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EJERCICIOS DE ANUALIDADES APLICACIÓN DEL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO 1.
Hallar el monto y el valor presente de 20 pagos de $2000 c/u, suponga una tasa del 18%. Monto VP N A ie
= = = = =
? ? 20 PAGOS $2000 c/u 18% EA A = $2000 C/U
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
VP
1 1 ip
1 ip N 1 VF A ip 1 0.18 20 1 VF 2000 0.18 VF $293255.94
N
VP A
ip
1 1 0.18 20 VP 2000 0.18 VP $10705.49299
2.
Para la compra de un automóvil que vale $6000000; se exige una cuota inicial del 40% y el resto se cancela en 36 cuotas mensuales, ¿ a cuánto ascenderá la cuota, si los intereses son del 3.5 % efectivo mensual? A =? 2400000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
6000000
VP C. I. Saldo N i. A
= = = = = =
$6000000 40% = $2400000 $3600000 36 cuotas mensuales 3.5% EM ?
10 11 12
36 MESES
A
3.
ip Vp 1 1 ip
A
N
0,035 3600000 1 1 0.035
36
$177242,986
Si en el problema anterior se ofrecen dos cuotas extraordinarias: la primera de $350000 en el mes 5, y la segunda de $500000, en el mes 18. ¿cuál será el valor de la cuota ordinaria?. VP = $6000000 C. I. = 40% = $2400000 Saldo = $3600000 N = 36 cuotas mensuales i. = 3.5% EM A = ? Cuota Extraordinaria 1. $350000 5 MES 2. $500000 18 MES A= ? 350000
500000
2400000
0
1
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3
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5
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8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
6000000
Utilizando la ecuación del valor y tomando cero como foco se tiene: 6000000 2400000 3500001 0,035
5
5000001 0,035
18
1 1 0,035 36
A
0,035
A = $149633,0671 4.
Una persona va a comprar una máquina que vale $800000, con el objeto de poder disponer de esa cantidad el 15 de Diciembre de 1989, comienza a hacer depósitos mensuales de $R, en un fondo que paga el 30% CM. Si el primer depósito lo hace el 15 de Febrero de 1988, hallar el valor del depósito mensual. VF A N r.
= = = =
$800000 ? 23 30%CM
r n 0.30 ip 12 ip 0.025 ip
Para el cálculo de N, es necesario correr la fecha de inicio un mes hacia atrás para poder hablar de una anualidad, es decir, la fecha de inicio se tomará desde el 15 de enero de 1988. 15 15
12 01
0
11
1989 1988 12,
lo que equivale a 23 meses
A = R$
15/ 02/ 1988
15/ 08/ 1989
N = 23 1 ip N 1 Vf A ip
A
Vf ip
1 ip
N
1
800000 0,025
1 0,025 23 1
A = $26157,10 5.
Un documento estipula pagos trimestrales de $10000, iniciando el primer pago el 20 de enero de 1987 y terminando el 20 de julio de 1995. si se desea cambiar este documento por otro que estipule pagos trimestrales de $R, comenzando el 20 de abril de 1988 y terminando el 20 de julio de 1989, hallar el valor de la cuota. Suponga una tasa del 20% CT. Sugerencia: El valor de los documentos debe ser igual en el punto que escoja como fecha focal.
Cuota = $10000
Primer documento: Inicio = 20 – 01 – 87 Final = 20 – 07 – 95 Segundo documento: Inicio = 20 – 04 – 88 Final = 20 – 07 – 89 i = 20% CT N1 = 35 N2 = 6 1 1 ip N 1 1 1 0,05 35 Vp A 10000 $163741,9429 ip 0,05
Es necesario llevar este valor presente a valor futuro con fecha final el 20/10/88, es decir, Vf = 163741,9429 (1,05)5 = $208980,8227 1 1 0,05 6 , luego R = $41172,87 0,05
$208980,8227 = R
6.
Una persona se compromete a pagar $60000 mensuales, a partir del 8 de julio de 1988 hasta el 6 de diciembre de 1989. Para dar cumplimiento a ese contrato, se propone hacer depósitos mensuales de $R c/u, en una cuenta de ahorros que como mínimo le garantiza el 1,5% efectivo mensual. Si el primer depósito lo efectúa el 8 de marzo de 1986, ¿cuál será el valor de $R, suponiendo que el último depósito lo hará: A = $60000 Inicio = 8 – 07 – 88 Final = 8 – 12 – 89 N = 18 meses.
A = $18749.31035
B. El 8 de julio de 1988?
N = 46
Na = 46 meses
1 ip N 1 Vf A ip
1 0,015 46 1 $1229362,543 = A , luego 0,015
08/12/1989
08/11/1989
08/10/1989
08/09/1989
08/08/1989
08/07/1989
08/06/1989
08/05/1989
08/04/1989
08/03/1989
08/02/1989
08/10/1986
08/09/1986
08/08/1986
08/07/1986
08/06/1986
08/05/1986
08/04/1986
08/03/1986
08/12/1989
08/11/1989
08/10/1989
08/09/1989
08/08/1989
08/07/1989
08/06/1989
08/05/1989
08/04/1989
08/03/1989
08/02/1989
08/01/1989
08/12/1988
08/11/1988
08/10/1988
08/09/1988
08/08/1998
08/07/1988
A = 60000
N = 18
VF
1 ip N 1 1 0,015 18 1 Vf A 60000 $1229362,543 ip 0,015
A. El 8 de diciembre de 1989?
A= ?
