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• Ramiro Alfredo Obando Díaz

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ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRAULICA

INTROUDUCCION

La teoría matemática y los resultados experimentales han desarrollado soluciones practicas de muchos problemas hidráulicos. En la actualidad numerosas estructuras hidráulicas se proyectan y construyen solo después de haber efectuado un amplio estudio sobre modelos. La aplicación del análisis dimensional y de semejanza hidráulica permite al ingeniero organizar y simplificar las experiencias así como el análisis de resultados obtenidos.

ANALISIS DIMENSIONAL

El análisis dimensional trata de las relaciones matemáticas de las dimensiones de las magnitudes físicas y constituye otra herramienta muy útil de la moderna mecánica de los fluidos. En toda ecuación que exprese una relación física entre magnitudes debe verificarse la igualdad al sustituir las magnitudes por sus valores numéricos y también por sus dimensiones.

En general, todas las relaciones físicas pueden reducirse a una relación entre las magnitudes fundamentales, fuerza F, longitud L y tiempo T; o bien la masa M, longitud L y tiempo T.

Entre las aplicaciones se incluyen: (1) conversión de un sistema de unidades en otro, (2) desarrollo de ecuaciones, (3) reducción del número de variables requeridas en un programa experimental y (4) establecimiento de los principios para el diseño de modelos.

MODELOS HIDRAULICOS

Los modelos hidráulicos, en general, pueden ser o bien modelos verdaderos o modelos distorsionados. Los modelos verdaderos tienen todas las características significativas del prototipo reproducidas a escala (semejanza geométrica) y satisfacen todas las restricciones de diseño (semejanza cinemática y dinámica). El estudio comparativo entre modelo y prototipo ha mostrado

con evidencia que la correspondencia de comportamiento es frecuentemente buena, fuera de las limitaciones esperadas como lo atestigua el correcto funcionamiento de muchas estructuras diseñadas a partir de ensayos sobre modelos.

SEMEJANZA GEOMETRICA

Entre el modelo y el prototipo existe semejanza geométrica cuando las relaciones entre todas las dimensiones correspondientes u homologas en modelo y prototipo son iguales. Tales relaciones pueden escribirse.

SEMEJANZA CINEMATICA

Entre el modelo y el prototipo existe semejanza cinemática si (1) las trayectorias de las partículas móviles homologas son geométricamente semejantes y (2) las relaciones entre las velocidades de las partículas homologas son iguales. A continuación se dan las siguientes relaciones útiles:

Velocidad:

⁄ ⁄

Aceleración:

⁄ ⁄

Caudal:

⁄ ⁄

SEMEJANZA DINAMICA

Entre dos sistemas semejantes geométricos y cinemáticamente, existe semejanza dinámica si las relaciones entre las fuerzas homólogas en modelos y prototipo son las mismas.

Las condiciones requeridas para la semejanza completa se obtienen a partir del segundo principio del movimiento de Newton, ∑F = Ma. Las fuerzas que actúan pueden ser cualquiera de las siguientes o una combinación de las mismas: fuerzas viscosas, fuerzas debidas a la presión, fuerzas gravitatorias, fuerzas debidas a la tensión superficial y fuerzas elásticas. Entre modelo y prototipo se desarrolla la siguiente relación de fuerzas:

∑

→

→

→

→

∑

→

→

→

→

LA RELACION ENTRE LAS FUERZAS DE INERCIA se desarrolla en la siguiente forma:

( )

Esta ecuación expresa la ley general de la semejanza dinámica entre modelo y prototipo y se la conoce con el nombre de ecuación newtoniana.

RELACION ENTRE LAS FUERZAS DE INERCIA Y LAS DE PRESION (NÚMERO DE EULER)

⁄

RELACION ENTRE LAS FUERZAS DE INERCIA Y LAS VISCOSAS (NÚMERO DE REYNOLDS)

(

)

( )

RELACION ENTRE LAS FUERZAS DE INERCIA Y LAS GRAVITATORIAS

La raíz cuadrada de esta relación,

√ ⁄

se llama NÚMERO DE FROUDE.

