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• José Walter Rafael

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IVB / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 4º

OBJETIVOS:

Define el factorial de un número natural e identifica sus propiedades  FACTORIAL DE UN NÚMERO NATURAL (n!) Es el producto de los “n” primeros números naturales, representado por n!; tenemos de manera general. n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x (n - 1) n nN n 1

Recuerde que: n! = |n

Ejm: 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

3! 3 x 2 x1 1   5! 5 x 4 x 3 x 2 x1 20 (-7!) No está definido porque -7N

3 3   ! No está definido porque N 5 5 Además: 1! = 1 .......... por definición 0! = 1 .......... por convención Propiedades: 1. Sea : n!; n N n! = n(n-1)! Por ejemplo: 10! = 10(10-1)! 10! = 10 x 9! 2. Si: a! = b!  a = b; a, b  N Por ejemplo: 7! = (x + 2)! 7=x+2 x=5

SEMANA 12

3. 1x1! + 2x2! + 3x3! +...+ n(n!) = (n+1)! – 1

14

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”

IVB / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 4º

Por ejemplo: 1x1! + 2x2! + 3x3! + 4x4! + 5x5! = 6! - 1 4.

n 1 1 ;nN   (n  1)! n! (n  1)! Por ejemplo:

3 1 1   4! 3! 4! 5.

1 2 3 n 1    ....   1 2! 3! 4! (n  1)! (n  1)! Por ejemplo:

1 2 3 4 1     1 2! 3! 4! 5! 5!

CONSTRUYENDO MIS CONOCIMIENTOS

1.

Efectuar: COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”

15

IVB / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 4º

7!8! ( 2!)(3!)(4!)   9!   

4!5!6!

Resolución:

2.

K

1! 2! 3! 99 100!    ..........  0! 1! 2! 98 99!

Resolución:

3.

Simplificar:

D

43!44!45! 43!.45

Resolución:

16

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”

IVB / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 4º

4.

Resolver:

m!m(m  2)!(m  2)!  2!(m  1)( m  2)! (m  1)! (m  2)! Resolución:

5.

Hallar “a” si:

(a!)!.a!(a!)! = 11 (a!1)!.a! Resolución:

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”

17

IVB / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 4º

REFORZANDO MIS CAPACIDADES Efectuar los siguientes ejercicios: 1.

7!8!9! 7!9!

2.

3! 4! 5! + + 2! 3! 4!

3.

12! 13! 14! + + 11! 12! 13!

4.

a!( a  1)! ( a  1)!

5.

m!(m  1)! m!

Simplificar las siguientes expresiones

5!6!7! 5!

6.

2!

7.

2! 

8.

9.

0! 3! 0!1!

 23!24!  4!1!   

3!0!

2!

5!3!2!

1

 10!9!  2 10.   2(3!)  2!! 18

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”

IVB / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 4º

Efectuar los siguientes ejercicios

2!

11.

4!1

12.

1!2!3!

(1!2!)!  (2!) 0!2! 1 (1!2(3!)

0!1!413! 0!

 2.4.6.8.........18  1!2!3! 13.   3!  (7!81)2 

 3.6.9.12 .......... 30  14.   8!9!  

1!2! 4!

1

 5.10.15.20........60  3!1 15.    (1!4!)(0,5.4!)   4.8.12.16.20.........40  16.  5.10.15.20........50   

17.

0!

1!  2! (3!)( 4!)  3!

0!

5! 4!  2! 3!

( 7!)(4!))

18! 7! 11!  (3!)(8!)    18.  17! 6! 10!

ANALISIS COMBINATORIO II

OBJETIVOS: 

Resuelve problemas con ordenaciones, permutaciones, variaciones y combinaciones.

ORDENACIONES

Se define a una ordenación (de orden) como aquel subconjunto capaz de ser formado tomando parte o el total de elementos de un conjunto determinado.

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”

19

IVB / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 4º

Principio Fundamental del conteo: Nos permite determinar el número de posibilidades diferentes que tenemos para efectuar tal o cual acción. I. Principio de Adición Carlos desea viajar de Lima a Tumbes contando con 3 cruceros; 5 líneas aéreas y 8 terrestres ¿de cuantas maneras distintas podrá viajar?

