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UNIDAD 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. COMPETENCIA ESPECÍFICA A DESARROLLAR: Modelar y resolver diferentes problemas de aplicaciones de sistemas de ecuaciones lineales en el área de las matemáticas y de la ingeniería por los métodos de Gauss, Gauss-Jordan, matriz inversa y regla de Cramer.

3.1 DEFINICIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente: 𝟐𝒙𝟏 + 𝟓𝒙𝟐 + 𝟓𝒙𝟑 = 𝟏 𝟒𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟑 = 𝟏𝟔 𝟐𝒙𝟏 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝟖𝒙𝟑 = 𝟐 El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 y 𝒙𝟑 que satisfacen las tres ecuaciones. El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico. En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma normal como: 𝒂𝟏𝟏 𝒙𝟏 + 𝒂𝟏𝟐 𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏 𝒙𝒏 = 𝒃𝟏 𝒂𝟐𝟏 𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝟐 𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒏 𝒙𝒏 = 𝒃𝟐 … … … … … 𝒂𝒎𝟏 𝒙𝟏 + 𝒂𝒎𝟐 𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒎𝒏 𝒙𝒏 = 𝒃𝒎 Donde 𝒙𝒏 , … , 𝒙𝒏 son las incógnitas y los números 𝒂𝒊𝒋 ∈ 𝕂 son los coeficientes del sistema sobre el cuerpo 𝕂[= ℝ, ℂ, … ] . Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notación matricial: 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 ⋯ 𝒂𝟏𝒏 𝒙𝟏 𝒃𝟏 𝒂 𝒂𝟐𝟐 ⋯ 𝒃𝟐 𝒙𝟐 𝒃𝟐 [ ⋮𝟐𝟏 ⋮ ⋱ ⋮ ][ ⋮ ] = [ ⋮ ] 𝒂𝒎𝟏 𝒂𝒎𝟐 ⋯ 𝒂𝒎𝒏 𝒙𝒏 𝒃𝒎 Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos: 𝑨𝒙 = 𝒃 Donde 𝑨 es una matriz m por n, 𝒙 es un vector columna de longitud n y 𝒃 es otro vector columna de longitud m.

3.2 CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y TIPOS DE SOLUCIÓN.

Podemos clasificar los sistemas de ecuaciones lineales según su número de soluciones de la siguiente forma: • Sistemas con una solución: Las ecuaciones del sistema son rectas secantes. Se cortan en un punto (x, y) que es la solución del sistema • Sistemas sin solución: Las ecuaciones del sistema son rectas paralelas. No tienen ningún punto en común, y por tanto no hay solución • Sistemas con infinitas soluciones: Las ecuaciones del sistema son rectas coincidentes. Tienen todos los puntos en común, y por tanto todos ellos son solución. Condiciones que deben cumplir las ecuaciones para que el sistema tenga una, ninguna o infinitas soluciones: • Una solución: Los coeficientes de x e y de las dos ecuaciones no son proporcionales. Ejemplo: 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟏 𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟕 • Ninguna solución: Los coeficientes de x e y de una ecuación son proporcionales a los de la otra, mientras que los términos independientes no lo son. Ejemplo: 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟏 𝟒𝒙 − 𝟔𝒚 = 𝟕 • Infinitas soluciones: Los coeficientes de x e y, y el término independiente de una ecuación, son proporcionales a los de la otra. Ejemplo: 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟏 𝟒𝒙 − 𝟔𝒚 = 𝟐

El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor. En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:

𝟑𝒙 + 𝒚 = 𝟐𝟐 𝟒𝒙 − 𝟑𝒚 = −𝟏 En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita y por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación. 𝒚 = 𝟐𝟐 − 𝟑𝒙 El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita y en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la x. 𝟒𝒙 − 𝟑(𝟐𝟐 − 𝟑𝒙) = −𝟏 → 𝟒𝒙 − 𝟔𝟔 + 𝟗𝒙 = −𝟏 → 𝟏𝟑𝒙 − 𝟔𝟔 = −𝟏 → 𝟏𝟑𝒙 = 𝟔𝟓 Al resolver la ecuación obtenemos el resultado 𝒙 = 𝟓, y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos 𝒚 = 𝟕, con lo que el sistema queda ya resuelto.

El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones. Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita 𝒚 en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera: 𝒚 = 𝟐𝟐 − 𝟑𝒙 𝟒𝒙 + 𝟏 𝒚= 𝟑 Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí. 𝟐𝟐 − 𝟑𝒙 =

𝟒𝒙 + 𝟏 → 𝟑(𝟐𝟐 − 𝟑𝒙) = 𝟒𝒙 + 𝟏 → 𝟔𝟓 = 𝟏𝟑𝒙 → 𝒙 = 𝟓 𝟑

Una vez obtenido el valor de la incógnita x, se substituye su valor en una de las ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la y. La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio para despejar x después de averiguar el valor de la y.

Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple.

Por ejemplo, en el sistema: 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟏𝟓 𝟓𝒙 + 𝟔𝒚 = 𝟒 No tenemos más que multiplicar la primera ecuación por −𝟐 para poder cancelar la incógnita 𝒚. Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así: −2(2𝑥 + 3𝑦 = 5) → −𝟒𝒙 − 𝟔𝒚 = −𝟏𝟎 Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita 𝒚 ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incógnita 𝒙: (−4𝑥 − 6𝑦 = −10) + (5𝑥 + 6𝑦 = 4) → 𝒙 = −𝟔 El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita 𝒙 en cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de 𝒚 es igual a: 𝟏𝟕 𝒚= 𝟑

Consiste en construir la gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema. El método (manualmente aplicado) solo resulta eficiente en el plano cartesiano, es decir para un espacio de dimensión 2. El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resuelve en los siguientes pasos: • • •

Se despeja la incógnita (𝒚) en ambas ecuaciones. Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado obteniendo la tabla de valores correspondientes. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.

En este último paso hay tres posibilidades: • Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas (𝒙, 𝒚). "Sistema compatible determinado". • Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. «Sistema compatible indeterminado». • Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución.

EJEMPLOS Problema 1: Un constructor requiere comprar 8 sacos de cemento, al cotizarlo resulta que el costo total a pagar es $904.00 ¿Qué precio unitario tiene cada saco de cemento? Solución: 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = $904.00 = 𝑻 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 8 𝑠𝑎𝑐𝑜𝑠 = 𝑪 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 = 𝒙 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 → 𝑻 = 𝑪𝒙 904 = 8 𝑥 Respuesta: 904 𝑥= = 𝟏𝟏𝟑 8 Problema 2: Un albañil requiere de 3 kilos de clavos de 2 ½ pulgadas, además de 6 varillas de 3/8, al cotizarlo la encargada le dice el precio total a pagar es de $564.00, en ese instante otro cliente recibe la cotización de un kilo de clavos 2 ½ pulgadas y cuatro varillas en total tiene que pagar la cantidad de $350.00 ¿Encontrar el precio unitario del kilo de clavos y de cada varilla? Solución: 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎 = 𝒚 𝐾𝑖𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑣𝑜 = 𝒙 6𝑦 = 486 486 𝑦= 6 𝒚 = 𝟖𝟏 (−1)3𝑥 + 6𝑦 = 564 𝑥 + 4𝑦 = 350 −3𝑥 − 6𝑦 = −564 3𝑥 + 12𝑦 = 1050 𝑥 + 4(81) = 350 𝑥 + 324 = 350 𝑥 = 350 − 324 𝒙 = 𝟐𝟔 Respuesta: 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎 = 𝟖𝟏 𝐾𝑖𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑣𝑜 = 𝟐𝟔

3.3 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS SOLUCIONES. Cada ecuación representa un plano en el espacio tridimensional. Luego se trata de estudiar la posición relativa de tres planos en el espacio. Las soluciones del sistema son geométricamente los puntos de intersección de los tres planos, los casos son:

Sistema compatible determinado. Los tres planos se cortan en P.

Son soluciones todos los puntos representativos de la recta común. Sistema compatible indeterminado con un grado de libertad. Los planos se cortan en r.

Los planos son coincidentes. El sistema es compatible indeterminado con dos grados de libertad.

El sistema es incompatible. Esta situación se presenta geométricamente de distintas maneras. Para estudiar las posiciones relativas de los planos hay que tomarlos de dos en dos. Se pueden presentar varios casos: Que los planos sean paralelos:

3.4 MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES: GAUSS, GAUSS-JORDAN, INVERSA DE UNA MATRIZ Y REGLA DE CRAMER.

Es el método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, que consiste en llegar a un sistema "escalonado" transformando la matriz ampliada en una matriz escalonada por filas. El método de Gauss es una generalización del método de reducción, que utilizamos para eliminar una incógnita en los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Consiste en la aplicación sucesiva del método de reducción, utilizando los criterios de equivalencia de sistemas, para transformar la matriz ampliada con los términos independientes en una matriz triangular, de modo que cada fila (ecuación) tenga una incógnita menos que la inmediatamente anterior. Se obtiene así un sistema, que llamaremos escalonado, tal que la última ecuación tiene una única incógnita, las penúltimas dos incógnitas, la antepenúltimas tres incógnitas, y la primera de todas las incógnitas. Para resolverlo despejamos, en primer lugar, la única incógnita de la última ecuación. Luego sustituimos ésta en la penúltima ecuación y despejamos la otra incógnita. Posteriormente, sustituimos dos de las tres incógnitas de la antepenúltima ecuación por sus valores y despejamos la que queda, y así sucesivamente hasta llegar a la primera ecuación. EJEMPLOS Problema 1: Julián, Selena y Abigail se van de parranda y deciden tomarse un refresco, al estar platicando se les antojan unos tacos y un pedazo de pastel, al final Julián tiene que pagar la cantidad de $238.00, al registrar la nota de venta se les notifica lo siguiente una persona pidió un refresco, 5 tacos y una rebanada de pastes y su total fue de $67.00, una segunda persona pidió un refresco, 4 tacos y 2 rebanadas de pastel y en total tenía que pagar $86.00, la tercer persona pidió 2 refrescos, 6 tacos y una rebanada de pastel y tenía que pagar $85.00. Encontrar el precio unitario de los refrescos, tacos y la rebanada de pastel. Solución: 𝒙𝟏 + 𝟓𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 = 𝟔𝟕 𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟑 = 𝟖𝟔 𝟐𝒙𝟏 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 = 𝟖𝟓 1 |1 2

