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UNIVERSIDAD SEÑOR DE SIPÁN Facultad de Ingeniería, Arquitectura y Urbanismo Escuela Profesional de Ingeniería Civil

“Análisis Dimensional y Semejanza Hidráulica”

DOCENTE:

Ing. Loayza Rivas Carlos Adolfo

ASIGNATURA:

Mecánica De Fluidos I

INTEGRANTES:

AÑO ACADÉMICO:

2016-1

CICLO:

IV

AULA- SECCIÓN:

I 401- “B”

Pimentel, 03 de Diciembre del 2016

MECANICA DE FLUIDOS I

2016

PRESENTACION El presente informe basado en el Análisis Dimensional y Semejanza Hidráulica, es el fruto de un trabajo de investigado realizado en equipo, por alumnos de la Escuela Profesional de Ingeniería Civil de la Universidad Señor de Sipán.

Preparado especialmente para complementar los conocimientos que hemos adquirido con anterioridad y así hacer más extenso nuestro conocimiento al respecto.

En la información presentada se trata de abarcar la mayor parte del tema de Análisis Dimensional y Semejanza Hidráulica.

LOS AUTORES

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INTRODUCCIÓN En el presenta trabajo de investigación estudiaremos sobre una parte de la mecánica de fluidos, la cual es muy importante conocer ya que esto es aplicada en los trabajos de ingeniería, el Análisis Dimensional y Semejanza Hidráulica la cual nos basaremos en la información de libros y en la búsqueda acerca del tema citamos algunas páginas de internet las cuales nos ayudaron a facilitar un análisis más concreto del tema.

La finalidad de este trabajo es causar controversia y generar debate en torno a que acciones debemos adoptar en el uso de estos elementos para luego ser aplicados en los métodos de análisis utilizables.

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OBJETIVOS Objetivo general.  El objetivo general de este informe es dar a conocer los conceptos básicos de Análisis Dimensional y Semejanza Hidráulica, además manejar sus unidades de medida.

Objetivos específicos.  Comprender el efecto del Análisis Dimensional y Semejanza Hidráulica en los fluidos.  Conocer la importancia del concepto del Teorema Pi De Buckinghan y sus consideraciones.  Conocer las relaciones que existen entre Análisis Dimensional y Semejanza Hidráulica de un fluido.  Saber en qué se basa el funcionamiento de Número De Euler, Número De Mach, Número De Weber.  Analizar y dar solución a los problemas planteados, haciendo uso de los conocimientos adquiridos en esta exposición.

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Tabla de contenido 1.

ANÁLISIS DIMENSIONAL ................................................................................................ 5 1.1.

CONCEPTO. ................................................................................................................. 5

1.2.

MAGNITUDES FUNDAMENTALES. ....................................................................... 5

1.3.

MAGNITUDES DERIVADAS. ................................................................................... 5

1.4.

APLICACIONES. ......................................................................................................... 6

TEOREMA π DE BUCKINGHAM ...................................................................................... 6

2.

2.1.

PROCEDIMIENTO. ..................................................................................................... 7

2.2.

CONSIDERACIONES.................................................................................................. 8

3.

SEMEJANZA HIDRAULICA .............................................................................................. 8 3.1.

SEMEJANZA GEOMÉTRICA. ................................................................................... 8

3.2.

SEMEJANZA CINEMÁTICA. .................................................................................... 8

3.3.

SEMEJANZA DINAMITICA. ................................................................................... 10

1.

Número de Reynolds (Re) ............................................................................................... 13

2.

Número de Fraude. (F) .................................................................................................... 16

3.

Número de Euler (EU) ..................................................................................................... 17

4.

Número de Mach. (M) ..................................................................................................... 17

5.

Número de Weber (W). ................................................................................................... 18

PROBLEMAS ILUSTRATIVOS ............................................................................................... 19 BIBLIOGRAFÍA......................................................................................................................... 25 LINKOGRAFÍA ......................................................................................................................... 26

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1. ANÁLISIS DIMENSIONAL 1.1.

CONCEPTO.

