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• omar leyva acevedo

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ANÁLISIS NO-LINEAL POR ELEMENTO FINITO – una introducción Fuente: Klaus-Jurgen Bathe, Finite Element Procedures, Prentice Hall, 1996

En la formulación convencional de elemento finito se hacen las suposiciones: • los desplazamientos son infinitesimalmente pequeños • el material es lineal-elástico • las condiciones de frontera permanecen sin cambio durante la aplicación de carga Bajo estas condiciones las ecuaciones de equilibrio derivadas de un análisis estático son Ku = R

Estas corresponden a un análisis lineal porque la respuesta, los desplazamientos u , son una función lineal del vector de carga R , es decir R′ = α R

⇒

U′ = α U

Cuando este no es el caso (Figura a.), el problema corresponde a un análisis no-lineal. • El hecho de que los desplazamientos deben ser pequeños ha sido usado en el cálculo de la matriz de la rigidez K y del vector de carga R , ya que la integración se ha hecho sobre el volumen original del elemento finito, y las relaciones de deformación-desplazamiento indicadas en la matriz B de cada elemento se han supuesto constantes e independientes de los desplazamientos en el elemento. • La suposición de material elástico-lineal está implícito en el uso de la relación constante de esfuerzodeformación, descrita en la matriz constitutiva
. • La suposición de que las condiciones de frontera se mantienen sin cambio se refleja en el uso de restricciones constantes en la respuesta.

La tabla 6.1 muestra una clasificación que considera en forma separada los efectos de la no-linealidad material y la no-linealidad cinemática, indicando el tipo de formulación así como las medidas empleadas de esfuerzo y deformación correspondientes.

En un análisis que considera no-linealidad material solamente (Figura b.), el efecto no-lineal reside solo en la relación esfuerzo-deformación. Los desplazamientos y deformaciones son infinitesimalmente pequeños de modo que se pueden usar las medidas típicas de esfuerzo y deformación de ingeniería.

En el análisis con grandes desplazamientos y pequeñas deformaciones (Figura c.), se tiene que en esencia el material está sujeto a deformaciones pequeñas medidas en una referencia x′ − y ′ ligada el cuerpo (al material) en

tanto esta misma referencia sufre grandes desplazamientos y rotaciones de cuerpo libre. En este caso las relaciones esfuerzo-deformación pueden ser lineales o no-lineales.

El caso más general de análisis es en el que el material está sujeto a grandes desplazamientos y grandes deformaciones (Figura d.). En este caso la relación esfuerzo-deformación también es no-lineal.

Otro caso ilustrativo del comportamiento no-lineal es aquel en el que las condiciones de frontera cambian durante la deformación (movimiento) del cuerpo en estudio. Este caso típico se da en el análisis de problemas de contacto, y puede encontrarse en cualquiera de las condiciones descritas en la tabla 6.1. • Para el análisis, es necesario decidir en qué categoría cae el caso en estudio, ya que esto dicta el tipo de formulación que usará en la descripción de la condición física del problema. • A la inversa, un tipo de problema específico da una indicación del tipo de formulación empleada. • No necesariamente la formulación y análisis más exhaustivos son lo más conveniente, en ocasiones una solución más restringida es más efectiva computacionalmente y también provee más claridad sobre una respuesta esperada específica.

ENFOQUE DE LA SOLUCIÓN GENERAL

El problema básico en el análisis no-lineal general es encontrar el estado de equilibrio del cuerpo correspondiente a las cargas aplicadas. Si suponemos que las cargas aplicadas externas están descritas como función del tiempo, las condiciones de equilibrio del sistema de elementos finitos que representa el cuerpo bajo estudio pueden expresarse como t

R − tF = 0

(1)

donde t R contiene a los vectores de las fuerzas nodales aplicadas externamente en la configuración al tiempo t y el vector t F es el vector de fuerzas que corresponde a los esfuerzos en cada elemento para esa configuración, con t

