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Universidad Alonso De Ojeda Facultad de Ingeniería Escuela de Computación

ALGEBRA LINEAL z µz µy µx

y

x

Ing. Luis Castro

Universidad Alonso De Ojeda Facultad de Ingeniería Escuela de Computación

CONTENIDO UNIDAD I: SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS.............................................................. 4 SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS ............................................................................................ 4 Definiciones ......................................................................................................................................... 4 SISTEMA LINEAL DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS ..................................................................................... 6 MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES. ........................................................................................................ 7 Método de igualación........................................................................................................................... 7 Método de reducción ........................................................................................................................... 8 Método de sustitución .......................................................................................................................... 9 CONCLUSIONES .......................................................................................................................................... 11 MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES DE N INCÓGNITAS POR N VARIABLES. ............................................ 11 Método de eliminación Gaussiana. ..................................................................................................... 12 Método de Gauss-Jordan .................................................................................................................... 12 UNIDAD II: VALORES Y VECTORES PROPIOS ............................................................................................... 14 MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES. ............................................................................................. 14 CONCEPTOS PREVIOS. ........................................................................................................................ 14 Ejemplos: ........................................................................................................................................... 14 MATRICES ESPECIALES. ........................................................................................................................... 15 Matriz fila. ......................................................................................................................................... 15 Ejemplos: ........................................................................................................................................... 15 Matriz columna. ................................................................................................................................. 15 Ejemplos: ........................................................................................................................................... 15 Matriz nula. ....................................................................................................................................... 15 Ejemplos: ........................................................................................................................................... 16 Matriz opuesta. .................................................................................................................................. 16 Ejemplos ............................................................................................................................................ 16 Matriz cuadrada................................................................................................................................. 16 Ejemplos ............................................................................................................................................ 17 Matriz triangular superior. ................................................................................................................. 17 Ejemplos ............................................................................................................................................ 17 Matriz triangular inferior. ................................................................................................................... 17 Ejemplos ............................................................................................................................................ 18 Matriz diagonal.................................................................................................................................. 18 Ejemplos ............................................................................................................................................ 18 Matriz identidad................................................................................................................................. 18 Ejemplos ............................................................................................................................................ 18 Matrices idénticas o iguales. .............................................................................................................. 18 Ejemplos ............................................................................................................................................ 18 Matriz Traspuestas............................................................................................................................. 18 Matriz simétrica. ................................................................................................................................ 19 Ejemplos: ........................................................................................................................................... 19 Ejemplos: ........................................................................................................................................... 20

Universidad Alonso De Ojeda Facultad de Ingeniería Escuela de Computación OPERACIONES CON MATRICES. ............................................................................................................... 20 Suma. ................................................................................................................................................ 20 Ejemplo:............................................................................................................................................. 20 Resta. ................................................................................................................................................ 20 Ejemplo.............................................................................................................................................. 21 Producto de una matriz por un número............................................................................................... 21 Ejemplo:............................................................................................................................................. 21 Producto de matrices. ........................................................................................................................ 21 Operaciones con matrices traspuestas. ............................................................................................... 23 Ejemplos ............................................................................................................................................ 23 Ejemplos ............................................................................................................................................ 24 Matriz Idempotente. .......................................................................................................................... 25 Ejemplo:............................................................................................................................................. 25 Matriz Inversa .................................................................................................................................... 25 Ejemplos. Probar que si: ..................................................................................................................... 25 Solución ............................................................................................................................................. 25 Hallar la Inversa de una matriz: ............................................................................................. 25 Solución ............................................................................................................................................. 25 Ejercicios ............................................................................................................................................ 26 Dado .................................................................................................................................................. 26 Si ....................................................................................................................................................... 26 Hallar:................................................................................................................................................ 26 Hallar................................................................................................................................................. 26 Hallar................................................................................................................................................. 26 Hallar la inversa de cada matriz.......................................................................................................... 27 Hallar................................................................................................................................................. 27 Sean................................................................................................................................................... 27 Hallar:................................................................................................................................................ 27

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UNIDAD I: Sistemas de Dos Ecuaciones con Dos Incógnitas Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas Definiciones Aritmética: es la rama de la matemática que estudia a los números y las operaciones que con ellos se pueden efectuar y sus propiedades. Ejemplo: a) 2 + 3 = 5 b) 2 + 4 = 4 + 2 c) 2 x 5 = 10 Algebra: es la rama de la matemática que estudia las mismas operaciones y propiedades de la aritmética pero se sirve de letras y símbolos especiales para hacerlo de forma generalizada. Ejemplo: a) a + b = c b) a + b = b + a c) 2a = c Operaciones básicas Operación