VF
08/12/1989
08/11/1989
08/10/1989
08/09/1989
08/08/1989
08/07/1989
08/06/1989
08/05/1989
08/04/1989
08/03/1989
08/02/1989
08/01/1989
08/12/1988
08/11/1988
08/10/1988
08/09/1988
08/08/1998
08/07/1988
A =?
VF
N = 17
Nb = 29 meses. Como el último día de pago es el 8 de diciembre de 1989, es necesario trasladar este pago al 8 de julio de 1988, es decir, los 46 meses iniciales menos los 29 de esta nueva modalidad de pago se distancian 17 meses. Por lo tanto: S P (1 ip ) n S 1229362.5431 0.015 S 954458.9581
17
1 ip N 1 Vf A ip 954458.9581 * 0.015 A 1 0.015 29 1 A 26513.70565
Otra forma de obtener el valor de la anualidad es: 1 0,015 29 1 $1229362,543 (1,015)-17 = R , luego R = $26514 0,015
C. El 8 de junio de 1988?
N = 18
08/12/1989
08/11/1989
08/10/1989
08/09/1989
08/08/1989
08/07/1989
08/06/1989
08/05/1989
08/04/1989
08/03/1989
08/02/1989
08/01/1989
08/12/1988
08/11/1988
08/10/1988
08/09/1988
08/08/1998
08/07/1988
08/06/1988
A =?
VF
Nc = 28 meses. Como el último día de pago es el 8 de diciembre de 1989, es necesario trasladar este pago al 8 de junio de 1988, es decir, los 46 meses
iniciales menos los 28 de esta nueva modalidad de pago se distancian 18 meses. Por lo tanto: S P (1 ip ) n S 1229362.5431 0.015 S 940353.6533
18
1 ip N 1 Vf A ip 940353.6533 * 0.015 A 1 0.015 29 1 A 27271.26821
Otra forma de obtener el valor de la anualidad es: 1 0,015 28 1 $1229362,543 (1,015)-18 = A , luego A = $27271 0,015
D. El 8 de abril de 1987?
N = 32
08/12/1989
08/11/1989
08/10/1989
08/09/1989
08/08/1989
08/07/1989
08/06/1989
08/05/1989
08/04/1989
08/03/1989
08/02/1989
08/11/1987
08/10/1987
08/09/1987
08/08/1987
08/07/1987
08/06/1987
08/05/1987
08/04/1987
A=?
VF
Nd = 14 meses. Como el último día de pago es el 8 de diciembre de 1989, es necesario trasladar este pago al 8 de abril de 1988, es decir, los 46 meses iniciales menos los 14 de esta nueva modalidad de pago se distancian 32 meses. Por lo tanto: S P (1 ip ) n S 1229362.5431 0.015 S 763425.434
1 ip N 1 Vf A ip 763425.434 * 0.015 A 1 0.01514 1 A 49411 .42761
32
Otra forma de obtener el valor de la anualidad 1 0,015 14 1 $1229362,543 (1,015)-32 = R , luego R = $49411 0,015
7.
Una deuda de $800000 va a ser cancelada en pagos trimestrales de $78000 durante tanto tiempo como fuere necesario. Suponiendo una tasa del 30% CT. a. ¿Cuántos pagos de $78000 deben hacerse? Vp = $800000 A = $78000 I = 30% CT = 7.5% ET N=? A = 78000
0
1
2
3
4
5
6
N
800000
In1 VP * ip / A In1 IP In1 800000 * 0.075 / 78000 N In1 0.075 1.466337069 N 0.072320661 N 20.27549302 N
N 20 pagos
otra forma de obtener la respuesta 1 1 ip Vp A ip
N
1 1 0,075 N , luego 800000 78000 . 0,075
De
tal
manera que N 20 pagos.
b. ¿Con qué pago final hecho 3 meses después del último pago de $78000 cancelará la deuda?
A =78000 X 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
800000
1 1,075 800000 78000 0,075 800000 795170.326 A 1 0.075 21 A 22054.41622
8.
20
21 A1,075
Resuelva el problema anterior si la tasa es del 42% CT. Justifique su respuesta desde el punto de vista matemático y desde el punto de vista financiero.
1 1 ip Vp A ip
N
1 1 0,105 N , luego 800000 78000 , como los logaritmos 0,105
de números negativos no existen, no es posible hallar el valor de n. 9.
