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• Maria Camila Mosquera H'dez

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TEMA VI ANUALIDADES

Msc. Walter E. Ruiz E

Materia: Matemática Financiera

DEFINICIONES Se denomina Anualidad o Renta a una sucesión de pagos que se realiza periódicamente con el fin de formar un capital o de extinguir una deuda. Ejemplo:

Si periódicamente se pagara una cuota o renta que excediera el interés, se lograría disminuir poco a poco una deuda y se terminaría por eliminarla completamente al final de un plazo más o menos largo.

ANUALIDAD

Materia: Matemática Financiera

DEFINICIONES El término anualidad se utiliza por costumbre desde sus orígenes. Esto no significa pagos anuales, sino una serie de pagos, hechos a intervalos iguales.

Ejemplos de Anualidades: • Los pagos mensuales que se hacen para amortizar un bien comprado a crédito • Las primas periódicas de los seguros de vida. • Las pensiones de vejez o invalidez. • El pago del alquiler de una vivienda, entre otros.

Materia: Matemática Financiera

TÉRMINOS BÁSICOS • Renta (R): Es el valor de cada pago periódico efectuado. También se le denomina Término (cuota) de la Renta / Anualidad, denominación que se ha hecho extensiva, aunque se pague mensual, trimestral, semestralmente o en cualquier unidad de tiempo. • Período de Pago o Período de la Renta: Es el tiempo fijado entre dos pagos sucesivos. • Tiempo o Plazo de una Anualidad (n): Es el tiempo que transcurre entre el comienzo del primer período de pago y el final del último .

Materia: Matemática Financiera

TÉRMINOS BÁSICOS • Renta Anual: Es la suma de los pagos efectuados en un año.

• Tasa de una Anualidad (i): Es el tipo de interés fijado, que puede ser nominal o efectivo. • Valor Futuro o monto de una renta (S): Es el valor final que se obtendrá al concluir el tiempo total de la negociación (plazo de la renta) • Valor actual o presente de una renta (A): Es el valor que tendrá una renta en cualquier momento anterior al vencimiento del plazo de la misma, con fines de ser negociada o vendida.

Materia: Matemática Financiera

CLASIFICACIONES 1.

Según el Tiempo o Plazo de la Anualidad: • Aquellas

Anualidades Ciertas

inicial

cuyas y

conocen

fechas

terminal

se

por

estar

en

forma

estipuladas concreta

• Aquellas cuya fecha del

Anualidades Eventuales o Contingentes

primer

pago,

la

del

último o ambas no se han fijado de antemano, el plazo depende de algún suceso previsible

Anualidades o Rentas a Plazos Anualidades o Rentas Perpetuas

Plazo Limitado Plazo Ilimitado

Materia: Matemática Financiera

CLASIFICACIONES 1.

Según el Tiempo o Plazo de la Anualidad (Ejemplos): Anualidades o Rentas a Plazos Anualidades Ciertas

• Pago de cuotas mensuales para amortizar la deuda por compra a crédito de un bien. • Legado de carácter filantrópico o altruista,

Anualidades o Rentas Perpetuas

que estipulan la inversión de cierta suma de dinero,

cuyas

rentas

se

entregarán

a

perpetuidad a un hospital, universidad, asilo, etc.

Anualidades Eventuales o Contingentes

• Pagos de pensiones de vejez que otorga el Sistema de Seguridad Social.

Materia: Matemática Financiera

CLASIFICACIONES 2.

Según la forma como se estipule el Pago:

Anualidades Ordinarias o Vencidas

• Si el pago de la Renta se hace al final del período de

Anualidades Anticipadas

• Si el pago se efectúa al principio del período de pago.

pago / Cuando los pagos se efectúan a su vencimiento, es decir, al concluir cada período.

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CLASIFICACIONES 3.

Según la Iniciación:

Anualidades Inmediatas

Anualidades Diferidas

• Aquellas cuyo primer pago se efectúa al iniciar o terminar el primer período

• Aquellas en las que se estipula que el primer pago debe efectuarse después de transcurrido cierto número de períodos

Materia: Matemática Financiera

CLASIFICACIONES 4.

