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ANUALIDADES INTRODUCCIÓN: A continuación se darán a conocer términos cortos y precisos que hacen referencias a las anualidades, las cuales son usadas para indicar pagos o depósitos de una suma constante de dinero en tiempos determinados. Por consiguiente, las anualidades generalmente los pagos efectuados se depositan o son usadas para el desarrollo de actividades financieras y comerciales durante los periodos quincenales, mensuales, bimestrales, trimestrales, tanto para tasas como para los pagos en el tiempoo.

CONCEPTO DE ANUALIDAD:

Las anualidades son aplicadas a problemas financieros en los que existen un conjunto de pagos iguales a intervalos de tiempo regulares. Es decir, son una serie sucesivas de pagos o rentas iguales en periodos o tiempos iguales. Para ello, las mismas se aplican en amortización de préstamos en abonos, deducción de la tasa de interés en una operación de pagos en abonos y constitución de fondos de amortización. En fin, la palabra anualidad parece implicar pagos anuales, pero en realidad se trata de las transacciones de la empresa con pagos periódicos que generalmente son igual tomando en cuenta los ingresos, egresos y el tiempo. Para ello, tanto las empresas y las personas naturales cuando desean comprar algo, o invertir en una actividad, generalmente lo hacen con dinero prestado importe que deben pagar con pagos a realizar cada determinado tiempo. Dado lo mencionado, una anualidad se suele efectuar en los casos siguientes: a) Con el fin de constituir un fondo que llegue a alcanzar una suma determinada en un determinado de tiempo dado, es decir, constituir un capital. b) Con el fin de agotar un fondo en un número determinado de periodos, es decir, extinguir la deuda, que más adelante estudiaremos, estas dos partes.

CLASIFICACIÓN DE LAS PRINCIPALES DE ANUALIDADES: Anualidades ordinarias o vencidas: Son aquellas que representan cuando el pago correspondiente a un intervalo se hace al final del mismo, por ejemplo, al final del mes. Anualidades adelantadas o anticioada: Son aquellas que se efectuan cuando el pago se hace al inicio del intervalo, por ejemplo al inicio del mes. En consecuencia, los tipos de anualidades descritas son ciertas porque se puede deducir la

Para el caso de una anualidad ordinaria de n pagos, el despliegue de los datos en la línea del Anualidades Ciertas: Son aquellos cuyos pagos comienzan y terminan en fechas determinadas (se establecen previamente, generalmente por contrato entre partes intervinientes, deudor, acreedor) .Estos pueden ser: Temporales: Cuando el plazo está determinado en una fecha y plazo especifico, ejemplo LEASING Perpetuidades: Son aquellas anualidades en que el tiempo no está determinado, ejemplo: emisión de bonos que en algunos países pagan (renta perpetua) Anualidades Eventuales o Contingentes: Son aquellas cuya fecha inicial o final depende de algún suceso predecible pero su fecha de realización no puede especificarse por que están en función de algún acontecimiento externo no previsible exactamente, ejemplo: los seguros de vida, en los cuales se conoce la renta pero no su duración es incierta. Estos pueden ser: Vitalicia: Es una anualidad que tiene vigencia mientras dure la vida del rentista. Temporales: También se puede decir que una vitalicia termina en un determinado número de pagos aun cuando el rentista continúe con vida. Las anualidades en general pueden ser a su vez: Simples: Cuando el periodo de venta coincide con el periodo de capitalización Generales: Cuando el periodo de renta no coincide con el periodo de capitalización, pueden darse varios periodos capitalizables por periodo de renta o varios periodos de renta por periodo de capitalización. Impropia o variable: Son anualidades cuyas rentas no son iguales. DEDUCCIONES DE LA FÓRMULA PARA CALCULAR EL MONTO