R = t R B + t R S + t RC

que incluye fuerzas de cuerpo, fuerzas de superficie, y cargas nodales. Identificando los esfuerzos en la configuración actual, los esfuerzos iniciales, R I = t F con

t

F = ∑ ∫ t BTm tσ m t dVm m Vm

donde para un análisis general de grandes deformaciones los esfuerzos así como el volumen del cuerpo (y elementos) a un tiempo t se conocen. La relación (1) debe expresar el equilibrio del sistema en la geometría deformada actual tomando en cuenta todos lo efectos no-lineales, y en el caso de un análisis dinámico el vector t

R debe incluir las fuerzas de inercia y de amortiguamiento.

La solución (1) debe cumplirse a lo largo del tiempo durante el estudio.

El enfoque básico de la solución se da como una solución paso a paso en la que se supone que la solución para el tiempo t se conoce y que se requiere conocer la solución en el tiempo t + ∆t , donde ∆t es un incremento de tiempo apropiado. De modo que al tiempo t + ∆t ternemos: t +∆t

Si suponemos que

t +∆t

R − t + ∆t F = 0

(2a)

R es independiente de las deformaciones, dado a que la solución se conoce al tiempo t

podemos reescribir t +∆t

F = tF + F

(2b)

donde F es el incremento en las fuerzas nodales correspondientes a un incremento en los desplazamientos y esfuerzos en los elementos del tiempo t al t + ∆t . Este vector puede ser aproximado usando la matriz de rigidez tangente t K que corresponde a las condiciones geométricas y de material al tiempo t :

F  t Ku

(3)

donde u es un vector incremental de desplazamientos nodales, de modo que

t

K

∂tF ∂tu

(4)

la matriz de rigidez tangente corresponde a la derivada de las fuerzas nodales internas del elemento con respecto a los desplazamientos nodales.

t

De la expresión (2b) tenemos

Ku =

t + ∆t

R − tF

(5)

de modo que resolviendo para los desplazamientos (ahora como un incremento u = ∆U ), tenemos una aproximación a los desplazamientos en el tiempo t + ∆t : t +∆t

U  t U + ∆U

(6)

Pero este es solo una aproximación dado a que usamos la forma aproximada (3), los desplazamientos exactos al tiempo t + ∆t son los que corresponden con las cargas

t +∆t

R.

SOLUCIÓN POR Newton-Raphson

Los métodos iterativos ampliamente usados en el análisis por elemento finito están basados en la clásica técnica de Newton-Raphson. Este método es una extensión de la técnica incremental simple dada en (5) y (6). Esto es, habiendo calculado un incremento en los desplazamientos nodales, que define el nuevo vector de desplazamientos totales, podemos repetir la solución incremental presentada en (5) usando los desplazamientos totales actuales en lugar de los desplazamientos en el tiempo t. Las ecuaciones usadas en la iteración de Newton-Raphson son, para i = 1, 2,3,... t +∆t

K ( i −1) ∆U (i ) =

t +∆t

U(i ) =

t + ∆t

t +∆t

R − t + ∆t F (i −1)

U (i −1) + ∆U ( i )

(7a)

(7b)

con las condiciones iniciales t +∆t

U( 0) = t U ;

t +∆t

K ( 0) = t K ;

t +∆t

F ( 0) = t F

(8)

Note que en la primera iteración, las relaciones (7) se reducen a las ecuaciones (6) y (5). De modo que en las iteraciones subsecuentes las últimas estimaciones para los desplazamientos nodales se usan para evaluar los esfuerzos en los elementos y las fuerzas nodales

El vector de carga desbalanceada

t +∆t

R − t +∆t F (

i −1)

t +∆t

F (i −1)

así como la matriz tangente

t +∆t

K ( i −1) .

corresponde a un vector de carga que aún no está en equilibrio a

partir de los esfuerzos en los elementos, y por tanto se requiere un incremento en los desplazamientos nodales. Esta actualización de los desplazamientos nodales en cada iteración se continúa hasta que las cargas desbalanceadas y los desplazamientos incrementales son pequeños.