Según los Intereses:

Anualidades Simples

• Aquellas cuyo período de pago coincide con el período de capitalización. El pago de una Renta mensual por cierta cantidad, con intereses al x % anual capitalizable mensualmente.

Anualidades Generales

• Aquellas cuyo período de pago no coincide con el período de capitalización El pago de una Renta semestral por cierta cantidad, con intereses al x % anual capitalizable trimestralmente.

Materia: Matemática Financiera

ANUALIDADES

Intereses

CRITERIOS DE CLASIFICACIÓN Tiempo Momento del Pago

Ciertas • A plazos • Perpetuas

Simples

Generales

Ordinarias o Vencidas Anticipadas

Eventuales, Contigentes e Inciertas

Ordinarias o Vencidas

Ciertas • A plazos • Perpetuas

Ordinarias o Vencidas

Eventuales, Contigentes e Inciertas

Ordinarias o Vencidas

Anticipadas

Anticipadas

Anticipadas

Iniciación

Inmediatas Diferidas Inmediatas Diferidas Inmediatas Diferidas Inmediatas Diferidas Inmediatas Diferidas Inmediatas Diferidas Inmediatas Diferidas Inmediatas Diferidas

Materia: Matemática Financiera

ANUALIDADES SIMPLES, CIERTAS, ORDINARIAS E INMEDIATAS VALOR FUTURO

• S= Valor futuro de la Anualidad • R= Renta / Valor de cada pago efectuado • i = Tasa de interés • n = Plazo de la Anualidad o Renta

Materia: Matemática Financiera

ANUALIDADES SIMPLES, CIERTAS, ORDINARIAS E INMEDIATAS EJEMPLOS • En una cuenta de Inversión que rinde el 24 % anual con capitalización mensual ¿Qué cantidad se acumulará en un semestre si se colocan Bs 150 al final de cada mes? • Una empresa tiene proyectado ampliar su local comercial, para lo cual invierte mensualmente, durante ocho meses, Bs. 2.000 en un fondo mutual que paga el 18 % con capitalización mensual. a. ¿Cuál será el monto al finalizar el lapso? b. ¿Cuánto interés habrá devengado la inversión?

Materia: Matemática Financiera

ANUALIDADES SIMPLES, CIERTAS, ORDINARIAS E INMEDIATAS EJEMPLOS • Un licenciado viajo al exterior para realizar estudios de postgrado durante dos años. Por ese tiempo rentó su apartamento a una empresa, por Bs. 600 mensuales, que fueron depositados en una cuenta de ahorros al 14,4 % con capitalización mensual, abierta para facilitar el cumplimiento del convenio. a. ¿Cuál será el saldo de la cuenta de ahorros al finalizar el plazo de arrendamiento? b. ¿Cuál fue el monto total depositado por lo empresa por concepto de alquiler? c. ¿Cuánto fue el interés que generó la renta?

Materia: Matemática Financiera

ANUALIDADES SIMPLES, CIERTAS, ORDINARIAS E INMEDIATAS EJEMPLOS • Una persona desea acumular Bs. 30.000. Para ello, opta por hacer depósitos trimestrales vencidos en una cuenta que paga de interés el 32 % convertible trimestralmente; si deposita Bs. 500 cada fin de trimestre, ¿cuántos pagos serán necesarios? • Con el propósito de completar un capital para remodelar su vivienda, un trabajador abre una cuenta de ahorros, la cual paga el 15,6 % con capitalización mensual. En ella deposita al final de cada mes Bs. 30 durante cinco años. Al finalizar el tercer año, la entidad financiera, baja los intereses en 1,8 puntos. ¿Cuánto tendrá el trabajador en cuenta de ahorros al cumplirse los cinco años?

