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• Henry Nizama Vasquez

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INTRODUCCION  Estática, en donde cualquier tipo de problema, se puede abordar

y tener una solución analítica directa. También, nos hemos introducido en la dinámica de fluidos (cuando existe flujo) y lo hemos analizado a través de las tres ecuaciones básicas mediante el método del volumen de control. En este último caso, no existen soluciones directas en muchos casos de problemas que se nos pueden plantear, por ejemplo, siempre tenemos el problema de la valoración de la altura de pérdidas (hfriccion), por lo que se ha de recurrir al análisis experimental, es decir, al trabajo de laboratorio para poder encontrar las correlaciones que nos hacen falta.

 En general se aplican estas técnicas cuando se conocen las

variables que intervienen en el problema (fenómeno físico), mientras que la relación que existe entre ellas se desconoce.

OBJETIVOS  OBJETIVO GENERAL:  Conocer los conceptos de análisis dimensional y semejanza

hidráulica  OBJETIVOS ESPECIFICOS:  Aprender los conceptos de semejanza geométrica,

cinemática y dinámica  Conocer los parámetros adimensionales y números usados en hidráulica

MARCO TEORICO  Análisis dimensional  Mediante el análisis dimensional, el problema o fenómeno físico, se representa por una función de los denominados “grupos adimensionales”, en vez de por las variables que intervienen. Con este procedimiento, se reduce el número de variables, con lo que el coste de la experimentación disminuye.  Nosotros podemos expresar una dimensión dependiente en función de un conjunto seleccionado de dimensiones básicas independientes, en nuestro caso como utilizamos el Sistema Internacional de unidades, estas dimensiones básicas son: - L, longitud. - M, masa. - T, tiempo. - K, grados kelvin.  Así podemos expresar, por ejemplo, la velocidad dimensionalmente como:

 Como una longitud entre un tiempo.

 Se denomina grupo adimensional, aquel cuya dimensión es

1; es decir, cuando el producto de un grupo de cantidades expresadas dimensionalmente es igual a 1.  Por ejemplo:

 Este grupo adimensional recibe un nombre particular, el

número de Reynolds.  La manera de relacionar estos grupos adimensionales y las variables que afectan a un fenómeno físico en cuestión, nos viene relacionado por el teorema de Buckingham o teorema de PI.

Teorema de pi o Buckingham.  Este teorema dice lo siguiente:  “Si se sabe que un proceso físico es gobernado por una

 

 

relación dimensionalmente homogénea que comprende a n parámetros dimensionales, tales como: x1 = f (x2, x3,...., xn) donde las “x” son variables dimensionales, existe una relación equivalente que contiene un número (n - k) de parámetros adimensionales, tales como: P1 = f’(P2, P3,......,Pn-k) Donde los “P” son grupos adimensionales que se construyen a partir de las “x”. La reducción “k” generalmente es igual al número de dimensiones fundamentales contenidas en “x”, pero nunca mayor que él”.

Aplicaciones del teorema de pi.  El teorema pi, lo único que nos dice es el número mínimo de grupos

adimensionales. Para la construcción completa de un sistema de grupos adimensionales, se debe seguir con el siguiente método:

 1. Escribir una relación funcional para la relación dimensional que se

investiga, asegurándose de incluir todos los parámetros dimensionales relevantes.  Así podemos escribir la pérdida de altura por fricción (Hfricción) en una tubería recta de sección circular, que depende de:

 Donde  es la rugosidad absoluta de la tubería (dimensión longitud).

 2. Determinar el número de parámetros adimensionales que se

       

requieren construir. Para ello cada variable la expresamos dimensionalmente: Hfricción = L L = L D = L V = L/T  = M/L3  = M/(L*T)  = L

 En donde tenemos 7 variables (n) y 3 dimensiones (k). Por tanto

el número de grupos adimensionales que tendremos según el teorema de “pi” es de:  n – k = 7 – 3 = 4 grupos adimensionales.