MAR 3

TIERRA 8

AIRE 5

TOTAL 16

II. Principio de Multiplicación Se lanza un dado y una moneda de manera simultanea ¿de cuantas maneras puede caer?

6 FORMAS

CARA Y SELLO

X 6 x 2 = 12 formas

PERMUTACIONES Son todas las ordenaciones diferentes, que se logran utilizando todos los elementos a la vez de un conjunto dado. I.

Permutaciones sin repetición (Pm)

Pm = m!

donde: m  número de elementos

SEMANA 13

II. Permutaciones con repetición (Pm a,b..k)

Pm a ,b ,...k 

m! a! x b! x... x k!

Donde: m  número de elementos base a y b  número de elementos repetidos k  número de elementos repetidos a + b + .... + k = m

CONSTRUYENDO MIS CONOCIMIENTOS

20

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”

IVB / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 4º 1.

Juan desea viajar de Lima a Trujillo. Si dispone de 4 líneas aéreas y 2 líneas terrestres, ¿De cuántas maneras diferentes puede realizar el viaje? Resolución:

Rpta. 6

2.

Jhoselyn desea comprar un artículo que se vende en tres centros comerciales en el primero se tiene disponible en 2 tiendas, en el segundo en 4 tiendas y en el tercer centro comercial en 3 tiendas. ¿De cuántas maneras diferentes puede adquirir Jhoselyn dicho artículo? Resolución:

Rpta. 9 3.

¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener al lanzar una moneda y un dado simultáneamente? Resolución:

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”

21

IVB / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 4º Rpta. 12 4.

Kattya dispone de 3 blusas distintas, 4 faldas distintas y 2 pares de zapatos también distintos. ¿De cuántas maneras diferentes se puede vestir Kattya utilizando los tres tipos de prenda. Resolución:

Rpta. 24 5.

¿De cuántas maneras distintas pueden ubicarse Kattya, Denisse, Sandro y María en una fila de 4 asientos? Resolución:

Rpta. 24 6.

¿De cuántas maneras distintas se pueden sentar alrededor de una mesa redonda 7 personas? Resolución:

Rpta. 720 7.

Calcular el total de palabras diferentes (con o sin sentido) que se pueden obtener permutando las letras de la palabra “MANZANA”. Resolución:

22

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”

IVB / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 4º

Rpta. 420

REFORZANDO MIS CAPACIDADES 1.

¿Cuántos números impares de dos cifras existen? a) 35 d) 50

2.

c) 180

b) 71 e) 80

c) 75

Se tiene 7 libros de diferentes autores, siendo tres de ellos de matemática y el resto de química. ¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar en un estante si queremos que los de matemática siempre deben ir juntos? a) 720 d) 170

5.

b) 120 e) 200

3 mujeres y 3 hombres desean sentarse en una fila de 6 asientos ¿De cuántas maneras diferentes pueden ordenarse si deben quedar sentados en forma alternada? a) 70 d) 72

4.

c) 45

Se lanzan 3 dados simultáneamente. ¿De cuántas formas puede ocurrir que los 3 dados muestren números diferentes? a) 60 d) 140

3.

b) 15 e) N.A

b) 710 e) N.A

c) 270

Calcular el total de palabras diferentes (con o sin sentido) que se pueden obtener permutando las letras de la palabra “ALFALFA”. a) 200 d) 120

b) 210 e) 110

c) 220

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”

23

IVB / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 4º

6.

Calcular el total de palabras diferentes (con o sin sentido) que se pueden obtener permutando las letras de la palabra “CATARATA”. a) 800 d) 920

7.

b) 10 e) 100

c) 15

¿De cuántas maneras diferentes se pueden ordenar en una fila 7 bolas de billar (de igual forma y tamaño) si 2 son negras, 4 verdes y 1 roja? a) 100 d) 105

9.

c) 840

Se quiere confeccionar una bandera conformada por 5 franjas verticales. Si se dispone de 3 franjas de tela de color blanco y 2 de color rojo. ¿Cuántas opciones diferentes hay para escoger el modelo de la bandera? a) 5 d) 50

8.

b) 820 e) N.A

b) 90 e) 200

c) 95

En la fila de 6 butacas. ¿De cuántas formas diferentes pueden sentarse seis personas? a) 210 d) 720

b) 810 e) N.A

c) 920

10. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse alrededor de una mesa Olga y sus cinco amigas? a) 60 d) 240

b) 120 e) N.A

c) 180

ANALISIS COMBINATORIO III OBJETIVOS: Resuelve problemas con permutaciones, variaciones y combinaciones. VARIACIONES

Son las ordenaciones diferentes que se pueden lograr tomando para ello, grupos de determinado tamaño de un total dado de elementos:

  m

I. VARIACIONES SIN REPETICIÓN Vn

donde : m  elementos de un conjunto base 24

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”

m! IVB / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 4º Vm  n

(m  n)!

n  elementos de cada grupo.