Desean reunirse exactamente $60000 mediante depósitos mensuales de $1000 en un fondo que paga el 36% CM. A = 1000
0
1
2
3
4
5
6
N 60000
A. ¿Cuántos depósitos de $1000 deben hacerse? Vf = $60000
21
A = $1000 i = 36% CM = 3% EPM In1 VP * ip / A In1 IP In1 60000 * 0.03 / 1000 N In1 0.03 1.029619417 N 0.029558802 N 34.83292079 N
N 34 pagos
Otra forma de resolverlo 1 ip N 1 Vf A , luego ip
1 0,03 N 1 60000 1000 . De tal manera que N = 34 0,03
pagos mensuales. B. ¿Qué depósito adicional hecho conjuntamente con el último depósito de $1000 completará los $60000?
A =1000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
X
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
60000
1 ip N 1 Vf A + R, así: ip 1 0,03 34 1 60000 1000 R . De tal manera que R = $2269.823483 0,03
C. ¿Qué depósito adicional hecho un mes después del último depósito de $1000 completará los $60000?
A =1000 X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
25
26
27
28
29
30
31
1 0,03 34 1 60000 1000 1,03 R . De tal manera que R = $537.9181878 0,03
10.
Resolver el problema anterior, incluyendo un depósito adicional de $7000, en el periodo 10. A = 1000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 7000
N 60000
a) Cuántos depósitos de $1000 deben hacerse? VF = 60.000 A = 1000 I = 3% EM 600001 0.03
N
600001 0.03
N
600001 0.03
N
600001.03
N
70001 0.03
10
1 0.03 N 1 1000 0.03
1000 1000 N 5208.657404 * 1.03 0.03 0.03 5208.657404 33333.333331.03
33333.333331.03
N
38541.99073
93333.333331 0.03 38541.99073 1 0.03 N 38541.99073 93333.33333 NIn1.03 In0.4129499 N 29.92100261 N
N 29 pagos
N
33333.3333
32
33
34
b) Qué deposito adicional hecho conjuntamente con el último depósito de $1000 completará los $60000. A = 1000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
X
9
10
29 7000
60000
1 0.03 29 1 19 60000 1000 70001 0.03 X 0 . 03 60000 45218.8502 12274.54237 X X 2506.60743
c) Qué depósito adicional hecho un mes después del último depósito de $1000 completará los $60000 A = 1000 X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
29 30
7000
60000
1 0.03 29 1 20 60000 1000 * 1 0.03 70001 0.03 X 0.03 60000 45675.41571 12642.77864 X X 781.80565
11.
Para cancelar una deuda de $80.000, con intereses al 24% CM, se hacen pagos mensuales de $3000 cada uno A = 3000
0
1
80000
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
N
a) Cuántos pagos de $3000 deben hacerse VP = 80000 I = 24 % CM= 2% EPM A = 3000 N=? In1 VP * ip / A In1 ip In1 80000 * 0.02 / 3000 N In1 0.02 0.762140052 N 0.019802627 N
N 38.48681494 N 38 PAGOS
b ) Con qué pago adicional, hecho conjuntamente con el último pago de $3000 se cancelará la deuda?. A = 3000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
X
9
10 11 12
38
80000
1 0.02 38 1 3000 X 0.02 169783.9034 168344.8189 X 800001 0.02
38
X 1439.08454
c ) Con qué pago adicional, hecho un mes después del último pago de $3000 cancelará la deuda?
A = 3000 X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
38 39
1 0.02 38 1 3000 1 0.02 X 0.02 173179 .5815 171711 .7153 X X 1467.866222 800001 0.02
12.
39
Resolver el problema anterior suponiendo que se hace un pago adicional de $10000 con la décima cuota
a) Cuántos pagos de $3000 deben hacerse? A = 3000 10000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
80000
80000 100001 0.02
10
1 1 0.02 3000 0.02
80000 8203.482999 150000 1500001.02 71796.517 150000 1500001.02 78203.483 1500001.02 0.521356553 1.02 In0.521356553 NIn(1.02) In 0.521356553 N In1.02 N 32.89064113 N
N
N
N
N
N
b ) Con qué pago adicional, hecho conjuntamente con el último pago de $3000 se cancelará la deuda A = 3000
x 10000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
32
80000
1 0.02 32 1 3000 X 0.02 150763.2474 15459.79671 132681.0888 X X 2622.361875 800001 0.02
32
100001 0.02
22
C ) Qué pago adicional, hecho conjuntamente con el último pago de $3000, cancelará la deuda? A = 3000 10000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
x
32 33
80000
1 0.02 32 1 3000 1 0.02 X 0.02 153778.5123 15768.99264 135334.7106 X 800001 0.02
33
X 2674.80906
100001 0.02
23
13.
Una maquina cuesta al contado $600.000, para promover las ventas, se ofrece que pueda ser vendida en 24 cuotas mensuales iguales, efectuándose la primera el día de la venta. Si se carga un interés del 3% efectivo mensual, calcular el valor de cada pago.
VP= $600.000 N = 24 Cuotas mensuales i = 3% Efectivo Mensual A=?
0
1
2
3
4
5
6
7
8
600000
N = 24
Valor Presente
Anualidad Anticipada
VP
A 1 1 ip ip
$600.000
N
1 ip
A 1 1 0.03 0.03
24
$600.000 A17,44360839 A
$600.000 17,44360839
A $34.396,55289
1 0.03
9 10 11 12
24
14.
