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• David Zavaleta De la Cruz

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FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL

UNIVERSIDAD “CÉSAR VALLEJO” FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL

“ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRÁULICA” INTEGRANTES: - MARÍN RAMOS, ALMILCAR DOCENTE: MG.TC. ING. CARLOS A. LOAYZA RIVAS. CURSO: MECÁNICA DE FLUIDOS I CICLO: IV Trujillo – Septiembre.

2012

FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL INFORME N° 02 2011-II – UCV/FAI/EIC/MRA De

:

Marín Ramos, Almilcar

Al

:

Mg. TC. Ing. Carlos Adolfo Loayza Rivas.

Asunto

:

Informe de “ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRÁULICA”

Fecha

:

07 de Diciembre del 2012

Es grato dirigirme hacia su persona para hacerle llegar mi más cordial saludo y al mismo tiempo hacerle llegar el informe titulado: “ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRÁULICA” realizado el día domingo 28 y 29 del presente mes, para su revisión.

Es todo cuanto tenemos que informar, me despido afectuosamente.

Atentamente

-----------------------------------------------Almilcar Marin Ramos

MECÁNICA DE FLUIDOS I

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FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL INTRODUCCIÓN El análisis dimensional consiste en obtener parámetros adimensionales, que profundizan de manera significativa nuestra comprensión de los fenómenos de flujo de fluidos en forma parecida a la de un gato hidráulico, donde la relación de los diámetros del pistón determina la ventaja mecánica, un numero adimensional que es independiente del tamaño total del gato; permiten aplicar resultados experimentales limitados en un número a situaciones en que se tengan diferentes magnitudes físicas y, a veces, diferentes propiedades de fluido. Los conceptos del análisis dimensional que se presentan en este informe, más una comprensión de la mecánica del tipo de fluido en estudio, hacen posible realizar la generalización de los datos experimentales. La consecuencia de dicha generalización es múltiple, ya que ahora se puede describir en fenómeno en su totalidad sin estar restringido a la discusión del experimento especializado que se realice. Así, es posible realizar menor número de experimentos, aunque de carácter altamente selectivo, para describir las facetas escondidas del problema y lograr así importantes ahorros en tiempo y dinero. Los resultados de los experimentos también se pueden presentar a otros ingenieros y científicos en una forma más compacta y significativa para facilitar su uso y comprensión. Igualmente es importante debido a que, a través de tales presentaciones incisivas y ordenadas de información, los investigadores puedan descubrir nuevas características y áreas faltantes de conocimientos del problema en estudio. Este avance dirigido de nuestra comprensión de un fenómeno sería perjudicado sino se contará con las herramientas del análisis dimensional. También se presentara las relaciones que hay entre los efectos viscosos, el número de Reynolds. Para el caso que se trata de flujos comprensibles, el número de Mach es el parámetro adimensional más importante. Cuando se refiere a canales abiertos, el número de Froude es el que tiene mayor significancia. Muchos de los parámetros adimensionales pueden verse con la razón de un par de fuerzas de fluidos, cuya magnitud relativa indica la importancia relativa de una de las fuerzas con respecto a la otra. Si algunas fuerzas en una situación de flujo particular son mucho menores que otras, es posible despreciar el efecto de las fuerzas más pequeñas y tratar el fenómeno como si fuera determinado completamente por las fuerzas mayores. Esto significa que se pueden usar procedimientos matemáticos y experimentales más sencillos, aunque no necesariamente más fáciles, para resolver el problema. Para situaciones con fuerzas de la misma magnitud, tales como fuerzas de Inercia, de viscosidad y gravitacionales, se requiere técnicas especializadas. También se presenta una teoría de modelos y prototipos, la semejanza geométrica, cinemática y dinámica que presentan con modelo de la realidad.

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I. OBJETIVOS.

A. OBJETIVO GENERAL.

Explicar el Análisis Dimensional y la Semejanza Hidráulica, además la importancia que tiene dentro de Ingeniería Civil y la Investigación Experimental.

B. OBJETIVOS ESPECÍFICOS.

1. Explicar el concepto de Análisis Dimensional. 2. Exponer la Homogeneidad Dimensional. 3. Desarrollar y explicar el teorema de BUCKINGHAM. 4. Explicar la Semejanza Geométrica, Cinemática y Dinámica, que existe entre los modelos y los prototipos. 5. Demostrar los números de Reynolds, Froude, Euler, Mach y Weber. 6. Explicar algunos ejemplos de aplicación del análisis dimensional y la semejanza hidráulica.