II. VARIACIÓN CON REPETICIÓN VRnm  donde : m  número de elementos del conjunto base

VRnm  m n

n  número de elementos de cada grupo.

COMBINACIONES

Es el número de grupos que se pueden lograr al tomar todos o parte de los elementos de un total dado:

  m

I. COMBINACIÓN SIN REPETICIÓN C n

Cnm 

m! n!(m  n)!

Para m  n

donde: m  número de elementos del conjunto base. n  número de elementos de cada grupo formado.

SEMANA 14 II. COMBINACIÓN CON REPETICIÓN

CR  m n

CRnm  Cnm  n 1 donde: m  número de elementos del conjunto base. n  número de elementos de cada grupo formado

CONSTRUYENDO MIS CONOCIMIENTOS 1.

En una carrera participan 5 alumnos de la I.E.P. “San Agustín”. ¿De cuántas maneras diferentes pueden llegar a la meta los 3 primeros lugares? Resolución: COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”

25

IVB / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 4º

Rpta. 60 2. ¿De cuántas maneras diferentes se puede elegir un brigadier y un sub brigadier de un grupo de 6 personas? Resolución:

Rpta. 30 3. En una carrera participan 5 atletas; ¿De cuántas maneras diferentes pueden llegar a la meta? Resolución:

26

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”

IVB / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 4º Rpta. 120 4.

¿Cuántos grupos de 3 personas se pueden formar de un total de 7 personas? Resolución:

Rpta. 35 5.

En un plano hay 10 puntos ubicados de tal forma que ningún trío de ellos son colineales. ¿Cuántos triángulos se pueden dibujar con tales puntos como vértices? Resolución:

Rpta. 120 6.

Hallar “m” si:

C3  4C3 m

m1

 C3

m 2

 64

Resolución:

Rpta. m = 4

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”

27

IVB / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 4º 7.

Calcular “m” en:

V2  V2 m

m2

 V2

m4

 98

Resolución:

Rpta. m = 8

REFORZANDO MIS CAPACIDADES 1.

En un barco se dispone de 6 banderas, cada una de color diferente. ¿Cuántas señales se pueden hacer si cada señal consiste en izar una, dos o tres banderas en una sola asta? a) 146 d) 216

2.

b) 200 e) N.A

c) 210

b) 540 e) 560

c) 500

Con 7 fichas rojas y 4 verdes se desea formar grupos de 6 fichas cada uno. ¿De cuántas maneras podrán formarse los grupos, si deben haber como mínimo 2 fichas verdes? a) 370 d) 300

28

c) 3024

En una reunión hay 6 hombres y 8 mujeres. ¿De cuántas maneras se pueden formar grupos de 5 personas donde 3 sean hombres y 2 mujeres? a) 520 d) 580

5.

b) 3000 e) N.A

¿Cuántos números pares de 4 cifras distintas es posible formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 7 y 9? a) 120 d) 240

4.

c) 166

¿Cuántos números de 4 cifras existen, todas distintas de cero, sin que ninguna de ellas aparezca repetida en un mismo número? a) 3012 d) 324

3.

b) 156 e) N.A

b) 371 e) N.A

c) 372

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IVB / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 4º

6.

¿Cuántos partidos se juegan en total en un campeonato que participan 20 equipos, sabiendo que se juega a dos ruedas? a) 360 d) 420

7.

b) 150 e) N.A

c) 200

Se va a escoger un comité de 4 personas entre 5 varones y 6 mujeres. ¿De cuántas maneras distintas se podrá escoger dicho comité si entre ellos debe de haber por lo menos 2 hombres? a) 215 d) 235

9.

c) 320

En una tienda hay 6 chompas y 5 pantalones que me gustan. Si decido comprar 3 chompas y 2 pantalones, ¿De cuántas maneras diferentes puedo escoger las prendas que me gustan? a) 100 d) 250

8.

b) 380 e) N.A

b) 225 e) N.A

c) 230

¿Cuántas diagonales se pueden trazar en un polígono de 16 lados? a) 100 d) 104

b) 102 e) N.A

c) 103

10. Un club tiene 15 miembros, 10 varones y 5 mujeres. ¿Cuántos comités de 8 miembros se pueden formar si cada uno de ellos debe contener por lo menos 3 mujeres? a) 3290 d) 3890

b) 3490 e) N.A

c) 3690

AUTOEVALUACIÓN

1.