Un fondo de empleados presta a un socio la suma de $2 millones para ser pagado en 3 años, mediante cuotas mensuales uniformes, con intereses sobre saldos al 24% CM. Si en el momento de pagar la sexta cuota, decide pagar en forma anticipada las cuotas 7 8 y 9:
A=?
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
36
2000000
a) ¿Cuál debe ser el valor a cancelar al vencimiento de la sexta cuota? b) ¿Cuál debe ser el valor de los interese descontados? P = $ 2`000.000 N = 3 años
r 24%CM r 0.24 ip 0.02 n 12 ip 0.02 Efectivo Mensual
Anualidad A
A
P i 1 i
1 i N
N
1
2`000.000 (0.02)1 0.02
1 0.02 36
36
1
A $78.465,7052
F 78465.7052 7465.70521 0.02 F 304751.6399
1
78465.70521 0.02
Otra forma de hallar el valor presenten en la sexta cuota
2
78465.70521 0.02
3
A = $ 78.465,7052
VP
A 1 1 ip ip
VP
780465,7052 1 1 0.02 0.02
N
3
VP $226.285,9374
VF6 78465.7052 $226.285,9347 $78.465.7052 $304.751,64 Intereses 78.465,7052 x 4 $313.862,8212 I $313.862,8212 $304.751,64 I $9111 .18090
15.
Una persona adopta un plan de ahorros del fondo ABC, que establece depósitos de $1000, comenzando el primero de febrero de 1986 hasta el primero de abril de 1987 y, depósitos mensuales de $2000, desde el primero de mayo de 1987 hasta el primero de diciembre de 1987. El capital así reunido permanecerá en el fondo hasta el primero de junio de 1988, fecha en la cual le será entregado al suscriptor junto con intereses calculados al 12% CM. El plan anterior estaba funcionando perfectamente según lo proyectado, pero por razones comerciales la junta directiva del fondo ABC decidió que, a partir del primero de octubre de 1986, el fondo pagara a todos sus clientes de ahorros el 18% CM. ¿Cuál será el capital que el primero de junio de 1988, le entregaran a la persona que a decidido adoptar el plan? ANUALIDAD $ 1.000 $ 2.000
INICIA 01/02/86 01/05/87
HASTA 01/04/87 01/12/87
N 15 PAGOS MENSUALES 8 PAGOS MENSUALES
$ 1.000
0
1
2
3
4
12% CM
r 12%CM r 0.12 ip 0.01 n 12 ip 0.01 Efectivo Mensual
$ 2.000
15 0
1
2
8
Pagos Mensuales
18% CM
r 18%CM r 0.18 ip 0.015 n 12 ip 0.015 Efectivo Mensual
Valor Futuro VF
Anualidad Anticipada
A 1 ip
1 1 ip ip
N
1.01 9 1 1.015 6 1 1.015 8 1 20 14 6 VF 1000 1 . 015 1000 1 . 015 2000 1.015 0.01 0.015 0.015 VF 12.618,04785 7.673,285057 18.441,66223 VF $38.732,99514
16.
Un contrato de arriendo por un año establece el pago de $20000 mensuales al principio de cada mes. Si ofrecen cancelar todo el contrato a su inicio, Cuánto deberá pagar, suponiendo:
A = 20000 N = 12 a) Tasa del 30% CM A = 20000
0
1
2
3
4
5
r. = 30% CM ip
r 0.30 0.025EPM n 12
1 1 ip N VP A ip
* 1 ip
1 1 0.025 VP 20000 0.025 VP 210284.1743
12
* 1 0.025
6
7
8
9 10 11 12
c) Tasa del 3% efectivo mes anticipado. d)
r ip * n r 0.03 * 12
r 0.36CMA r IE 1 n
n
1 12
0.36 IE 1 1 12 IE 0.441249563
ie 1 1 r 1212 0.441249563 1 1 rn
n
r 0.37113402CM r 0.37113402 IP 0.030927835 EPM n 12
1 1 ip N VP A ip
* 1 ip
1 1 0.030927835 12 VP 20000 * 1 0.030927835 0.030927835 VP 204105.0927
17.
Una máquina produce 2000 unidades mensuales las cuales deben venderse a $80 C/U. El estado actual de la máquina es regular y si no se repara podría servir durante 6 meses más y luego desecharla, pero si hoy le hacemos una reparación total a un costa de $800000, se garantizaría que la máquina podría servir durante un año contado a partir de su reparación. Suponiendo una tasa del 4% efectivo mensual, ¿Será aconsejable repararla? A = 160000
0
1
2
3
4
5
6
1 1 ip N VP A IP 1 1 0.04 6 VP 160000 0.04 VP 838741.897141
A = 160000 800000 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
VP
1 1 IP N
VP A
IP 12 1 1 0.04 VP 160000 0.04 VP 1501611 .802
A este valor presente le debemos restar el valor de la reparación y así determinar si es aconsejable o no reparar la máquina 1501611.802-800000= 701611.802 En conclusión con los datos obtenidos podemos determinar que no es aconsejable reparar la máquina ya que las ganancias que se obtendrían son menores a las que se obtienen al trabajar la máquina 6 meses sin repararla. 18.