5 1 67 (−1)(−2) 4 2 86| 6 1 85

𝒙𝟏 = 𝑅𝑒𝑓𝑟𝑒𝑠𝑐𝑜𝑠 𝒙𝟐 = 𝑇𝑎𝑐𝑜𝑠 𝒙𝟑 = 𝑅𝑒𝑏𝑎𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑡𝑒𝑙 1 5 1 67 |0 −1 1 19 | (−1) 0 −4 −1 −49

1 5 1 67 |0 1 −1 −19| (4) 0 −4 −1 −49

1 |0 0

5 1 67 1 −1 −19 | 1 0 −5 −125 (− 5)

1 5 |0 1 0 0

1 67 −1 −19| 1 25

Respuestas: 𝑥1 + 5𝑥2 + 𝑥3 = 67 𝑥2 − 𝑥3 = −19 𝒙𝟑 = 𝟐𝟓

𝑥2 − 25 = −19 𝑥2 = −19 + 25 𝒙𝟐 = 𝟔

𝑥1 + 55 = 67 𝑥1 = 67 − 55 𝒙𝟏 = 𝟏𝟐

Problema 2: 𝟐𝒙𝟏 + 𝟓𝒙𝟐 + 𝟓𝒙𝟑 = 𝟏 𝟒𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟑 = 𝟏𝟔 𝟐𝒙𝟏 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝟖𝒙𝟑 = 𝟐 Solución: 𝟐 |𝟒 𝟐 1

𝟓 𝟒 𝟔

1

5

1

2

2 8

2 14| (−1)

6

0 1 3

−

1 2 |4 4 2 6 1

5

|0 1

5

𝟏 (2) 𝟏𝟔| 𝟐

𝟓 𝟐 𝟖

6

1

2

2

5

1

2

2 8

2 14|

|0 1 |

6 10

(−4)(−2)

− 6| 20

6

6

1 |0

6

(10)

5

1

2

2

2

−6 −8 14| (− 6) 1 3 1

5

5

1

2

2 8

2 14|

1

0

5

1 |0 0

2 16| 8 2

5

0 0

1

5

6

−

0 1

1

5

5

1

𝑥1 + 2 𝑥2 + 2 𝑥3 = 2 8

7

6

3

𝑥2 + 𝑥3 = −

6

𝒙𝟑 = 𝟐

2

5 5 1 −25 10 1 1 15 16 𝑥1 + (−5) + (2) = → 𝑥1 + + (2) = → 𝒙𝟏 = + = =𝟖 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 7 7 8 15 𝑥2 + (2) = − → 𝒙𝟐 = − − = − = −𝟓 3 3 3 3 3 Respuestas: 𝒙𝟏 = 𝟖 𝒙𝟐 = −𝟓 𝒙𝟑 = 𝟐 Problema 3: 𝟓𝒙 + 𝟔𝒚 = 𝟐𝟔 −𝟑𝒙 + 𝟐𝟎𝒚 = 𝟓 Solución: 5 6 | −3 20

1

6

26 (5) 1 5 | | 5 −3 20

26 5|

5

(3)

|

1 0

6

26

5 118

5 103|

5

5

1

5 118

|

0

6

26

5

5 103|

1

108

6

𝑥1 + 5 𝑥2 = 103

𝑥2 = 108

26 5

6 103 26 618 26 103 26 26 103 𝟕𝟑 𝑥1 + ( )= → 𝑥1 + ( )= → 𝑥1 + ( )= → 𝒙𝟏 = − = 5 108 5 540 5 90 5 5 90 𝟏𝟖 Respuestas: 𝒙𝟏 =

𝟕𝟑 𝟏𝟎𝟑 𝒙𝟐 = 𝟏𝟖 𝟏𝟎𝟖

Problema 4: 𝟑𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙𝟑 = 𝟐𝟗 𝟐𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟒𝒙𝟑 = 𝟐𝟒 𝟒𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝟑 = 𝟏𝟐 Solución: 3 |2 4 1

1 3 |0 1 5 0 3

1 −6 29 3 −4 24| 3 −2 12 29

−2 3 5 0 2 | (− 3) 80 6 − 3

1 ( ) 3

1 |0 0

1 |2 4 1 3

1 3

(−2)(−4) −2 |0 | | 3 −4 24 3 −2 12 0 −2

1 0

1

29 3

0 6

29 3

1 |0

2 | 1 −30 (6)

0

1 3

1 0

−2 0 1

1 3 7 3 5 3

29 3 14 | 3 0 ( ) 3 | 7 80 6 −3 1 29 𝑥1 + 3 𝑥2 − 2𝑥3 3 𝑥2 = 2 2|

−2

=

29 3

𝑥3 = −5

−5

2 29 29 32 3 𝑥1 + + 10 = → 𝒙𝟏 = − = − = −𝟏 3 3 3 3 3

Respuestas: 𝒙𝟏 = −𝟏

𝒙𝟐 = 𝟐

𝒙𝟑 = −𝟓

Problema 5: 𝟐𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝟑 = 𝟏 𝟓𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟓𝒙𝟑 = 𝟗 𝟑𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟔𝒙𝟑 = 𝟔 Solución: 2 1 3 |5 3 5 3 4 6

1 9| 6

1 (2)

1 |5 3

1 2

3 2

1 2

(−5)(−3)

3 5 9| 4 6 6

1 1/2 3/2 1/2 1 1/2 |0 1 −5 13 | 1 |0 1 ( ) 0 0 14 −28 14 0 0

1 |0 | 0

3/2 1/2 −5 13 | 1 −2

1 2 1 2 5 2

3 2

− 3 2

5 2

1 2 13| (2) 2| 9 2

1

1 2

|0 1 5 0 2

3 2

1 2

3 2

9 2

5

−5 13| (− 2)

Respuestas: 1 3 1 𝑥1 + (3) + (−2) = → 𝒙𝟏 = 𝟐 2 2 2 𝑥2 − 5(−2) = 13 → 𝒙𝟐 = 𝟑 𝒙𝟑 = −𝟐 Problema 6: 𝟒𝒙𝟏 + 𝟓𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝟑 = 𝟏𝟏 𝟐𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝟑 = 𝟑 𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝟑 = 𝟓

4 |2 1

1

5 3 11 (4) 3 4 3| 3 4 5 1

5

3

1 4 4 |2 3 4 1 3 4

5

3

11

4

4

4

Solución: 1 11 (−2)(−1) 4 |0 | 3| 5 0 1

5

3

11

4 1

4 5

4

2 7

2 13

4

4

5

3

11

4

4

4

|0 1 |0 1 5 −5| 2 11 0 0 − 2 11 (− 11) 0 0

5 −5| 1 −2

1

5

3

4

4

5 − 2|| (2) |0 1 7 9 0 4

5

13 4

4

5

3

𝑥1 + 4 𝑥2 + 4 𝑥3 = 𝑥2 + 5𝑥3 = −5 𝑥3 = −𝟐

11 4

𝑥2 + 5(−2) = −5 → 𝑥2 − 10 = −5 → 𝑥2 = −5 + 10 = 𝟓 5 3 11 25 6 11 11 19 𝑥1 + (5) + (−2) = → 𝑥1 + − = → 𝑥1 = − = −𝟐 4 4 4 4 4 4 4 4 Respuestas: 𝒙𝟏 = −𝟐 𝒙𝟐 = 𝟓 𝒙𝟑 = −𝟐 Problema 7: 𝟒𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝟑 = 𝟔 𝟑𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟑 = 𝟐 𝟒𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟑 = 𝟏 4 |3 4

1

4 3 6 (4) 1 1 |3 4 4 2 2| 3 2 1 4 3

3/4 2 2

Solución: 6/4 (−3)(−4) 2 | 1

1

1

|0

1

0 −1

3/4 6/4 1 5 − − | (1) 4

−1

2

−5

11 4

7

−5| (− 4) 9

4

1 1 3/4 |0 1 0 0

6/4

1

1 1

5

−4

−2|

−4

−

5

15 2

4

(− 5)

3/4 6/4 1 5 − − |

|0 1 0 0

4

2

1

6

3 6 6 7 𝑥1 − 1 + (6) = → 𝒙𝟏 = − = −𝟐 4 4 4 2 1 5 5 3 𝑥2 − (6) = − → 𝒙𝟐 = − + = −𝟏 4 2 2 2 𝒙𝟑 = 𝟔 Respuestas: 𝒙𝟏 = −𝟐 𝒙𝟐 = −𝟏 𝒙𝟑 = 𝟔 Problema 8: 𝟐𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙𝟑 = 𝟒 𝟓𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙𝟑 = 𝟏 𝟐𝒙𝟏 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 = 𝟐 Solución: 2 |5 2 1

|0

1

1 −3 4 (2) 2 −5 1| −6 1 2

1

−3

2

−5 18 | (7) |0 4 −2 0

1 0 −7

2

2

1

1

−3

2 (−5)(−2) 1 2 2 2 2 |5 2 −5 1| |0 − 1 − 5 2 2 2 −6 1 2 0 −7 4 1

1

1

−3

2

2

1 −5 0 −31

−3

2

1

1

−3

2

2

2

|0 1 −5 18 | 18 | 1 (− ) 124 1 −4 31 0 0

1 3 𝑥1 + (−2) − (−4) = 2 → 𝒙𝟏 = 2 − 5 = −𝟑 2 2 𝑥2 − 5(−4) = 18 → 𝒙𝟐 = 18 − 20 = −𝟐 𝒙𝟑 = −𝟒 Respuestas: 𝒙𝟏 = −𝟑 𝒙𝟐 = −𝟐 𝒙𝟑 = −𝟒