Materia: Matemática Financiera

ANUALIDADES SIMPLES, CIERTAS, ORDINARIAS E INMEDIATAS EJEMPLOS • Cuál es el monto generado por una colocación de 20 años de depósitos anuales por Bs. 100 pactados al 5 % de interés efectivo anual, si al finalizar los primeros diez años la tasa de interés aumenta al 10 % anual capitalizable anualmente por diez años más.

Materia: Matemática Financiera

ANUALIDADES SIMPLES, CIERTAS, ORDINARIAS E INMEDIATAS VALOR ACTUAL - PRESENTE

• A= Valor actual o presente de la Anualidad • R= Renta / Valor de cada pago efectuado • i = Tasa de interés • n = Plazo de la Anualidad o Renta

Materia: Matemática Financiera

ANUALIDADES SIMPLES, CIERTAS, ORDINARIAS E INMEDIATAS EJEMPLOS • Determinar el valor actual de una renta de Bs. 16.500 cada trimestre vencido, durante 8 años, a una tasa del 16 % con capitalización trimestral. • Un abuelo abrió una cuenta de ahorros con un aporte único, para obsequiar a su nieto Bs. 5.000, al final de cada mes, durante toda su Educación Básica y Diversificada. El aporte se hizo cuando el nieto inició sus estudios en tercer grado, a una tasa del 18 % con capitalización mensual. ¿Cuál fue el aporte que hizo el Abuelo? ¿Cuánto del total obsequiado corresponde a intereses?

Materia: Matemática Financiera

ANUALIDADES SIMPLES, CIERTAS, ORDINARIAS E INMEDIATAS EJEMPLOS • Un concesionario vende una motocicleta con una cuota inicial de Bs. 2.000 y 24 cuotas mensuales de Bs. 150 pagaderas al vencimiento de cada período. Si la transacción se realiza con una tasa del 15,6 % con capitalización mensual, ¿Cuál será el precio de contado de la motocicleta?

• Una persona adquirió a crédito un vehículo y convino cancelar 48 cuotas mensuales, de Bs. 1.450 cada una, calculadas al 33,6 %. Habiendo cumplido con 2/3 de las cuotas, en la misma fecha desea adelantar el pago de su deuda mediante un pago único. ¿Cuál será el valor de ese pago?

Materia: Matemática Financiera

ANUALIDADES SIMPLES, CIERTAS, ORDINARIAS E INMEDIATAS EJEMPLOS • En el momento de nacer su hija, un padre depositó Bs. 100.000 en una cuenta de ahorros que abona el 6 % de interés anual convertible anualmente; dicha cantidad la sigue depositando cada cumpleaños. Al cumplir 12 años, aumento sus depósitos en un 100 %. Calcular la suma que tendrá a disposición de ella a los 18 años.

Materia: Matemática Financiera

ANUALIDADES SIMPLES, CIERTAS, ORDINARIAS E INMEDIATAS EJEMPLOS – CÁLCULO DE TIEMPO Y FORMA DE PAGO FINAL • Cuantos pagos trimestrales vencidos de Bs. 320, al 15 % anual con capitalización trimestral, serán necesarios para cancelar una deuda que hoy asciende a Bs. 2.560. ¿Cuál será el valor del último pago? • Una persona desea acumular Bs. 300.000; para reunir esa cantidad decide hacer depósitos trimestrales vencidos en un fondo de inversiones que rinde el 12 % capitalizable trimestralmente. Si deposita Bs. 5.000 cada fin de trimestre. ¿Dentro de cuánto tiempo habrá acumulado la cantidad que desea? ¿Cuál será el valor del último depósito?

Materia: Matemática Financiera

ANUALIDADES SIMPLES, CIERTAS, ORDINARIAS E INMEDIATAS EJEMPLOS – CÁLCULO DE TASA DE INTERES

• A qué tasa de interés anual se creo un fondo de amortización para que al final del octavo y último depósito anual de Bs. 132 se obtuvieran Bs. 1.200.

• Se desea obtener Bs. 4.500 dentro de 2,5 años mediante depósitos trimestrales de Bs. 370. ¿Qué tasa de interés anual, con capitalización trimestral, es necesaria para obtener el monto al concluir el último aporte?