Hallar la suma de los términos de una P.A de 12 términos, sabiendo que: a 3=24 y a10= 66 Resolución: COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”

29

IVB / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 4º

2.

En una P.G el término de sexto lugar es 486 y el primer término es 2. Hallar la razón. Resolución:

3.

Calcular la suma de los 5 primeros términos de la P.G.: 4: 12: 36: 108: t5 Resolución:

SEMANA 15

4.

Resolver la ecuación:

( x  3)!( x  2)!  120 ( x  1)

30

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”

IVB / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 4º

5.

Gustavo asiste a clases llevando siempre dos libros (de cursos diferentes) pero él cuenta con 3 libros de matemática y dos de literatura. ¿De cuántas maneras distintas podrá llevar sus libros? Resolución:

6.

¿Cuántas juntas directivas de cuatro personas pueden formarse en una entidad de 12 personas? Resolución:

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IVB / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 4º Principio de Multiplicación

Si el sucero “A” se puede realizar de “m” maneras y el suceso “B” se puede realizar de “n” maneras, entonces los suceros “A” y “B” se pueden realizar en forma conjunta de: m x n maneras siempre que se efectúe uno después del otro.

NOTA Este principio se puede generalizar para más de dos sucesos.

Ejemplo: De una ciudad “A” a otra ciudad “B” hay 4 caminos diferentes y de la ciudad “B” a la ciudad “C” hay 3 caminos diferentes. ¿De cuántas maneras se podrá ir de “A” a “C”?

A

B

Hay 4 maneras de ir de “A” a “B”

C

Hay 4 maneras de ir de “B” a “C”

Luego el número de maneras de ir de “A” a “C” son: # de maneras = 4 x 3 = 12 Rpta. Principio de Adición Si el sucero “A” puede realizarse de “m” maneras y el sucero “B” de “n” maneras, entonces sucero “A” o el sucero “B” se puede realizar (m + n) maneras.

NOTA Para que se cumpla el principio de adición se debe verificar que no sea posible que los suceros A y B ocurran juntos.

Ejemplo: Proyectamos un viaje y decidimos ir en tren o en microbús si hay 3 rutas para el tren y 4 para el ómnibus ¿Cuántas maneras tenemos para decidir nuestro viaje?

23

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”

IVB / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 4º

Punto de Partida

Punto de Llegada

Para el tren hay 3 maneras de llegar

Punto de Partida

Punto de Llegada

Para el microbús hay 4 maneras de llegar # de maneras = 3 + 4 = 7

Rpta.

Permutación

Es un arreglo u ordenación que se puede formar con todos los elementos disponibles de un conjunto. 

En una permutación sí interesa el orden de sus elementos.

 Permutación Lineal Tipos:

 Permutación Circular  Permutación con Repetición

Permutación Simple.Cuando se toman todos los elementos del conjunto para ordenarlos o permutarlos. Se lee: “permutación de “n” elementos”. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”

24

IVB / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 4º

P(n) = n!

Ejemplo : ¿De cuántas maneras distintas pueden ubicarse 4 alumnos en una fila de 4 asientos? Rpta.: ……………………………..

Permutación Circular.Es un arreglo u ordenación de elementos diferentes alrededor de un objeto; en estas ordenaciones no hay primer ni último elemento por hallarse todos en línea cerrada. Para determinar el número de permutaciones circulares de “n” elementos distintos, denotado por: Pc(n), basta fijar la posición de uno de ellos y los (n1) restantes se podrán ordenar de (n1)! maneras.

Pc(n) = (n1)!

Ejemplo : ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse alrededor de una masa circular 6 personas? Rpta.: ………………………………………………..

Permutación con Repetición.Es un arreglo u ordenación de elementos donde algunos de ellos se repiten. Si se tienen “N” elementos de los cuales: K1 : elementos repetidos de una 1era clase. K2 : elementos repetidos de una 2da clase. K3 : elementos repetidos de una 3era clase. Kn : elementos repetidos de una nésima clase.