El análisis dimensional es una herramienta muy útil de la moderna mecánica de los fluidos. Mediante la técnica del análisis dimensional se puede expresar cualquier magnitud física (velocidad, viscosidad, etc.) en función de dimensiones fundamentales y con ello facilitar el estudio de los modelos hidráulicos.

1.2.

MAGNITUDES FUNDAMENTALES.

Magnitud Masa Longitud Tiempo Temperatura termodinámica Intensidad de corriente eléctrica Intensidad luminosa Cantidad de sustancia

1.3.

dimensiones

símbolo

Unidad

𝑀 𝐿 𝑇 𝜃 𝐼 𝐽 𝑁

𝑘𝑔 𝑚 𝑠 𝑘 𝐴 𝑐𝑑 𝑚𝑜𝑙

kilogramo metro segundo kelvin ampere candela mol

MAGNITUDES DERIVADAS.

Magnitud Superficie Volumen Velocidad Aceleración Velocidad angular Aceleración angular Densidad Gravedad Fuerza Presión Energía

dimensiones

símbolo

𝐿2 𝐿3 𝐿𝑇 −1 𝐿𝑇 −2 𝑇 −1 𝑇 −2 𝑀𝐿−3 𝐿𝑇 −2 𝑀𝐿𝑇 −2 𝑀𝐿−1 𝑇 −2 𝑀𝐿2 𝑇 −2

𝑚2 𝑚3 𝑚/𝑠 𝑚/𝑠 2 𝜔 𝛼 𝜌 𝑔 𝐹 𝑃 𝐸

La comparación de magnitudes se ha llevado a cabo desde el principio de los tiempos hasta los tiempos actuales de distintas maneras como las medidas de pulgadas, pies, etc. Ejemplo practico Se deduce que para el análisis dimensional se debe comparar magnitudes Si nos piden medir una pizarra con el plumón, este sería nuestra unidad de medida Suponemos resultados imaginarios Plumón…..… Unidad de medida Pizarra……… objeto a medir “18 plumón” dicho resultado es acompañado por una cantidad numérica más la unidad de media

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1.4.

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APLICACIONES.

El análisis dimensional sirve para: 1. Conversión de unidades de un sistema a otro. 1000𝑚 𝐾𝑚. = 1000𝑚 𝐾𝑚 2. Desarrollo de ecuaciones. 5𝐾𝑚 + 1500𝑚 − 𝑥 = 2000𝑚 5𝐾𝑚 + 1500𝑚 − 2000𝑚 = 𝑥 5𝐾𝑚 + 1,5𝐾𝑚 − 2𝐾𝑚 = 𝑥 4.5Km=x 3. Reducir el número de variables requeridas en un programa experimental. 𝑚 𝑚3 ∗ 𝑚2 = 𝑠 𝑠 4. Establecer los principios para el diseño de modelos. Velocidad x Área = Caudal

2. TEOREMA π DE BUCKINGHAM Este teorema es muy útil cuando el número de variables o magnitudes físicas que intervienen en el fenómeno físico, sean cuatro o más. Estas magnitudes pueden agruparse en un número menor de grupos adimensionales significativos, a partir de los cuales puede establecerse una ecuación. Los grupos adimensionales se llaman grupos o números π .Si en el fenómeno físico en cuestión intervienen “n” magnitudes físicas q :q1 , q 2 , q3 ,..., qn de las cuales “m” fundamentales (por ejemplo: fuerza, longitud y tiempo, o bien masa, longitud y tiempo) y otras que (tales como: velocidad, densidad, viscosidad, presión, área), entonces matemáticamente:

f1 (q1 , q2 , q3 ,...qn )  0 Y esta ecuación puede reemplazarse por la relación.

 ( 1 ,  2 ,  3 ,... mn )  0

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π = Número Pi, parâmetro adimensional. N = Número total de magnitudes físicas. M = Número de magnitudes fundamentales o básicas (F, L T). N-M = Número de parâmetros π

2.1.

PROCEDIMIENTO.