Una importante consideración es que el cálculo correcto de los vectores

t +∆t

F(

i −1)

y

t +∆t

U ( i −1)

es crucial. Errores en

estos vectores resultan en general en una predicción incorrecta de la respuesta del sistema, o bien en un proceso no-convergente. La correcta evaluación de la matriz de rigidez tangente

t +∆t

K ( i −1)

es también importante. El uso

de una matriz de rigidez tangente apropiada se requiere incluso para la convergencia, y en general resultará en un número menor de iteraciones para alcanzar la convergencia.

Sin embargo, debido al costo de evaluar y factorizar una nueva matriz de rigidez tangente, en la práctica puede ser más eficiente evaluar la matriz tangente solo en ciertos puntos del proceso, dependiendo de las nolinealidades implicadas en el análisis. Específicamente, en el método de Newton-Raphson modificado una nueva matriz tangente se establece al inicio de cada paso de carga y en los métodos denominados quasi-Newton se usan matrices secante en lugar de matrices tangente. El esquema a usar es solo cuestión de eficiencia computacional siempre y cuando la convergencia se logre. CONSIDERACIONES SOBRE NO-LINEALIDAD MATERIAL – RELACIONES CONSTITUTIVAS

En la evaluación de relaciones de desplazamiento y de deformación-desplazamiento es importante que las relaciones cinemáticas den representaciones precisas del comportamiento incluso para grandes deformaciones. Las descripciones cinemáticas en las formulaciones de elementos son generales, y debe tomarse en cuenta que para que la formulación de un elemento sea aplicable a la predicción de una respuesta específica es también necesario usar descripciones constitutivas apropiadas. Las ecuaciones de equilibrio en el método de elemento finito contienen ecuaciones de desplazamiento y deformación-desplazamiento así como la matriz constitutiva del material. Por tanto, es imperativo que ambas la descripción cinemática y la descripción constitutiva sean apropiadas para que una formulación sea aplicable para cierta respuesta esperada. Algunas descripciones materiales básicas se enlistan en la tabla 6.7 (Bathe) que proveen un panorama de las principales clases de comportamiento de materiales.

Al considerar los materiales, es necesario recordar como un análisis no-lineal completo se lleva a cabo incrementalmente. El proceso se muestra en la tabla 6.8. Esta tabla muestra como las relaciones materiales se usan en dos puntos del proceso de solución: la evaluación de los esfuerzos y la evaluación de las matrices tangentes de esfuerzo-deformación. Los esfuerzos son usados para calcular los vectores de fuerza nodales y las matrices de rigidez por deformación no-lineal y las matrices tangentes de esfuerzo-deformación se usan en el cálculo de las matrices de rigidez de deformación lineal. Es muy importante que los esfuerzos sean calculados con precisión así como el hecho de que las matrices de rigidez sean matrices realmente tangentes para producir la convergencia para un numero bajo de iteraciones.

La tabla 6.8 (Bathe) muestra los pasos básicos en la evaluación de los esfuerzos y de la matriz tangente de esfuerzo –deformación: • Dados todos los componentes de esfuerzo t σ y componentes de deformación t e y cualquier variable interna del material, denotada como tκ i , correspondientes al tiempo t :

{ σ, t

t

e, tκ1 , tκ 2 ,...}

y también dados todos los componentes de deformación correspondientes al tiempo t + ∆t al final de la iteración ( i − 1) , denotado como

t +∆t

e(i −1)

• Calcular todos los componentes de esfuerzo, variables internas de material y la matriz tangente de esfuerzo deformación que corresponden a

{

t +∆t

σ(

i −1)

, t + ∆t C(

i −1)

t +∆t

, t + ∆tκ1(

e(i −1) :

i −1)

, t + ∆tκ 2(

i −1)

}

,...

de modo que se parte del hecho de que las deformaciones se conocen y que corresponden al estado para el cual se requieren los esfuerzos y la relación tangente de esfuerzo-deformación.

