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2015

Análisis Dimensional y Semejanza

MECÁNICA DE FLUIDOS I Ingeniería Civil

Análisis Dimensional y Semejanza Hidráulica - Ingeniería Civil

Análisis Dimensional y Semejanza CENTRO DE ESTUDIOS: Universidad Nacional de Cajamarca FACULTAD: Facultad de Ingeniería ESCUELA ACADÉMICA: Escuela académica de Ingeniería Civil CURSO: Mecánica de Fluidos I DOCENTE: MCs. Ing. Vargas Vargas GRUPO: B1 ALUMNA: Saldaña Saldaña, Rossgri Paola CICLO: V ciclo

Cajamarca, julio de 2015

MECÁNICA DE FLUIDOS I

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Análisis Dimensional y Semejanza Hidráulica - Ingeniería Civil

Contenido INTRODUCCIÓN.............................................................................................. 3 ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRAÚLICA....................................3 TRABAJO DOMICILIARIO.................................................................................. 4 EJERCICIO 6.36............................................................................................ 4 EJERCICIO 6.37............................................................................................ 4 EJERCICIO 6.41............................................................................................ 5 EJERCICIO 6.42............................................................................................ 5 EJERCICIO 6.37 (Teorema PI de BUCKINGHAM)............................................7

INTRODUCCIÓN ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRAÚLICA Los análisis adimensionales se enfocan de gran manera en conocer los fenómenos del flujo en la forma manual como por ejemplo un gato hidráulico donde se relaciona las medidas del pistón con un número adimensional (sin dimensiones) que es independiente al tamaño real del gato. También se dice que gracias al estudio y la facilidad de tener las soluciones o búsqueda de información de fenómenos por medios adimensionales se ha reforzado el entendimiento de estos. Podemos comprender que los parámetros adimensionales pueden ser conocidas como dos fuerzas fluidas cuya magnitud indica la importancia de una fuerza con respecto a otra. Además que indica que para poder determinar la solución de los problemas se puede acudir a utilizar procedimientos matemáticos y experimentales más simples sin tener que desarrollar todo un proceso completo.

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Análisis Dimensional y Semejanza Hidráulica - Ingeniería Civil

TRABAJO DOMICILIARIO  Desarrollar 4 ejercicios propuestos del capítulo 6 “Análisis Dimensional y Semejanza Hidráulica” de la página 115.  Si es posible alguno de ellos demuéstrelo utilizando el teorema de PI de BUCKINGHAM.

EJERCICIO 6.36 Demostrar mediante los métodos del análisis dimensional que la energía cinética de un cuerpo en igual a

KM V 2 .

Solución Energía Cinética de un cuerpo (Ec)

α F(M V )

M V 2=KMV Donde K es el coeficiente adimensional, determinado generalmente por experimentos o por experimentos físicos. 2

M 1 ( L T −1 ) =K M a V b M 1 L2 T −2=K M a Lb T −b Igualando los exponentes de M, L, T:

a=1

b=2

Y

−b=−2 donde

b=2

Sustituyendo valores: 2

−2

Ec=KM (L T ) 2

Ec=KM ( LT −1 ) Ec=KM V

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Análisis Dimensional y Semejanza Hidráulica - Ingeniería Civil

EJERCICIO 6.37 Mediante los métodos del análisis dimensional, probar que la fuerza centrífuga viene dada por

KM V 2 /r

Solución

Fc=f ( M V 2 /r ) → La fuerza centrífuga ( Fc ) viene dada por MLT -2 ML T −2=K M a V 2 b r c ML T −2=K ma (L T −1 )2 b Lc ML T −2=K ma L2 b+c T −2 b Igualando las ecuaciones:

a=1 b=1

−2=−2b

1=2 b+ c

1=2+c

c=−1

Sustituyendo valores:

Fc= K m1 L2( 1)+(−1 ) T −2(1) 1

−1 2(1)

Fc= K m (L T ) 1

L

−1

2 −1

Fc= K M V r

Fc= K M 1 V 2 /r

EJERCICIO 6.41 Suponiendo que el caudal Q sobre un vertedero rectangular varía directamente con la longitud L, y es función de la altura de carga total H y de la aceleración de la gravedad g, establecer la fórmula del vertedero. Solución

Q=Lf ( H a g b ) MECÁNICA DE FLUIDOS I

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Análisis Dimensional y Semejanza Hidráulica - Ingeniería Civil L3 T −1=(L)( La )( Lb t −2 b ) ParaT :−1=−2 b

b=

1 2

Para L :3=1+ a+b 1 3−1− =a 2 a=

3 2

Q=KL H 3 /2 g1 /2

EJERCICIO 6.42 Establecer la fórmula que da la distancia recorrida s por un cuerpo que cae libremente, suponiendo que dicha distancia depende de la velocidad inicial V, en el tiempo T Solución

S=f ( VTg )=K ( V a T b gc ) L (¿ ¿ a T )(T b )(Lc T −2 c ) S=K ¿ −a

L (¿ ¿ a T )(T b )(Lc T −2 c ) 0 1 0 F L T =K ¿ −a

L (¿ ¿ a+ c T −a+b−2 c ) F 0 L1 T 0=K ¿

Siendo:

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Análisis Dimensional y Semejanza Hidráulica - Ingeniería Civil a+ c=1 −a+b−2 c=0

a=1−c −1+ c+ b−2 c=0

b−c=1

Entonces se tiene:

a+ c=1

a=1−c

b−c=1

b=1+ c

Reemplazando:

L (¿ ¿ 1−c T )(T 1+c )( Lc T −2c ) S=K ¿ −1 +c

S=K ( V 1−c T 1+ c gc ) S=K ( V 1 V −c T 1 T c gc ) S=K ( V T V −c T c g c ) S=K V T ¿ V

( )

c

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EJERCICIO 6.37 (Teorema PI de BUCKINGHAM) Mediante los métodos del análisis dimensional, probar que la fuerza centrífuga viene dada por

KM V 2 /r

Solución El problema se establece matemáticamente así:

f ( M V 2 r Fc ) =0 Las magnitudes físicas con sus dimensiones en el sistema M,L,T son:

M =M 1

Masa

Velocidad

Radio

V =L T

−1

Fuerza

r=L Centrifuga

Fc= MLT −2 Existen 4 magnitudes físicas y de ellas3 fundamentales, de donde (4-3)=1 grupo

π

M ,V2 yr

Escogidas grupo

π

como magnitudes con exponentes desconocidos, el

se establece como sigue:

π 1=( M x )( V 2 y )( r z ) Fc 1

1

1

π 1=( M x )( L2 y T −2 y )( L z ) (ML T −2 ) 1

1

1

1

Igualando los exponentes de M, L y T, respectivamente, se obtiene:

0=x1 +1 0=2 y 1 + z 1+ 1 0=−2 y 1−2 De donde:

x 1=−1

y 1=−1

z 1=1

Sustituyendo: MECÁNICA DE FLUIDOS I

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Análisis Dimensional y Semejanza Hidráulica - Ingeniería Civil −1

π 1=( M ) ( V

2(−1)

) ( r 1 ) Fc=

Fc M V 2 r−1

2 −1

Fc= K M V r

Fc=

K MV2 r

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