N

K1 ,K2 ,K3

=

N! K1 !  K2 !  K3 ! ......Kn ! 

Donde: K1 + K2 + K3 + ……… + Kn  N Ejemplo : 25

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”

IVB / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 4º

¿De cuántas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra “RAZONAR”? Rpta.: …………………………………………

1.

Felipe desea viajar de Lima a Cuzco y tiene A su disposición 4 líneas aéreas y 6 líneas terrestres. ¿De cuántas maneras diferentes podrá viajar? a) 6 líneas d) 10

2.

3.

b) 4 e) N.A.

c) 24

De una ciudad “A” a otra ciudad “B” hay 2 caminos diferentes y de la ciudad “B” a “C”, 3 caminos diferentes ¿Por cuántos caminos distintos se podría viajar de “A” a “C” pasando por “B” y sin retroceder? a) 5

b) 6

d) 12

e) N.A.

c) 8

Esther tiene 4 blusas y 3 faldas. ¿De cuántas maneras se puede vestir, si la blusa azul se la debe poner siempre con la falda celeste?

4.

a) 12

b) 8

d) 11

e) N.A.

c) 7

De una urna hay 5 fichas numeradas del 1 al 5 y en otra urna 4 fichas numeradas del 6 al 9, se saca una ficha de la primera y otra de la segunda urna con estos se forma un numeral. ¿Cuántos son los valores posibles de este numeral? a) 9

b) 18

d) 40

e) 36

c) 20

Enunciado (para los problemas 5 y 6) Con todas las letras de la palabra Beatriz, cuántas palabras diferentes se pueden formar sin importar que las palabras tengan o no sentido, si: 5.

6.

La T y R deben estar juntas siempre. a) 120

b) 720

d) 28

e) N.A.

c) 5040

Todas las palabras deben empezar con B y siempre deben llevar consigo la sílaba TRIZ. a) 6

b) 24

c) 12 COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”

26

IVB / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 4º d) 120 7.

8.

e) N.A.

¿De cuántas maneras distintas 6 personas pueden ubicarse alrededor de una fogata? a) 120

b) 24

d) 720

e) N.A.

c) 240

Del problema anterior. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ubicarse alrededor de la fogata, si dos personas deben estar juntos siempre? a) 24

b) 120

d) 480

e) N.A.

c) 360

Enunciado: (para los problemas 9 y 10) Para ir de Lima a Trujillo hay 4 rutas diferentes, y para ir de Trujillo a Tumbes hay 5 rutas diferentes. 9.

¿De cuántas maneras se puede ir de Lima a Tumbes pasando por Trujillo y sin retroceder? a) 9

b) 10

d) 40

e) N.A.

c) 20

10. Del enunciado anterior. ¿De cuántas maneras se puede ir y venir, si la ruta de regreso tiene que ser distinto al de ida y sin retroceder? a) 400

b) 40

d) 390

e) N.A.

c) 39

11. ¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener al lanzar 2 monedas y 2 dados simultáneamente? (Los dados son de diferente color) a) 36

b) 40

d) 144

e) N.A.

c) 72

12. En la figura cada línea representa un camino. ¿De cuántas maneras se puede ir de A a C y sin retroceder?

A

27

B

a) 10

b) 48

d) 12

e) N.A.

C

c) 24

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”

IVB / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 4º 13. ¿Cuántos números pares de 3 dígitos se pueden formar con los dígitos 1; 2; 5; 6; 7; 8 y 9, si cada dígito puede emplearse una sola vez? a) 108

b) 126

d) 168

e) N.A.

c) 90

14. Con todas las letras de la palabra “ALIBABA” ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar, sin importar lo que diga? a) 560

b) 420

d) 360

e) N.A.

c) 240

15. Se quiere construir un collar con 10 perlas.

     

3 azules 2 blancas 2 rojas 1 verde 1 amarilla 1 marrón

Si estás 3 últimas deben estar juntas. ¿Cuántos collares se pueden confeccionar? a) 120

b) 360

d) 210

e) N.A.

c) 720

16. Cuatro parejas de novios, ¿De cuántas maneras pueden ubicarse alrededor de una fogata, de modo que cada pareja no se separe?