Elaborar una tabla para amortizar la suma de $3000000 en pagos trimestrales durante 15 meses con una tasa del 46% CT.
1 1 IP VP] A N
IP 3000000 * 0.115 A 5 1 1 0.115 A 821945.3159
Valor Cuota
n 0 1 2 3 4 5
$ $ $ $ $
Abono Interés
$0 $0 821.945,3159 $ 345.000 821.945,3159 $ 290.151,2887 821.945,3159 $ 228.995 821.945,3159 $ 160.805,6864 821.945,3159 $ 84.775
Abono Capital $ $ $ $ $
$0 476.945,3159 531.794,0272 592.950,3404 661.139,6295 737.170,6869
Saldo Balance $ 3.000.000 $ 2.523.054,6841 $ 1.991.260,6569 $ 1.398.310,3165 $ 737.170,6870 $ 0,0001
19.
Elaborar una tabla para capitalizar la suma de $2000000 mediante depósitos semestrales durante 3 años. Suponga una tasa del 42% CS. VP = 2000000 N = 6 SEMESTRES I = 42% cs = 0.21 EPS VP * IP N 1 1 IP 2000000 * 0.21 A 6 1 1 0.21 A 616405.9234 A
PERIODO 1 2 3 4 5 6
20.
DEPOSITO 616.405,9234 616.405,9234 616.405,9234 616.405,9234 616.405,9234 616.405,9234
INTERESES 0,00 129.445,24 286.073,99 475.594,77 704.914,92 982.392,29
ACUMULADO 616.405,9234 1.362.257,0907 2.264.737,0032 3.356.737,6972 4.678.058,5370 6.276.856,7532
INCREMENTO 616.405,9234 745.851,1673 902.479,9124 1.092.000,6941 1.321.320,8398 1.598.798,2162
Una persona desea reunir $800000 mediante depósitos mensuales de $R c/u durante 5 años en una cuenta que paga el 30% CM, ¿Cuál es el total de intereses ganados hasta el mes 30?
A = $R
0
1
2
3
4
30 31 32 33 interes
VF = 800000 A = $R N = 5 AÑOS = 60 MESES I = 30% CM ip
r 0.30 0.025EPM n 12
VF A
1 IP
N
1
IP VF * IP A 1 IP N 1 800000 * 0.025 A 1 0.025 60 1 A 5882.716718
60
Pagos Mensuales
PERIODO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
DEPOSITO $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $
5.882,7167 5.882,7167 5.882,7167 5.882,7167 5.882,7167 5.882,7167 5.882,7167 5.882,7167 5.882,7167 5.882,7167 5.882,7167 5.882,7167 5.882,7167 5.882,7167 5.882,7167 5.882,7167 5.882,7167 5.882,7167 5.882,7167 5.882,7167 5.882,7167 5.882,7167 5.882,7167 5.882,7167 5.882,7167 5.882,7167 5.882,7167 5.882,7167 5.882,7167 5.882,7167
INTERESES GANADOS MES 30
21.
INTERESES
$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $
$ 0,0000 $ 147,0679 $ 297,8125 $ 452,3258 $ 610,7018 $ 773,0373 $ 939,4311 1.109,9848 1.284,8024 1.463,9904 1.647,6580 1.835,9174 2.028,8833 2.226,6733 2.429,4080 2.637,2111 2.850,2093 3.068,5325 3.292,3137 3.521,6895 3.756,7996 3.997,7875 4.244,8001 4.497,9880 4.757,5057 5.023,5112 5.296,1669 5.575,6390 5.862,0979 6.155,7183
INCREMENTO $ 5.882,7167 $ 6.029,7846 $ 6.180,5293 $ 6.335,0425 $ 6.493,4185 $ 6.655,7540 $ 6.822,1479 $ 6.992,7016 $ 7.167,5191 $ 7.346,7071 $ 7.530,3747 $ 7.718,6341 $ 7.911,6000 $ 8.109,3900 $ 8.312,1247 $ 8.519,9278 $ 8.732,9260 $ 8.951,2492 $ 9.175,0304 $ 9.404,4062 $ 9.639,5163 $ 9.880,5042 $ 10.127,5168 $ 10.380,7048 $ 10.640,2224 $ 10.906,2279 $ 11.178,8836 $ 11.458,3557 $ 11.744,8146 $ 12.038,4350
ACUMULADO $ 5.882,7167 $ 11.912,5013 $ 18.093,0306 $ 24.428,0731 $ 30.921,4916 $ 37.577,2456 $ 44.399,3935 $ 51.392,0950 $ 58.559,6141 $ 65.906,3212 $ 73.436,6959 $ 81.155,3301 $ 89.066,9300 $ 97.176,3200 $ 105.488,4447 $ 114.008,3726 $ 122.741,2986 $ 131.692,5478 $ 140.867,5782 $ 150.271,9844 $ 159.911,5007 $ 169.792,0049 $ 179.919,5218 $ 190.300,2265 $ 200.940,4489 $ 211.846,6768 $ 223.025,5605 $ 234.483,9162 $ 246.228,7308 $ 258.267,1658