II. JUSTIFICACIÓN. Este trabajo es realizado como muestra del aprendizaje y desarrollo del aprendizaje de la

mecánica de fluidos I;

así mismo,

por el interés en el curso, por la

investigación de la formación del futuro ingeniero civil, y para alcanzar la capacidad de demostrar los parámetros adimensionales y la aplicación dentro del campo de la Ingeniería Civil

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FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL III. MARCO TEÓRICO.

ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRÁULICA. ANALISIS DIMENSIONAL. El análisis dimensional es un método para verificar y planificar experimentos sistemáticos. A partir del análisis dimensional se obtiene una serie de grupos adimensionales, que van a permitir utilizar los resultados experimentales obtenidos en condiciones limitadas, a situaciones en que se tengan diferentes dimensiones geométricas, cinemáticas y dinámicas; y muchas veces en casos en que las propiedades del fluido y del flujo son distintas de las que se tuvieron durante el experimento. La importancia del análisis dimensional viene dada por la dificultad del establecimiento de ecuaciones en determinados flujos, además de la dificultad de su resolución, siendo imposible obtener relaciones empíricas. Es importante considerar que si en un experimento en un modelo (a escala geométrica del prototipo), se pueden obtener las escalas cinemáticas (relaciones de velocidades) y las escalas dinámicas (relaciones de fuerzas), los resultados adimensionales que se obtienen para el modelo son también validos para el prototipo.

Su objetivo es estudiar los modelos físicos basados en el análisis dimensional para diseñar modelos, interpretar la información obtenida del modelo o relacionarlo con el prototipo. A. DIMENSIONES. Es una parte de la física que estudia las relaciones entre magnitudes fundamentales y derivadas. B. FÓRMULA DIMENSIONAL. Es aquella igualdad matemática que muestra la relación que existe entre una magnitud derivada y las magnitudes fundamentales. La dimensión de la magnitud física se representa de la siguiente manera: Se A la magnitud física. [ ] , se lee: dimensión de la magnitud física A.

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FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL Algunas dimensiones de las magnitudes físicas son:

Las dimensiones de las magnitudes empleadas normalmente en la Mecánica de Fluidos, incluyen solo una o más de las siguientes 4 dimensiones: M (masa), L (longitud), T (tiempo) y (temperatura).

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1. HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL. En toda ecuación física, cada término deberá tener las mismas dimensiones: la ecuación deberá ser dimensionalmente homogénea; además la división de todos los términos por uno cualesquiera de ellos, haría la ecuación dimensional, y cada cociente sería un grupo adimensional. Por ejemplo tenemos la ecuación del desplazamiento de un cuerpo:

De la cual sus dimensiones están de acuerdo a la longitud [ ] ENTONCES PODEMOS DECIR QUE ESTA ECUACION ES DIMENSIONALMENTE HOMOGÉNEA. Por otero lado tenemos la siguiente ecuación de Bernoulli:

Como cada término esta expresado en unidades de longitud [ ], entonces la ecuación es dimensionalmente homogénea. Note que si una ecuación es homogéneamente dimensional, al momento de integrar o derivar esta ecuación mantiene su homogeneidad como se muestra en la ecuación del desplazamiento de un cuerpo:

∫

Ecuación homogéneamente dimensional

Ecuación homogéneamente dimensional

Ecuación homogéneamente dimensional

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2. TEOREMA DE BUCKINGHAM. El teorema ∏ de Buckingham demuestra que, en un problema físico en que se cantidades que incluyan dimensiones distintas; las cantidades se pueden ordenar parámetros adimensionales independientes. Sean las cantidades implicadas en el problema físico, tales como la presión, viscosidad, velocidad, etc. Se sabe que todas las cantidades son esenciales a la solución, lo que debe existir una relación funcional que relacione dichas cantidades: ( Si ∏

∏

)

(2.1)

. . . , representan las agrupaciones adimensionales de las cantidades, con dimensiones implicadas, existe una ecuación de la

forma: (∏

∏

∏

... , ∏

)

