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Actividad 3. Modelo y solución de sistemas de primer orden. DOCENTE: TATIANA NAYELI DOMINGUEZ MENDOZA.

Alumno: César Castillo Aguilar Matricula: ES172001640 Carrera: Ing. En Energías Renovables

ENERO 2020

Instrucciones 1. Modela y determina la solución de cada problema:  Imagina que un paracaídas cae en el aire a una velocidad constante de 𝑉0. Mediante la segunda ley del movimiento de Newton, obtén una ecuación diferencial que describa la posición 𝑧 del paracaídas relativa al nivel del suelo en función del tiempo. Considera la dirección ascendente como positiva. Solución. La velocidad inicial es cero y el movimiento está determinado por su peso P=mg que M es la masa del paracaidista y g la constante del valor de gravedad 9.8 m/s². A medida que el paracaidista desciende es mayor la velocidad y representamos la resistencia de la siguiente manera F 1=k 1 v 2 Tenemos 2 fuerzas, una hacia arriba como resistencia que se considera como variable y otra constante hacia abajo como nos indica la segunda ley de Newton, que la fuerza resultante sobre un cuerpo es igual a su masa multiplicada por la aceleración del mismo Fig. 1 Vo

Resistencia X(t)

Mg−k 1 −v 2=Ma Peso

Considerando que aún no se abre el paracaídas con la expresión de la fuerza numero 2 2 será F 2=k 2 v Donde será mayor que el peso y comienza a disminuir su velocidad hasta que nuevamente la fuerza de resistencia equilibra el peso y sigue con una nueva velocidad limite

v lim 2=

√

Mg k2

Considerando la constante de un paracaidista con el paracaídas cerrado es

m km kg ≈ 200 lo que implica para una masa de 90 kg. Una constante k 1 ≈ 0.29 s h s m km Y la velocidad para un paracaídas abierto es v lim 2 ≈ 4.4 ≈16 lo que implica una s s kg constante k 2 ≈ 46.5 s v lim 1 ≈ 56

Ahora integramos la ecuación del movimiento.

v

t

∫ dvk 2 =∫ dt v −g+ v t m 0

0

v 1 z dz v1 = ¿¿ ∫ 2 g z z −1 2 g 0

v=−v1 ¿ ¿ y la ecuación del movimiento cuando el paracaídas se abre es:

dv k =−g+ v 2 dt m

 El INAH realiza un hallazgo de restos óseos, los cuales se someten a estudio, del cual se determinó el contenido de 𝐶14 resultando ser de 9% del que contienen animales vivos. Si se toma la constante de desintegración del 𝐶14 como 𝑘=1.24𝑋10−4 por año. Determina la edad de los restos óseos.

Si llamamos a la cantidad de carbono 14 nuestra muestra Y, tenemos en cuenta que depende del tiempo y es una función de t y la velocidad corresponde a la derivada que seria y´(t) y teniendo que la velocidad es proporcional a la cantidad que se tiene, la relación entre ellas es la siguiente:

y ´ ( t ) =−k∗y ( t ) y ´=−k∗t ;

dy dy =−k∗y ; =−k∗dt dt y

ln ( y )=−k∗t+c

y ( t ) =A∗e−kt expresion del carbono 14

Sustituyendo la fórmula:

y0 1 −kt −kt = y 0∗e → =e 2 2

ln

( 12 )=ln (e

−kt

) →−ln ( 2 ) =−kt

ln ( 2 ) k= → y ( t )= y 0∗e T

−tln ( 2 ) T

Sustituyendo valores:

( .09 ) y 0= y 0∗etk ln ( .09 )=tk t=kln ( .09 ) → t=1.24 x 1 0−4 ln ( .09 )

t=000298585

Una persona deposita una cantidad 𝐴 en un banco con una tasa anual 𝑟 compuesta de forma continua y, al mismo tiempo, retira dinero de la cuenta a una tasa constante 𝑎. Obtén una ecuación diferencial que describa la cantidad de dinero 𝐴(𝑡) que está en el banco como una función del tiempo. Solución. A, nos indica el balance de la cuenta en cualquier tiempo (t), ‘r’ el balance de la cuenta que crece por medio de los depósitos A(t) y ‘a’ la taza o constante Por lo que la ecuación queda de la siguiente manera:

dA =rA−a dt

El agua tiene un coeficiente de absorción para la luz roja cercano a 0.5𝑚−1. Calcula la distancia a la cual viaja la luz roja en el agua antes de que se absorba un 80% de ella

dE =−αE ds

a=

la fracción de radiación absorbida por unidad de longitud (coeficiente de absorción) esta tiene la unidad de metro-1

s= la distancia en la dirección de propagación. (variable independiente) E= la energía radiante del rayo en cuestión. dE =−αds E

∫

dE = −αds E ∫

lnE=−as+C E=e−as+C =C1 e as s=0 , E=E0 E0 =C1 e−a(0) → C1=E 0 E=E0 e−as E =e−as E0 Calcular absorción: E =1−0.80=0.20 E0 0.20=e−.5s

s=

ln 0.20 =3.22 −.5

Referencias

PLATON, E. R. (s.f.). EL CARBONO 14. Obtenido de https://www.youtube.com/watch? v=3UalA776mqI

https://www.youtube.com/watch?v=3UalA776mqI