Problema 9: 𝟐𝒙𝟏 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝟑 = 𝟐 𝟐𝒙𝟏 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝟑 = 𝟕 𝟐𝒙𝟏 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟑 = 𝟏𝟎

2 −9| (−2) −2 1

3

𝑥1 + 2 𝑥2 − 2 𝑥3 = 2 𝑥2 − 5𝑥3 = 18 𝑥3 = −𝟒

Solución: 1

3

1 −2 |0 1 0 −1

3

3

1 − 2 2 1 (−2)(−2) 1 − 2 2 1 |2 −4 3 7 | |0 −1 −1 5| (−1) 2 −4 2 10 0 −1 −2 8 3 3 3 2 1 1 −2 2 1 1 − 2 2 1 𝑥1 − 2 𝑥2 + 2𝑥3 = 1 |0 1 1 −5| 𝑥2 + 𝑥3 = −5 1 −5| (1) |0 1 1 −5| (−1) 𝑥3 = −𝟑 −2 8 0 0 −1 3 0 0 1 −3 3 𝑥1 − (−2) + 2(−3) = 1 → 𝒙𝟏 = 1 + 3 = 𝟒 2 𝑥2 − 3 = −5 → 𝒙𝟐 = −5 + 3 = −𝟐 𝒙𝟑 = −𝟑 Respuestas:

−3 4 2 (2) −4 3 7 | −4 2 10

2 |2 2

𝒙𝟏 = 𝟒 𝒙𝟐 = −𝟐 𝒙𝟑 = −𝟑

La eliminación de Gauss-Jordan, es un método aplicable únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular la matriz aumentada del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz. Este procedimiento es similar al anterior de reducción, pero ejecutado de manera reiterada y siguiendo un cierto orden algorítmico. EJEMPLOS Problema 1: 𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝟑 = 𝟓 𝟐𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟓𝒙𝟑 = 𝟕 𝟑𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒙𝟑 = 𝟔 Solución: 1 |2 3

2 3 5 (−2)(−3) 1 |0 3 5 7| 3 6 6 0

1 |0 0

0 1 −1 1 | | 1 1 3 0 0 1 0 (−1)(−1) 0

2 3 5 1 2 3 5 −1 −1 −3| (−1) |0 1 1 3 | (−3)(−2) −3 −3 −9 0 −3 −3 −9 0 0 −1 1 0 3| 0 1 0 Respuestas: 𝒙𝟏 = −𝟏 𝒙𝟐 = 𝟑 𝒙𝟑 = 𝟎

Problema 2: 𝟐𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝟑 = 𝟏 𝟓𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟓𝒙𝟑 = 𝟗 𝟑𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟔𝒙𝟑 = 𝟔 Solución: 2 1 3 |5 3 5 3 4 6

1 9| 6

1 (2)

1 |5 3

1 2

3 2

1 2

(−5)(−3)

3 5 9| 4 6 6

1 0 4 −6 1 |0 1 −5 13 | 1 |0 0 0 14 −28 (14) 0

1 2 1 2 5 2

1 |0 | 0

3 2

5

−2 3 2

0 4 −6 1 −5 13 | 0 1 −2 (5)(−4)

1 |0 0

1 2 13| (2) 2| 9 2

0 0 1 0 0 1

1 2

1

3 2

1 2

3 2

9 2

1

2 3| −2

Respuestas: 𝒙𝟏 = 𝟐 𝒙𝟐 = 𝟑 𝒙𝟑 = −𝟐

Problema 3: 𝟒𝒙𝟏 + 𝟓𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝟑 = 𝟏𝟏 𝟐𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝟑 = 𝟑 𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝟑 = 𝟓 Solución: 4 |2 1 1

5

3

4

4

|0 1 7 0 4

5

13 4

1

5 3 11 (4) 3 4 3| 3 4 5 11

5

4

11

1 4 4 |2 3 4 1 3 4

1 5 7 −5| (− 4) (− 4) |0 9 0 4

3

0 −

4

3| 5 11 2

(−2)(−1)

1 |0 | 0

9

5

3

11

4 1

4 5

4

2 7

2 13

4

4

1 0

|0 1 1 5 −5| 2 11 0 − 2 11 (− 11) 0 0 1 0 |0 1 0 0

0 −2 0 5| 1 −2

Respuestas: 𝒙𝟏 = −𝟐 𝒙𝟐 = 𝟓 𝒙𝟑 = −𝟐

5

− 2|| (2) 9

4

−

5

−5 13| (− 2) (− 2)

|0 1 5 0 2

11 2

5 1

9

−5| 11 −2 (−5) ( 2 )

Problema 4: Solución: 𝟒𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝟑 = 𝟔 𝟑𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟑 = 𝟐 𝟒𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟑 = 𝟏 4 |3 4

1

1 0 1 1 |0 1 − 4 5

0 0 −4

3

6/4 (−3)(−4) 1 1 4 |0 1 − 1 2 | 4 1 0 −1 −1 4 1 0 1 4 1 0 5 1 5 − | 0 1 − − | | | 2 0 1 4 2 1 15 (− 4) ( ) (−1) 0 0 −2 1 6 4 5 0 0

4 3 6 (4) 1 1 |3 4 4 2 2| 3 2 1 4 3

3/4 2 2

6 4

5 − 2| (−1)(1)

−5

0 −2 0 −1| 1 6

Respuestas: 𝒙𝟏 = −𝟐

𝒙𝟐 = −𝟏

𝒙𝟑 = 𝟔

Problema 5: 𝟐𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙𝟑 = 𝟒 𝟓𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙𝟑 = 𝟏 𝟐𝒙𝟏 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 = 𝟐 Solución: 1

1 −3 4 (2) 2 −5 1| −6 1 2

2 |5 2 1 |0

1 2

1 0 −7

−3

1

−3

1 0 1 −7 1 0 1 (7) | (− ) | | | 0 1 −5 18 0 1 −5 18 2 1 (− ) 0 0 −31 124 0 0 4 −2 31 1 0 0 −3 |0 1 0 −2| 0 0 1 −4 Respuestas: 𝒙𝟏 = −𝟑 𝒙𝟐 = −𝟐 𝒙𝟑 = −𝟒 2

2

1

−3

2 (−5)(−2) 1 2 2 2 2 |5 2 −5 1| |0 − 1 − 5 2 2 2 −6 1 2 0 −7 4 1

2 −9| (−2) −2

1 −7 −5 18 | 1 −4 (5)(−1)

Problema 6: 𝟐𝒙𝟏 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝟑 = 𝟐 𝟐𝒙𝟏 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝟑 = 𝟕 𝟐𝒙𝟏 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟑 = 𝟏𝟎 Solución: 1

3

1 −2

|0 0

3 − 2 2 1 (−2)(−2) 1 |0 −4 3 7 | −4 2 10 0 7 13 2 1 1 0 2 −2 1 0 3 (1)( ) | | | | 1 −5 0 1 1 −5 0 1 2 (−1) −2 8 0 0 −1 3 0 0 1 0 0 4 |0 1 0 −2| 0 0 1 −3 Respuestas: 𝒙𝟏 = 𝟒 𝒙𝟐 = −𝟐 𝒙𝟑 = −𝟑

−3 4 2 (2) −4 3 7 | −4 2 10

2 |2 2 1 −1

1 |2 2

3

−2

2

−1 −1

1 5| (−1)

−1 −2 8 7 13 −2 2 1 −5 | 7 1 −3 (−1)(− 2)

Problema 7: 𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝟑 = 𝟑 𝟐𝒙𝟏 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝟗𝒙𝟑 = 𝟓 𝟑𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝟑 = 𝟕 Solución: 1 |2 3

3 4 6 9 1 −2 1 3 |0 1 0 0

3 (1)(−3) 1 3 4 3 1 3 | | | | 5 0 0 1 −1 0 −8 7 0 −8 −14 −2 0 0 3 9 1 0 −4 4 4 3 1 7 1 1 | (−3) |0 1 7 | | 0 4 4 3 5 4 4 (− ) ( ) 0 1 −1 4 4 0 0 1 −1 Respuestas: 𝒙𝟏 = 𝟏 𝒙𝟐 = 𝟐 𝒙𝟑 = −𝟏

Problema 8: 𝟐𝒙𝟏 − 𝟐𝟎𝒙𝟐 + 𝟔𝒙𝟑 = 𝟐 𝟐𝒙𝟏 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝟑 = 𝟔 𝟐𝒙𝟏 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟑 = 𝟐

4 3 1 −14 −2| (− 8) 1 −1 0 0 1 0 0 1

1 2| −1

Solución: 1

2 |2 2 1 −10 1 |0 0 16

−20 6 2 (2) 1 |2 −6 3 6| −4 2 2 2

−10 3 −6 3 −4 2

3 3 − 14 −4

1

1 4

| (−16)(10) 14 0

|0 | 0

0

1 (−2)(−2) 1 −10 |0 14 6| 2 0 16 6

27

7

3

7 4

4

14 32

1 − 14 0

| |

1 0 |0 1 7 (−4) 0 0

−7 − 7 1 0 0 −3 |0 1 0 2 | 0 0 1 8 Respuestas: 𝒙𝟏 = −𝟑 𝒙𝟐 = 𝟐 𝒙𝟑 = 𝟖

3 1 1 −3 4| (4) −4 0 6 7

27 3

− 14 1

7 4| 14

8

3

6

(14)(− 7)

La regla de Cramer utiliza las propiedades de las matrices y sus determinantes para despejar, por separado, una cualquiera de las incógnitas de un sistema de ecuaciones lineales. Un sistema de ecuaciones lineales recibe el nombre de sistema de Cramer cuando se cumplen las dos condiciones siguientes:  

El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas. El determinante de la matriz de los coeficientes (matriz del sistema) es distinto de cero (𝑑𝑒𝑡 ( 𝐴 ) ≠ 0)

Un sistema de Cramer es, por definición, compatible determinado, puesto que se cumple que rango (A) = rango (A*) = n (nº de incógnitas). EJEMPLOS Problema 1: 𝟐𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝟑 = 𝟏 𝟓𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟓𝒙𝟑 = 𝟗 𝟑𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟔𝒙𝟑 = 𝟔 𝟐 |𝟓 𝟑