(2.2)

El método para determinar los parámetros adimensionales ∏ consiste en seleccionar las de las cantidades , con diferentes dimensiones, que contengan entre ellas las dimensiones y usarlas como “variables repetitivas” junto con las otras cantidades para cada ∏ Por ejemplo sea que contengan , no necesariamente en cada una, sino en forma colectiva. Entonces el primer parámetro ∏ estará compuesto por:

(2.3) El segundo como:

(2.4) Y así hasta la cantidad de parámetros adimensinales que exista:

(2.5) En las ecuación (3), (4) y (5) para determinar los exponentes para cada parámetro sea adimensional. Las dimensiones de las cantidades se sustituyen y los exponentes de , se fijan iguales a cero respectivamente. De los cuales tendremos tres ecuaciones con tres incógnitas para cada parámetro , con lo que se pueden determinar los exponentes ( ) y de aquí el parámetro . MECÁNICA DE FLUIDOS I

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FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL En caso en que en el problema estén implicadas dos dimensiones, dos de las cantidades se escogen como “variables repetitivas” y se obtienen dos ecuaciones con los dos exponentes incógnitas para cada término . Para la agrupación de términos adimensionales de las cantidades , es tal que arreglo adimensional es evidente por inspección. Este procedimiento queda mejor determinado con los siguientes ejemplos: EJEMPLO Nº 1: La descarga por un tubo capilar horizontal se piensa que depende de la caída de presión por unidad de longitud, el diámetro y la viscosidad. Encontrar la forma de la ecuación. SOLUCIÓN 1. Hacemos una lista de las cantidades implicadas con sus respectivas dimensiones:

2. Hacemos una relación, que relacione dichas cantidades: (

)

Como se usan tres dimensiones fundamentales, y con cuatro cantidades habrá un solo parámetro: (

)

(α)

Y sustituyendo por sus dimensiones nos da: *

+

*

+

[ ]

De esta ecuación tenemos que por teoría de exponentes de cada dimensión serán iguales a cero: Para la longitud

tenemos: (a)

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FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL Luego tenemos que para

y

las siguientes ecuaciones: (b) (c)

Resolviendo las ecuaciones (a), (b) y (c) tenemos los valores de:

{ Remplazando los exponentes en la ecuación (α) tenemos:

( )

(α)

(

*

Despejando la descarga o el caudal tenemos:

3. PARÁMETROS ADIMENSIONALES. Las magnitudes que intervienen en el movimiento de un fluido, se agrupan en tres tipos: de acuerdo a sus magnitudes mecánicas, térmicas y de flujo de los fluidos.

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FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL Para determinar los parámetros adimensionales, nos hacemos la idea de una situación de un flujo de fluido que depende de la velocidad de la densidad , de varias dimensiones lineales de la caída de presión de la gravedad , de la viscosidad , de la tensión superficial y del modulo elástico o de la comprensibilidad . Entonces aplicamos el análisis dimensional para obtener los parámetros adimensionales.

(

)

Como están implicadas tres dimensiones fundamentales o básicas, seleccionamos tres “variables repetitivas” que serán la y . Como podemos apreciar que son ocho las variables implicadas tendremos cinco parámetros adimensionales:

Sustituimos por sus dimensiones en cada uno de los parámetros y tenemos: PARA EL PRIMER PARÁMETRO: (

)

(

[ ]

)

(

)

Para : Para : Para

:

PARA EL SEGUNDO PARÁMETRO: (

)

(

)

[ ]

(

)

Para : Para : Para

:

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PARA EL TERCER PARÁMETRO: (

)

(

[ ]

)

(

)

Para : Para : Para

:

PARA EL CUARTO PARÁMETRO: (

)

(

)

[ ]

(

)

Para : Para : Para

:

PARA EL QUINTO PARÁMETRO:

(

)

(

)

[ ]

(

)

Para : Para : Para

:

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FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL Remplazando los valores de los exponentes obtenidos en los parámetros expresados en la ecuación (β) tenemos:

Entonces tenemos una función que relaciona los parámetros de la siguiente manera:

(

*

Es conveniente invertir algunos términos y en algunos casos sacar raíces cuadradas:

(

√

)

√

El primer parámetro, generalmente escrito ( ) es el coeficiente de presión; el segundo parámetro es el número Froude (Fr); el tercer parámetro es el número de Reynolds (Re); el cuarto es el número de Weber (We) y el quinto parámetro es el número de Mach (Ma). Después resolviendo la ecuación, tenemos para la caída de presión la siguiente relación:

(

√

√

)

Donde la Y deben determinarse por análisis o experimentación. Si se seleccionan otras variables o cantidades se obtendrán otros parámetros adimensionales.