1. Se escriben las “n” magnitudes físicas “q” que intervienen en un problema en particular, anotando sus dimensiones y el número “m” de dimensiones fundamentales. Existirán (nm) números π. 2. Seleccionar “m” de estas magnitudes, sin que haya ninguna sin dimensiones, ni dos que tengan las mismas dimensiones. Todas las dimensiones fundamentales deben incluirse colectivamente en las magnitudes seleccionadas. 3. El primer grupo π puede expresarse como el producto de las magnitudes escogidas, elevada cada una a un exponente desconocido, y una de las otras magnitudes elevada a una potencia conocida (normalmente se toma igual a uno). 4. Mantener las magnitudes escogidas en (2) como variables repetidas y escoger una de las restantes variables para establecer el nuevo número π. Repetir el procedimiento para obtener los sucesivos números π. 5. En cada uno de los grupos π determinar los exponentes desconocidos mediante el análisis dimensional. Así por ejemplo: Si de las “N” magnitudes “q” elegimos q1, q2 y q3 como magnitudes básicas (M=3), entonces estas serán las variables que se repiten; siendo (N-3) los parámetros π:

 1  q1x .q 2y .q3z .q 4 1

1

1

 2  q1x .q 2y .q3z .q5 2

2

2

 3  q1 x .q2y .q3z .q6 3

3

3

.

.

.

 N 3  q1 x .q2y .q3z .q N N 3

N 3

N 3

Los valores de x, y, z, se determinan de tal manera que π sea adimensional.

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2.2.

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CONSIDERACIONES.

1. Si una magnitud es adimensional constituye un grupo π sin necesidad de aplicar el procedimiento anterior. 2. Si dos magnitudes físicas cualesquiera tienen las mismas dimensiones su cociente será un número adimensional π. Por ejemplo: L/L es adimensional y, por tanto, un número π. 3. Cualquier número π puede ser sustituido por una potencia del mismo, incluida π-1.Por ejemplo,  3 puede de reemplazarse por  32 , ó  2 por 1/ π2. 4. Cualquier número π puede sustituirse por su producto por una constante numérica. Por ejemplo:  1 puede reemplazarse por 3π1. 5. Cualquier número π puede expresarse como función de otros números π. Por ejemplo, si hay dos números π,  1  f  2 

3. SEMEJANZA HIDRAULICA La teoría de las semejanzas es aquella que se emplea para el trabajo con modelos a escala en túneles aerodinámicos con el objetivo de que el comportamiento de los mismos sea lo más cercano posible a como se comportaría en una situación real el objeto en cuestión. Manifiesta que los criterios fundamentales para establecer la semejanza de un modelo a escala con el objeto real son los del número de Reynolds y el número de Mach. Los objetos de estudio pueden ser vehículos espaciales, aviones, puentes y edificaciones. Para analizar mediante un modelo a escala los fenómenos que podrían ocurrir en el objeto real es necesario que entre ambos (modelo y objeto real) exista semejanza geométrica, cinemática y dinámica.

3.1.

SEMEJANZA GEOMÉTRICA.

Según esta teoría, los casos más simples de las semejanzas de fenómenos, es la semejanza geométrica. Dos fenómenos (cosas) son geométricamente semejantes si todas las correspondientes dimensiones lineales que las caracterizan son proporcionales. Los criterios de semejanza geométrica son relaciones entre cualesquier correspondientes dimensiones lineales. En los fenómenos geométricamente semejantes, todos los criterios homónimos de semejanza geométrica son iguales.

3.2.

SEMEJANZA CINEMÁTICA.

Los movimientos en modelos y prototipo tienen similitud cinemática si partículas homologas llegan a puntos homólogos en tiempos homólogos. Por tanto la similitud cinemática obliga a que modelo y prototipo tengan una escala de líneas y también una escala de tiempos, con ello se logra una escala única de velocidades. 𝑉𝑒 =

𝑉𝑃 𝑉𝑚

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2016 𝑇𝑒 =

𝑇𝑝 𝑇𝑚

Donde: Ve = escala de velocidades Te = escala de tiempos El cumplimiento de este tipo de semejanza obliga a que haya similitud geométrica; cuando ambas se cumplan, las direcciones del flujo en puntos homólogos del prototipo y modelo son semejantes, es decir, la forma de las líneas de corriente es la misma del modelo y prototipo.