 3. Cálculo de los grupos adimensionales.  La relación funcional se expresa dimensionalmente, elevando las variables dependientes a coeficientes:  [L] = f ([L]a, [L]b, [L*T-1]c, [M*L-3]d, [M*L-1*T-1]e, [L]f )  Como debe ser una ecuación dimensionalmente homogénea, el lado izquierdo de la igualdad tiene que tener la misma dimensión que el lado derecho de la igualdad, por tanto se cumple:  [L] 1 = a + b + c – 3d – e + f  [T] 0=-c–e  [M] 0=d+e  Nos produce un sistema de 3 ecuaciones con 6 incógnitas, por lo que se escogen tres variables (que queramos que se repitan en los diferentes grupos adimensionales), y se ponen en función de las demás.  En este caso escogeremos la densidad (d), la velocidad (c) y el diámetro (f):

d=-e c=-e 1 = a + b – e – 3*(- e) – e + f 1=a+b+e+f f=1–a–b–e

 Sustituyendo en la misma relación:

 [L] = f ([L]a, [L]b, [L*T-1]-e, [M*L-3]-e, [M*L-1*T-1]e, [L]1-ab-e)

 y agrupando las potencias se obtiene: 

 Con lo que hemos obtenido cuatro grupos

adimensionales, tales como habíamos deducido por la aplicación del teorema de pi.

LEYES DE SEMEJANZA  MODELO: es una reproducción a escala adecuada del

denominado prototipo  PROTOTIPO: es aquel objeto construido para ser

sometido a condiciones reales de trabajo

SEMEJANZA GEOMÉTRICA Los objetos que están en escala en todas sus dimensiones con respecto a un objeto original se denominan “modelos”. El “modelo” y el “objeto” son geométricamente semejantes ya que conociendo las dimensiones del modelo y la razón de escala, puede reproducirse el “objeto” original.

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 En la semejanza geométrica todos los

ángulos se conservan todas las direcciones de flujo se conservan, la orientación del modelo y el prototipo, con respecto a los objetos de los alrededores auténticamente idéntica.

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 Todas las condiciones mencionadas

indican que solo habrá semejanza geométrica si el modelo fuera una fotografía del prototipo (tomada de cualquier posición, en forma reducida o ampliada)

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 Si el modelo tiene la forma de un cubo, el prototipo debe

ser también un cubo y sus lados deben guardar cierta relación a escala entre sí. Por ejemplo, 1 a 5, significa que 1 es el tamaño del modelo, y el prototipo es 5 veces mayor que el modelo. 16

 Necesariamente debe de existir semejanza geométrica

además que todas las relaciones entre tiempos homólogos tengan un valor común relación de escala de tiempos esto se puede expresar:” los movimientos de 2 sistemas son cinema ticamente semejantes si partículas homologas alcanzan puntos homólogos en instantes homólogos” Donde: Ve = escala de velocidades Te = escala de tiempos

 Pesto que hay una escala de velocidades y tiempos, se cumple

que existen una escala de aceleraciones dada por: Donde: ae = escala de aceleración ap= aceleración del

 En referencia a la figura, si estudiamos el objeto bajo la acción del flujo

de un fluido y el modelo bajo la acción de otro, pero logramos que las líneas de corriente mantengan el mismo patrón en torno a objeto y modelo; y para cada punto de los campos fluidos tanto en objeto como en modelo damos con una combinación de los vectores , que guarden iguales proporciones en puntos homólogos del flujo en torno a objeto y modelo en dirección sentido y magnitud., podemos decir que objeto y modelo, además de ser geométricamente semejantes, son también “cinemática mente semejantes”. Puede pensarse a primera vista que la semejanza geométrica entre objeto y modelo acarrea automáticamente la semejanza cinemática, sin embargo esto no es así.

