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INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOIR DE CINTALAPA

ALGEBRA LINEAL

ING. ALBERTO CAMACHO FERNÁNDEZ

FRANCISCO AHMAR MANDUJANO LÁZARO

UNIDAD 3 SISTÉMAS DE ECUACIONES LINEALES INVESTIGACIONES SOBRE: -SISTÉMAS DE ECUACONES LINEALES, HOMOGENEOS Y NO HOMOGENEOS Y SUS TIPOS DE SOLUCIÓN. - REGLAS QUE SE USAN PARA LA SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN ESCALAR Y PRODUCTO DE MATRICES. -METODOS DE SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.

2° K

FECHA DE ENTREGA: LUNES 21 DE NOV DEL 2016

3.1 DEFINICIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente: 3𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 1 2𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 = −2 { 1 −𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 0 2 El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones. El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico. En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma normal como: 𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 = 𝑏1 𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2 … + … + … = … Donde son las incógnitas y los números son los coeficientes del sistema sobre el cuerpo . Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notación matricial: 𝑎11 𝑎12 [ ⋮ 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2

⋯ ⋱ ⋯

𝑎1𝑛 𝑥1 ⋮ ] { 𝑥2 𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛

Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos: Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema de eliminación de Gauss-Jordan se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS Se llama sistema lineal homogéneo a todo sistema lineal de ecuaciones en el que los términos independientes o segundos miembros de cada ecuación son cero, es decir: 𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2+. . . +𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 0 a12x1 + a22x2+. . . +a2nxn = 0 ……………………………… En los sistemas lineales homogéneos, el rango de la matriz ampliada es siempre igual al rango de la matriz de coeficientes, puesto que estas dos matrices se diferencian tan Sólo en una columna de ceros. Por lo tanto, los sistemas homogéneos son siempre Compatibles, evidentemente, siempre tienen alguna solución, pues al menos xi = 0, 1 ≤ i ≤ n, es una solución que se denomina solución trivial. En un sistema homogéneo caben dos posibilidades: El rango de la matriz de coeficientes es igual al número de incógnitas, entonces el Sistema es compatible determinado y no tiene otra solución más que la trivial. El rango de la matriz de coeficientes es menor que el número de incógnitas, entonces El sistema tiene infinitas soluciones. Para resolver un sistema homogéneo en estas condiciones es preciso expresar unas variables en función de las otras. (a) El conjunto de soluciones de un sistema lineal de ecuaciones homogéneas es un sub espació vectorial de dimensión igual a la dimensión del espacio menos el número de Ecuaciones linealmente independientes. (b) Todo subes pació vectorial ésta caracterizado por un sistema lineal homogéneo de ecuaciones que se denominan ecuaciones implícitas del subes pació, el número de ecuaciones es igual a la dimisión del espacio menos la dimensión del subes pació. Otro procedimiento para caracterizar un sub espacio vectorial consiste en hallar las ecuaciones paramétricos del mismo. Para entender estas ecuaciones, supongamos que U es un espacio vectorial n-dimensional y sea S un sub espacio m-dimensional que tiene como base los vectores {s¯1, s¯2,..., s¯m} de coordenadas respectivas

NO HOMOGENEAS Se dice que un sistema de ecuaciones es no homogéneo, cuando cada una de las ecuaciones involucradas en el sistema están igualadas a un número diferente de cero, es decir, que si representamos el sistema de ecuaciones con la matriz asociada al sistema, esta tendrá todos los elementos de la columna de resultados con un valor numérico distinto de cero. Matemáticamente, el sistema homogéneo se puede representar matricialmente como Ax=b, en donde A es la matriz de coeficientes asociada al sistema, x es la columna de incógnitas y b es un vector columna de resultados en el que todos sus elementos son una constante distinta de cero.