RELACION ENTRE LAS FUERZAS DE INERCIA Y LAS ELASTICAS

La raíz cuadrada de esta relación,

√ ⁄

se llama NÚMERO DE MACH.

RELACION ENTRE LAS FUERZAS DE INERCIA Y LAS DE TENSION SUPERFICIAL (NÚMERO DE CAUCHY)

En lo general, el ingeniero estudia únicamente los efectos de la fuerza predominante. En la mayoría de los problemas de flujos fluidos son fuerzas predominantes las de gravedad, viscosidad y/o elasticidad, pero necesariamente de forma simultánea.

TEOREMA DE PI DE BUCKINGHAN INTRODUCCION Cuando el número de variables o magnitudes físicas son cuatro o más, el teorema de Pi constituye una excelente herramienta, mediante la cual pueden agruparse estas magnitudes en un numero menor de grupos adimensionales significativos, a partir de los cuales puede establecerse una ecuación. Los grupos adimensionales se llaman grupos o números Pi. Si en el fenómeno físico en cuestión intervienen n magnitudes físicas q de las cuales k son dimensiones (por ejemplo: fuerza, longitud y tiempo, o bien masa, longitud y tiempo) y otras q (tales como velocidad, densidad, viscosidad, presión y área), entonces matemáticamente

Y esta ecuación puede reemplazarse por la relación

Donde cualquier numero no depende más que de (k + 1) magnitudes físicas q y cada uno de los números son funciones monómicas independiente, adimensionalmente, de las magnitudes q.

PROCEDIMIENTO: 1. Se escriben las n magnitudes físicas q. que intervienen e un problema en particular, anotando sus dimensiones y el numero k de dimensiones fundamentales. Existirán (n – k) números . 2. Seleccionar k de estas magnitudes, sin que haya ninguna sin dimensiones, ni dos que tengan las mismas dimensiones. Todas las dimensiones fundamentales deben incluirse colectivamente en las magnitudes seleccionadas.

3. El primero grupo puede expresarse como el producto de las magnitudes escogidas, elevada cada una a un exponente desconocido, y una de las otras magnitudes elevada a una potencia conocida (normalmente se toma igual a uno). 4. Mantener las magnitudes escogidas en (2) como variables repetidas y escoger una de las restantes variables para establecer el nuevo número . Repetir el procedimiento para obtener los sucesivos números . 5. En cada uno de los grupos determinar los exponentes desconocidos mediante el análisis dimensional.

RELACIONES UTILES: a. Si una magnitud es adimensional constituye un grupo sin necesidad de aplicar el procedimiento anterior. b. Si dos magnitudes físicas cualesquiera tienen las mismas dimensiones su cociente será un número adimensional . Por ejemplo L/L es adimensional y, por tanto, un número . c. Cualquier número puede ser sustituido por una potencia del mismo, incluida . d. Cualquier número puede ser sustituido por su producto por una constante numérica. e. Cualquier número puede expresarse como función de otros números .

EJEMPLO: 1. Desarrollar una expresión que de la distancia recorrida en el tiempo T por un cuerpo que cae libremente, suponiendo que la distancia depende del peso del cuerpo, de la aceleración de la gravedad y del tiempo

El problema puede resolverse estableciendo que cierta función de la distancia s, el peso W, la aceleración de la gravedad g y el tiempo T son igual a 0, o bien matemáticamente.

Paso 1 Se enumeran las magnitudes y sus unidades s = longitud L, W = fuerza F, g = aceleración L/T2, T = tiempo T

Existen 4 magnitudes físicas, 3 de ellas fundamentales, de donde (4 – 3) = un número .

Paso 2 Escogidas s, W y T como magnitudes físicas proporcionan las tres dimensiones fundamentas F, T, L. Paso 3 Como las magnitudes físicas de dimensiones distintas no pueden sumarse ni restarse, el número se expresa en forma de producto, como sigue:

Aplicando la homogeneidad dimensional

Igualando los exponentes de F, L y T, respectivamente se obtiene 0 = y, 0 = x + 1, 0 = z – 2, de donde x = -1, y = 0, z = 2. Sustituyendo en (1)

Despejando s y poniendo a/

, se obtiene