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FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL En la siguiente tabla se muestra los parámetros adimensionales, que se obtienen de las relaciones entre las magnitudes que intervienen en el movimiento de un fluido.

4. NÚMERO DE REYNOLDS, EULER, MACH, WEBER Y FROUDE. A. NÚMERO DE REYNOLDS (Re). Es la relación de las fuerzas de inercia y la viscosidad.

(4.1) Controla el transporte de cantidad de movimiento, es decir los efectos de la viscosidad; si el Re es pequeño, se tiene flujo con viscosidad dominante; en el movimiento de las partículas, las altas interacciones por viscosidad las ordenan en la dirección del flujo, con lo que sus trayectorias no se cruzan, se tiene régimen laminar. Si el Re es elevado, en principio los efectos viscosos son despreciables frente a los de inercia, excepto en las zonas del flujo donde se tengan altos gradientes de velocidad; las partículas se mueven desordenadamente, entrecruzándose continuamente las trayectorias, se tiene régimen turbulento.

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FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL B. NÚMERO DE EULER (Eu). Relaciona la presión con la inercia:

(4.2) Controla los efectos de la presión termodinámica con respecto a la presión dinámica. Por la variedad de flujos, se tienen distintos parámetros derivados del número de Euler: a) En el flujo en turbomáquinas hidráulicas (fluido operante líquido) es importante para evaluar los efectos de la cavitación, el denominado número de cavitación (en donde es la presión de vapor del líquido a la temperatura de operación):

(4.3) número de cavitación. b) En flujos externos, se evalúa la resultante de las fuerzas de superficie sobre un determinado objeto, con los coeficientes de sustentación y de arrastre, que derivan del número de Euler:

(4.4) Coeficiente de Arrastre.

(4.5) Coeficiente de Sustentación. C. NÚMERO DE MACH (Ma). Relaciona las fuerzas de inercia con la comprensibilidad.

√

(4.6)

Controla la relación entre las fuerzas de inercia por velocidad y las fuerzas elásticas por compresibilidad; además es la relación entre la velocidad del flujo y la velocidad de pequeñas perturbaciones en el seno del fluido, que se denomina velocidad del sonido. Es importante tener en cuenta que el agua en condiciones de 1atm y , su módulo de comprensibilidad es 2185,7 Mpa y su velocidad sónica es de 1480 m/s; en las mismas condiciones el aire tiene un módulo de comprensibilidad de 0.14 Mpa y s velocidad sónica es de 348 m/s.

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FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL Las perturbaciones provocan compresiones, expansiones (variaciones de densidad) en el fluido, y la rapidez de transmitirlas, es decir la velocidad del sonido (con perturbaciones de poca intensidad), depende de la “facilidad” del fluido a experimentar variaciones de densidad: así en un fluido de alto módulo de compresibilidad, las perturbaciones se transmiten rápidamente con lo que la velocidad del sonido es alta. Pudiendo tener tres tipos de flujos: Régimen subsónico: las perturbaciones se mueven más rápidas que el fluido. Régimen sónico: cuando las perturbaciones se mueven a igual velocidad que le fluido. Régimen supersónico: cuando las perturbaciones se mueven más lentas que el fluido. D. NÚMERO DE WEBER (We). Relaciona la fuerza de inercia con la tensión superficial, es útil en el análisis de flujos en donde existe una superficie entre dos fluidos diferentes.