Ejemplo: En aerodinámica supersónica, los perfiles de ala poseen formas geométricas con bordes o extremos delantero y posterior aguzadas como ser perfil rómbico también llamado perfil diamante. Si hacemos un modelo a escala geométrica de una de estas alas pero la probamos en un túnel de viento en régimen subsónico M < 1, el patrón. de flujo establecido será muy diferente al correspondiente al objeto que se mueve en régimen supersónico M >1 , el patrón de líneas de corriente en este caso se establece a partir de mecanismos termodinámicos de compresión y expansión, con lo que concluimos que la semejanza geométrica es condición necesaria pero no es condición suficiente para la semejanza cinemática.

EJEMPLO:El modelo de un recipiente se vacia en 4 minutos al abrir una compuerta de tajadera. El modelo esta construido a una escala de 1:225. Cuanto tiempo tardara en vaciarse el prototipo? SOLUCION: Como la fuerza debida a la gravedad es dominante, la relacion: Qm L3 m Tm Qt   3 : QP L P TP

Lt

5/ 2

Tm TP  Lt  y TP  3 / 2  4(225)1/ 2  60 min Tm Lt 3

SEMEJANZA DINAMICA  También se le llama similitud de fuerzas  Necesariamente debe de existir semejanza geométrica sino

no debe de proseguir.  La semejanza dinámica existe simultáneamente con la semejanza cinemática si todas las fuerzas aplicadas en el modelo y el prototipo en puntos correspondientes guardan la misma proporción  Si se desea lograr la semejanza dinámica completa deberán de considerarse todas las fuerzas que sean importantes en determinada situación de este modo deben de tenerse presente los efectos de las fuerzas viscosas, de las fuerzas de presión, dé las fuerzas de tención superficial.

 Nuestro propósito es demostrar que si los cuerpos son

geométricamente semejantes, los experimentos serán dinámicamente semejantes, solamente si la combinación de magnitudes llamada Número de Reynolds

 Son iguales numéricamente en ambos experimentos  Examinemos

flujos permanentes, viscosos, e incompresibles, geométricamente semejantes en torno a dos esferas, “objeto” y “modelo” respectivamente. Despreciando las fuerzas másicas sobre las partículas, sabemos que sobre cada par homólogo de ellas actuarán la triada de fuerzas D´alambert; debidas a la presión, a la viscosidad y a la inercia; y cumpliendo:

en cada punto.

En la figura aparecen dos puntos equivalentes de los respectivos sistemas de referencia los puntos A0 y AM; es evidente que si los dos flujos son geométricamente semejantes, la tríada de A0 será semejante a los vectores de la tríada de AM. Podemos establecer las siguientes ecuaciones que son ciertas para todos los pares de puntos homólogos:

Magnifiquemos una partícula cúbica sobre la línea de corriente y calculemos estas últimas constantes, con el siguiente criterio, en lugar de hacer los cocientes de las magnitudes totales vectoriales, tomaremos los cocientes de algunas de las componentes ya que si los vectores en puntos homólogos son semejantes, también lo serán sus componentes Fuerza de Fricción Viscosa en la dirección tangente: Las dimensiones de la partícula son: dv = ds . dn . dz , se deduce del esquema que la fuerza cortante neta sobre un par de cosas paralelas en la dirección tangente es:

 Utilizando la ley de viscosidad de Newton

 y reemplazando la fuerza cortante será

Fuerza de Presión en la dirección normal a la línea de corriente:  La fuerza de presión neta es igual a:

 Siendo dvol el diferencial de volumen.

Fuerza de Inercia en la dirección tangencial:  La componente seleccionada es la tangente a la línea de corriente,

como:

 Aunque sólo se han desarrollado algunas de las componentes de los 3

tipos de fuerzas, es evidente que las relaciones entre el objeto y el modelo serán las mismas que las respectivas fuerzas completas ya que en ambos casos los vectores son semejantes.