1.

a) 72

b) 120

d) 90

e) 92

c) 96

Don Richard y su esposa Mónica organizaron una reunión, teniendo como invitados a su sobrina Mayra y su esposo Luis, su hija Rosario y su novio Juan y los vecinos de la casa: José, Alberto y Carmen; por ende la reunión estuvo constituida por 5 hombres y 4 mujeres. ¿Cuántas parejas mixtas se pueden formar con todos los asistentes? a) 20

b) 15

d) 25

e) 36

c) 16

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”

28

IVB / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 4º

2. Un club de natación que tiene 18 nadadores (8 hombres y 10 mujeres) debe participar en un campeonato, con una pareja mixta de nadadores ¿De cuántas maneras diferentes puede escoger la pareja de entre sus miembros? a) 18

b) 8

d) 80

e) 160

c) 10

3. Mónica tiene 5 blusas, 4 faldas y 3 pares de zapatos ¿De cuántas maneras diferentes se puede vestir, utilizando una de cada tipo de las prendas mencionadas? a) 12

b) 60

d) 20

e) 15

c) 120

4. De Lima a Arequipa hay 2 caminos, y de Arequipa al Cuzco hay 3 caminos ¿De cuántas maneras se puede ir de Lima a Cuzco pasando por Arequipa y sin regresar por el mismo camino? a) 5

b) 6

d) 2

e) 8

c) 3

5. Se tienen 6 asientos dispuestos en fila, de cuántas maneras diferentes se podrá ubicar a 6 señoritas en dichos asientos. a) 120

b) 24

d) 720

e) 600

c) 36

6. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar 4 personas, en una banca de 4 asientos? a) 12

b) 40

d) 24

e) 6

c) 120

7. En el transcurso de sus vacaciones Carlos debe realizar 5 viajes a Ica y 3 viajes al Cuzco ¿De cuántas maneras diferentes en cuanto al orden hay para realizar estos viajes? a) 28

b) 8

d) 15

e) 25

c) 56

8. KiKo tiene 4 pelotas blancas (B), 5 negras (N) y 3 amarillas (A). un día vendió sus pelotas en el siguiente orden: BBAANBBANNNN, ¿En cuántas otros órdenes podría haber vendido sus 12 pelotas? a) 60249

b) 36419

d) 27719

e) 15314

c) 14329

9. Un mozo tiene 8 copas; 5 de las cuales deben ser llenados con vino y las cuales deben ser llenados con vino y las 3 restantes con coctail ¿De cuántas maneras diferentes puede realizar el llenado?

29

a) 28

b) 32

d) 56

e) 40

c) 48

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”

IVB / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 4º

10. ¿De cuántas maneras diferentes podrá viajar una persona de “A” a “E” sin pasar ni regresar por el mismo camino? B A C E

D

a) 24

b) 26

d) 30

e) 33

c) 28

11. En una sala hay 3 mujeres y 4 varones ¿De cuántas maneras es posible seleccionar una pareja mixta? a) 7

b) 12

d) 64

e) N.A.

c) 27

12. ¿De cuántas maneras se pueden exhibir 7 juguetes diferentes, si el estante sólo tiene 3 lugares disponibles? a) 120

b) 60

d) 343

e) N.A.

c) 21

13. ¿Cuántas palabras diferentes (con sentido o no) se pueden formar con las letras de la palabra Banana? a) 30

b) 60

d) 120

e) N.A.

c) 90

14. Diana con sus cuatro amiguitas se sientan en círculo para jugar jazz ¿De cuántas podrían ordenarse? a) 48

b) 120

d) 24

e) N.A.

c) 240

15. Cinco parejas de esposos se ubican alrededor de una fogata ¿De cuántas maneras podrían ordenarse. Si cada pareja debe estar junta? a) 4! d) 4! x 2

b) 32 5

c) 512

e) N.A.

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”

30

IVB / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 4º

Cinco parejas de esposos se ubican alrededor de una fogata de cuántas maneras podrían ordenarse si, los varones y mujeres deben quedar alternados.

31

a) 4! . 2

b) (4!)²

d) 4! 5!

e) N.A.

c) (4!)!

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”

IVB / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 4º

VARIACIÓN Es un arreglo u ordenación que se puede forma con una parte de los elementos disponibles de un conjunto.



En una variación si interesa el orden de sus elementos.

V

n k

=

n! ; 0