(4.7) El número de Weber da la razón característica entre las fuerzas aerodinámicas que ejercen el gas sobre una película delgada y las fuerzas de tensión que actúan en la superficie del líquido. La tensión superficial del líquido en la superficie de una gota es lo que mantiene la forma de la misma. Si una gota pequeña es sometida a la acción de un chorro de aire, y existe una velocidad relativa entre el gas y la gota, fuerzas inerciales debido a dicha fuerza hacen que la gotita se deforme. Si el número Weber es demasiado grande, las fuerzas inerciales superan a las fuerzas de tensión superficial, hasta el punto en que la gota se desintegra en gotas aún más pequeñas. E. NÚMERO DE FROUDE (Fr). Relaciona la inercia con la gravedad en flujos con una superficie libre:

√

(4.8)

Controla los efectos del campo central de fuerzas en donde pueda estar el fluido, y que normalmente es exclusivamente el campo gravitacional. Cuanto mayor ser el Fr menor será la importancia de la fuerza gravitacional respecto a la de inercia. MECÁNICA DE FLUIDOS I

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FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL En flujo confinado (limitado por una superficie rígida), el orden de magnitud de las fuerzas de inercia es mayor que el de las fuerzas gravitacionales, con lo que se tiene Fr altos, y por lo tanto son poco importantes los efectos gravitacionales. En flujo con superficie libre, se tiene Fr bajos del orden de la unidad; y su valor determina el diverso comportamiento del flujo ante perturbaciones superficiales. El número de Froude es la relación entre la velocidad del flujo y la velocidad de las perturbaciones en la superficie libre. Pudiendo tener tres tipos de flujos: Flujo subcrítico Flujo crítico Flujo supercrÍtco

5. TEORÍA DE MODELOS. Para ayudar al diseñador, frecuentemente se emprenden estudios o ensayos experimentales del flujo en un determinado prototipo, a veces no es posible realizar los ensayos con el propio prototipo, por su tamaño o por la dificultad de reproducir las condiciones reales de flujo, con lo que se realizan los ensayos con modelos a escala (geométricamente semejantes). Estos estudios con modelos, permiten una observación visual del flujo y hacen posible la obtención de ciertos datos numéricos; por ejemplo, la calibración de vertederos y compuertas, profundidades de flujos, distribuciones de velocidad, fuerzas en compuertas, eficiencia y capacidad de bombas y turbinas, distribuciones de presión y pérdidas. La teoría de modelos permite obtener las condiciones del ensayo del modelo, a partir de las condiciones de flujo del prototipo; y las magnitudes del prototipo, a partir de las mediadas experimentales del modelo. A. SEMEJANZA. Si se quieren obtener datos cuantitativos correctos y precisos para el diseño de un proyecto, a partir del estudio con un modelo, debe haber similitud dinámica entre el modelo y el prototipo. Esta semejanza requiere:  Haya una similitud geométrica exacta.  Que la razón de las presiones dinámicas en puntos correspondientes sea constante. Este requerimiento también se puede expresar como una similitud cinemática; por ejemplo, las líneas de corriente deben ser geométricamente similares.

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FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL La similitud geométrica se extiende a la rugosidad de la superficie modelo y prototipo. Si el modelo es un décimo del tamaño del prototipo en toda dimensión lineal, la altura de las proyecciones de rugosidad debe estar en la misma proporción. Para que las presiones dinámicas estén en la misma proporción en puntos correspondientes del modelo y del prototipo, las razones de varios tipos de fuerzas deben ser las mismas en puntos correspondientes. Por tanto, para que se tenga una similitud dinámica estricta, los números de Mach, de Reynolds, de Froude y de Weber deben ser los mismos tanto para el modelo como para el prototipo. Este estricto requerimiento es generalmente imposible de lograr, excepto con una proporción de escala 1:1. Afortunadamente, en muchas situaciones dos de las fuerzas son de la misma magnitud a) SEMEJANZA GEOMÉTRICA. Entre el modelo y el prototipo existe una semejanza geométrica cuando las relaciones entre todas las dimensiones son iguales entre el modelo y el prototipo:

(5.1) (5.2)

(5.3)

Cualquier magnitud derivada depende de las anteriores; por ejemplo:

1) Escala de Áreas:

(5.4)

2) Escala de Volúmenes:

(5.5)

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FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL b) SEMEJANZA CINEMÁTICA. Existe una semejanza cinemática entre el modelo y el prototipo cuando:  Las trayectorias de las partículas móviles iguales son geométricamente semejantes.  Las relaciones entre las velocidades de las partículas homologas son iguales. Escala de Velocidades:

(5.6) Escala de Aceleraciones:

(5.7) Escala de Gastos o Caudales:

(5.8) c) SEMEJANZA DINÁMICA. Entre dos sistemas semejantes geométricos y cinemática mente existe semejanza dinámica si las relaciones entre las fuerzas homólogas en el modelo y el prototipo son las mismas. Las condiciones requeridas para la semejanza completa se obtienen a partir del segundo principio de Newton, ∑ Las fuerzas que pueden influir en el flujo de los fluidos pueden ser: fuerzas viscosas, fuerzas debidas a la presión, fuerzas gravitatorias, fuerzas debidas a la tensión superficial y las fuerzas elásticas o una combinación de las mismas. Entonces entre el modelo y el prototipo se desarrolla la siguiente relación: Escala de fuerzas: ∑

(

)

∑

(

)

( ) ( )

MECÁNICA DE FLUIDOS I

(5.9)

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FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL Los campos de fuerzas que pueden aparecer en la interacción de un fluido y un objeto, pueden ser: fuerzas viscosas, fuerzas debidas a la presión, fuerzas gravitatorias, fuerzas debidas a la tensión superficial y las fuerzas elásticas. 1) Fuerza de Inercia: Son aquellas determinadas por la variación temporal de la cantidad de movimiento, y cualitativamente. Podemos expresarlas por:

(

)

( * (5.10)

2) Fuerza de Rozamiento por Viscosidad: Son aquellas determinadas por el campo de tensiones, que a su vez viene determinado por la viscosidad y el campo de velocidades, y podemos expresarlas cualitativamente por:

(5.11)

3) Fuerza de Gravitatorias: Están determinadas por la posición en el campo gravitatorio, expresadas por:

(5.12) 4) Fuerzas de Presión: Están determinadas por el campo de presiones:

(5.13) 5) Fuerzas de Elasticidad: Están determinadas por la compresibilidad del fluido, o bien por la velocidad de pequeñas perturbaciones en el seno del fluido:

(5.14) 6) Fuerzas de tensión superficial: Están determinadas por:

(5.15) MECÁNICA DE FLUIDOS I

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FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL También podemos decir que en la semejanza dinámica total, el factor de escala de fuerzas debe ser constante, independientemente del campo de fuerzas considerado: ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( (

( )

(

) )

(

) )

(5.16) De esta ecuación se puede hacer las siguientes relaciones: a) Relación entre las fuerzas de inercia y fuerzas viscosas:

( ) ( )

( )

(

(

)

( )

(

)

(

)

(

(

*

)

)

( ) ( )

(

*

(

)

Entonces existe semejanza entre los campos de fuerzas de inercia y de esfuerzos viscosos, entre modelo y prototipo, el número de REYNOLDS del modelo debe ser el mismo que el del prototipo.

(5.17)

b) Relación entre las fuerzas de inercia y fuerzas gravitatorias:

( ) ( )

( )

(

(

)

( )

(

)

(

)

(

(

)

)

)

( ) ( )

(

)

(

)

Es decir, para la semejanza de los campos de fuerzas de inercia y fuerzas gravitatorias, entre modelo y prototipo, el número de FROUDE del modelo debe ser el mismo que el del prototipo.

(5.18)

MECÁNICA DE FLUIDOS I

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FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL c) Relación entre las fuerzas de inercia y fuerzas elásticas:

( )

( )

(

(

)

)

( ) ( )

(

)

( ) ( )

(

)

(

)

(

(

)

(

(

)

(

)

)

Es decir, para la semejanza de los campos de fuerzas de inercia y de compresibilidad, entre modelo y prototipo, el número de MACH del modelo debe ser el mismo que el del prototipo.

(5.19) d) Relación entre las fuerzas de inercia y fuerzas de tensión superficial:

( )

( )

(

(

)

)

( ) ( )

(

)

( ) ( )

(

)

(

(

)

(

(

)

)

)

Es decir, para la semejanza de los campos de fuerzas de inercia y de fuerzas de tensión superficial, entre modelo y prototipo, el número de WEBER del modelo debe ser el mismo que el del prototipo.

(5.20) e) Relación entre las fuerzas de inercia y fuerzas de presión: ( )

( )

( )

(

(

)

( )

(

)

(

)

( (

) *

) ( ) ( )

(

)

(

)

( (

) *

Es decir, para la semejanza de los campos de fuerzas de inercia y de fuerzas de presión, entre modelo y prototipo, el número de EULER del modelo debe ser el mismo que el del prototipo.