Resultado

Elementos

Adición

Suma

Términos, símbolo (+), igualdad (=)

Sustracción

Resta o Diferencia

Términos, Símpalo (-), Igualdad (=)

Multiplicación

Producto

Factores, Símbolos {•; x; *; ( )}

División

Cociente

Dividendo, divisor, Símbolos {÷; :; /; _}

Palabras asociada a cada operación: Adición mas, suma, subir, incrementar,

aumento, agregar

Sustracción

Multiplicación

División

menos, resta, disminuir, bajar, decremento, quitar

Por, duplicar, factor, doble, producto, veces

Entre, sobre, cociente, dividir, parte, razón

Universidad Alonso De Ojeda Facultad de Ingeniería Escuela de Computación Expresión algebraica: en toda expresión que implique una letra y un número hay una expresión algebraica. a) 2a – el doble de un número. b) y / 5 – la quinta parte de un numero. c) (2x/3) - dos tercios de un número. d) (5x/2) + 7 - cinco medios de un numero mas siete. e) 2x – 1 – el doble de un numero menos uno. f) 2(x - 1) – el doble de la diferencia de un numero menos uno Ecuación: es una expresión algebraica que contiene una igualdad. a) (3x/5) -2 = 4 – Tres quintas partes de un numero menos dos es igual a cuatro. b) 5P/6 + 1 = 16 – cinco sextos de un numero más uno es igual a dieciséis. c) 2 (5x + 1) = -18 – el doble de la suma de cinco veces un numero mas unos es igual a menos dieciocho. d) 5P/3 + L = 6 => P = 3(6-L)/5 e) (5x – 2)/3 = 6 f) p/5 + 2 = 11 g) 3x + 4y = 5 Orden de precedencia de los operadores Orden de las Operaciones

Orden del despeje

× ÷ + -

+ ÷ ×

La precedencia de un operador indica qué tan "estrechamente" se unen dos expresiones juntas. Por ejemplo, en la expresión 1 + 5 x 3, la respuesta es 16 y no 18 porque el operador de multiplicación ("x") tiene una precedencia mayor que el operador de adición ("+"). Los paréntesis pueden ser usados para forzar la precedencia, si es necesario. Por ejemplo: (1 + 5) x 3 se evalúa como 18.

Universidad Alonso De Ojeda Facultad de Ingeniería Escuela de Computación El uso de paréntesis, incluso cuando no es estrictamente necesario, a menudo puede aumentar la legibilidad del código haciendo grupos explícitamente en lugar de confiar en la precedencia y asociatividad implícitas del operador. El paréntesis altera el orden de las operaciones y en consecuencia el orden del despeje. El otro caso es cuando hay una división total, se cambia el orden de la operación y el orden del despeje.

Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas Se llama sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas a un sistema lineal de ecuaciones formado por dos o más ecuaciones que se refieren a una misma situación y que permiten su resolución empleando técnicas básicas del álgebra. Una infinidad de problemas pueden ser resueltos con un sistema de dos ecuaciones. Por ejemplo: a) La edad de Pedro mas la edad de María suman 45 años. b) Su diferencia es 5 años.

Las dos se resuelven juntas individual no se pueden resolver. Formas en las que se pueden encontrar sus soluciones. En un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, se busca su solución común.

En el sistema de ecuaciones anterior, la solución es un par de números x1, y1, que al reemplazar x por x1 e y por y1, se satisfacen a la vez ambas ecuaciones. Ejercicios: Hallar la solución al sistema de ecuaciones de las edades de Pedro y María:

Sumando las dos ecuaciones queda que

2M = 50

Universidad Alonso De Ojeda Facultad de Ingeniería Escuela de Computación Luego M = 50 / 2; es decir M = 25, María tiene 25 años. Sustituyendo en la segunda ecuación: M – P = 5; luego 25 – P = 5 de donde P= 25 -5 ; P es igual a 20, luego Pedro tiene 20 años. Solución: P = 20 y M = 25 Hallar la solución al siguiente sistema de ecuaciones:

x = 3, y = 5

Sistemas equivalentes Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente. Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente. Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado. Si en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero. Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.