𝟏 𝟑 𝟒

𝟑 𝟓| 𝟔

Solución: ∆𝑝 = 2 |

3 5 5 5 5 3 | − 1| | + 3| | = 2(18 − 20) − 1(30 − 15) + 3(20 − 9) 4 6 3 6 3 4

∆𝒑 = 2(−2) − 1(15) + 3(11) = −4 − 15 + 33 = 𝟏𝟒 𝟏 |𝟗 𝟔

𝟏 𝟑 𝟒

𝟑 𝟓| 𝟔

9 3 3 5 9 5 ∆𝑥1 = 1 | | − 1| | + 3| | = 1(18 − 20) − 1(54 − 30) + 3(36 − 18) 6 4 4 6 6 6

∆𝒙𝟏 = 1(−2) − 1(24) + 3(18) = −2 − 24 + 54 = 𝟐𝟖 ∆𝑥1 28 𝒙𝟏 = = =𝟐 ∆𝑝 14 𝟐 |𝟓 𝟑

𝟏 𝟗 𝟔

𝟑 9 5 5 5 5 9 | − 1| | + 3| | → ∆𝒙𝟐 = 2(24) − 1(15) + 3(3) = 48 − 15 + 9 = 𝟒𝟐 𝟓| ∆𝑥2 = 2 | 6 6 3 6 3 6 𝟔 𝒙𝟐 =

𝟐 |𝟓 𝟑

𝟏 𝟑 𝟒

∆𝑥2 42 = =𝟑 ∆𝑝 14

𝟏 3 9 5 9 5 3 | − 1| | + 1| | → ∆𝒙𝟑 = 2(−18) − 1(3) + 1(11) = −36 − 3 + 11 = −𝟐𝟖 𝟗| ∆𝑥3 = 2 | 4 6 3 6 3 4 𝟔 ∆𝑥3 −28 = = −𝟐 ∆𝑝 14 Respuestas: 𝒙𝟏 = 𝟐 𝒙𝟐 = 𝟑 𝒙𝟑 = −𝟐 𝒙𝟑 =

Problema 2: 𝟐𝒙𝟏 + 𝟔𝒙𝟐 − 𝟕𝒙𝟑 = 𝟐𝟏 𝟐𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝟑 = 𝟐 𝟑𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 = 𝟏𝟑 𝟐 |𝟐 𝟑

𝟔 −𝟕 𝟏 𝟒| 𝟒 𝟏

Solución: 2 4 2 1 1 4 ∆𝑝 = 2 | | − 6| | − 7| | = 2(1 − 16) − 6(2 − 12) − 7(8 − 3) 3 1 3 4 4 1 ∆𝒑 = 2(−15) − 6(−10) − 7(5) = −30 + 60 − 35 = −𝟓

𝟐𝟏 𝟔 |𝟐 𝟏 𝟏𝟑 𝟒

−𝟕 𝟒| 𝟏

1 ∆𝒙𝟏 = 21 | 4

2 4 | − 6| 13 1

4 2 | − 7| 1 13

1 | = 21(1 − 16) − 6(2 − 52) − 7(8 − 13) 4

∆𝒙𝟏 = 21(−15) − 6(−50) − 7(−5) = −315 + 300 + 35 = 𝟐𝟎 𝒙𝟏 = 𝟐 |𝟐 𝟑

𝟐𝟏 𝟐 𝟏𝟑

−𝟕 𝟒| 𝟏

2 ∆𝑥2 = 2 | 13

4 2 | − 21 | 1 3

∆𝑥1 20 = = −𝟒 ∆𝑝 −5

4 2 | − 7| 1 3

2 | = 2(2 − 52) − 21(2 − 12) − 7(26 − 6) 13

∆𝒙𝟐 = 2(−50) − 21(−10) − 7(20) = −100 + 210 − 140 = −𝟑𝟎 𝒙𝟐 =

∆𝑥2 −30 = =𝟔 ∆𝑝 −5

𝟐 |𝟐 𝟑

𝟔 𝟏 𝟒

𝟐𝟏 𝟐| 𝟏𝟑

1 ∆𝒙𝟑 = 2 | 4

2 2 2 2 1 | − 6| | + 21 | | = 2(13 − 8) − 6(26 − 6) + 21(8 − 3) 13 3 13 3 4

∆𝒙𝟑 = 2(5) − 6(20) + 21(5) = 10 − 120 + 105 = −𝟓

𝒙𝟑 =

∆𝑥3 −5 = =𝟏 ∆𝑝 −5

Respuestas: 𝒙𝟏 = −𝟒 𝒙𝟐 = 𝟔 𝒙𝟑 = −𝟓 Problema 3: 𝟒𝒙𝟏 + 𝟓𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝟑 = 𝟏𝟏 𝟐𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝟑 = 𝟑 𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝟑 = 𝟓 𝟒 |𝟐 𝟏

𝟓 𝟑 𝟑

𝟑 𝟒| 𝟒

Solución: 3 ∆𝑝 = 4 | 3

4 2 3 2 4 | − 5| | + 3| | = 4(12 − 12) − 5(8 − 4) + 3(6 − 3) 4 1 3 1 4 ∆𝒑 = 4(0) − 5(4) + 3(3) = −20 + 9 = −𝟏𝟏

𝟏𝟏 |𝟑 𝟓

𝟓 𝟑 𝟑

𝟑 𝟒| 𝟒

3 4 3 4 3 3 ∆𝒙𝟏 = 11 | | − 5| | + 3| | = 11(12 − 12) − 5(12 − 20) + 3(9 − 15) 3 4 5 4 5 3 ∆𝒙𝟏 = −5(−8) + 3(−6) = 40 − 18 = 𝟐𝟐 𝒙𝟏 =

𝟒 |𝟐 𝟏

𝟏𝟏 𝟑 𝟑 𝟒| 𝟓 𝟒

3 ∆𝑥2 = 4 | 5

∆𝑥1 22 = = −𝟐 ∆𝑝 −11

4 2 3 2 4 | − 11 | | + 3| | = 4(12 − 20) − 11(8 − 4) + 3(10 − 3) 4 1 5 1 4

∆𝒙𝟐 = 4(−8) − 11(4) + 3(7) = −32 − 44 + 21 = −𝟓𝟓 𝒙𝟐 = 𝟒 |𝟐 𝟏

𝟓 𝟑 𝟑

𝟏𝟏 𝟑| 𝟓

∆𝒙𝟑 = 4 |

∆𝑥2 −55 = =𝟓 ∆𝑝 −11

3 3 2 3 2 | − 5| | + 11 | 3 5 1 5 1

3 | = 4(15 − 9) − 5(10 − 3) + 11(6 − 3) 3

∆𝒙𝟑 = 4(6) − 5(7) + 11(3) = 24 − 35 + 33 = 𝟐𝟐

∆𝑥3 22 = = −𝟐 ∆𝑝 −11

𝒙𝟑 =

Respuestas: 𝒙𝟏 = −𝟐 𝒙𝟐 = 𝟓 𝒙𝟑 = −𝟐 Problema 4: 𝟒𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝟑 = 𝟔 𝟑𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟑 = 𝟐 𝟒𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟑 = 𝟏 𝟒 |𝟑 𝟒

𝟒 𝟑 𝟒 𝟐| 𝟑 𝟐

Solución: 4 2 3 ∆𝑝 = 4 | | − 4| 3 2 4

3 2 | + 3| 4 2

4 | = 4(8 − 6) − 4(6 − 8) + 3(9 − 16) 3

∆𝒑 = 4(2) − 4(−2) + 3(−7) = 8 + 8 − 21 = −𝟓 𝟔 |𝟐 𝟏

𝟒 𝟒 𝟑

𝟑 𝟐| 𝟐

∆𝒙𝟏 = 6 |

4 3

2 2 4 2 2 | − 4| | +3| | = 6(8 − 6) − 4(4 − 2) + 3(6 − 4) 2 1 3 1 2

∆𝒙𝟏 = 6(2) − 4(2) + 3(2) = 12 − 8 + 6 = 𝟏𝟎 𝒙𝟏 = 𝟒 |𝟑 𝟒

𝟔 𝟐 𝟏

𝟑 𝟐| 𝟐

∆𝑥2 = 4 |

∆𝑥1 10 = = −𝟐 ∆𝑝 −5

2 2 3 2 3 | − 6| | + 3| 1 2 4 2 4

2 | = 4(4 − 2) − 6(6 − 8) + 3(3 − 8) 1

∆𝒙𝟐 = 4(2) − 6(−2) + 3(−5) = 8 + 12 − 15 = 𝟓 𝒙𝟐 = 𝟒 |𝟑 𝟒

𝟒 𝟒 𝟑

𝟔 𝟐| 𝟏

∆𝑥2 5 = = −𝟏 ∆𝑝 −5

4 2 3 4 3 2 ∆𝒙𝟑 = 4 | | − 4| | + 6| | = 4(4 − 6) − 4(3 − 8) + 6(9 − 16) 3 1 4 3 4 1 ∆𝒙𝟑 = 4(−2) − 4(−5) + 6(−7) = −8 + 20 − 42 = −𝟑𝟎

𝒙𝟑 =

∆𝑥3 −30 = =𝟔 ∆𝑝 −5

Respuestas: 𝒙𝟏 = −𝟐 𝒙𝟐 = −𝟏 𝒙𝟑 = 𝟔 Problema 5: 𝟓𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟓𝒙𝟑 = 𝟐𝟐 𝟒𝒙𝟏 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟓𝒙𝟑 = −𝟑𝟔 𝟓𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟓𝒙𝟑 = 𝟏𝟒 𝟓 |𝟒 𝟓

𝟒 𝟓 −𝟒 𝟓| 𝟑 𝟓

Solución: 4 −4 −4 5 4 5 ∆𝑝 = 5 | | − 4| | + 5| | = 5(−20 − 15) − 4(20 − 25) + 5(12 + 20) 5 3 3 5 5 5 ∆𝒑 = 5(−35) − 4(−5) + 5(32) = −175 + 20 + 160 = 𝟓 𝟐𝟐 𝟒 |−𝟑𝟔 −𝟒 𝟏𝟒 𝟑