(5.21)

MECÁNICA DE FLUIDOS I

)

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FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL Para la semejanza dinámica total entre modelo y prototipo, el factor de escala de fuerzas debe ser constante, y con ello se tiene las siguientes igualdades entre los parámetros adimensionales de modelo y prototipo:

El cumplimiento simultaneo de todas las igualdades anteriores, lleva al absurdo de que el factor de escala de longitudes sea 1, es decir que el modelo es el propio prototipo; lo que quiere decir que es imposible ensayar un modelo a escala, y que se conserve la semejanza en todos los campos de fuerza entre modelo y prototipo; no obstante, en los ensayos con modelos lo que se hace es considerar cual es el parámetro adimensional controlante, es decir el campo de fuerzas más importante. 6. NÚMEROS ADIMENSIONALES CONTROLANTES EN SEMEJANZA. A continuación se establecen unas pautas cualitativas en el análisis dimensional de diversos flujos, para establecer que números adimensionales tienen mayor importancia y cuales se pueden no considerar (sus efectos).  En flujo incompresible, estacionario y sin superficie libre, el número adimensional controlante es el Re. Es decir se podrá considerar semejanza si el número de Reynolds del modelo es el mismo que el del prototipo.  En flujo incompresible, estacionario y con superficie libre, los números controlantes son el Re y el Fr. Pero normalmente no es posible mantener los dos números simultáneamente iguales; con lo que en este caso se considera controlante el número de Froude.  En flujo compresible, estacionario y sin superficie libre, los números controlantes son el Re y el Ma; por no poder mantener simultáneamente las igualdades, se considera el más controlante el número de Mach.  En general si el Re es muy grande, se puede no considerar sus efectos, siendo controlantes el Ma o el Fr. No obstante el Re marca en qué tipo de flujo se está, pero si el flujo es turbulento completamente desarrollado, la influencia del Re es prácticamente constante.  Si el flujo es no estacionario se debe considerar además el número de Strouhal. Es importante destacar que se pueden tener dos tipos de procesos no estacionarios: a) Flujo no estacionario con condiciones de contorno estacionarias. b) Flujo no estacionario con condiciones de contorno no estacionarias .

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PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1. El arrastre D sobre una campana sumergible depende de la siguiente variable: del volumen del vehículo, densidad del agua, viscosidad del agua, velocidad del vehículo y de la rugosidad de las superficies.

V = Volumen del vehículo. Densidad de agua. Viscosidad de agua. Velocidad e l vehículo. Rugosidad de las superficies.

Deduzca un grupo de parámetros adimensionales independientes. Utilice el sistema M L T de dimensiones básicas. Se desea que estén en un mismo grupo. SOLUCIÓN: a) Hacemos una relación, que relacione dichas las variables:

(

)

Como podemos apreciar que son cinco las variables implicadas tendremos dos parámetros adimensionales:

(

)

(

)

Remplazando por sus dimensiones tenemos:

( ) (

) (

) (

) ( )

Aplicando la ley de homogeneidad de la fuerza tenemos:

MECÁNICA DE FLUIDOS I

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FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL Como se quiere que eliminamos b, d y f.

formen un solo grupo adimensional. Entonces

(

)

(

)

(

)

Por lo tanto: (

[ [

)

]

(

) (

[( * (

)

]

*]

2. Una barcaza de 20m de ancho se remolca a una velocidad Un modelo a escala de 1:30 con respecto al prototipo se ensaya en un tanque de remolque. ¿Cuál debe ser la relación de arrastres si se duplicara el arrastre de onda con la idea de hacer correcciones más adelante para el arrastre por fricción superficial. Suponga que para ambos casos la densidad del agua es 1000Kg/m3 y la para el modelo y el prototipo.