Métodos de resolución de ecuaciones. Método de igualación Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones. Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita. Se resuelve la ecuación. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. Ejemplos

Seleccionar x (por ejemplo) y despejar en ambas ecuaciones:

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Igualamos ambas expresiones:

Resolvemos la ecuación:

Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x:

Solución: Ejercicios del método de Igualación Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de igualación.

Resuelve los siguientes problemas: a) Una empresa de transportes alquila 2 tipos de autobuses, uno de 50 puestos y otro de 20. Para una excursión escolar de 220 alumnos se alquilan 7 autobuses. ¿Cuántos autobuses de cada tipo se alquilan, sabiendo que sobran 10 puestos? b) La edad de un niño y la de su padre suman 49. Si Sabe que la edad del padre menos el doble de la edad del hijo es igual a 25, ¿cuál es la edad de ambos? Método de reducción Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga. La restamos, y desaparece una de las incógnitas. Se resuelve la ecuación resultante. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. Ejemplos

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Lo más fácil es suprimir la y; pero se suprimirá la x, para que ver mejor el método. Se preparan las dos ecuaciones multiplicando la primera por 2 y la segunda por -3.

Se Restan y resuelve la ecuación:

y=6 Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.

Solución:

Ejercicios del método de reducción Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de reducción.

Resuelve los siguientes problemas: a) En una universidad hay 60 profesores repartidos en dos Sedes, La 61 y La 34. El 30% de la 34 y el 10% de la 61 son hombres, lo que hace un total de 10 profesores. ¿Cuántos profesores hay en cada Sede? b) Calcular un número tal que la suma de sus cifras es 11 y sabiendo que dicho número menos 27 da el mismo número en orden inverso. Método de sustitución Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita. Se resuelve la ecuación. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Universidad Alonso De Ojeda Facultad de Ingeniería Escuela de Computación Ejemplos

Se despeja una incógnita en una de las dos ecuaciones. Preferiblemente la que tenga el coeficiente más bajo.

Sustituir en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:

Resolver la ecuación obtenida:

Sustituir el valor obtenido en la variable despejada.

Solución

Ejercicios del método de Sustitución Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de sustitución.

Resuelve los siguientes problemas: a) Si tiene 550 Bolívares en 15 Billetes de 50 y 10 Bolívares. ¿Cuántas Billetes de cada clase tiene? b) Wendi va a hacer una fiesta en su casa. Va al supermercado y compra 3 paquetes de Papita y 2 maní por 80 Bolívares. Más tarde vuelve a comprar 2 paquetes papita y 1 de maní por 50 Bolívares. ¿Cuánto cuesta cada producto? c) Si tiene 2.500 Bolívares en 35 Billetes de 100 y 50 Bolívares. ¿Cuántas Billetes de cada clase tiene? c) La suma de la edad de Esteban y Juan es 26 y el doble de la de Juan Sumada con la mitad de la edad de Esteban es 25, qué edad tiene cada uno. d) El cociente de 2 números es 3 y su suma es 28, ¿Cuáles son los números? Ejercicios: Resolver cada ejercicio por los tres método

Universidad Alonso De Ojeda Facultad de Ingeniería Escuela de Computación Un granero Compra aves y Bestias, al contar los animales tiene 60 cabezas y 200 patas Calcule ¿cuántas aves y cuantas bestias compró? La compañía Sunrise de porcelana fabrica tazas y platos de cerámica, para cada taza o plato un trabajador mide una cantidad fija de material y la pone en la maquina que lo forma de donde pasa al vidriado y secado automático; en promedio un trabajador necesita 3 minutos para iniciar el proceso de una taza y dos minutos pare el de un plato, el material de la taza cuesta 25 cts. y el de un plato cuesta 20 cts. Si se asigna 44$ para la producción de tazas y platos cuanto de de fabricarse de cada uno en un día de trabajo de 8 horas, si un trabajador se encuentra trabajando cada minuto y se gasta 44$ en material.

Conclusiones Al solucionar sistemas de ecuaciones pueden presentarse los siguientes casos:

Compatibles: El Sistema Tiene Solución. Compatible Determinado: Las incógnitas tienen uno y solo uno valor de solución. Compatible Indeterminado: Las incógnitas tienen más de un valor de solución. Incompatibles: El sistema NO Tienen solución.