$ 81.785,6643
Para cancelar una deuda de $2000000 con intereses al 36% CM se hacen pagos mensuales de $R c/u durante 15 años. a) Calcular el valor de la deuda después de haber hecho el pago número 110 b) Calcular el total de los intereses pagados hasta el mes 110
A = $R
0
1
2
3
4
173 174 175 176 178 179 180
Pagos Mensuales
2000000
VP =2000000 I = 36% CM A = $R N = 15 AÑOS r 0.36 IP 0.03EPM n 12 N 1 1 IP VP A IP VP * IP A N 1 1 IP 2000000 * 0.03 A 180 1 1 0.03 A 60294.83543
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
VALOR CUOTA $0 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354
ABONO CAPITAL
ABONO INTERES $ 60.000 $ 59.991,1549 $ 59.982 $ 59.972,6608 $ 59.963 $ 59.953,0404 $ 59.943 $ 59.932,2250 $ 59.921 $ 59.910,1421 $ 59.899 $ 59.886,7142 $ 59.874 $ 59.861,8597 $ 59.849 $ 59.835,4914 $ 59.822 $ 59.807,5174
$ 294,8354 $ 303,6805 $ 312,7909 $ 322,1746 $ 331,8399 $ 341,7951 $ 352,0489 $ 362,6104 $ 373,4887 $ 384,6934 $ 396,2342 $ 408,1212 $ 420,3648 $ 432,9758 $ 445,9650 $ 459,3440 $ 473,1243 $ 487,3180
SALDO BALANCE $ 2.000.000 $ 1.999.705,1646 $ 1.999.401,4841 $ 1.999.088,6932 $ 1.998.766,5185 $ 1.998.434,6787 $ 1.998.092,8836 $ 1.997.740,8347 $ 1.997.378,2243 $ 1.997.004,7356 $ 1.996.620,0422 $ 1.996.223,8081 $ 1.995.815,6869 $ 1.995.395,3220 $ 1.994.962,3463 $ 1.994.516,3812 $ 1.994.057,0372 $ 1.993.583,9129 $ 1.993.096,5949
19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66
$ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354
$ 59.793 $ 59.777,8397 $ 59.762 $ 59.746,3547 $ 59.730 $ 59.712,9522 $ 59.695 $ 59.677,5155 $ 59.659 $ 59.639,9207 $ 59.620 $ 59.600,0364 $ 59.579 $ 59.557,7232 $ 59.536 $ 59.512,8330 $ 59.489 $ 59.465,2091 $ 59.440 $ 59.414,6848 $ 59.388 $ 59.361,0837 $ 59.333 $ 59.304,2182 $ 59.274 $ 59.243,8896 $ 59.212 $ 59.179,8870 $ 59.146 $ 59.111,9866 $ 59.077 $ 59.039,9511 $ 59.002 $ 58.963,5287 $ 58.924 $ 58.882,4521 $ 58.840 $ 58.796,4380 $ 58.751 $ 58.705,1856 $ 58.657 $ 58.608,3759 $ 58.558 $ 58.505,6705 $ 58.452 $ 58.396,7104 $ 58.340 $ 58.281,1145
$ 501,9376 $ 516,9957 $ 532,5056 $ 548,4807 $ 564,9352 $ 581,8832 $ 599,3397 $ 617,3199 $ 635,8395 $ 654,9147 $ 674,5621 $ 694,7990 $ 715,6430 $ 737,1123 $ 759,2256 $ 782,0024 $ 805,4625 $ 829,6263 $ 854,5151 $ 880,1506 $ 906,5551 $ 933,7518 $ 961,7643 $ 990,6172 $ 1.020,3358 $ 1.050,9458 $ 1.082,4742 $ 1.114,9484 $ 1.148,3969 $ 1.182,8488 $ 1.218,3343 $ 1.254,8843 $ 1.292,5308 $ 1.331,3067 $ 1.371,2459 $ 1.412,3833 $ 1.454,7548 $ 1.498,3975 $ 1.543,3494 $ 1.589,6499 $ 1.637,3394 $ 1.686,4595 $ 1.737,0533 $ 1.789,1649 $ 1.842,8399 $ 1.898,1251 $ 1.955,0688 $ 2.013,7209