 Reemplazando entonces estas ecuaciones obtenidas,

en el sistema 4.1, que puede escribirse de la siguiente manera:

 Por semejanza geométrica, las magnitudes presión y

velocidad, y diferencias de presión y velocidad en dos puntos próximos seguirán siendo valores semejantes para objeto y modelo, por tanto es válido escribir:

 Entonces, remplazando sobre los valores obtenidos de

C1 y C2:

 o bien:

Como en el análisis del teorema  habíamos establecido que había una relación funcional entre los 2 grupos adimensionales

 D es equivalente a L ya que es cualquier dimensión

característica.  De esta última expresión, se observa que Eu y Re

están relacionadas a través de una relación funcional particular por lo cual una sola cualquiera de ambas hace preservar la condición de “dinámicamente semejantes”; para objeto y modelo, habitualmente se toma que los Re deben ser iguales.

Los parámetros adimensionales están íntimamente relacionados con el análisis dimensional y semejanza.

1)-Número de Reynolds (Re)  Parámetro adimensional en mecánica de fluidos que relaciona las fuerzas de inercia con las fuerzas viscosas.  Numero de Reynolds se le considera como el más importante para describir flujo incomprensible

ρ Densidad del fluido u Viscosidad del fluido L Longitud del canal v Velocidad del fluido

2)-Número de Euler (Eu)  Se le define Como el cociente entre las

fuerzas de presión fuerza de inercia. 

Eu=(Δp)/(ᵨ*v^2)

Δp=Presión local menos la corriente libre ᵨ y v^2 Son densidad y velocidad de flujo de la corriente

 El número de Euler se aplica en todos aquellos casos

en donde la fuerza de presión sea importante (cascos de buques, automóviles) 3)Numero de froude (Fr)  Cociente entre la fuerza de inercia y fuerza de gravedad

 Fr=v^2/(L*g)=(ρ *(v^2/L))(ρ *g)

 En una superficie libre tal como en los ríos la forma

de esta superficie al formarse ondas se verá afectada directamente por la fuerza de gravedad y por lo tanto en este tipo de problemas el número de froude será significativo.  Generalmente número de Freud se emplea en el estudio de canales abiertos o en casos donde la fuerza gravitatoria sea importante.  También es de gran utilidad en los cálculos de saltos hidráulicos y en el diseño de estructuras hidráulicas y de los barcos.

4)-Numero de Weber (We)  El conocido número de Weber representado por "We", es considerado como un número adimensional, este número es muy usado en la mecánica de fluidos, así como también es muy utilizado en el análisis de flujos, siempre y cuando exista una superficie entre dos fluidos distintos.  El número de Weber es considerado como una medida relativa a la inercia del fluido, que es comparada con la tensión superficial.  numero de weber juega un papel importante solo si es del orden unidad o menor si número es muy grande sus efectos son despreciables  se le emplean los fenómenos de pulverización y automatización de partículas (diseño de toberas, inyectores)

Donde se tiene que:

- ρ equivale a la densidad del fluido. - μ equivale a la velocidad del fluido. - l equivale a una longitud característica. - σ equivale a la tensión superficial.

 4)-Numero de Mach(M)  raíz cuadrada fuerza inercia y fuerza

comprensibilidad  M=V/C=((ρ*(V/L))/(ρ*(c/L))^1/2 C = Velocidad del sonido V = velocidad relativa

 Numero de match Es el más importante de los parámetros

adimensionales para el estudio de los flujos comprensibles (densidad no constante)

 Por ejemplo a los fluidos comprensibles se clasifican en

   

Flujo subsónico Flujo sónico Flujo supersónico Flujo transónico

si MC) si M diferente 1 (V diferente C)

 Si el número de match se le eleva al cuadrado y se le

multiplica por (ρa/2) y se divide entre (ρa/2) el numerador ser la fuerza dinámica y el denominador constituirá l fuerza dinámica del sonido .se puede interpretar como la medida de la relación entre la energía cinética y l energía interna del flujo