Puesto que hay una escala de velocidades y de tiempos, se cumple que existe una escala de aceleraciones ae dada por:

𝑎𝑒 =

𝑎𝑝 𝑉𝑒 = 𝑎𝑚 𝑇𝑒

Por lo anterior, si se conoce el valor fijo Ve, Te y ae, y se miden velocidades, tiempo y aceleración en puntos homólogos del prototipo, para ello se multiplica la magnitud deseada del modelo por su correspondiente escala. Existe semejanza cinemática entre modelo y prototipo si:

a) Las trayectorias de las partículas homólogas son geométricamente semejantes.

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Prototipo Modelo

V1 p

V1m

V2 m

V2 P

b) Las relaciones entre las velocidades de las partículas homólogas son iguales.

V1m V2 m   Vr V1 p V2 p

Vr  En general:

3.3.

Vm Vp

donde: Vr = Relación de velocidades.

SEMEJANZA DINAMITICA.

Si las fuerzas ejercidas por un fluido en puntos homólogos del modelo y prototipo se relacionan entre sí mediante un valor fijo, fe, (escala de fuerzas), se dice que se cumple la semejanza dinámica. El cumplimiento de esta, exista semejanza geométrica y cinemática, por ello algunos autores indican que entre modelo y prototipo existe semejanza cuando cumplan con la semejanza dinámica. Las fuerzas que actúan sobre una partícula de fluido pueden ser debido a la gravedad, Fg, a la presión FP, a la viscosidad y a la tensión superficial. Si la suma de esas fuerzas más la inercia no es igual a cero, la partícula se acelerara. Se puede demostrar por razones de equilibrio, que la suma de las fuerzas anteriores más la fuerza de inercia, es igual a cero.

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Existe semejanza dinámica cuando: Tienen semejanza geométrica y cinemática. Las relaciones entre las fuerzas del modelo y del prototipo son semejantes.

F1 p

F1m

F2 p

F2 m

Modelo

Prototipo

F 1m F2 m   Fr F1 p F2 p

Fr  En general:

Fm Fp

; donde: Fr = Relación de fuerzas

F1 = Fuerza de Inercia = m. a F2 = Fuerza cualquiera que interviene en el fenómeno, que puede ser una fuerza Viscoso, gravitatoria, elástica, de presión o fuerza de tensión superficial. El ingeniero que ensaya un modelo hidráulico estudia únicamente las fuerzas predominantes. En la mayoría de los problemas con líquidos llega a predominar sólo una fuerza de entre las mencionadas, aparte de la fuerza de inercia. La consideración de la fuerza predominante se hace a través de un parámetro adimensional. Estos parámetros son:

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1. Número de Reynolds (Re) Objetivo Relacionar la velocidad y las propiedades físicas de un fluido, así como la geometría del ducto por el que fluye con los diversos patrones de flujo. Introducción Cuando un líquido fluye en un tubo y su velocidad es baja, fluye en líneas paralelas a lo largo del eje del tubo; a este régimen se le conoce como “flujo laminar”. Conforme aumenta la velocidad y se alcanza la llamada “velocidad crítica”, el flujo se dispersa hasta que adquiere un movimiento de torbellino en el que se forman corrientes cruzadas y remolinos; a este régimen se le conoce como “flujo turbulento”(figura 2.1). El paso de régimen laminar a turbulento no es inmediato, sino que existe un comportamiento intermedio indefinido que se conoce como “régimen de transición”.

Si se inyecta una corriente muy fina de algún líquido colorido en una tubería transparente que contiene otro fluido incoloro, se pueden observar los diversos comportamientos del líquido conforme varía la velocidad (véase la Figura 2.2). Cuando el fluido se encuentra dentro del régimen laminar (velocidades bajas), el colorante aparece como una línea perfectamente definida (Figura 2.1), cuando se encuentra dentro de la zona de transición (velocidades medias), el colorante se va dispersando a lo largo de la tubería (Figura 2.2) y cuando se encuentra en el régimen turbulento (velocidades altas) el colorante se difunde a través de toda la corriente (Figura 2.3).

Las curvas típicas de la distribución de velocidades a través de tuberías se muestran en la Figura 2.3.