Una anualidad anticipada es aquella cuando los pagos se llevan a cabo al inicio de cada periodo. Para poder calcular el monto de una anualidad anticipada, a cada renta se le agregan los intereses que se generen entre la fecha del pago y el plazo. Este tipo de anualidades es común en transacciones como pagos de primas de seguros, los pagos por alquiler de un departamento, entre otros. En una gráfica de tiempo se puede observar la forma de pago de cada renta. FÓRMULA PARA EL MONTO DE UNA ANUALIDAD. Definición: El valor de una anualidad calculado a su terminación es el monto de ella. El valor de la anualidad calculado a su comienzo es su valor actual o presente. la parte por vencer, tal como se muestra en el gráfico. El cálculo de los valores de las anualidades puede hacerse comenzando con un caso general que incluya las diferentes formas de anualidades. Pero, desde un punto de vista didáctico, es conveniente guiar el aprendizaje, comenzando por los casos de más frecuente aplicación para finalizar con un tratamiento general de ellas; de acuerdo con este método hemos desarrollado los acápites que siguen.

FÓRMULA: Esta es la fórmula que utilizaremos para calcular las anualidades, en donde: MA=Al monto de la anualidad. A = Es el pago periódico. i = A la tasa de interés en forma decimal. n = Al número de periodos de conversión. Resolviendo nuevamente el primer ejemplo, con esta fórmula, tenemos:

Respuesta: El monto de la anualidad será 4,310.12 quetzales al final de los 4 años Ejemplo. En los últimos 10 años, el señor Atilio Quinilla ha depositado 700 quetzales al final de cada año en una cuenta de ahorro, la cual paga el 3.5% efectivo. ¿Cuánto habrá en la cuenta inmediatamente después de haber hecho el último depósito?

Respuesta. Habrá 8,211.98 quetzales al final de los 10 años, en la cuenta del señor Atilio Quinilla.

Si en la suma de los montos compuestos, cambiamos el orden de los términos sumados, nos queda:

Ahora, si dividimos el segundo por el primero, el tercero por el segundo, etc., obtenemos como cociente, un valor llamado "r", que en el lenguaje de las progresiones geométricas se le llama "razón", quedando así:

Dado que estos valores se comportan como una progresión geométrica, en donde la fórmula para encontrar el último término es:

Observe que el primer término de la progresión es la letra "a", que para el caso del ejemplo anterior es la primera anualidad, o sea los 1,000 quetzales. Sí se multiplica toda la ecuación 1 por la razón, nos queda:

Para esta ecuación 2, debe recordar que el segundo término es igual al primer término multiplicado por la razón, el tercer término es igual al segundo término multiplicado por la razón, etc. Por lo que reescribiendo la ecuación 2, queda:

Restando a la ecuación 3 la ecuación 1, queda:

Esta ecuación 5, es la fórmula para la suma de términos de una progresión geométrica. Sí en esta ecuación sustituimos el valor de U, nos queda:

Si regresamos a los valores de r, obtenidos en el cociente de 1.05, podemos concluir que la razón es:

. El valor de "a", es la anualidad, la cual podemos representar con la letra

A. Si sustituimos estos valores en la ecuación 6, queda:

FORMULA PARA CALCULAR LA RENTA CONOCIDO EL MONTO. El monto de las anualidades ordinarias o vencidas es la suma de los montos de todas y cada una de las rentas que se realizan hasta el momento de realizar la última. De S = R Sn i se obtiene 1 R=S Sn I 1 Donde = Sn i

Los pagos R (renta) efectuados al final de cada período ganan interés compuesto, hasta la fecha final. Estableciendo la ecuación de equivalencia para la fecha final como fecha focal, tendremos:

M

0

1

2

3

R

R

R

n-1

R

R

R

R

n

R

Cada pago efectuado al final de período capitaliza los intereses en cada uno de los períodos que le siguen. El primer pago acumula durante (n — 1) períodos, el segundo (n — 2) períodos y, asi: sucesivamente hasta el último pago que no gana intereses, ya que su , pago coincide con la fecha de término. Los montos respectivos de los pagos R comenzando por el último serán R, R (1 + i), R(1 + i)2 , ..., R(1 + i )n -2 + R (1 + n )n-1 El monto total M de la anualidad es igual a la suma de los montos producidos por las distintas rentas R, o sea: M = R, R (1 + i), R(1 + i)2 , ..., R(1 + i )n -2 + R (1 + n )n-1 Los términos del segundo miembro forman una progresión geométrica de n términos, razón (1 + i) y primer término R. Aplicando la fórmula de la suma dada en 0.11, se tiene:

Si el valor de cada pago R es de una unidad monetaria, el monto M corresponderá al monto de una anualidad de uno por período y se expresa con el símbolo Mn┐i ; que se lee m sub n al i; sustituyendo este símbolo en la fórmula anterior, se obtiene: Los valores de Son i pueden calcularse con calculadoras actualmente, disponemos de máquinas de calcular que se construyen cada día más completas, manuales y compactas y a precios cada vez más económicos; las calculadoras electrónicas forman parte hoy del equipo de trabajo de un estudiante. Disponiendo de una calculadora común que tenga una memoria y las

funciones logaritmo y exponencial, el estudiante podrá trabajar directamente las operaciones que exigen los problemas. En la práctica, son numerosos los cálculos financieros que se efectúan utilizando tablas; por esta razón es necesario que el estudiante se ejercite en el uso de ellas; la tabla V incluida al

FORMULA PARA CALCULAR EL VALOR ACTUAL Valor actual o presente de una anualidad es aquella cantidad A de dinero que con sus intereses compuestos, en el tiempo de la anualidad, dará un monto equivalente al monto de la anualidad. Formando la ecuación de equivalencia y utilizando como fecha focal la fecha final, se tiene: A

0

M

1

2

n-2

n-1

n

R

R

R

A(1 + i)n = M

A(1 + i)n

A=

(1 + i)n

R

A= Si el valor de cada pago R es de una unidad monetaria, el valor actual A es el valor actual de una anualidad de 1 por período y se expresa con el símbolo a n┐i (a sub n al i), sustituyendo este símbolo en la fórmula anterior se obtiene:

an┐i = A = Ran┐i

Los valores de an┐i pueden calcularse por logaritmos; en la práctica, se utilizan para los cálculos, tablas que tienen tabulados estos valores.

Ejemplo: Una persona que viaja fuera de su localidad deja una propiedad en alquiler por 5 años, con la condición que se pague Q9000 por trimestre vencido que serán consignados en una cuenta de ahorros que paga 8% nominal anual. Hallar el monto en los 5 años y el valor actual del contrato de alquiler.

M = RMn┐i

R = 9000; j = 0.08; m = 4; i = 0.08/4 = 0.02; n = 5(4) = 20

=

M = 9000 (24.2973698)

M = Q218,676.33

A = Ran┐i an┐i =

an┐i =

an┐i =

an┐i =

an┐i =

A = 9000 (16.35143334) A= Q147,162.90

Ejemplo Hallar el monto y el valor actual de una anualidad de Q5000 pagadera semestralmente durante 7 años 6 meses al 8,6%, capitalizable semestralmente. R = 5000;

j = 0.086;

M = 5000 (20.475866)

m = 2;

i = 0.086/2 = 0.043;

M = Q 102,379.33

A=

n = 7.5 (2) = 15

A=

A=

A=

A=

A = Q54,443.71

FORMULA PARA CALCULAR LA RENTA CONOCIDO EL VALOR ACTUAL Supone el cálculo de la valoración en el momento presente de un flujo de capitales futuros que se perciben en varios períodos. Fórmula:

Siendo: V n¬i = Valor actual de la renta, a = el importe constante de la renta, n = el número de años, i = el tipo de interés aplicado para la determinación del valor actual.

FORMULA DE ANUALIDAD CUYO MONTO ASCIENDE A LA UNIDAD

CONCLUSION En consecuencias, al conocer las anualidades se podrá iidentificar los diversos tipos de anualidades, sus características y fórmulas correspondientes para poder obtener el monto futuro de una anualidad, su valor presente o actual, su tasa de interés nominal y efectiva, por periodo y anual, así como el número de periodos y plazo de las operaciones. De igual forma se podrá interpretar resultados y comparar con otras situaciones financieras para la toma de decisiones.