Métodos para resolver sistemas de ecuaciones de n incógnitas por n variables. Ecuación lineal Definición Una ecuación lineal con n variable escribirse en la forma:

es una igualdad matemática que puede (1)

Los se conocen como los coeficientes de la ecuación y “b” se le llama el término independiente. Las variables o incógnitas representan cantidades desconocidas que se desean determinar. Si el valor de b es cero, se dice que la ecuación es una ecuación homogénea. Observe la siguiente ecuación (2), respecto a la ecuación (1): (2) Se le conoce como la ecuación homogénea asociada. Es común convenir en un ordenamiento de las incógnitas ; de acuerdo a ese orden, a la primera de ellas que no tenga coeficiente cero se le llamara variable delantera, mientras que las restantes se les llamaran variables libres. Cuando una ecuación aparece descrita como en (1) se dice que la ecuación está en su forma canoníca. Note que

Universidad Alonso De Ojeda Facultad de Ingeniería Escuela de Computación en la forma canoníca todas las variables se encuentran en el primer miembro, mientras que los términos donde ellas no aparecen quedan en el segundo.

Sistema de ecuaciones lineales Un sistema de ecuaciones simultaneas, o también llamado un sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales. El problema de resolver tal sistema consiste en encontrar las soluciones que satisfacen simultáneamente todas las ecuaciones del sistema. Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones que puede ser escrito en la forma:

Los números , son los coeficientes del sistema, mientras que son los términos independientes. Cuando todos los términos independientes son cero, se dice que el sistema es un sistema lineal homogéneo. Un concepto que posteriormente cobrará importancia es el de sistema homogéneo asociado a un sistema lineal: es el sistema que se obtiene haciendo ceros todos los términos independientes del sistema. Método de eliminación Gaussiana. El Algoritmo de Gauss o de Eliminación Gaussiana consta de los siguientes pasos: 1. Determine la primer columna (a la izquierda) no cero. 2. Si el primer elemento de la columna es cero, intercámbielo por una Fila que no tenga cero. 3. Obtenga ceros abajo del elemento delantero sumando múltiplos adecuados a las Filas debajo de él. 4. Cubra la Fila y la columna de trabajo y repita el proceso comenzando en el paso 1. Al termino del ciclo entre el paso 1 al 4 (es decir cuando se han barrido todas las Filas), la matriz deber tener forma de escalón. 5. Comenzando con la última Fila no cero avance hacia arriba para que en cada fila tenga un 1 delantero y arriba de él queden solo ceros. Para ello deberá sumar múltiplos adecuados de la Fila a las Filas correspondientes. Método de Gauss-Jordan El Algoritmo de Gauss-Jordan consta de los siguientes pasos: 1. Determine la primer columna (a la izquierda) no cero. 2. Si el primer elemento de la columna es cero, intercámbielo por una Fila que no tenga cero. Multiplicando apropiadamente la Fila, hágalo 1. Este primer 1 será llamado 1 pivote. 3. Obtenga ceros arriba y abajo del 1 pivote sumando múltiplos adecuados a las filas debajo de la fila pivote en la matriz completa. 4. Cubra la columna y La Fila de trabajo y repita el proceso comenzando en el paso 1 con la columna siguiente. Es importante observar que en el método de Gauss-Jordan:

Universidad Alonso De Ojeda Facultad de Ingeniería Escuela de Computación En la idea general, la matriz se va escalonando y reduciendo a la vez. En el paso 2, si el elemento no es cero no se realiza intercambio. En el paso 3, los elementos que se hacen cero no solo son los inferiores al pivote (Eliminación Gaussiana) sino también los superiores.

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UNIDAD II: Valores y Vectores Propios Definición de matriz. Operaciones con matrices. Método para resolver sistemas aplicando inversa de una matriz. Inversa de una matriz 2x2. Inversa de una Matriz de tamaño n x n. Transpuesta de una matriz.

MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES. CONCEPTOS PREVIOS. Definición de matriz.

Una matriz real es un conjunto de números reales dispuestos en filas y columnas. Ejemplos:

Definición de orden de una matriz.

Se llama orden de una matriz al número de filas por el número de columnas de dicha matriz. Ejemplos:

Representación algebraica de una matriz.

Todos los elementos de la matriz A (mayúscula) se simbolizan con la misma letra, a, en minúscula, y dos subíndices i, j que representan: i: La fila a la que pertenece el elemento, i = 1, 2,…, m. (m filas) j: La columna a la que pertenece el elemento, j = 1, 2,…, n. (n columnas)

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MATRICES ESPECIALES. Se definen a continuación una serie de matrices especiales, quedando por definir otro tipo de matrices especiales tras introducir las operaciones con matrices y el concepto de determinante de una matriz cuadrada en secciones posteriores. Matriz fila.