𝟓 −36 −4 5 −36 5 | − 4| | + 5| 𝟓| ∆𝒙𝟏 = 22 | 14 3 5 14 5 𝟓

−4 |= 3

22(−20 − 15) − 4(−180 − 70) + 5(−108 + 56) ∆𝒙𝟏 = 22(−35) − 4(−250) + 5(−52) = −770 + 1000 − 260 = −𝟑𝟎 𝒙𝟏 = 𝟓 𝟐𝟐 |𝟒 −𝟑𝟔 𝟓 𝟏𝟒

𝟓 −36 5 4 | − 22 | 𝟓| ∆𝑥2 = 5 | 14 5 5 𝟓

∆𝑥1 −30 = = −𝟔 ∆𝑝 5

4 5 | + 5| 5 5

−36 | = 5(−180 − 70) − 22(20 − 25) + 5(56 + 180) 14

∆𝒙𝟐 = 5(−250) − 22(−5) + 5(236) = −1750 + 110 + 1180 = 𝟒𝟎 𝒙𝟐 = 𝟓 |𝟒 𝟓

𝟒 −𝟒 𝟑

∆𝑥2 40 = =𝟖 ∆𝑝 5

𝟐𝟐 −4 −36 4 −36 4 −4 | − 4| | + 22 | |= −𝟑𝟔| ∆𝒙𝟑 = 5 | 3 14 5 14 5 3 𝟏𝟒 5(−56 + 108) − 4(56 + 180) + 22(12 + 20)

∆𝒙𝟑 = 5(52) − 4(236) + 22(32) = 260 − 944 + 704 = 𝟐𝟎 ∆𝑥3 20 = =𝟒 ∆𝑝 5 Respuestas: 𝒙𝟏 = −𝟔 𝒙𝟐 = 𝟖 𝒙𝟑 = 𝟒 𝒙𝟑 =

Problema 6: 𝟐𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙𝟑 = 𝟒 𝟓𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙𝟑 = 𝟏 𝟐𝒙𝟏 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 = 𝟐 𝟐 |𝟓 𝟐

𝟏 −𝟑 𝟐 −𝟓| −𝟔 𝟏

Solución: 2 −5 5 2 5 −5 ∆𝑝 = 2 | | − 1| | + (−3) | | = 2(2 − 30) − 1(5 + 10) − 3(−30 − 4) −6 1 2 1 2 −6 ∆𝒑 = 2(−28) − 1(15) − 3(−34) = −56 − 15 + 102 = 𝟑𝟏

𝟒 |𝟏 𝟐

𝟏 −𝟑 𝟐 −𝟓| −𝟔 𝟏

2 −5 1 ∆𝒙𝟏 = 4 | | − 1| −6 1 2

1 2 −5 | + (−3) | | = 4(2 − 30) − 1(1 + 10) − 3(−6 − 4) 2 −6 1

∆𝒙𝟏 = 4(−28) − 1(11) − 3(−10) = −112 − 11 + 30 = −𝟗𝟑 𝒙𝟏 = 𝟐 |𝟓 𝟐

𝟒 𝟏 𝟐

−𝟑 −𝟓| 𝟏

1 ∆𝑥2 = 2 | 2

−5 5 | − 4| 1 2

∆𝑥1 −93 = = −𝟑 ∆𝑝 31

−5 5 1 | − 3| | = 2(1 + 10) − 4(5 + 10) − 3(10 − 2) 1 2 2

∆𝒙𝟐 = 5(11) − 4(15) − 3(8) = 22 − 60 − 24 = −𝟔𝟐 𝒙𝟐 = 𝟐 |𝟓 𝟐

∆𝑥2 −62 = = −𝟐 ∆𝑝 31

𝟏 𝟒 2 1 5 2 5 1 | − 1| | + 4| | = 2(4 + 6) − 1(10 − 2) + 4(−30 − 4) 𝟐 𝟏| ∆𝑥3 = 2 | −6 2 2 2 2 −6 −𝟔 𝟐 ∆𝒙𝟑 = 2(10) − 1(8) + 4(−34) = 20 − 8 − 136 = −𝟏𝟐𝟒 ∆𝑥3 −124 = = −𝟒 ∆𝑝 31 Respuestas: 𝒙𝟏 = −𝟑 𝒙𝟐 = −𝟐 𝒙𝟑 = −𝟒 𝒙𝟑 =

Problema 7: 𝟐𝒙𝟏 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝟑 = 𝟐 𝟐𝒙𝟏 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝟑 = 𝟕 𝟐𝒙𝟏 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟑 = 𝟏𝟎

𝟐 |𝟐 𝟐 𝟐 |𝟕 𝟏𝟎

−𝟑 𝟒 −𝟒 𝟑| −𝟒 𝟐

−𝟑 𝟒 −𝟒 𝟑| −𝟒 𝟐

Solución: −4 3 2 3 2 −4 ∆𝑝 = 2 | | +3| | + 4| | = 2(−8 + 12) + 3(4 − 6) + 4(−8 + 8) −4 2 2 2 2 −4 ∆𝒑 = 2(4) + 3(−2) + 4(0) = 8 − 6 = 𝟐

7 −4 3 ∆𝒙𝟏 = 2 | | + 3| 10 −4 2

3 7 | + 4| 2 10

−4 | = 2(−8 + 12) + 3(14 − 30) + 4(−28 + 40) −4

∆𝒙𝟏 = 2(4) + 3(−16) + 4(12) = 8 − 48 + 48 = 𝟖 𝒙𝟏 = 𝟐 |𝟐 𝟐

𝟐 𝟕 𝟏𝟎

𝟒 𝟑| 𝟐

∆𝑥2 = 2 |

∆𝑥1 8 = =𝟒 ∆𝑝 2

7 3 2 7 2 3 | − 2| | + 4| | = 2(14 − 30) − 2(4 − 6) + 4(20 − 14) 10 2 2 10 2 2

∆𝒙𝟐 = 2(−16) − 2(−2) + 4(6) = −32 + 4 + 24 = −𝟒 𝒙𝟐 = 𝟐 |𝟐 𝟐

∆𝑥2 −4 = = −𝟐 ∆𝑝 2

−𝟑 𝟐 −4 7 2 7 2 | + 3| | + 2| −𝟒 𝟕 | ∆𝑥3 = 2 | −4 10 2 10 2 −𝟒 𝟏𝟎

−4 | = 2(−40 + 28) + 3(20 − 14) + 2(−8 + 8) −4

∆𝒙𝟑 = 2(−12) + 3(6) = −24 + 18 = −𝟔 ∆𝑥3 −6 = = −𝟑 ∆𝑝 2 Respuestas:

𝒙𝟑 =

𝒙𝟏 = 𝟒 𝒙𝟐 = −𝟐 𝒙𝟑 = −𝟑

Problema 8: 𝟐𝒙𝟏 − 𝟐𝟎𝒙𝟐 + 𝟔𝒙𝟑 = 𝟐 𝟐𝒙𝟏 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝟑 = 𝟔 𝟐𝒙𝟏 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟑 = 𝟐

𝟐 |𝟐 𝟐 𝟐 |𝟔 𝟐

−𝟐𝟎 𝟔 −𝟔 𝟑| −𝟒 𝟐 −𝟐𝟎 𝟔 −𝟔 𝟑| −𝟒 𝟐

Solución: −6 3 2 ∆𝑝 = 2 | | + 20 | −4 2 2

3 2 | + 6| 2 2

−6 | = 2(−12 + 12) + 20(4 − 6) + 6(−8 + 12) −4

∆𝒑 = 20(−2) + 6(4) = −40 + 24 = −𝟏𝟔 −6 3 6 ∆𝒙𝟏 = 2 | | + 20 | −4 2 2

3 6 | + 6| 2 2

−6 | = 2(−12 + 12) + 20(12 − 6) + 6(−24 + 12) −4

∆𝒙𝟏 = 2(0) + 20(6) + 6(−12) = 120 − 72 = 𝟒𝟖 𝒙𝟏 = 𝟐 |𝟐 𝟐

𝟐 𝟔 𝟔 𝟑| 𝟐 𝟐

6 ∆𝑥2 = 2 | 2

3 2 | − 2| 2 2

∆𝑥1 48 = = −𝟑 ∆𝑝 −16

3 2 6 | +6| | = 2(12 − 6) − 2(4 − 6) + 6(4 − 12) 2 2 2

∆𝒙𝟐 = 2(6) − 2(−2) + 6(−8) = 12 + 4 − 48 = −𝟑𝟐 𝒙𝟐 = 𝟐 |𝟐 𝟐

∆𝑥2 −32 = =𝟐 ∆𝑝 −16

−𝟐𝟎 𝟐 −6 6 2 6 2 −6 | + 20 | | + 2| | = 2(−12 + 24) + 20(4 − 12) + 2(−8 + 12) −𝟔 𝟔| ∆𝑥3 = 2 | −4 2 2 2 2 −4 −𝟒 𝟐 ∆𝒙𝟑 = 2(12) + 20(−8) + 2(4) = 24 − 160 + 8 = −𝟏𝟐𝟖 𝒙𝟑 =

∆𝑥3 −128 = =8 ∆𝑝 −16

Respuestas: 𝒙𝟏 = −𝟑 𝒙𝟐 = 𝟐 𝒙𝟑 = 𝟖

Una matriz inversa es una matriz que multiplicado por la matriz original obtiene la matriz de identidad. El inverso de un cuadrado n x n matriz, es otro n x n matriz denotado por A-1:

𝑨𝑨 − 𝟏 = 𝑨 − 𝟏𝑨 = 𝑰 Donde es la n x n matriz identidad. Es decir, multiplicando su inversa una matriz produce una matriz de identidad. No todas las matrices tiene una matriz inversa. Si el determinante de la matriz es cero, entonces no tendrá una inversa y la matriz se dice que es singular. Sólo no singular matrices tienen inversas. Se puede encontrar la inversa de una matriz n x n general utilizando la siguiente ecuación: 𝑨−𝟏 =