Para resolver este tipo de sistemas de ecuaciones lo primero que debemos hacer es escribir la matriz asociada con el sistema de ecuaciones, una vez tengamos la matriz asociada, lo que debemos hacer es tratar de llevar la matriz a su forma escalonada reducida (de ser posible) haciendo uso de las operaciones fila vistas en los videos anteriores, por último analizamos los pivotes y las posiciones libres de la matriz resultante para identificar si el sistema tiene o no solución o si tiene infinitas soluciones. En el video se muestran varios ejemplos de sistemas de ecuaciones en donde se ha llegado a la matriz escalonada reducida y se analizan cada una de las posibilidades de solución que puede tener estos tipos de sistemas, podemos decir que la solución general de un sistema no homogéneo de ecuaciones, es la suma de una solución particular del sistema más la solución del sistema homogéneo asociado, es decir X=Xh+Xp. Seria: (m>n) 𝑎11 𝑥1 𝑎12 𝑥2 . . . 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1 𝑎21 𝑥1 𝑎22 𝑥2 . . . 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2 . . 𝑎𝑚1 𝑥1 𝑎𝑚2 𝑥2 . . . 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚 Donde, si las "m" ecuaciones son LINEALMENTE INDEPENDIENTES, entonces el sistema no tiene solución

TIPOS DE SOLUCIÓN Sustitución El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor. En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:

En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita y por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación. El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita y en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la x. Al resolver la ecuación obtenemos el resultado x=5, y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos y=7, con lo que el sistema queda ya resuelto.

Igualación El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones. Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:

Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.

Una vez obtenido el valor de la incógnita x, se substituye su valor en una de las ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la y. La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio para despejar x después de averiguar el valor de la y. Reducción Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple. Por ejemplo, en el sistema:

no tenemos más que multiplicar la primera ecuación por -2 para poder cancelar la incógnita y. Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así: Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita y ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incógnita x:

El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita x en cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de y es igual a:

Método de Gauss La eliminación de Gauss-Jordan, más conocida como método de Gauss, es un método aplicable únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular la matriz aumentada del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz. Este procedimiento es similar al anterior de reducción, pero ejecutado de manera reiterada y siguiendo un cierto orden algorítmico. El Método de Gauss consiste en convertir un sistema normal de 3 ecuaciones con 3 incógnitas en uno escalonado, en la que la primera ecuación tiene 3 incógnitas, la segunda ecuación tiene 2 incógnitas, y la tercera ecuación tiene 1 incógnita. De esta forma será fácil a partir de la última ecuación y subiendo, calcular el valor de las tres incógnitas. En primer lugar, reducimos la incógnita x, sumando a la segunda fila, la primera multiplicada por 2/3, y a la tercera, la primera fila. La matriz queda así:

El siguiente paso consiste en eliminar la incógnita y en la primera y tercera fila, para lo cual les sumamos la segunda multiplicada por −2 𝑦 𝑝𝑜𝑟 − 4, respectivamente. Por último, eliminamos la z, tanto de la primera como de la segunda fila, sumándoles la tercera multiplicada por -2 𝑦 𝑝𝑜𝑟 1/2, respectivamente:

Llegados a este punto podemos resolver directamente las ecuaciones que se nos plantean:

O, si lo preferimos, podemos multiplicar las tres filas de la matriz por: 1/2, 2 𝑦 − 1 respectivamente, y obtener así automáticamente los valores de las incógnitas en la última columna.

REGLAS QUE SE USAN PARA SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN ESCALAR Y PRODUCTO DE MATRIZ Suma de matrices

Dadas dos matrices del mismo orden A y B, se llama matriz suma a la matriz que se obtiene de sumar los elementos correspondientes de A y B. Es decir el primer elemento de A con el primer elemento de B, el segundo de A con el segundo de By así sucesivamente. Es sencillo, pero si aún no lo entendiste fíjate en el ejemplo donde he marcado un elemento en cada matriz para que sea más evidente el procedimiento.

La matriz suma es del mismo orden que el de las matrices que se suman, por lo tanto estas dos deben ser del mismo orden.

Multiplicación de una matriz por un número real cualquiera.

