durante 3 años, al 12% anual, capitalizable semestralmente. (Anualidad vencida)

DATOS: R= $10000 n= 3 años 3*2= 6 semestres I= 12% anual Semestral 12%/100= 0.12/2= 0.06 S= ?

( 1+i ) ᶯ −1 ⦌ i S=R ¿ ( 1+0.06 ) ⁶−1 ⦌ 0.06 S=10000¿

( 1.06 ) ⁶−1 ⦌ 0.06 S=10000 ¿ 1.418519112−1 ⦌ 0.06 S=10000 ¿ 1.418519112 ⦌ 0.06 S=10000 ¿ 6.975318538 ⦌ S=10000 ¿ S=$ 69753,19

CONCLUSIÓN: El monto de una anualidad de $10000 durante 3 años al 12% anual, capitalizable semestralmente es de $69753,19. VALOR ACTUAL DE UNA ANUALIDAD El valor actual de la misma anualidad puede calcularse tomando como fecha focal el inicio de la anualidad. Cada renta se calculará con el valor actual que corresponde, relacionada con el inicio de la anualidad y con la respectiva tasa de interés. APLICACIÓN Hallar el monto y el valor actual de una anualidad de $10000 cada trimestre durante 5 años y 6 meses al 12% capitalizable trimestralmente (Anualidad vencida simple)

DATOS: S= $10000 A= ? n= 5 años y 6 meses 5*4= 20 6/3=2 22 TRIMESTRES I= 12% anual Trimestral 12%/100= 0.12/4= 0.03 R= $10000

( 1+i ) ᶯ −1 ⦌ i S=R ¿ ( 1+0.03 ) ²²−1 ⦌ 0.03 S=10000 ¿

( 1.03 ) ²²−1 ⦌ 0.03 S=10000¿ 1.916103409−1 ⦌ 0.03 S=10000¿ 0.916103409 ⦌ 0.03 S=10000 ¿ 30.5367803 ⦌ S=10000 ¿ S=$ 305367,80

NOTA: Para calcular el valor actual de toma como fecha focal el inicio de la anualidad. 1−( 1+ i ) ­ ⦌ i A=R ¿ 1−( 1+ 0.03 ) ­²² ⦌ 0.03 A=10000 ¿ 1−( 1.03 ) ­²² ⦌ 0.03 A=10000 ¿ 0.4781075 ⦌ 0.03 A=10000¿ 15.93691667 ⦌ A=10000 ¿ A=$ 159369,17 Se puede observar que el Valor del Monto y el valor actual “A” no coincidn por concepto y forma de cálculo a pesar que los datos son los mismos.

TALLER SUMAS DE PROGRESIONES 1.- Para encontrar la suma de los 9 primeros términos de las progresiones aritméticas: “21,19,17,15…” DATOS: N=9 S= ? a=21 r=0.9 U=?

U=ar n−1 a−arᶯ S= 1−r

CONCLUSIÓN: La suma de

U=21( 0.9) 9−1 21−21(0.9)⁹ S= 1−0.9 U=21(0.9)8

los 91 primeros números es

21−21(0.39) ❑ S= U=21(0.43) 0.10

van integrando más

128,10. 2.- En una empresa cada día se trabajadores y se presenta la

siguiente sucesión: “10,13,16,19…”. Suma los 3 primeros términos.

DATOS:

U=ar

N=9 S= ? a=21 r=0.9 U=?

S=

arᶯ −a r−1

S=

10 (1.3) ¹³ 1.3−1

S=

10 ( 30.29 ) −10 1.3−1

n−1

U=10 (1.3)13−1 U=10 (1.3)12 ❑

U=10 (23.30)

CONCLUSIÓN: La suma de los 13 primeros términos de la progresión es 976,33. CÁLCULO DE TIEMPO 1.- Con los intereses de $28000 al 1.3% mensual, se ha adquirido un automovil de $12500, que tiempo estuvo impuesto el dinero.

DATOS:

I (30) TRANSFORMACIÓN t= Ci

C=$28000

1030/360=2.86

MESES 12500 (30) I= 1.3% MENSUAL0.86/12=10.32 t=

28000 (0.013)

1.3 /100= 0.013

DÍAS 0.32/30=9.60

I= $12500

37500 2 AÑOS, t=10 MESES, 9 DÍAS 364

t= ?

CONCLUSIÓN: Adquieren un vehículo de $12500, con los intereses de $28000 al 1.3% durante 2 años, 10 meses, 9 días. 2.- Con los intereses de $60000

al 2.1% mensual, se ha adquirido una maquinaria de $27000, que tiempo estuvo impuesto el dinero?

DATOS:

C=$60000 I= 2.1% MENSUAL

t=

I (30) Ci

27000 t= 60000(0.021)

2.1 /100= 0.021 I= $27000 t= ?

t=

810000 1260

TRANSFORMACIÓN 642/360=1.78 MESES 0.78/12=9.36 DÍAS 0.36/30=10.80 1 AÑO, 9 MESES, 10 DÍAS

CONCLUSIÓN: Adquieren una maquinaria de $27000, con los intereses de $60000 al 2.1% mensual durante 1 años, 9 meses, 10 días. CÁLCULO DE DÍAS 1.- Calcular el número de días del 13 de Febrero al 25 de Octubre del mismo año. (2016)

TIEMPO EXACTO

TIEMPO APROXIMADO

Febrero 29-13= 16

Febrero 30-13= 17

Febrero

16

Febrero

17

Marzo

31

Marzo

30

Abril

30

Abril

30

Mayo

31

Mayo

30

Junio

30

Junio

30

Julio

31

Julio

30

Agosto

31

Agosto

30

Septiembre 30

Septiembre 30

Octubre

Octubre

25 255

25 252

DÍAS

DÍAS

2.- Calcular el número de días transcurridos del 10 de Junio al 24 de Diciembre.