Materia: Matemática Financiera

ANUALIDADES SIMPLES, CIERTAS, ANTICIPADAS E INMEDIATAS • En los negocios es frecuente que los pagos periódicos se efectúen al comienzo de cada período, tal es el caso de la renta de terrenos, edificios y oficinas, cuyo alquiler se paga al principio del período. Igualmente, en las ventas a plazos se suele estipular una serie de pagos al comienzo de los períodos convenidos en el contrato de venta. • En los seguros, ya sean seguros de bienes en general, de vida o de protección contra riesgos, las pólizas por lo general estipulan que el asegurado debe pagar sus cuotas o primas al comienzo de cada período.

Materia: Matemática Financiera

ANUALIDADES SIMPLES, CIERTAS, ANTICIPADAS E INMEDIATAS Definición: • Una Anualidad Anticipada es una sucesión de pagos o rentas que se efectúan o vencen al principio del período de pago. Anualidad Vencida

1

2

3

n-2

n-1

2

3

4

n -1

n

n

0

1

Anualidad Anticipada

Materia: Matemática Financiera

ANUALIDADES SIMPLES, CIERTAS, ANTICIPADAS E INMEDIATAS Terminología: • Renta (R): Es el valor de cada pago periódico efectuado. También se le denomina Término (cuota) de la Renta / Anualidad, denominación que se ha hecho extensiva, aunque se pague mensual, trimestral, semestralmente o en cualquier unidad de tiempo. • Período de Pago o Período de la Renta: Es el tiempo fijado entre dos pagos sucesivos. • Tiempo o Plazo de una Anualidad (n): Es el tiempo que transcurre entre el comienzo del primer período de pago y el final del último .

Materia: Matemática Financiera

ANUALIDADES SIMPLES, CIERTAS, ANTICIPADAS E INMEDIATAS Terminología: • Tasa de una Anualidad (i): Es el tipo de interés fijado, que puede ser nominal o efectivo. • Valor Futuro o monto de una renta (S): Es el valor final que se obtendrá al concluir el tiempo total de la negociación (plazo de la renta) • Valor actual o presente de una renta (A): Es el valor que tendrá una renta en cualquier momento anterior al vencimiento del plazo de la misma, con fines de ser negociada o vendida.

Materia: Matemática Financiera

ANUALIDADES SIMPLES, CIERTAS, ANTICIPADAS E INMEDIATAS VALOR FUTURO • En una cuenta de Inversión que rinde el 30 % anual con capitalización mensual ¿Qué cantidad se acumulará en un semestre si se colocan Bs 800 al inicio de cada mes?

1. Asumir que la Anualidad comienza un período antes – por lo tanto se comporta como una Anualidad Vencida 2. Luego se Capitaliza durante un período más ya que ese período está dentro de la Anualidad y es donde se ubica el monto de la misma.

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ANUALIDADES SIMPLES, CIERTAS, ANTICIPADAS E INMEDIATAS VALOR FUTURO: 1. Asumir que la Anualidad comienza un período antes – por lo tanto se comporta como una Anualidad Vencida, pero se determina el monto con un periodo adicional 2. Luego se resta el pago del último período ya que no forma parte de la Anualidad.

• S= Valor futuro de la Anualidad • R= Renta / Valor de cada pago efectuado • i = Tasa de interés • n = Plazo de la Anualidad o Renta

Materia: Matemática Financiera

ANUALIDADES SIMPLES, CIERTAS, ANTICIPADAS E INMEDIATAS VALOR PRESENTE: • Determinar el valor actual de una renta de Bs. 3.000 pagadera al inicio de cada mes, durante 1 año, a una tasa del 12 % con capitalización mensual. 1. Asumir que se está calculando en principio el Valor presente de una Anualidad vencida por lo tanto se elimina el primer pago, es decir, el pago de inicio; para ello se le suma 1 al exponente. 2. Luego se suma el pago periódico a toda la Anualidad que ya está en su valor actual.