SOLUCIÓN Como debemos duplicar el número de Froude:

(

)

(

MECÁNICA DE FLUIDOS I

(

)

)

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FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL Si miramos el número de Euler tenemos:

( (

*

(

*

(

* *

Entonces podemos decir que:

( (

) )

( (

)( ) ) (

)

3. La escala de longitudes para construir el modelo de una represa es de 1/100. Si el modelo ha de ser operado en agua, del mismo modo que le prototipo, teniendo en cuenta que la gravedad actúa al igual sobre ambos. ¿Cuáles serán las escalas para: tiempos, masas, velocidades, gastos, trabajo, potencias, fuerzas y presiones. SOLUCIÓN a) Como la gravedad interviene en modelo y en prototipo tememos que: Es decir:

√

….. (1)

Escala de tiempos b) Como se usa el mismo líquido en el modelo y prototipo, tendremos que: Es decir:

…. (2) Escala de masas

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Página 2

FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL c) Se sabe que:

Remplazando la ecuación (1) tenemos que:

√

√

…… (3)

Escala de velocidades d) Se sabe que:

Remplazando la ecuación (1) tenemos:

√

( )

……. (4)

Escala de Gastos. e) Se sabe que:

Remplazando las ecuaciones (1) y (2)

tenemos:

……. (5) Escala de fuerzas f) Se sabe que:

Remplazando las ecuación (5) tenemos:

……. (6) Escala de trabajo g) Se sabe que:

Remplazando las ecuaciones (1) y (6) tenemos:

√

( )

……. (7)

Escala de Potencias. h) Se sabe que:

Remplazando las ecuación (5) tenemos:

……. (7) Escala de Presiones. MECÁNICA DE FLUIDOS I

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FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL 4. ¿En qué escala habrá que producir el aliviadero de una represa que tiene una descarga máxima de . A fin de que el gasto en el modelo no exceda de 1.12 litros/segundo? SOLUCIÓN En este problema, se aprecia, que depende de la inercia y gravedad, por lo tanto aplicamos la semejanza de Froude:

Multiplicando y dividiendo en ambos miembros por el área al cuadrado: Como:

(

, tenemos:

*

En el cual tenemos:

LUEGO:

(

)

(

)

Aplicando logaritmos tenemos:

( )

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(

)

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FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL 5. Para determinar la resistencia que opondrán las olas a un barco que se quiere construir, es necesario hacer ensayos previos en laboratorio sobre un modelo reducido a escala 1/36. a) Si la velocidad máxima que el prototipo ha de alcanzar es de 25 nudos, ¿A qué velocidad habrá de someterse el modelo reducido a escala, para obtener olas dinámicamente semejantes a las de la realidad? b) Si se encuentra que la resistencia de las olas en el modelo es de 0.3Kg. ¿Cuál será la correspondencia en el prototipo? SOLUCIÓN A. En este caso interviene la inercia y la gravedad, lo cual aplicamos la semejanza de Froude:

Despejando tenemos que la velocidad del modelo es:

√

√

B. En este caso interviene la inercia y la fuerza, podemos partir del número de Euler que relaciona la inercia y la fuerza: Como la presión es:

( Donde:

;

;

(

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* (

tenemos:

* y remplazándolos tenemos:

* (

)

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FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL IV. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES. 1. Se logró desarrollar el tema de análisis dimensional y similitud hidráulica. 2. Se desarrollo la demostración de los números de Reynolds, Weber, Mach, etc 3. Se explico el teorema de Buckingham.

V. BIBLIOGRAFÍA. 1. https://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:gvRmFm9rNy8J:www.unioviedo.es/Areas/M ecanica.Fluidos/docencia/_asignaturas/mecanica_de_fluidos/08_09/II.1.%2520ANALISIS%2 520DIMENSIONAL%25200809.pdf+analisis+dimensional+formulas&hl=es&gl=pe&pid=bl&src id=ADGEESjhGZ4WLKTwSfynxLF4YoSyopcq8IjWt3s7dWsAxtM5uzGVD4qtlRyJs91k1i2zaOVYIP 130n6IM2gdE1r9iORUH3SVlsMzTjUxwYEUEe13ng4GABlClJV5uill41hi5Cv6Ofhw&sig=AHIEtb Qg7VtEE4GTcyJgwE53WEDaZHcUHA 2. http://es.scribd.com/doc/33752304/ANALISIS-DIMENSIONAL 3. http://es.scribd.com/doc/66650134/5/PRINCIPIO-DE-HOMOGENEIDADDIMENSIONAL#page=11

IV. ANEXOS.

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