Como se indica en la tabla 6.8, la evaluación de los esfuerzos y la matriz tangente, es decir la evaluación numérica de la matriz de rigidez del elemento y el vector de fuerzas, se realizan en cada punto de integración del elemento. En un análisis inelástico se necesita un proceso de integración del estado al tiempo t al estado actual, pero en un análisis elástico no se requiere de integración por la forma en que se calculan las deformaciones, ya sea una formulación basada en la deformación total en procesos elásticos ó en base a la razón de deformación usada en procesos inelásticos.

GENERALIZACIÓN DE LA SOLUCIÓN NO-LINEAL – ECUACIÓN GENERAL DE BALANCE

Los conceptos revisados hasta ahora muestran la generalidad de los procesos implicados en un análisis nolineal. Sin embargo, considerando una solución más compleja, se debe emplear un enfoque basado en relaciones de mecánica del continuo consistentes para desarrollar las relaciones de elemento finito. Así como en el análisis lineal, usamos el principio de trabajo virtual, pero ahora incluimos la posibilidad de que el cuerpo en estudio sufra grandes desplazamientos y rotaciones y grandes deformaciones, y que las relaciones esfuerzodesplazamiento son no-lineales. Las ecuaciones de mecánica del continuo que gobiernan el problema no-lineal pueden considerarse como una extensión de las ecuaciones básicas que gobiernan la solución lineal por elemento finito.

La base de la solución por elemento finito lineal, basada en desplazamientos es el principio de trabajo virtual (desplazamientos virtuales). Este principio establece que el equilibrio del cuerpo en estudio requiere que para cualquier conjunto de pequeños desplazamientos virtuales compatibles (que son cero en la frontera para desplazamientos prescritos) impuesto sobre el cuerpo en un estado de equilibrio, el trabajo virtual total interno es igual al trabajo virtual total externo:

∫ε

T

τdV = ∫ UT f B dV +

V

V

∫U

Sf

T

f f dS + ∑ UT R iC S

i

Sf

en el que los esfuerzos están en equilibrio con las cargas aplicadas y las deformaciones virtuales se corresponden con los desplazamientos virtuales, donde U son los desplazamientos virtuales y ε son las correspondientes deformaciones virtuales.

La ecuación de equilibrio (balance) que rige el comportamiento generalizado está dado por:  + CU  + KU = R MU

donde la matriz K es la matriz de rigidez del ensamble de elementos K = ∑ ∫ B ( m )T C( m ) B ( m ) dV ( m ) = ∑ K ( m ) m V

m

el vector de carga R = R B + R S + R I + R C incluye el efecto de las fuerzas de cuerpo del elemento RB = ∑

∫

m V (m)

H ( m )T f B ( m ) dV ( m ) = ∑ R (Bm ) m

el efecto de las fuerzas de superficie del elemento RS = ∑

∫

H S ( m )T f S ( m ) dS ( m ) = ∑ R (Sm )

m S(m)

m

el efecto de los esfuerzos iniciales del elemento RI = ∑

∫

B ( m )T τ I ( m ) dV ( m ) = ∑ R (I m )

m V (m)

m

y el efecto de las cargas nodales concentradas R C . Con B ( m ) siendo la matriz de derivadas cartesianas (matriz de deformación-desplazamiento del elemento), y H ( m ) y H S ( m ) son matrices de interpolación (basadas en funciones de forma).

Y para el caso del análisis dinámico, la matriz de masa M=∑

∫

m V (m)

ρ ( m ) H ( m )T H ( m ) dV ( m ) = ∑ M ( m ) m

y la matriz de amortiguamiento C=∑ m V

∫ (m)

κ ( m ) H ( m )T H ( m ) dV ( m ) = ∑ C( m ) m

donde ρ ( m ) es la densidad de masa del elemento m, y κ ( m ) es el parámetro que define la propiedad de amortiguamiento del elemento m.