$ 1.992.594,6573 $ 1.992.077,6616 $ 1.991.545,1560 $ 1.990.996,6753 $ 1.990.431,7401 $ 1.989.849,8569 $ 1.989.250,5171 $ 1.988.633,1972 $ 1.987.997,3577 $ 1.987.342,4430 $ 1.986.667,8809 $ 1.985.973,0819 $ 1.985.257,4389 $ 1.984.520,3266 $ 1.983.761,1010 $ 1.982.979,0986 $ 1.982.173,6361 $ 1.981.344,0098 $ 1.980.489,4946 $ 1.979.609,3440 $ 1.978.702,7889 $ 1.977.769,0372 $ 1.976.807,2728 $ 1.975.816,6556 $ 1.974.796,3198 $ 1.973.745,3740 $ 1.972.662,8998 $ 1.971.547,9514 $ 1.970.399,5545 $ 1.969.216,7057 $ 1.967.998,3714 $ 1.966.743,4871 $ 1.965.450,9563 $ 1.964.119,6496 $ 1.962.748,4036 $ 1.961.336,0203 $ 1.959.881,2655 $ 1.958.382,8680 $ 1.956.839,5186 $ 1.955.249,8688 $ 1.953.612,5294 $ 1.951.926,0698 $ 1.950.189,0165 $ 1.948.399,8516 $ 1.946.557,0117 $ 1.944.658,8866 $ 1.942.703,8178 $ 1.940.690,0969
67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 SUMATORIA
$ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354 $ 60.294,8354
$ 58.221 $ 58.158,4789 $ 58.094 $ 58.028,3748 $ 57.960 $ 57.890,3474 $ 57.818 $ 57.743,9140 $ 57.667 $ 57.588,5629 $ 57.507 $ 57.423,7509 $ 57.338 $ 57.248,9019 $ 57.158 $ 57.063,4045 $ 56.966 $ 56.866,6104 $ 56.764 $ 56.657,8315 $ 56.549 $ 56.436,3380 $ 56.321 $ 56.201,3555 $ 56.079 $ 55.952,0625 $ 55.822 $ 55.687,5877 $ 55.549 $ 55.407,0063 $ 55.260 $ 55.109,3375 $ 54.954 $ 54.793,5406 $ 54.629 $ 54.458,5118 $ 54.283 $ 54.103,0797 $ 53.917 $ 53.726,0018 $ 53.529 $ 53.325,9598 $ 53.117 $ 52.901,5553
$ 6.632.431,8973
$ 6.388.423,7927
$ 2.074,1325 $ 2.136,3565 $ 2.200,4472 $ 2.266,4606 $ 2.334,4544 $ 2.404,4881 $ 2.476,6227 $ 2.550,9214 $ 2.627,4490 $ 2.706,2725 $ 2.787,4607 $ 2.871,0845 $ 2.957,2170 $ 3.045,9335 $ 3.137,3115 $ 3.231,4309 $ 3.328,3738 $ 3.428,2250 $ 3.531,0718 $ 3.637,0039 $ 3.746,1141 $ 3.858,4975 $ 3.974,2524 $ 4.093,4800 $ 4.216,2844 $ 4.342,7729 $ 4.473,0561 $ 4.607,2478 $ 4.745,4652 $ 4.887,8292 $ 5.034,4640 $ 5.185,4980 $ 5.341,0629 $ 5.501,2948 $ 5.666,3336 $ 5.836,3236 $ 6.011,4133 $ 6.191,7557 $ 6.377,5084 $ 6.568,8337 $ 6.765,8987 $ 6.968,8756 $ 7.177,9419 $ 7.393,2802
$ 1.938.615,9644 $ 1.936.479,6079 $ 1.934.279,1607 $ 1.932.012,7001 $ 1.929.678,2456 $ 1.927.273,7576 $ 1.924.797,1349 $ 1.922.246,2135 $ 1.919.618,7645 $ 1.916.912,4920 $ 1.914.125,0313 $ 1.911.253,9468 $ 1.908.296,7298 $ 1.905.250,7962 $ 1.902.113,4847 $ 1.898.882,0538 $ 1.895.553,6800 $ 1.892.125,4550 $ 1.888.594,3832 $ 1.884.957,3792 $ 1.881.211,2652 $ 1.877.352,7677 $ 1.873.378,5153 $ 1.869.285,0354 $ 1.865.068,7510 $ 1.860.725,9781 $ 1.856.252,9220 $ 1.851.645,6742 $ 1.846.900,2090 $ 1.842.012,3799 $ 1.836.977,9158 $ 1.831.792,4179 $ 1.826.451,3550 $ 1.820.950,0602 $ 1.815.283,7266 $ 1.809.447,4029 $ 1.803.435,9896 $ 1.797.244,2339 $ 1.790.866,7254 $ 1.784.297,8918 $ 1.777.531,9931 $ 1.770.563,1175 $ 1.763.385,1756 $ 1.755.991,8954
a) El valor de la deuda después de haber hecho el pago número 110 es de
$1’775.991,8954. b) El total de los intereses pagados hasta el mes 110 son de 22.
$6’338.423,7927
Se necesita $1 millón, para realizar un proyecto de ampliación de una bodega, una compañía A ofrece prestar el dinero, pero exige que le sea pagado en 60 cuotas mensuales vencidas de $36 132.96 c/u. La compañía B ofrece prestar el dinero, pero para que le sea pagado en 60 pagos mensuales de $19 000 c/u y dos cuotas adicionales así: la primera de $250 000, pagadera al final del mes 12, la segunda, de $ 350 000, pagadera al final del mes 24. Hallar la tasa efectiva mensual que cobra cada uno, para decidir que préstamo debe utilizar.