Matriz formada por una sola fila. También se conoce como vector fila. Ejemplos:

Matriz columna.

Matriz formada por una sola columna. También se conoce como vector columna.

Ejemplos:

B

Matriz nula.

Es aquella cuyos elementos son todos nulos.

Universidad Alonso De Ojeda Facultad de Ingeniería Escuela de Computación Ejemplos:

Matriz opuesta.

La matriz opuesta de una matriz A = es otra matriz del mismo orden cuyos elementos son los de la matriz multiplicados por -1.

Ejemplos

Matriz cuadrada.

Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, m = n. En una matriz cuadrada se llama diagonal principal a la línea oblicua formada por los elementos cuyos subíndices son iguales.

Universidad Alonso De Ojeda Facultad de Ingeniería Escuela de Computación Ejemplos

Matriz triangular superior.

Es una matriz cuadrada en donde los elementos que quedan por debajo de la diagonal principal son todos ceros,

Ejemplos

Matriz triangular inferior.

Es una matriz cuadrada en donde los elementos que quedan por encima de la diagonal principal son todos ceros,

Universidad Alonso De Ojeda Facultad de Ingeniería Escuela de Computación Ejemplos

Matriz diagonal.

Es una matriz cuadrada donde los elementos que no están en la diagonal principal son todos nulos, Se trata de una matriz que es simultáneamente matriz triangular superior e inferior. Ejemplos

Matriz identidad.

Es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a la unidad, Se representa por la letra I, mayúscula. Ejemplos

Matrices idénticas o iguales.

Dada una matriz

, se dice que es igual a la matriz si se verifica que

Ejemplos

Matriz Traspuestas.

Dada una matriz se representa por columnas:

su traspuesta es otra matriz que y se obtiene intercambiando ordenadamente las filas por

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NOTA: Obsérvese que la traspuesta de la matriz traspuesta es la matriz original:

.

Matriz simétrica.

Se denomina matriz simétrica a aquella matriz cuadrada que es igual o idéntica a su matriz traspuesta. Teniendo en cuenta cuando dos matrices son iguales o idénticas, se tiene que: NOTA: No puede haber matrices no cuadradas que sean simétricas, por lo que es condición necesaria que sea cuadrada. Ejemplos:

NOTA: Las matrices diagonales son simétricas. Matriz Antisimétrica.

Se denomina matriz antisimétrica a aquella matriz cuadrada cuya traspuesta coincide con su matriz opuesta. Teniendo en cuenta cuando dos matrices son iguales o idénticas, se tiene que:

Por consiguiente, los elementos de la diagonal de una matriz antisimétrica deben ser nulos, ya que en caso contrario es imposible que un número sea igual a sí mismo cambiado de signo.

Universidad Alonso De Ojeda Facultad de Ingeniería Escuela de Computación Ejemplos:

OPERACIONES CON MATRICES. Suma.

Dadas dos matrices del mismo orden, A y B, se define su suma como otra matriz, C, del mismo orden que las matrices sumando cuyos elementos se obtienen sumando a cada elemento de la primera matriz, A, el correspondiente elemento de la segunda matriz sumando, B:

Ejemplo:

Resta.

La resta de dos matrices del mismo orden A y B, se define como la suma de A más la matriz opuesta de B, por lo que resultará ser otra matriz del mismo orden, D, cuyos elementos se obtienen de restar a cada elemento de la primera matriz A (minuendo) el elemento correspondiente de la matriz que resta, B (sustraendo).

Universidad Alonso De Ojeda Facultad de Ingeniería Escuela de Computación Ejemplo

Producto de una matriz por un número.

Dada una matriz , se define el producto de un número por esa matriz como otra matriz B del mismo orden cuyos elementos se obtienen de multiplicar cada uno de los elementos de A por el número :

Ejemplo:

Producto de matrices.

Para poder multiplicar dos matrices A y B, (B .A), el número de columnas de la matriz que multiplica en primer lugar, A, debe ser igual al número de filas de la matriz que multiplica en segundo lugar, B. Así pues, dadas dos matrices Amxn, Bnxp, el resultado de multiplicar A por B, B,A , es otra matriz C = B.A , con tantas filas como la matriz que multiplica en primer lugar y tantas columnas como la matriz que aparece en el producto en segundo lugar, Cmxp. Los elementos de la matriz C se obtienen de multiplicar las filas de la primera matriz por las columnas de la segunda matriz. Ese producto consiste en multiplicar un elemento de la fila por el correspondiente de la

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columna y sumar el resultado al resto de productos de elementos de esa fila por esa columna.