𝟏 𝒂𝒅𝒋(𝑨) 𝑫𝒆𝒕(𝑨)

Sabiendo calcular la matriz inversa y multiplicando matrices también es posible resolver un sistema de ecuaciones lineales, siempre y cuando éste sea de Cramer (es decir, tenga igual número de ecuaciones que de incógnitas y el determinante de la matriz de coeficientes no sea nulo). Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones utilizando la inversa son lo siguiente: 1. Calcular la inversa de la matriz A. 2. Multiplicar la inversa de la matriz A por la matriz B. Problema 1: 𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝟑 = 𝟏 𝟑𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝟑 = 𝟏𝟐 𝟒𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒙𝟑 = 𝟗 Solución: MENORES 𝟔 𝟐 −𝟑 [ 𝟎 −𝟏𝟎 −𝟓] −𝟒 −𝟖 −𝟑 3 4 | = (18 − 12) = 𝟔 3 6

3 | 4

4 | = (18 − 16) = 𝟐 6

2 4 | | = (12 − 12) = 𝟎 3 6

1 | 4

4 | = (6 − 16) = −𝟏𝟎 6

|

3 3 | | = (9 − 12) = −𝟑 4 3 1 | 4

2 | = (3 − 8) = −𝟓 3

2 4 | | = (8 − 12) = −𝟒 3 4

1 4 | | = (4 − 12) = −𝟖 3 4

1 2 | | = (3 − 6) = −𝟑 3 3

COFACTORES 6 2 | 0 −10 −4 −8

−3 −5| −3

+ |− +

− + 𝟔 + −| = [ 𝟎 − + −𝟒

−𝟐 −𝟑 −𝟏𝟎 𝟓 ] 𝟖 −𝟑

TRANSPUESTA 𝟔 𝟎 −𝟒 [−𝟐 −𝟏𝟎 𝟖 ] −𝟑 𝟓 −𝟑 DETERMINANATE 1 2 4 3 4 3 4 3 3 𝐷𝑒𝑡 |3 3 4| = 1 | | − 2| | + 4| | 3 6 4 6 4 3 4 3 6 1(18 − 12) − 2(18 − 16) + 4(9 − 12) = 1(6) − 2(2) + 4(−3) = 6 − 4 − 12 = −𝟏𝟎 INVERSA 𝟑 − 6 0 −4 1 [−2 −10 8 ] = [ 𝟓 𝟏/𝟓 −10 −3 5 −3 𝟑/𝟏𝟎 3 𝒙𝟏 − [𝒙 𝟐 ] = [ 5 1/5 𝒙𝟑 3/10

𝟎

𝟐/𝟓

𝟏 −𝟒/𝟓 −𝟏/𝟐 𝟑/𝟏𝟎

]

𝟑 − + 𝟎 + 𝟑. 𝟔 𝟓 0 2/5 𝟏 𝟑 𝟏 ] [𝟏𝟐] = =[ 𝟓 ] + 𝟏𝟐 + 𝟕. 𝟐 1 −4/5 𝟓 𝟗 −𝟑 𝟑 −1/2 3/10 [ 𝟏𝟎 − 𝟔 + 𝟐. 𝟕 ] Respuestas: 𝒙𝟏 = 𝟑 𝒙𝟐 = 𝟓 𝒙𝟑 = −𝟑

Problema 2: 𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 = 𝟖 𝟑𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝟑 = 𝟕 𝟒𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒙𝟑 = 𝟒

Solución: MENORES 𝟔 [𝟗 𝟓 |

3 4 | = (18 − 12) = 𝟔 3 6 2 | 3

1 | = (12 − 3) = 𝟗 6

2 1 | | = (8 − 3) = 𝟓 3 4

3 | 4 |

𝟐 𝟐 𝟏

−𝟑 −𝟓] −𝟑

4 | = (18 − 16) = 𝟐 6 1 1 | = (6 − 4) = 𝟐 4 6

1 1 | | = (4 − 3) = 𝟏 3 4

3 3 | | = (9 − 12) = −𝟑 4 3 |

1 2 | = (3 − 8) = −𝟓 4 3

1 2 | | = (3 − 6) = −𝟑 3 3

COFACTORES 6 2 −3 + [9 2 −5] |− 5 1 −3 +

− + −

+ 𝟔 −𝟐 −| = [−𝟗 𝟐 + 𝟓 −𝟏

−𝟑 𝟓] −𝟑

TRANSPUESTA 𝟔 [−𝟐 −𝟑

−𝟗 𝟐 𝟓

𝟓 −𝟏] −𝟑

DETERMINANATE 1 2 1 3 4 3 4 3 3 𝐷𝑒𝑡 |3 3 4| = 1 | | − 2| | + 1| | 3 6 4 6 4 3 4 3 6 1(18 − 12) − 2(18 − 16) + 1(9 − 12) = 1(6) − 2(2) + 1(−3) = 6 − 4 − 3 = −𝟏 INVERSA 6 −9 5 −𝟔 −1 [−2 2 −1] = [ 𝟐 −3 5 −3 𝟑

𝟗 −𝟓 −𝟐 𝟏 ] −𝟓 𝟑

𝒙𝟏 −𝟒𝟖 + 𝟔𝟑 − 𝟐𝟎 = −𝟓 −6 9 −5 𝟖 [𝒙𝟐 ] = [ 2 −2 1 ] [𝟕] = [ 𝟏𝟔 − 𝟏𝟒 + 𝟒 = 𝟔 ] 𝒙𝟑 𝟐𝟒 − 𝟑𝟓 + 𝟏𝟐 = 𝟏 3 −5 3 𝟒 Respuestas: 𝒙𝟏 = −𝟓 𝒙𝟐 = 𝟔 𝒙𝟑 = 𝟏

Problema 3: 𝟒𝒙𝟏 + 𝟓𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝟑 = 𝟏𝟏 𝟐𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝟑 = 𝟑 𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝟑 = 𝟓 Solución: MENORES 𝟎 𝟒 [𝟏𝟏 𝟏𝟑 𝟏𝟏 𝟏𝟎 3 4 | | = (12 − 12) = 𝟎 3 4 5 | 3

3 | = (20 − 9) = 𝟏𝟏 4

5 3 | | = (20 − 9) = 𝟏𝟏 3 4

𝟑 𝟕] 𝟐

2 4 | | = (8 − 4) = 𝟒 1 4 |

4 3 | = (16 − 3) = 𝟏𝟑 1 4

4 3 | | = (16 − 6) = 𝟏𝟎 2 4

|

2 3 | = (6 − 3) = 𝟑 1 3 4 5 | | = (12 − 5) = 𝟕 1 3

4 5 | | = (12 − 10) = 𝟐 2 3

COFACTORES 0 4 [11 13 11 10

3 + 7] |− 2 +

− + −

+ 𝟎 −𝟒 𝟑 −| = [−𝟏𝟏 𝟏𝟑 −𝟕] + 𝟏𝟏 −𝟏𝟎 𝟐

TRANSPUESTA 𝟎 −𝟏𝟏 [−𝟒 𝟏𝟑 𝟑 −𝟕

𝟏𝟏 −𝟏𝟎] 𝟐

DETERMINANATE 4 5 3 3 4 2 3 2 4 𝐷𝑒𝑡 |2 3 4| = 4 | | − 5| | + 3| | 3 4 1 3 1 4 1 3 4 4(12 − 12) − 5(8 − 4) + 3(6 − 3) = 4(0) − 5(4) + 3(3) = −20 + 9 = −𝟏𝟏

0 −11 1 [−4 13 −11 3 −7

INVERSA 𝟎 𝟏 −𝟏 𝟒 𝟏𝟑 𝟏𝟎 11 − −10] = 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟑 𝟕 𝟐 2 [− 𝟏𝟏 𝟏𝟏 − 𝟏𝟏]

𝒙𝟏 [𝒙 𝟐 ] = 𝒙𝟑

0+3−5 0 1 −1 4 13 10 11 39 50 −𝟐 − 4− + 11 11 11 [ 3 ] = 11 11 = [ 𝟓 ] 3 7 2 5 3 7 2 −𝟐 − − − + − [ 11 11 [ 11 11 11] 11] Respuestas: 𝒙𝟏 = −𝟐 𝒙𝟐 = 𝟓 𝒙𝟑 = −𝟐

Problema 4: 𝟒𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝟑 = 𝟔 𝟑𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟑 = 𝟐 𝟒𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟑 = 𝟏 Solución: MENORES 𝟐 [−𝟏 −𝟒 4 2 | | = (8 − 6) = 𝟐 3 2 4 | 3 |

3 | = (8 − 9) = −𝟏 2

4 3 | = (8 − 12) = −𝟒 4 2

−𝟐 −𝟒 −𝟏

−𝟕 −𝟒] 𝟒

3 2 | | = (6 − 8) = −𝟐 4 2 4 3 | | = (8 − 12) = −𝟒 4 2 |

4 3 | = (8 − 9) = −𝟏 3 2

3 | 4

4 | = (9 − 16) = −𝟕 3

4 4 | | = (12 − 16) = −𝟒 4 3 4 | 3

4 | = (16 − 12) = 𝟒 4

COFACTORES 2 −2 −7 + − [−1 −4 −4] |− + −4 −1 4 + −

+ 𝟐 −| = [ 𝟏 + −𝟒

TRANSPUESTA 𝟐 [𝟐 −𝟕

𝟏 −𝟒 𝟒

−𝟒 𝟏] 𝟒

DETERMINANATE

𝟐 −𝟕 −𝟒 𝟒 ] 𝟏 𝟒

4 4 3 4 2 3 4 3 2 𝐷𝑒𝑡 |3 4 2| = 4 | | − 4| | + 3| | 3 2 4 3 4 2 4 3 2 4(8 − 6) − 4(6 − 8) + 3(9 − 16) = 4(2) − 4(−2) + 3(−7) = 8 + 8 − 21 = −𝟓 INVERSA