COMPAÑÍA A: A =36132,96
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
60
1000000
Calculamos la tasa por medio de la calculadora financiera, que ya al hacerlo manualmente por el método de interpolación resulta bastante dispendioso. CALCULADORA
ON FIN VDT
1 No. Paño modo final N
%IA
3%
V.A.
PAGO
V.F.
-1000000
36132,96
0
COMPAÑÍA B
A =19000 $350,000
$250,000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
20 21 22 23 24
60
1000000
∑ Ingresos = ∑
Egresos
$ 1.000.000 = $ 19.000 a 60 i + $ 250.000(1+i)
-12
+ $ 350.000 (1+i)-24
i=2%
660456.8469 + 197123.2939 + 217602.5208 = 1075182,6616
i=2.5%
587264.4732 + 185888.9713 + 193506.3745 = 966659,819
i=2.75%
622230.1042 + 191416.8641 + 205186.3396 = 1018833,3079
Respuesta: Se debe elegir la opción B. 23.
Un equipo de sonido cuesta $400 000 al contado, pero puede ser cancelado en 24 cuotas mensuales de $33 000 c/u efectuándose la primera el día de la venta. ¿Qué tasa efectiva mensual se está cobrando? A =33000
0
1
400000
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
24
1 1 IP VP A IP
N
1 1 iIP 24 $400.00 $33.000 IP 1 1 IP 24 12.12121212 ÍP IP 7.159% EM
24.
A qué tasa nominal, convertible mensualmente, está siendo amortizada una deuda de $300000, mediante pagos mensuales de $10000, durante 4 años? A =10000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
48
300000
1 1 i VP A i
n
1 1 i 300000 10000 i
48
Para hallar la tasa debemos interpolar y así obtendremos la respuesta correcta Arbitraria mente tomamos un interés del 2.% EM 1 1,02 300000 10000 0.02
48
1 1,02 300000 10000 0,02
48
6731,19572
Interés 2,15% EM 1 1,0215 300000 10000 0.0215
48
1 1,0215 300000 10000 0,0215
48
2424,19254
Interpolamos y así obtenemos la tasa utilizada 2 X 6731,19572 0 2 2,5 6731,19572 2424,19254
0,021103 x12
25,3236% NM
0,253236
X 0.021103
2,1103%
EM
La tasa nominal que está amortizando la deuda es del 25.3236% CM 25.
A qué tasa nominal, convertible trimestralmente, está reuniéndose un capital de $400000, mediante depósitos trimestrales de $20000 c/u durante 3 años? VF = 400.000 A= 20.000 trimestral N = 3 años = 12 trimestres I=? A =20000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
Trimestres
400000
1 i n 1 VF A i
1 i 12 1 400000 20000 i Utilizamos un interés del 9% EM 1,09 12 1 400000 20000 0.09
1,09 12 1 400000 20000 2814,39595 0,09
Con interés 8,8% EM 1,088 12 1 400000 20000 0.088
1,088 12 1 400000 20000 1964,60789 0,088
INTEIINTERRPOLANDO PARA OBTENER LA TASA UTILIZADA 9 X 2814.60789 0 9 8 .8 2814.60789 1964.60789 X 0.08882147 X 8.8822147% ET
0.08882147 * 4
0.35528858 35.5288% NT
Los $400.000 se están reuniendo a unta tasa del 35.5288% NT 26.
Una entidad financiera me propone que el deposite mensualmente $ 10.000 durante 3 años comenzando el primer deposito el dia de hoy y me promete devolver al final de este tiempo $7.000.000. Que tasa efectiva mensual me va a pagar. A =10000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
36 MESES 7000000
A = $10.000 N = 3 años = 36 meses VF = $ 7.000.000 IP =? 1 ip n 1 VF A ip 1 ip 36 1 7.000.000 10.000 ip i 12.9999% EPM
Al despejar la tasa de la fórmula anterior tenemos que la tasa utilizada en esta transacción es de 13 % EPM. 27.
Un señor compro un automóvil dando una cuota inicial de 20% y el saldo lo cancela con cuotas mensuales de $ 317.689,78 durante 3 años. Después de efectuar el pago de la cuota 24 ofrece cancelar el saldo de la deuda de un solo contado y le dicen que su saldo en ese momento asciende a la suma de $3.060.682,56. A. Calcular con 2 decimales exactos la tasa efectiva mensual que le están cobrando. B. Calcular la tasa efectiva anual equivalente que le cobran. C. Cual es el costo total del automóvil. A =317689,78
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
24 25 26 27 28
36 MESES
saldo = 3060682,56
A. 1 1 ip n P A ip 1 1 ip 3060928.56 317689.78 ip 1 1 ip ip ip ip 3.55% EPM
12
12
9.634960747
La tasa efectiva que le están cobrando al señor por el automóvil es de 3.55% EM B.
1 i1 n 1 i2 n 1 0.0355 12 1 i2 1 ie 51.9851%
La tasa anual equivalente que le están cobrando es del 51.9851 % EA C.
1 1 IP N VP A IP 1 1.0355 36 ´VP 317689.78 0.0355 VP 80000000
El costo total del automóvil es de $ 8.000.000.035