Si tenemos una matriz A y un número real cualquiera que llamaremos k, el producto de k. A es una matriz, del mismo orden que A, que se obtiene de multiplicar cada elemento de A por k. Viste que es fácil, pero igual aquí va un ejemplo, por las dudas, je je je.

Matriz opuesta

Si multiplicamos una matriz A por (-1), se obtiene la matriz -A, que es la matriz opuesta a la dada.

Como te habrás dado cuenta, no hay necesidad de hacer tanto esfuerzo, ya que el resultado es la misma matriz, pero con todos los signos cambiados.

Por lo tanto lo único que hay que hacer es cambiarle los signos y listo.

Resta de matrices

La resta de dos matrices A y B, es decir (A - B), es igual a la suma de A más el opuesto de B. Por lo tanto podemos hacer: A - B = A + (- B). En la práctica lo que se hace es cambiarle los signos a todos los elementos de la "segunda" matriz y se suma.

Por último, digamos que si se suma una matriz cualquiera con su opuesta, se obtiene la matriz nula.

METODOS DE SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES: GAUSS, GAUSS JORDAN, INVERSA DE UNA MATRIZ Y REGLA DE CRAMER. Los métodos de igualación, sustitución y reducción consisten en encontrar y resolver, para cada una de las incógnitas, una ecuación con esa incógnita y con ninguna otra. A estas ecuaciones, con solo una incógnita, se llega a través de una serie de pasos en los que las ecuaciones intermedias que se van obteniendo tienen menos incógnitas que las ecuaciones previas. Así, es posible que en uno de estos pasos de eliminación de incógnitas se utilice un método (el de reducción, por ejemplo) y que, en el siguiente paso, se utilice otro método (el de igualación, por ejemplo). Cada vez que se encuentra la solución para una incógnita, se sustituye esta incógnita por su solución para obtener así ecuaciones con menos incógnitas. Los métodos de igualación, sustitución, reducción y Gauss se pueden utilizar para resolver sistemas de ecuaciones compatibles determinados e indeterminados. El método de la matriz inversa y la regla de Cramer solo se pueden utilizar en el caso de que el sistema de ecuaciones lineales sea compatible determinado.

METODO DE REDUCCIÓN Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple. Por ejemplo, en el sistema: 2X +3Y =5 5X +6Y=4

No tenemos más que multiplicar la primera ecuación por -2 para poder cancelar la incógnita Y Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:−2(2𝑋 + 3𝑌 = 5) − −4𝑋 − 6𝑌 = 10 Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita X ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incógnita −4𝑋 − 6𝑌 = 10 5𝑋 + 6 𝑌 = 4

METODO DE IGUALACIÓN El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones. Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita Y en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:

Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.

Una vez obtenido el valor de la incógnita X, se sustituye su valor en una de las ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la Y. La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio para despejar x después de averiguar el valor de la Y.

METODO DE GAUSS El método de eliminación de Gauss o simplemente método de Gauss consiste en convertir un sistema lineal de n ecuaciones con n incógnitas, en uno escalonado, en el que la primera ecuación tiene n incógnita, la segunda ecuación tiene n - 1 incógnitas,..., hasta la última ecuación, que tiene 1 incógnita. De esta forma, será fácil partir de la última ecuación e ir subiendo para calcular el valor de las demás incógnitas. Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir las incógnitas porque al ir los coeficientes de una misma incógnita siempre en una misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incógnita a la que multiplican. Es un método iterativo, lo que significa que se parte de una aproximación inicial y se repite el proceso hasta llegar a una solución con un margen de error tan pequeño como se quiera. Buscamos la solución a un sistema de ecuaciones lineales, en notación matricial: donde:

REGLA DE CRAMER La regla de Cramer es un teorema del algebra lineal que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752), quien publicó la regla en su Introducción à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque colin maclarin también publicó el método en su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729). La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa: computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado en aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones. Sin embargo, como no es necesario pivotar matrices, es más eficiente que la eliminación Gaussiana para matrices pequeñas.