Materia: Matemática Financiera

ANUALIDADES SIMPLES, CIERTAS, ANTICIPADAS E INMEDIATAS EJEMPLOS • Una compañía deposita al principio de cada año $ 20.000 en una cuenta de ahorros que abona el 7 % de interés anual. ¿A cuánto ascenderán los depósitos al cabo de 5 años? • El dueño de una propiedad cobra por su alquiler $ 5.000, por mes anticipado. Hallar la perdida que le significa en dos años, si el arrendatario le pago por mes vencido (Utilice una tasa nominal del 12 % con capitalización mensual).

Materia: Matemática Financiera

ANUALIDADES SIMPLES, CIERTAS, ANTICIPADAS E INMEDIATAS EJEMPLOS • Pancho Mesa desea ahorrar dinero y debe escoger entre dos pólizas de capitalización que le ofrecen bajo las siguientes condiciones: a.- Cancelar $ 5.000 semestrales a principio de cada semestre durante 10 años para formar un capital de $ 208.000 b.- Cancelar $ 2.500 trimestrales pagaderos a principio de trimestre durante 10 años para formar un capital de $ 215.000

Materia: Matemática Financiera

ANUALIDADES DIFERIDAS • En los negocios es frecuente que algunas circunstancias obliguen a que el primer período de pago comience en una fecha futura, hasta después de transcurrido cierto tiempo desde el momento inicial o de convenio. Es decir, la fecha inicial de la anualidad no coincide con la fecha del primer pago. En estos casos se dice que la anualidad es diferida.

Definición: • Una Anualidad Diferida es aquella cuyo plazo comienza después de transcurrido un intervalo.

Intervalo de Aplazamiento

• Es el tiempo transcurrido entre la fecha inicial, o fecha de valoración de la anualidad y la del primer pago

Materia: Matemática Financiera

ANUALIDADES DIFERIDAS Intervalo de Aplazamiento • Para medir el intervalo de aplazamiento, se utiliza como unidad el tiempo que corresponde a un período de pago. Así por ejemplo, si dentro de 2 años se efectuara el primer pago de una anualidad vencida de $ R por semestre y cuyo plazo es de 3 años, se tendría: 0

1

k 2

3

4

R

6

5

R

R

7

R

• K : Fecha inicial de la anualidad vencida • Tiempo diferido: 3 períodos semestrales • Tiempo o plazo de la anualidad: 6 períodos semestrales

8

R

9

R

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ANUALIDADES DIFERIDAS VALOR PRESENTE: • Sea una Anualidad vencida, diferida k períodos, de renta R por períodos pagaderos durante n períodos, a la tasa i por período:

• Calcular el valor actual de una renta de $ 5.000 semestrales, si el primer pago debe recibirse dentro de 2 años y el último dentro de 6 años, si la tasa de interés es del 8 % convertible semestralmente.

Materia: Matemática Financiera

ANUALIDADES DIFERIDAS VALOR FUTURO: • El valor futuro de una anualidad diferida es el propio valor futuro o monto de la anualidad, correspondiente al tiempo de pago. Su cálculo fue tratado en anualidades vencidas y anticipadas.

Materia: Matemática Financiera

ANUALIDADES GENERALES Definición: • Una Anualidad General es aquella cuyos períodos de pago y capitalización no son iguales.

Tratamiento 1. Todas las definiciones dadas para las distintas clases de anualidades y sus diferentes tipos son validas para las anualidades generales 2. Se debe determinar una tasa equivalente 3. Los valores de las anualidades en cualquier fecha deben ser iguales

Materia: Matemática Financiera

ANUALIDADES GENERALES EJEMPLOS: • Encontrar el monto de un conjunto de 10 depósitos mensuales de $ 2.500, si el interés que se gana es de 30 % convertible semestralmente. 1. Determinar una tasa mensual equivalente a la tasa semestral 2. Determino el Valor futuro – Monto – Valor final con la tasa ajustada a la frecuencia de pago