𝟐 𝟓 1 −4 1 2 𝟐 [ 2 −4 1 ] = − −5 𝟓 −7 4 4 𝟕 [ 𝟓 −

2 5 𝒙𝟏 2 [𝒙 𝟐 ] = − 5 𝒙𝟑 7 [ 5 −

𝟏 𝟒 −𝟓 𝟓 𝟒 𝟏 − 𝟓 𝟓 𝟒 𝟒 − − ] 𝟓 𝟓

1 4 −5 5 −𝟐. 𝟒 − 𝟎. 𝟒 + 𝟎. 𝟖 = −𝟐 4 1 𝟔 − [𝟐] = [−𝟐. 𝟒 + 𝟏. 𝟔 − 𝟎. 𝟐 = −𝟏] 5 5 𝟏 𝟖. 𝟒 − 𝟏. 𝟔 − 𝟎. 𝟖 = 𝟔 4 4 − − ] 5 5 Respuestas: 𝒙𝟏 = −𝟐 𝒙𝟐 = −𝟏 𝒙𝟑 = 𝟔

Problema 5: 𝟐𝒙𝟏 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝟑 = 𝟐 𝟐𝒙𝟏 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝟑 = 𝟕 𝟐𝒙𝟏 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟑 = 𝟏𝟎 Solución: MENORES 𝟒 [𝟏𝟎 𝟕

−𝟐 𝟎 −𝟒 −𝟐] −𝟐 −𝟐

−4 3 | | = (−8 + 12) = 𝟒 −4 2

|

2 3 | = (4 − 6) = −𝟐 2 2

2 | 2

−3 4 | | = (−6 + 16) = 𝟏𝟎 −4 2

2 | 2

4 | = (4 − 8) = −𝟒 2

2 −3 | | = (−8 + 6) = −𝟐 2 −4

−3 4 | = (−9 + 16) = 𝟕 −4 3

2 | 2

4 | = (6 − 8) = −𝟐 3

2 −3 | | = (−8 + 6) = −𝟐 2 −4

|

COFACTORES

−4 | = (−8 + 8) = 𝟎 −4

4 −2 0 + [10 −4 −2] |− 7 −2 −2 +

− + −

+ 𝟒 𝟐 𝟎 −| = [−𝟏𝟎 −𝟒 −𝟐] + 𝟕 𝟐 −𝟐

TRANSPUESTA 𝟒 [𝟐 𝟎

−𝟏𝟎 𝟕 −𝟒 𝟐] 𝟐 −𝟐

DETERMINANATE 𝟐 |𝟐 𝟐

−𝟑 𝟒 −𝟒 𝟑| −𝟒 𝟐

−4 3 2 3 2 −4 ∆𝑝 = 2 | | +3| | + 4| | = 2(−8 + 12) + 3(4 − 6) + 4(−8 + 8) −4 2 2 2 2 −4 ∆𝒑 = 2(4) + 3(−2) + 4(0) = 8 − 6 = 𝟐 INVERSA 1 4 −10 [2 −4 2 0 2 𝒙𝟏 2 [𝒙 𝟐 ] = [ 1 𝒙𝟑 0

7 𝟐 2 ]=[ 𝟏 −2 𝟎

−𝟓 −𝟐 𝟏

𝟕 𝟐] 𝟏 −𝟏

7 𝟐 𝟒 − 𝟑𝟓 + 𝟑𝟓 = 𝟒 2 ] [ 𝟕 ] = [−𝟐. 𝟒 + 𝟏. 𝟔 − 𝟎. 𝟐 = −𝟏] −2 1 𝟏𝟎 𝟖. 𝟒 − 𝟏. 𝟔 − 𝟎. 𝟖 = 𝟔 1 −1 −5

Respuestas: 𝒙𝟏 = 𝟒 𝒙𝟐 = −𝟏 𝒙𝟑 = 𝟔

Problema 6: 𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 = 𝟗 𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 = 𝟒 𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 = 𝟕 Solución: MENORES 𝟏 𝟎 [−𝟔 −𝟐 −𝟓 −𝟐 3 −1 | | = (−3 + 4) = 𝟏 4 −1

1 | 1

𝟏 𝟐] 𝟏

−1 | = (−1 + 1) = 𝟎 −1

|

1 3 | = (4 − 3) = 𝟏 1 4

2 1 | | = (−2 − 4) = −𝟔 4 −1 2 1 | | = (−2 − 3) = −𝟓 3 −1

1 1 | | = (−1 − 1) = −𝟐 1 −1

1 2 | | = (4 − 2) = 𝟐 1 4

1 1 | | = (−1 − 1) = −𝟐 1 −1

1 2 | | = (3 − 2) = 𝟏 1 3

COFACTORES 1 0 1 + [−6 −2 2] |− −5 −2 1 +

− + −

+ 𝟏 𝟎 −| = [ 𝟔 −𝟐 + −𝟓 𝟐

𝟏 −𝟐] 𝟏

TRANSPUESTA 𝟏 [𝟎 𝟏

𝟔 −𝟓 −𝟐 𝟐 ] −𝟐 𝟏

DETERMINANATE 𝟏 𝟐 |𝟏 𝟑 𝟏 𝟒

𝟏 −𝟏| −𝟏

3 ∆𝑝 = 1 | 4

−1 1 | − 2| −1 1

−1 1 3 | + 1| | = 1(−3 + 4) − 2(−1 + 1) + 1(4 − 3) −1 1 4

∆𝒑 = 1(1) − 2(0) + 1(1) = 1 + 1 = 𝟐 INVERSA 𝟏 𝟑 1 6 −5 𝟐 1 [0 −2 2 ] = 𝟎 −𝟏 2 𝟏 1 −2 1 [𝟐 −𝟏

−𝟓 𝟐 𝟏 𝟏 𝟐]

1 5 3 − 𝒙𝟏 𝟒. 𝟓 + 𝟏𝟐 − 𝟏𝟕. 𝟓 = −𝟏 2 2 𝟗 [𝒙𝟐 ] = 0 −1 1 [𝟒] = [ ] 𝟎−𝟒+𝟕=𝟑 𝒙𝟑 1 1 𝟕 𝟒. 𝟓 − 𝟒 + 𝟑. 𝟓 = 𝟒 [2 −1 2 ] Respuestas: 𝒙𝟏 = −𝟏 𝒙𝟐 = 𝟑 𝒙𝟑 = 𝟒 Problema 7: 𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝟑 = 𝟑 𝟐𝒙𝟏 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝟗𝒙𝟑 = 𝟓 𝟑𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝟑 = 𝟕 Solución:

MENORES −𝟐𝟏 −𝟑𝟏 −𝟏𝟔 [−𝟏𝟎 −𝟏𝟒 −𝟖 ] 𝟑 𝟏 𝟎 6 | 1

−9 | = (−12 − 9) = −𝟐𝟏 −2

|

3 4 | | = (−6 − 4) = −𝟏𝟎 1 −2 3 | 6

2 9 | = (−4 − 27) = −𝟑𝟏 3 −2

2 6 | | = (2 − 18) = −𝟏𝟔 3 1

1 4 | | = (−2 − 12) = −𝟏𝟒 3 −2

4 | = (27 − 24) = 𝟑 9

1 4 | | = (9 − 8) = 𝟏 2 9

1 3 | | = (1 − 9) = −𝟖 3 1

1 3 | | = (6 − 6) = 𝟎 2 6

COFACTORES −21 −31 [−10 −14 3 1

−16 + −8 ] |− + 0

− + −𝟐𝟏 𝟑𝟏 −𝟏𝟔 + −| = [ 𝟏𝟎 −𝟏𝟒 𝟖 ] − + 𝟑 −𝟏 𝟎

TRANSPUESTA −𝟐𝟏 𝟏𝟎 𝟑 [ 𝟑𝟏 −𝟏𝟒 −𝟏] −𝟏𝟔 𝟖 𝟎 DETERMINANATE 𝟏 |𝟐 𝟑

𝟑 𝟔 𝟏

𝟒 𝟗| −𝟐

6 ∆𝑝 = 1 | 1

2 −9 |−3 | 3 −2

9 2 6 | + 4| | = 1(−12 − 9) − 3(−4 − 27) + 4(2 − 18) −2 3 1

∆𝒑 = 1(−21) − 3(−31) + 4(−16) = −21 + 93 − 64 = 𝟖

1 −21 [ 31 8 −16

𝒙𝟏 [𝒙𝟐 ] = 𝒙𝟑

INVERSA −𝟐𝟏 𝟏𝟎 10 3 𝟖 𝟖 𝟏𝟒 −14 −1] = 𝟑𝟏 − 8 0 𝟖 𝟖 [ −𝟐 𝟏

𝟑 𝟖 𝟏 − 𝟖 𝟎 ]

−21 10 3 −𝟕. 𝟖𝟕𝟓 + 𝟔. 𝟐𝟓 + 𝟐. 𝟔𝟐𝟓 = 𝟏 8 8 8 𝟑 31 14 1 [𝟓] = [ 𝟏𝟏. 𝟔𝟐𝟓 − 𝟖. 𝟕𝟓 − 𝟎. 𝟖𝟕𝟓 = 𝟐 ] − − −𝟔 + 𝟓 + 𝟎 = −𝟏 8 8 8 𝟕 [ −2 1 0 ] Respuestas: 𝒙𝟏 = 𝟏 𝒙𝟐 = 𝟐 𝒙𝟑 = −𝟏

3.5 APLICACIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES Las matrices son utilizadas en aplicaciones de gráficos de geometría, física e informática. La matriz de las cantidades o expresiones definidas por filas y columnas; tratados como un solo elemento y manipulados de acuerdo con las reglas. Cálculos de matriz pueden entenderse como un conjunto de herramientas que incluye el estudio de métodos y procedimientos utilizados para recoger, clasificar y analizar datos. En muchas aplicaciones es necesario calcular la matriz inversa donde esta calculadora en línea matriz inversa puede ayudarle a sin esfuerzo facilitan sus cálculos para las respectivas entradas. En casos simples, es relativamente fácil resolver una ecuación siempre y cuando se satisfagan ciertas condiciones. Sin embargo, en casos más complicados, es difícil o engorroso obtener expresiones simbólicas para las soluciones, y por ello a veces se utilizan soluciones numéricas aproximadas. Problema 1: Determinar tensiones de AB y AC