Este producto de vectores fila por vectores columna se ilustra con el siguiente ejemplo:

NOTA: Dado como está definida la multiplicación de matrices, se tiene que la multiplicación de matrices, en general, no cumple la propiedad conmutativa: Está claro para el caso de dos matrices de distinto orden y en donde uno de los dos productos no exista (porque no se cumple el requisito para poderse multiplicar). El resultado que exista no coincidirá con el otro que no existe, por lo que no se cumple la propiedad conmutativa. Para el caso de que las dos matrices sean de distinto orden y los dos productos existan, porque se cumple el requisito o condición necesaria para poderse multiplicar, el resultado de B.A será una matriz de distinto orden que el resultado de A.B , por lo que tampoco se cumple la propiedad conmutativa, como se ha visto en el ejemplo anterior. Si las dos matrices son del mismo orden, para que los dos productos existan, deben ser matrices cuadradas, para que se cumpla el requisito para poderse multiplicar, pero tampoco se cumple, en general, la propiedad conmutativa. En el siguiente ejemplo se da el caso de la existencia de los dos productos dando como resultado una matriz cuadrada del mismo orden en ambos casos, pero que no coincide:

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Operaciones con matrices traspuestas.

A partir de conocer las operaciones básicas con matrices y el concepto de matriz traspuesta, está demostrado lo siguiente: 1.- La matriz traspuesta de la suma de dos matrices es igual a la suma de las matrices traspuestas de las matrices sumando: Ejemplos

2.- La matriz traspuesta de la matriz que resulta de multiplicar un número por una matriz es igual al producto del mismo número por la traspuesta de dicha matriz:

Universidad Alonso De Ojeda Facultad de Ingeniería Escuela de Computación Ejemplos

3.- La matriz traspuesta de la matriz que resulta del producto de dos matrices es igual al producto de las traspuestas de las matrices que se multiplican cambiando el orden del producto:

NOTA: Si no se cambia de orden el producto de las traspuestas puede o no ser posible, o ser una matriz de distinto orden que la matriz que resulte de cambiar el orden del producto de traspuestas, o puede incluso ser del mismo orden, pero resultar una matriz distinta.

Universidad Alonso De Ojeda Facultad de Ingeniería Escuela de Computación Matriz Idempotente.

Una vez definido el producto de matrices, se puede definir el concepto de matriz idempotente como aquella matriz cuadrada cuyo producto por sí misma es igual a sí misma: Ejemplo:

La matriz identidad es una matriz idempotente.

es idempotente. Matriz Inversa

Se dice que una matriz cuadrada es invertible si existe una matriz cuadrada B con la propiedad que:

Ejemplos. Probar que si:

Solución

Hallar la Inversa de una matriz:

Dada una matriz se puede hallar su inversa creando una Matriz ampliada con la matriz identidad del mismo orden y efectuar operaciones básicas entre filas, hasta reducir la matriz.

Sea Solución

hallar la inversa

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Ejercicios

Dado

halla

Dado

Hallar Para taller: Hallar x,y,z,w si:

Si

Hallar:

Si Sea Hallar

Sea Hallar

Un vector no nulo

Universidad Alonso De Ojeda Facultad de Ingeniería Escuela de Computación Hallar la inversa de cada matriz

Sea Hallar

Sean

Hallar:

A+B B-A A.B

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UNIDAD III: Tópicos de Análisis Numéricos Función determinante. Función permutación. Definición de determinante. Determinante de una matriz de tamaño 2x2, 3x3 y nxn. Regla de Cramer. Método de Co-Factores.

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UNIDAD IV: Espacios Vectoriales. Espacio vectorial. Definición de espacio vectorial y subespacio vectorial. Realización de ejercicios. Definición de combinación lineal Definición de dependencia e independencia lineal. Definición de base vectorial y dimensionamiento. Vectores propios: propiedades y aplicaciones.

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UNIDAD V: Transformaciones Lineal Transformación lineal. Matriz asociada a una transformación lineal. Definición de imagen, rango y núcleo. Transformaciones ortogonales. Transformaciones de R2 a R2 de R3 a R3, de Rn a Rn.