Para el flujo laminar, la curva de velocidad en relación con la distancia de las paredes es una parábola y la velocidad promedio es exactamente la mitad de la velocidad máxima. Para el flujo turbulento la curva de distribución de velocidades es más plana (tipo pistón) y el mayor cambio de velocidades ocurren la zona más cercana a la pared. Página 13

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Marco teórico Los diferentes regímenes de flujo y la asignación de valores numéricos de cada uno fueron reportados por primera vez por Osborne Reynolds en 1883. Reynolds observo que el tipo de flujo adquirido por un líquido que fluye dentro de una tubería depende de la velocidad del líquido, el diámetro de la tubería y de algunas propiedades físicas del fluido. Así, el número de Reynolds es un número adimensional que relaciona las propiedades físicas del fluido, su velocidad y la geometría del ducto por el que fluye y esta dado por:

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Cuando el ducto es una tubería, D es el diámetro interno de la tubería. Cuando no se trata de un ducto circular, se emplea el diámetro equivalente (De) definido como:

Generalmente cuando el número de Reynolds (Ecuación) se encuentra por debajo de 2100 se sabe que el flujo es laminar, el intervalo entre 2100 y 4000 se considera como flujo de transición y para valores mayores de 4000 se considera como flujo turbulento. Este grupo adimensional es uno de los parámetros más utilizados en los diversos campos de la Ingeniería Química en los que se presentan fluidos en movimiento. Considera el efecto de la viscosidad y se obtiene planteando la relación entre las fuerzas de inercia y viscosidad.

Re 





FI a  ma   dv FN A . . A dy

 L3 

 L  2 2 2 2  T    L /T L V VL . .L2 L





V 2 L2 VL VL VL    VL  /  Re 

VL 

“Si Re es menor, mayor es el efecto de la viscosidad” Donde: V = Velocidad.

 = Viscosidad Cinemática. L = Longitud características (En tuberías se usa L = D). El número de Reynolds se utiliza como criterio de semejanza en flujos donde predomina el efecto viscoso; tales como: -

Sistemas a presión (tuberías). Modelos de naves aéreas. Cuerpos sumergidos (torpedos). Medidores de caudal (Venturí). En transiciones. Página 15

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2. Número de Fraude. (F) El monomio:

Siendo F2 el número de Froude al cuadrado. Este número es fundamental en la hidráulica para la separación del tipo de régimen en la circulación del agua en lámina libre. Este número puede obtenerse también por la relación entre las fuerzas de inercia y gravedad, así: Considera el efecto de la gravedad y se obtiene planteando la relación entre las fuerzas de inercia y gravitatoria.

FI ma V 2 L2 V 2    FG mg gL L3 g

 la raíz cuadrada de esta expresión se le denomina número de Froude. 

F

V gL

“Si F es menor; mayor es el efecto de la gravedad”. El número de Froude se utiliza como criterio de semejanza en flujos donde predomina la fuerza gravitatoria; tales como: -

Cuerpos donde existe una superficie libre. (barcos). En modelos de canales (L = Tirante de agua). En vertederos, aliviaderos de demasías. En compuertas y caídas. En el salto hidráulico.

Este número es debido a los estudios realizados por William Froude para determinar la resistencia de los barcos al avance entre las olas. Para ello realiza experimentos con placas arrastradas por el agua. En el caso de los buques la magnitud geométrica de longitud es la eslora del buque, mientras que en la hidráulica de canales se considera el calado y. El término c2 = g · y, siendo y el calado, se corresponde además con la celeridad de una onda de gravedad en superficie libre y aguas poco profundas. Por tanto el Número de Froude nos da la relación entre la velocidad del fluido (v) y la velocidad de la onda de gravedad (c) y justifica el comportamiento de los frentes de onda en canales. Página 16

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3. Número de Euler (EU) Considera el efecto de la presión y se obtiene planteando la relación entre las fuerzas de inercia y presión.

EU 

FI ma V 2 L2 V 2    FP  . A P P.L2



Eu 

V 2 P

“si EU es menor; mayor es el efecto de la presión” El número de Euler se utilizada en aquellos fenómenos donde predomina el cambio de presión, tales como: -

Máquinas hidráulicas. Bombas, turbinas.