𝑃𝐸𝑆𝑂 200 𝑘𝑔 (9.81) = 1962 𝑁 AC 𝐹𝑥 = 𝐴𝐶 cos 45° = 𝟎. 𝟕𝟎𝟕𝟏 𝑨𝑪 𝐹𝑦 = 𝐴𝐶 𝑠𝑒𝑛 45° = 𝟎. 𝟕𝟎𝟕𝟏 𝑨𝑪

AB 𝐹𝑥 = 𝐴𝐵 cos 120° = −𝟎. 𝟓 𝑨𝑩 𝐹𝑦 = 𝐴𝐶 𝑠𝑒𝑛 120° = 𝟎. 𝟖𝟔𝟔𝟎 𝑨𝑩

−0.5 𝐴𝐵 + 0.7071 𝐴𝐶 = 0 0.8660 𝐴𝐵 + 0.7071 𝐴𝐶 = 1962 −0.5 0.7071 | | 0.8660 0.7071 ∆𝑝 = (−0.35355 − 0.61235) = −𝟎. 𝟗𝟔𝟓𝟗

0 0.7071 | | 1962 0.7071 ∆𝐴𝐵 = (0 − 1387.3302) = −𝟏𝟑𝟖𝟕. 𝟑𝟑𝟎𝟐 −1387.3302 𝑨𝑩 = − = 𝟏𝟒𝟑𝟔. 𝟑𝟗 𝑵 −0.9659 −0.5 0 | | 0.8660 1962 ∆𝐴𝐶 = (−981 − 0) = −𝟗𝟖𝟏 −981 𝑨𝑪 = − = 𝟏𝟎𝟏𝟓. 𝟔𝟑 𝑵 −0.9659

Problema 2:

∑ 𝑭𝒙 = −𝟎. 𝟎𝟗𝟑𝟑𝟎 𝑻𝑨𝑩 − 𝟎. 𝟎𝟖𝟒𝟓𝟓 𝑻𝑨𝑪 + 𝑷 = 𝟎 ∑ 𝑭𝒚 = 𝟎. 𝟕𝟕𝟕𝟓 𝑻𝑨𝑩 + 𝟎. 𝟕𝟎𝟒𝟔 𝑻𝑨𝑪 = 𝟏𝟗𝟔𝟐 ∑ 𝑭𝒛 = 𝟎. 𝟔𝟐𝟐𝟎 𝑻𝑨𝑩 − 𝟎. 𝟕𝟔𝟒𝟔 𝑻𝑨𝑪 = 𝟎

−0.09330 | 0.7775 0.6220

−0.08455 0.7046 −0.7646

1 0| 0

0.7046 0 0.7775 0 0.7775 ∆𝑝 = −0.09330 | | − 0.08455 | | + 1| −0.7646 0 0.6220 0 0.6220 1(−0.5944765 − 0.4382612) = −𝟏. 𝟎𝟑𝟐𝟕𝟑𝟕𝟕

0.7046 |= −0.7646

0 |1962 0

−0.08455 0.7046 −0.7646

1 0| 0

1962 0.7046 ∆𝑇𝐴𝐵 = 1 | |= 0 −0.7646 1(−1500.1452 − 0) = −𝟏𝟓𝟎𝟎. 𝟏𝟒𝟓𝟐 1500.1452 𝑇𝐴𝐵 = − = 𝟏𝟒𝟓𝟐. 𝟓𝟒𝟎𝟕𝟐 𝑵 −1.0327377 −0.09330 | 0.7775 0.6220 0.7775 ∆𝑇𝐴𝐶 = 1 | 0.6220 𝑇𝐴𝐵 = −

0 1962 0

1 0| 0

1962 | = 1(0 − 1220.364) = 1220.364 0

1220.364 = 𝟏𝟏𝟖𝟏. 𝟔𝟕𝟖𝟓𝟔𝟐 𝑵 −1.0327377

−0.09330 | 0.7775 0.6220 0.7046 ∆𝑃 = −0.0933 | −0.7646

−0.08455 0.7046 −0.7646

0 1962| 0

1962 0.7775 | + 0.08455 | 0 0.6220

1962 | 0

∆𝑃 = −0.0933(1500.152) + 0.08455(−1220.364) = −139.9635472 − 103.1817762 = −243.1453234 −243.1453234 𝐴𝐵 = − = 𝟐𝟑𝟓. 𝟒𝟑𝟕𝟔𝟑𝟔𝟕 𝑵 −1.0327377 Problema 3:

𝟎. 𝟑𝟗𝟎𝟒 𝑻𝑨 − 𝟎. 𝟓𝟏𝟖𝟑𝑻𝑩 − 𝟎. 𝟓𝟏𝟐𝟏𝑻𝑪 = 𝟎 −𝟎. 𝟒𝟖𝟖𝟎𝑻𝑨 − 𝟎. 𝟔𝟎𝟒𝟕𝑻𝑩 − 𝟎. 𝟕𝟔𝟖𝟐𝑻𝑪 = 𝟎 𝟎. 𝟕𝟖𝟎𝟕𝑻𝑨 + 𝟎. 𝟔𝟎𝟒𝟕𝑻𝑩 − 𝟎. 𝟑𝟖𝟒𝟏𝑻𝑪 = 𝟓𝟎𝟎 𝟎. 𝟑𝟗𝟎𝟒 −𝟎. 𝟓𝟏𝟖𝟑 |−𝟎. 𝟒𝟖𝟖𝟎 −𝟎. 𝟔𝟎𝟒𝟕 𝟎. 𝟕𝟖𝟎𝟕 𝟎. 𝟔𝟎𝟒𝟕

−0.6047 ∆𝑝 = 0.3904 | 0.6047

−0.7682 −0.4880 | + 0.5183 | −0.3841 0.7807

−𝟎. 𝟓𝟏𝟐𝟏 −𝟎. 𝟕𝟔𝟖𝟐| −𝟎. 𝟑𝟖𝟒𝟏

−0.7682 −0.4880 | − 0.5121 | −0.3841 0.7807

0.3904(0.23226527 + 0.464554) + 0.5183(0.7874) − 0.5121(0.177) = 0.27203841 + 0.40810942 − 0.090624 = 𝟎. 𝟓𝟖𝟗𝟑𝟖𝟐𝟏𝟔 𝟎 −𝟎. 𝟓𝟏𝟖𝟑 −𝟎. 𝟓𝟏𝟐𝟏 | 𝟎 −𝟎. 𝟔𝟎𝟒𝟕 −𝟎. 𝟕𝟔𝟖𝟐| 𝟓𝟎𝟎 𝟎. 𝟔𝟎𝟒𝟕 −𝟎. 𝟑𝟖𝟒𝟏 ∆𝑇𝐴 = 0.5133(384.1) − 0.5121(302.35) = 199.07903 − 154.833435 = 44.245595 44.245595 𝑇𝐴 = = 𝟕𝟓. 𝟎𝟕𝟏𝟏𝟖 𝑵 0.58938216 𝟎. 𝟑𝟗𝟎𝟒 |−𝟎. 𝟒𝟖𝟖𝟎 𝟎. 𝟕𝟖𝟎𝟕

𝟎 −𝟎. 𝟓𝟏𝟐𝟏 𝟎 −𝟎. 𝟕𝟔𝟖𝟐| 𝟓𝟎𝟎 −𝟎. 𝟑𝟖𝟒𝟏

∆𝑇𝐵 = 0.3904(384.1) − 0.5121(−244) = 144.95264 + 124.9524 = 274.90504 274.90504 𝑇𝐵 = = 𝟒𝟔𝟔. 𝟒𝟐𝟗𝟏𝟖𝟖 𝑵 0.58938216 𝟎. 𝟑𝟗𝟎𝟒 |−𝟎. 𝟒𝟖𝟖𝟎 𝟎. 𝟕𝟖𝟎𝟕

−𝟎. 𝟓𝟏𝟖𝟑 𝟎 −𝟎. 𝟔𝟎𝟒𝟕 𝟎 | 𝟎. 𝟔𝟎𝟒𝟕 𝟓𝟎𝟎

∆𝑇𝐶 = 0.3904(−302.35) + 0.5153(−244) = −118.03744 − 126.4652 = −244.50264 −244.50264 𝑇𝐶 = = −𝟒𝟏𝟒. 𝟖𝟒𝟓𝟔𝟕𝟖𝑵 0.58938216

−0.6047 | 0.6047

Con esto concluimos la Unidad 3 de Algebra Lineal que lleva por nombre Sistemas de ecuaciones lineales. Para empezar debimos de conocer que era un sistema de ecuaciones lineales y llegamos a la conclusión que es un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado y que para poder resolverlos debemos de tener el mismo número de incógnitas y ecuaciones. Existen varios métodos de solución como:  Sustitución.  Igualación  Reducción  Método Grafico Estos métodos de resolución son sencillos por general se aprenden en la educación básica. También con ayuda de un graficador podemos obtener la interpretación geométrica de las soluciones, en mi caso utilizo el programa Maple el cual sirve para graficar funciones. Durante la unidad dos de esta materia aprendimos a resolver matrices, y ya en esta unidad aplicamos lo aprendido, ya que también con ayuda de las matrices podemos resolver un sistema de ecuaciones, con estos métodos tenemos resultados más precisos, complejos y los podemos aplicar en sistemas de ecuaciones de n incógnitas y n ecuaciones . Para resolver un sistema de ecuaciones con matrices utilizamos métodos como:  Reducción gaussiana  Gauss-Jordan  Método de Cramer  Matriz inversa Para facilitar la resolución de los sistemas de ecuaciones por medio de matrices podemos utilizar software matemáticos en mi caso utilice Microsoft Excel que es una hoja de cálculo muy compleja. Estos métodos de resolución de ecuaciones lineales tienen muchas aplicaciones en la ingeniería, por eso es de gran importancia conocer y saber manejarlos.