TIEMPO EXACTO

TIEMPO APROXIMADO

Junio 30-10= 20

Junio 30-10= 20

Junio

20

Junio

20

Julio

31

Julio

30

Agosto

31

Agosto

30

Septiembre 30

Septiembre 30

Octubre

Octubre

25

30

Noviembre 30

Noviembre 30

Diciembre

Diciembre

24 197

DÍAS

24 194

DÍAS

VALOR PRESENTE El primero de Mayo se suscribió un documento de $8000 con vencimiento en 90 días plazo al 2% mensual. Calcular su valor actual al 12 de Octubre del mismo año, considerando una tasa de interés del 16% anual.

CASO 1 ❑

M =C (1+ it)

DATOS: t= 1 de Mayo

M =8000(1+(0.02)(

C=$8000 t=12 de Octubre

180 ❑ )) 30

M =8000 ( 1+ ( 0.02 ) ( 6 ) )

I= 2% MENSUAL 2 /100= 0.02

M =8000 ( 1+0.12 )

I= $27000

❑

❑

❑

M =8000 ( 1.12 )

TIEMPO EXACTO 90

Mayo

31

C=

Junio

20

Julio

31

1 de Mayo

M=?

Agosto

31

Septiembre 30

180-165= 15 días antes

Octubre

12 165

DÍAS CASO 2

C=

DATOS: C=?

C=

t=12 de Octubre

8960 1+ ( 0.16 )

I= 16% MENSUAL 16/100= 0.16

8960 1+ ( 0.16 )( 0.41666666 )

C=

8960 1+0.06666666

C=

8960 1.00666666

90 15 días

15 ( 360 )

C=

M= $8960

1 de Mayo

M 1+it

12 de

CONCLUSIÓN: Con la suscripción del documento del 1 de Mayo con $8000 y a 180 días, 2% mensual. Se convierte en $8969.

CONCLUSIÓN; Con el monto calculado al 12 de Octubre y con una tasa del 16% anual, el valor presente es de $8900,66

2.- El 3 de Junio se suscribió un documento de $10000 con vencimiento en 90 días plazo al 1% mensual. Calcular su valor actual al 3 de septiembre del mismo9 año. Considerando una tasa de interés de 18% anual.

❑

M =C (1+ it)

CASO 1 DATOS:

M =10000(1+(0.01)(

t= 3 de Junio

90 ❑ )) 30

C=$10000

M =8000 ( 1+ ( 0.01 ) ( 3 ) )

t=3 de Septiembre I= 1% MENSUAL

M =8000 ( 1+0.03 )

❑

❑

1 /100= 0.01

M =8000 ( 1.03 )

M=?

❑

TIEMPO EXACTO

90 C= $10000 M=?

3 Junio

Junio

27

Julio

31

Agosto

31

Septiembre 3 92 DÍAS CASO 2

C=

DATOS: C=?

C=

t=3 de Septiembre

M 1+it 10300

1+ ( 0.18 )

I= 18% MENSUAL 18/100= 0.18 M= $10300

90 DÍA DE HOY 3 de Junio

3 de

C=

10300 1+ ( 0.16 )

C=

10300 1+0.18

C=

10300 1

( 3600 )

CONCLUSIÓN: Con la suscripción del documento del 3 de Junio con $10000 y a 90 días, 1% mensual. Se convierte en $10300. CONCLUSIÓN; Con el monto calculado al 3 de Septiembre y con una tasa del 18% anual, el valor presente es de $10300. TASA NOMINAL 1.- A qué tasa nominal capitalizable semestralmente es equivalente a una tasa efectiva de 18,421%. DATOS J=? Ie= 18,421%/100= 0.18421 Semestral 2

J ⦌ͫ m 1+ie=¿ 1+

J ⦌ͫ m 1+0.18421=¿ 1+

√

√ 1+ 0.18421= 1+

CONCLUSIÓN: Con una tasa efectiva de 18,421% semestralmente obtengo una tasa nominal del 17%. TASA EFECTIVA 2.- Con una tasa efectiva que equivale a una tasa nominal de 20% anual capitalizable trimestralmente.

DATOS ie=? j= 20%/100= 0.20 Trimestralmente 4

1.08821=1+

J 2

1.08821−1=

J 2

J =0.08821 2 J =0.08821(2)

J m

J ⦌ͫ m 1+ie=¿ 1+

0.20 ⦌⁴ 4 1+ie=¿

1+

1+0.05 ⦌ ⁴ 1+ ie=¿ 1.05 ⦌ ⁴ 1+ie=¿ ie=1.21550625−1 ie=0.21550625∗100 ie=21

CONCLUSIÓN: Con una tasa efectiva del 21% tenemos una tasa nominal del 20% capitalizable trimestralmente.