4. Número de Mach. (M) Considera el efecto de la compresibilidad del fluido y se obtiene planeando la relación entre las fuerzas de inercia y elástico.

FI m.a V 2 L2 V 2 V2     FE E. A E E/ EL2 a la raíz cuadrada de esta expresión se le denomina número de Mach.



M

V E/

“Si M es menor; mayor es el efecto de la fuerza elástica”. El número de Mach, se utiliza en fenómenos donde predomina la compresibilidad del fluido, tales como: -

Codos sometidos a golpes de ariete. Naves aéreas en el túnel supersónico.

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5. Número de Weber (W). Considera el efecto de la tensión superficial y se obtiene planteando la relación entre las fuerzas de inercia y tensión superficial.

W

FI m.a V 2 L2 V 2 L    FG  .L  .L 



W

V 2 L 

“Si W es menor; mayor es el efecto de la fuerza de tensión superficial”. El número de Weber se utiliza en: - Ensayos de ondas capilares en canales pequeños. - Estudios del movimiento capilar del agua en los suelos. Comentario.

Para la perfecta semejanza dinámica se deberían cumplir simultáneamente las cinco ecuaciones siguientes:

Rem  Rep ;

Eum  Eup ;

Fm  Fp ;

Mm  M p;

Wm  W p

El cumplimiento simultáneo de estas cinco ecuaciones es imposible en el ensayo de modelos reducidos solo pueden cumplirse se la escala 1:1. Por eso de la ecuación dada, es de ordinario escoger una sola, la que más se ajuste al fenómeno.

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PROBLEMAS ILUSTRATIVOS

Ejercicio 01 Hallar x+y-z en la siguiente ecuación: 𝐷 = 𝐹𝑥. 𝑊𝑦. 𝑅𝑧 Si se sabe que: F: fuerza W: velocidad angular R: radio D: densidad 𝐷 = 𝐹𝑥. 𝑊𝑦. 𝑅𝑧 [𝑀𝐿−3 ] = [𝑀𝐿𝑇 −2 ]𝑥 . [𝑇 −1 ]𝑦 . [𝐿] 𝑧 [𝑀1 𝐿−3 𝑇 0 ] = [𝑀𝐿𝑇 −2 ]𝑥 . [𝑇 −1 ]𝑦 . [𝐿] 𝑧 𝑀1 𝐿−3 𝑇 0 = 𝑀 𝑥 𝐿𝑥 𝑇 −2𝑥 . 𝑇 −𝑦 . 𝐿𝑧 𝑀1 𝐿−3 𝑇 0 = 𝑀 𝑥 𝐿𝑥+𝑧 𝑇 −2𝑥−𝑦 -1=x -x+z=-3 1+z=-3 Z=-4 -0=-2x-y Y=-2 ∴ 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1 + (−2) − (−4) = 1 − 2 + 4 = 3

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Ejercicio 02 EJERCICIO Se tiene un ventilador de Φ = 20 𝑐𝑚. , 𝑐𝑜𝑛 ℎ = 200 𝑚. 𝑦 𝑄 = 2 𝑚⁄ 2, que es accionado por un 𝑠 motor de 8 Hp, y se requiere utilizar el mismo motor para accionar un ventilador equivalente pero de Φ = 30 𝑐𝑚., de caudal y altura diferente. ¿Cuál sería la altura que tendría y su caudal? Y ¿Qué potencia absorbería el motor? DATOS: MODELO:

PROTORIPO:

ΦM = 20 cm.

Φp = 30 cm.

𝑄𝑢 = 2 𝑚3 ⁄𝑠

𝑄𝑃 =? ?

𝐻𝑀 = 200𝑚.

𝐻𝑃 =? ?

𝑃𝑀 = 8 𝐻𝑃

𝑃𝑃 =? ?

SOLUCION: 𝑄𝑃 = 𝑄𝑀 U𝑈 =

𝜋𝐷𝑁 60

𝑄𝑃 = PERO:

𝐷𝑃 𝐷𝑀

=𝜆=

𝑄𝑀 (𝜋 2 𝐷𝑃 𝑁𝑃 𝑥𝐷𝑝2 )/60 𝑄𝑀 𝑥𝐷𝑃3 𝐷𝑝 = = 𝑄𝑀 𝑥 ( ) 2 3 2 𝐷𝑀 (𝜋 𝐷𝑀 𝑁𝑀 𝑥𝐷𝑀 )/60 𝐷𝑀

30 20

30 3 𝑄𝑃 = 2𝑥 ( ) 20 𝑄𝑃 = 6.75 𝑚3 ⁄𝑠 N𝑁𝑞𝑃 = 𝑁𝑞𝑀 𝑁𝑃 √𝑄𝑃 3 4

=

𝑁𝑀 √𝑄𝑀

𝐻𝑃

3 4 𝐻𝑀

Como: 𝑁𝑃 = 𝑁𝑀 3 3 𝑄𝑀 4 √ 𝐻𝑃4 = 𝐻𝑀 𝑄𝑃

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2

𝑄𝑃 𝑄𝑃 3 𝐻𝑃 = [200 ( ) ] = 200 ( ) 𝑄𝑀 𝑄𝑀 2

6.75 3 𝐻𝑃 = 200 ( ) 2 𝐻𝑃 = 450 𝑚 La eficiencia del ventilador: 0.9 < n < 0.98 𝑃=

𝛾𝑄𝑃 𝐻𝑃 1.29 ∗ 6.75 ∗ 450 = 76 ∗ 𝑛 76(0.92) 𝑃𝑃 = 56.04 𝐻𝑃

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Ejercicio 03 Calcular la rapidez del flujo de volumen máxima de aceite combustible a 45°C a la cual el flujo seguirá siendo laminar en un conducto de 100mm de diámetro. Para el aceite utilice sg=0.895 y una viscosidad dinámica de 4.0*10-2 Pa.s DATOS: 𝑄𝑚𝑎𝑥 = Vmax A

𝑅𝑒 = 2000 𝐴=

𝜋 ∗ 𝐷2 4

𝐹𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝐴𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 𝐶𝑜𝑚𝑏𝑢𝑠𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑎 45°𝐶 𝐷 = 100𝑚𝑚 (0.1𝑚) 𝜇 = 4.0 ∗ 10−2 Pa. s 𝑠𝑔 = 0.895 𝜌 = 𝑠𝑔 ∗ 𝜌ℎ2𝑜

𝜌 = 0.895 ∗ 1000 𝑘𝑔/𝑚3

𝜌 = 895𝑘𝑔/𝑚3

SOLUCION 𝑅𝑒 =

𝑉∗𝐷∗𝜌 𝜇

𝑉= 𝑉=

2000∗4.0∗10−2 (𝑘𝑔.𝑚/𝑠2 )/ 𝑚2 .𝑠 0.1𝑚∗895𝑘𝑔/𝑚3

𝑅𝑒 ∗ 𝜇 𝐷∗𝜌

𝑉 = 0.894 𝑚/𝑠 𝑄𝑚𝑎𝑥 = Vmax A

𝑄 = 0.894𝑚/𝑠 ∗

𝜋 (0.1𝑚)2 4

𝑄 = 7.02 ∗ 10−3 𝑚3 /𝑠

𝑅𝑝𝑡𝑎: la rapidez del flujo es de

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Q = 7.02 ∗ 10−3 𝑚3 /𝑠

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Ejercicio 04 Se quieren determinar las pérdidas de carga lineales en una tubería de 1 m de diámetro, cuando circula un gas de densidad ρ = 31,85 kg/ m³ y viscosidad µ = 0,0015 Po, siendo su velocidad media V = 25 m/s, mediante una tubería modelo. En el modelo el fluido circulante es agua a 20º y el caudal de 4000 l/mn. a) Determinar la escala geométrica y la escala de pérdidas de carga, siendo la densidad del agua ρ= 1000 kg/m³ y la viscosidad absoluta del agua µ= 1 cPo. Resolución Es un caso de flujo en carga. Por ello para que se verifique la semejanza dinámica, es necesario además de la semejanza geométrica, la igualdad de números de Reynolds. Datos:

Prototipo (tubería gas)

Modelo(‘)

D = 1m

λ = D/D’

Gas

Agua a 20º

V = 25 m/s

V’ = ?

Q

Q’ = 4000 l/mn

hf

h’f 𝑅𝑒 = 𝑉𝐷𝜌 / µ = 𝑉’𝐷’𝜌‘ / µ‘

𝑅𝑒 = 25(𝑚/𝑠) · 1(𝑚) · 31,85(𝑘𝑔/𝑚3 )/1,5 · 10−4 (𝑘𝑔/𝑚. 𝑠) = 5,308 · 106 𝑉’ = 𝑄’/(𝜋 𝐷’2 /4) = (4/60)/(𝜋 𝐷’2 /4) = 0,08488/𝐷’2 𝑅𝑒 = 5,308 · 106 = (0,08488/𝐷’2 ) · ( 𝐷’ · 1000/10−3 ) 𝑂𝑝𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜: 𝐷’ = 0,01599 𝑚 ≅ 16 𝑚𝑚 → 𝑉’ = 331,56 𝑚/𝑠 La velocidad V’ es muy elevada, del orden de la onda sonora. Se pueden producir variaciones de densidad (compresibilidad) no tenida en cuenta. 𝝀 = 𝐷 / 𝐷’ = 1/ 0,016 = 𝟔𝟐, 𝟓𝟒 ℎ𝑓 = ∆𝑃 / 𝛾

𝑁º 𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟 ∶ ∆𝑃 / 𝜌 𝑉 2

∆𝑃/𝜌 𝑉 2 · 𝑔 = ∆𝑃’/ 𝜌‘𝑉’2 · 𝑔’ → ℎ𝑓 /𝑉 2 = ℎ’𝑓 /𝑉’2 ℎ𝑓/ℎ’𝑓 = (𝑉/𝑉’)2 = (25/331,56 )2 = 0,00565 → 𝒉𝒇 ’ / 𝒉𝒇 = 𝟏𝟕𝟔

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EJERCICIO 05 Un barco cuyo casco tiene una longitud de 200m ha de moverse a 10m/s. ¿A que velocidad debe remolcarse en agua un modelo construido a una escala 1:8. Solución. Como se trata de un cuerpo en superficie libre, predomina la fuerza gravitatoria, por lo tanto se debe usar el mismo Nº de Fraude (F) en el modelo y prototipo.

Fm  F p

Donde:

Lm 1  ; Lp 8

V p 10 m s ;

Vm  ?;

gm  g p (en el mismo lugar)

Reemplazando:

Vm 

1 (1)( ) (10) 8

Vm  3.54 m s Página 24

MECANICA DE FLUIDOS I

2016

BIBLIOGRAFÍA  Mecánica de Fluidos Aplicada. Cuarta Edición. Robert L. Mott  Física para ciencias e ingeniería volumen uno. Séptima edición. RAYMOND A. Serway  Apuntes de mecánica de fluidos. Agustín Martin Domingo  Mecánica de fluidos. Diego Alfonso Sámano Tirado Y Mihiesen  Mecánica de fluidos. Hugo Median Guzmán

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MECANICA DE FLUIDOS I

2016

LINKOGRAFÍA  http://eltamiz.com/2012/11/01/mecanica-de-fluidos-i-presion/  http://neuro.qi.fcen.uba.ar/ricuti/No_me_salen/FLUIDOS/index_fluidos.html  https://www.youtube.com/watch?v=gIWhqXOrQg0  http://books.google.com.pe/books?id=LbMTKJ4eK4QC&pg=PA52&lpg=PA52&dq=m ecanica+de+fluidos+presion&source=bl&ots=pONG0LKHCn&sig=djiI10jG508WO5q VPYMyvspXFog&hl=es&sa=X&ei=EGdNU6vXNsTq0QGYlYGIAQ&sqi=2&redir_es c=y#v=onepage&q=mecanica%20de%20fluidos%20presion&f=false  http://www.fisicanet.com.ar/fisica/estatica_fluidos/ap03_hidroestatica.php  http://gybugandofisica.scienceontheweb.net/Materiales/Tema2_Presion_fluidos_alumno s.pdf

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